Distribuciones De Probabilidad Continuas.pdf

MODELOS PROBABILÍSTICOS

Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN UNIFORME:

Es la más simple de todas las distribuciones de probabilidad continuas. Se emplea en experimentos que cumplen de manera exacta o aproximada con los siguientes características: • La variable aleatoria toma valores igualmente probables en un intervalo finito. • Su nombre se debe al hecho de que la función de densidad es uniforme en todo su intervalo de definición. • Se caracteriza por presentar dos parámetros que son los limites del intervalo (a, b). Un ejemplo es: • Un momento elegido al azar en que una persona llega a una cita entre la 1 y las 2 de la tarde. Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN UNIFORME:

Definición: Se dice que una variable aleatoria X está distribuida uniformemente sobre el intervalo (a, b) si su función de densidad de probabilidad está dada por:

 1 , a xb  f  x  b  a  0, en otro caso Los parámetros de la distribución Uniforme son el valor mínimo (a) y el valor máximo (b) de la variable aleatoria. Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN UNIFORME:

Definición: Si X es una variable aleatoria con distribución Uniforme, su función de distribución acumulada, la media y la varianza están dadas por:

xa F  x  P  X  x  , ba

ab EX   2

Universidad del Valle

a xb

V X  

Fundamentos de Estadística

b  a 

2

12

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN UNIFORME:

Ejemplo: Los clientes con problemas técnicos en su conexión de internet pueden llamar a un número para solicitar asistencia técnica. El técnico tarda entre 30 segundos y 10 minutos para resolver el problema. La distribución de este tiempo de asistencia tiene una distribución uniforme. a) ¿Cuál es el tiempo medio que se requiere para resolver el problema? y ¿Cuál es la desviación estándar del tiempo? b) ¿Qué porcentaje de los problemas consumen más de 5 minutos para resolverse?

Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN UNIFORME:

Ejemplo: Los clientes con problemas técnicos en su conexión de internet pueden llamar a un número para solicitar asistencia técnica. El técnico tarda entre 30 segundos y 10 minutos para resolver el problema. La distribución de este tiempo de asistencia tiene una distribución uniforme. a) ¿Cuál es el tiempo medio que se requiere para resolver el problema? y ¿Cuál es la desviación estándar del tiempo?

Solución: Como el limite inferior del intervalo es 30 segundos, este valor en minutos equivale a 0.5 minutos, por lo cual a = 0.5. El limite superior del intervalo es 10 minutos, por lo cual b = 10.

a  b 0.5  10 10.5 EX      5.25 2 2 2

Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN UNIFORME:

Ejemplo: Los clientes con problemas técnicos en su conexión de internet pueden llamar a un número para solicitar asistencia técnica. El técnico tarda entre 30 segundos y 10 minutos para resolver el problema. La distribución de este tiempo de asistencia tiene una distribución uniforme. a) ¿Cuál es el tiempo medio que se requiere para resolver el problema? y ¿Cuál es la desviación estándar del tiempo?

Solución: Como el limite inferior del intervalo es 30 segundos, este valor en minutos equivale a 0.5 minutos, por lo cual a = 0.5. El limite superior del intervalo es 10 minutos, por lo cual b = 10.

V X   Universidad del Valle

b  a  12

2



10  0.5  12

2

 9.5 

2

90.25    7.5208 12 12

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN UNIFORME:

Ejemplo: Los clientes con problemas técnicos en su conexión de internet pueden llamar a un número para solicitar asistencia técnica. El técnico tarda entre 30 segundos y 10 minutos para resolver el problema. La distribución de este tiempo de asistencia tiene una distribución uniforme. a) ¿Cuál es el tiempo medio que se requiere para resolver el problema? y ¿Cuál es la desviación estándar del tiempo?

Solución: Como el limite inferior del intervalo es 30 segundos, este valor en minutos equivale a 0.5 minutos, por lo cual a = 0.5. El limite superior del intervalo es 10 minutos, por lo cual b = 10.

De  X   V  X   7.5208  2.7424 Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN UNIFORME:

Ejemplo: Los clientes con problemas técnicos en su conexión de internet pueden llamar a un número para solicitar asistencia técnica. El técnico tarda entre 30 segundos y 10 minutos para resolver el problema. La distribución de este tiempo de asistencia tiene una distribución uniforme. b) ¿Qué porcentaje de los problemas consumen más de 5 minutos para resolverse?

Solución: a = 0.5 y b = 10. Entonces encontremos F(x)

x  0.5 F  x  P  X  x  , 9.5 Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

0.5  x  10 Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN UNIFORME:

Ejemplo: Los clientes con problemas técnicos en su conexión de internet pueden llamar a un número para solicitar asistencia técnica. El técnico tarda entre 30 segundos y 10 minutos para resolver el problema. La distribución de este tiempo de asistencia tiene una distribución uniforme. b) ¿Qué porcentaje de los problemas consumen más de 5 minutos para resolverse?

Solución: Nos piden: P(X > 5) = 1 - P(X ≤ 5) = 1 - F(5)

5  0.5 4.5 P  X  5  1  F  5  1  P  X  5  1   1  0.5263 9.5 9.5 Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL:

Hay varios experimentos que cumplen de manera exacta o aproximada con los siguientes requerimientos: • La distribución exponencial tiene una utilidad práctica ya que podemos considerarla como un modelo adecuado para la distribución de probabilidad del tiempo de espera entre dos hechos que sigan un proceso de Poisson. • La distribución exponencial puede derivarse de un proceso experimental de Poisson con las mismas características que las enunciadas al estudiar la distribución de Poisson, pero tomando como variable aleatoria, en este caso, el tiempo que tarda en producirse un evento, por tal razón la variable aleatoria será continua. Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL:

Hay varios experimentos que cumplen de manera exacta o aproximada con los siguientes requerimientos: • Este modelo de probabilidad es también de gran utilidad en la distribución del tiempo que transcurre hasta que se produce un fallo, si se cumple la condición que la probabilidad de producirse un fallo en un instante no depende del tiempo transcurrido. Aplicaciones en fiabilidad y teoría de la supervivencia (tiempos de vida). • Se caracteriza por presentar un único parámetro θ que representa el lapso promedio de tiempo entre dos eventos independientes de Poisson. Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL:

Algunos ejemplos son: • El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. • El tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un paciente. • En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos sucesos consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial. Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre que sufrimos dos veces una herida importante.

Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL:

Definición: Si una variable aleatoria X tiene una distribución exponencial, su función de densidad de probabilidad está dada por:

 1  x / x0  e , f  x     0, en otro caso El parámetro de la distribución exponencial es θ el cual toma valores mayores a cero, es decir θ > 0.

Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL:

Definición: Si X es una variable aleatoria con distribución Exponencial, su función de distribución acumulada, la media y la varianza están dadas por:

F  x   P  X  x   1  e  x / ,

V X  2

EX  

Universidad del Valle

x0

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL:

Ejemplo: La amplia experiencia con ventiladores de cierto tipo utilizados en motores Diesel, indica que la distribución exponencial proporciona un buen modelo de ajuste del tiempo hasta que se presenta una falla. Suponga que el tiempo medio hasta que se presenta una falla es de 25000 horas. Cuál es la probabilidad de que: a) Un ventilador seleccionado al azar dure por lo menos 20000 horas? b) A lo sumo 30000 horas? c) Entre 20000 y 30000 horas?

Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL:

Ejemplo: La amplia experiencia con ventiladores de cierto tipo utilizados en motores Diesel, indica que la distribución exponencial proporciona un buen modelo de ajuste del tiempo hasta que se presenta una falla. Suponga que el tiempo medio hasta que se presenta una falla es de 25000 horas. Cuál es la probabilidad de que: a) Un ventilador seleccionado al azar dure por lo menos 20000 horas?

Solución: Entonces θ = 25000 horas. Veamos primero que forma tiene f(x):

1 f  x  e  x /25000 , 25000 Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

x0 Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL:

Ejemplo: La amplia experiencia con ventiladores de cierto tipo utilizados en motores Diesel, indica que la distribución exponencial proporciona un buen modelo de ajuste del tiempo hasta que se presenta una falla. Suponga que el tiempo medio hasta que se presenta una falla es de 25000 horas. Cuál es la probabilidad de que: a) Un ventilador seleccionado al azar dure por lo menos 20000 horas?

Solución: Por lo cual F(x) estará dada por:

F  x  P  X  x  1 e Universidad del Valle

 x /25000

Fundamentos de Estadística

,

x0

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL:

Ejemplo: La amplia experiencia con ventiladores de cierto tipo utilizados en motores Diesel, indica que la distribución exponencial proporciona un buen modelo de ajuste del tiempo hasta que se presenta una falla. Suponga que el tiempo medio hasta que se presenta una falla es de 25000 horas. Cuál es la probabilidad de que: a) Un ventilador seleccionado al azar dure por lo menos 20000 horas?

Solución: Están preguntando por P(X ≥ 20000) = 1 – P(X ≤ 20000) = 1 – F(20000):

P  X  20000   1  1  e 20000/25000   e 20000/25000  e 4/5  0.4493 Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL:

Ejemplo: La amplia experiencia con ventiladores de cierto tipo utilizados en motores Diesel, indica que la distribución exponencial proporciona un buen modelo de ajuste del tiempo hasta que se presenta una falla. Suponga que el tiempo medio hasta que se presenta una falla es de 25000 horas. Cuál es la probabilidad de que: b) A lo sumo 30000 horas?

Solución: Están preguntando por P(X ≤ 30000) = F(30000):

P  X  30000   1  e 30000/25000   1  e 6/5  0.6988 Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL:

Ejemplo: La amplia experiencia con ventiladores de cierto tipo utilizados en motores Diesel, indica que la distribución exponencial proporciona un buen modelo de ajuste del tiempo hasta que se presenta una falla. Suponga que el tiempo medio hasta que se presenta una falla es de 25000 horas. Cuál es la probabilidad de que: c) Entre 20000 y 30000 horas?

Solución: Están preguntando por P(20000 ≤ X ≤ 30000) = F(30000) - F(20000):

P  X  30000   0.6988

P  X  20000   0.4493  P  X  20000   1  0.4493  0.5507 P  20000  X  30000   0.6988  0.5507  0.1481 Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS EJERCICIO_6:

1. Suponga que la temperatura de reacción X (en °C) de cierto proceso químico tiene una distribución Uniforme con parámetros a = -5 y b = 5. a) Calcular P(X < 0). b) Calcular P(-2.5 < X < 2.5). c) Calcular P(-2 ≤ X ≤ 3). 2. En una oficina de reclamos de una empresa de servicio público, se tiene que el tiempo (en minutos) que dura el empleado en atender un reclamo de un usuario, es una variable aleatoria con distribución Exponencial con media 15 minutos. Si usted llega a la oficina de reclamos y en ese momento no hay cola de espera, pero el empleado está atendiendo a un usuario ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que esperar menos de 5 minutos en ser atendido? y ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que esperar más de 15 minutos en ser atendido? Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS SOLUCIÓN_6:

1. Suponga que la temperatura de reacción X (en °C) de cierto proceso químico tiene una distribución Uniforme con parámetros a = -5 y b = 5. a) Calcular P(X < 0). P  X  0  F  0 

0   5  5   5 



5 1   0.5 10 2

b) Calcular P(-2.5 < X < 2.5).

P  2.5  X  2.5   P  X  2.5   P  X  2.5   F  2.5   F  2.5  

2.5   5  2.5   5  7.5 2.5     0.5 5   5  5   5  10 10

c) Calcular P(-2 ≤ X ≤ 3).

P  2  X  3   P  X  3   P  X   2   F  3   F   2  

Universidad del Valle

3   5  2   5  8 3     0.5 5   5  5   5  10 10 Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS SOLUCIÓN_6:

2. En una oficina de reclamos de una empresa de servicio público, se tiene que el tiempo (en minutos) que dura el empleado en atender un reclamo de un usuario, es una variable aleatoria con distribución Exponencial con media 15 minutos. Si usted llega a la oficina de reclamos y en ese momento no hay cola de espera, pero el empleado está atendiendo a un usuario ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que esperar menos de 5 minutos en ser atendido? y ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que esperar más de 15 minutos en ser atendido? Tenemos que θ = 15 minutos y preguntan por: P(X < 5), entonces: F  5   P  X  5   1  e 5/15  1  0.7165  0.2835

P(X > 15), entonces:

P  X  15   1  F 15   1  1  e15/15   0.3679

Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL:

La distribución normal es una de las distribuciones más importantes y de uso más frecuente en la estadística, puesto que gran parte de la teoría fue desarrollada inicialmente para variables con esta distribución. Muchas distribuciones de probabilidad, incluyendo discretas, pueden ser aproximadas por esta distribución (si se cumplen ciertas condiciones). Aunque una variable no se distribuya normal, las sumas y promedios de las variables, si se cumplen ciertas condiciones, tendrán una distribución normal aproximada (Teorema Central del Límite) Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL:

Se emplea en experimentos que cumplen de manera exacta o aproximada con los siguientes características: • La variable aleatoria puede tomar valores entre (- ∞, + ∞). • Los valores cercanos a la media, tienen mayor probabilidad y conforme nos separamos de la media, la probabilidad va decreciendo de igual forma hacia la derecha que hacia la izquierda (la distribución es simétrica). • Para hacer inferencias a partir de una muestra sobre ciertos procesos. • Se caracteriza por presentar dos parámetros que son μ y σ donde μ representa la media y σ es la desviación estándar. Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL:

Algunos ejemplos son: • Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas) de una especie, por ejemplo: tallas, pesos, diámetros, distancias, perímetros, entre otros. • Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono. • Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen. • Caracteres psicológicos, por ejemplo: coeficiente intelectual, grado de adaptación a un medio. Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL:

Definición: Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución normal, si su función de densidad de probabilidad está dada por:

 1  e f  x    2  0, 

1  x     2  

2

,   x   en otro caso

Los parámetros de la distribución normal son la media μ, la cual toma valores entre -∞ < μ < +∞ y la desviación estándar σ, la cual es mayor que cero, es decir σ > 0. Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL:

Definición: Para cualquier par de valores de μ y σ la distribución normal es simétrica y tiene forma de campana: Gráfica de distribución Normal. Desv.Est.=2 Media 10 12 14

0,4

Densidad

0,3

0,2

0,1

0,0

Universidad del Valle

0

4

8

12 X

16

Fundamentos de Estadística

20

24

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL:

Definición: Para cualquier par de valores de μ y σ la distribución normal es simétrica y tiene forma de campana: Gráfica de distribución Normal. Media=12 Desv .Est. 1 2 3

0,4

Densidad

0,3

0,2

0,1

0,0

Universidad del Valle

0

4

8

12 X

16

Fundamentos de Estadística

20

24

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL:

Propiedades: • El punto más alto de la curva normal es la media μ, que también es la mediana y la moda de la distribución. • La distribución de probabilidad normal es simétrica, y su forma a la izquierda de la media es una imagen especular de la forma a la derecha de la media. • La desviación estándar (σ) determina el ancho de la curva. A valores mayores de σ se tienen curvas más anchas y bajas, que muestran una mayor dispersión en los datos.

Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL:

Definición: Si X es una variable aleatoria con distribución Normal, su función de distribución acumulada, la media y la varianza están dadas por:

F  x  P  X  x 

1

 2

x



e

1  t      2  

2

   x  

V X  2

EX   

Universidad del Valle

dt ,

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL:

Nota: La función de distribución acumulada de X:

F  x  P  X  x 

1

 2

x



e

1  t      2  

2

dt ,

   x  

Como la integral en la anterior función no puede evaluarse de forma cerrada, se puede tabular como una función de μ y σ, lo que necesitaría una tabla para cada par de valores. Como existe un número infinito de valores de μ y σ, esta tarea es técnicamente imposible. Afortunadamente lo anterior puede simplificarse mediante el empleo de una transformación. Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL:

Nota: Dicha transformación se conoce como estandarización, la cual consiste en lo siguiente: • Sea X una variable aleatoria cualquiera con media μ y desviación estándar σ, entonces la cantidad:

X  Y 

Define una variable aleatoria Y con media 0 y desviación estándar 1.

Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR:

Definición: Si X es una variable aleatoria con distribución Normal con media μ y desviación estándar σ, entonces:

X  Z 

La variable aleatoria Z tiene una distribución normal con media 0 y desviación estándar 1 o también conocida como distribución Normal Estándar.

Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR:

Propiedades: • No depende de ningún parámetro. • Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación estándar es 1. • La curva f(x) es simétrica respecto a la media. • Tiene un máximo cuando Z = 0. • Tiene dos puntos de inflexión cuando Z = 1 y Z = -1. • Para la distribución de probabilidad normal estándar se han determinado las áreas bajo la curva normal, y se muestran en tablas que se pueden usar para calcular probabilidades. • El área total bajo la curva para la distribución de probabilidad normal y normal estándar es 1. Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR:

Nota: Por lo cual si queremos encontrar las probabilidades asociadas con la función de distribución acumulada de X podríamos apoyarnos en la función de distribución acumulada de Z, de la siguiente forma:

 X  x  P  X  x  P     P Z  z    

Donde la función de distribución acumulada de Z está dada por:

F  z  P Z  z 

1

 2

z



e

1  t2 2

dt ,

   z  

Donde la integral está resuelta en algunas tablas. Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR:

Ejemplo de una tabla de la distribución normal estándar:

Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL Y NORMAL ESTÁNDAR:

Ejemplo: Una máquina despachadora de gaseosa está ajustada para servir un promedio de 200 ml por vaso. Si la cantidad de gaseosa es normalmente distribuida con una desviación estándar de 15 ml, ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 200 y 215 ml?

Solución: Identificamos los parámetros: Media µ = 200. Desviación estándar σ = 15.

Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL Y NORMAL ESTÁNDAR:

Ejemplo: Una máquina despachadora de gaseosa está ajustada para servir un promedio de 200 ml por vaso. Si la cantidad de gaseosa es normalmente distribuida con una desviación estándar de 15 ml, ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 200 y 215 ml?

Solución: Nos preguntan por P(200 ≤ X ≤ 215). Entonces: P  200  X  215   P  X  215   P  X  200   FX  215   FX  200  215  200  200  200     PZ   P Z     15 15      P  Z  1  P  Z  0   FZ 1  FZ  0 

Buscamos estos valores de FZ(z) en la tabla así: Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL Y NORMAL ESTÁNDAR:

Ejemplo:

P( Z  1)  0.8413

Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL Y NORMAL ESTÁNDAR:

Ejemplo:

P( Z  0)  0.5000

Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL Y NORMAL ESTÁNDAR:

Ejemplo: Una máquina despachadora de gaseosa está ajustada para servir un promedio de 200 ml por vaso. Si la cantidad de gaseosa es normalmente distribuida con una desviación estándar de 15 ml, ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 200 y 215 ml?

Solución: Nos preguntan por P(200 ≤ X ≤ 215). Entonces: P  200  X  215   P  X  215   P  X  200   FX  215   FX  200  215  200  200  200     PZ   P Z     15 15      P  Z  1  P  Z  0   FZ 1  FZ  0   0.8413  0.500  0.3413 Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS EJERCICIO_7:

1. Si Z es una variable aleatoria Normal Estándar, encuentre: P(Z < 1.20), P(Z ≤ -0.71), P(0 ≤ Z ≤ 0.83), P(-1.57 ≤ Z ≤ 0) y P(Z ≥ 1.96). 2. Si Z es una variable aleatoria Normal Estándar, determine Z en cada caso: a) El área a la derecha de Z es 0.1314. b) El área a la izquierda de Z es 0.6700. c) El área entre 0 y Z es 0.4750.

d) El área entre 0 y Z es 0.2291. 3. Se supone que los resultados del examen final de Fundamentos de Estadística siguen una distribución Normal con media 3.5 y desviación estándar 1.1 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que presenta el examen obtenga una calificación superior a 4.0? Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS SOLUCIÓN_7:

1. Si Z es una variable aleatoria Normal Estándar, encuentre: P(Z < 1.20) = 0.8849. P(Z ≤ -0.71) = 0.2389. P(0 ≤ Z ≤ 0.83) = 0.7967 – 0.5000 = 0.2967. P(-1.57 ≤ Z ≤ 0) = 0.5000 – 0.0582 = 0.4418. P(Z ≥ 1.96) = 1 – 0.9750 = 0.0250.

2. Si Z es una variable aleatoria Normal Estándar, determine Z en cada caso: a) El área a la derecha de Z es 0.1314.  Z = 1.12. b) El área a la izquierda de Z es 0.6700.  Z = 0.44. c) El área entre 0 y Z es 0.4750.  Z = 1.96.

d) El área entre 0 y Z es 0.2291.  Z = 0.61. Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS SOLUCIÓN_7:

3. Se supone que los resultados del examen final de Fundamentos de Estadística siguen una distribución Normal con media 3.5 y desviación estándar 1.1 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que presenta el examen obtenga una calificación superior a 4.0?

X ~ N    3.5,   1.1

4.0  3.5   P  X  4.0   1  P  X  4.0   1  P  Z   1.1    1  P  Z  0.4545   1  0.6753  0.3247.

Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

MODELOS PROBABILÍSTICOS

Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A LA NORMAL n = 10 p = 0.1 0

2

4

n = 10 p = 0.5

6

8

10

0

2

4

6

8

n = 100 p = 0.5

30

40

50

60

10

n = 100 p = 0.9

70

70

75

80

85

90

95

100

El histograma de la distribución binomial tiende a ser simétrico cuando p = 0.5 o cuando n es grande. Esto hace que para valores de p cercanos a 0.5 y para valores de n grandes, las probabilidades acumuladas de una distribución binomial se parecen mucho a los valores que se obtendrían si se usa una distribución normal. Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A LA NORMAL La distribución binomial se aproxima a la normal cuando n es grande ó p es aproximadamente igual a 0.5 Binomial n = 20 P = 0.5

B  x , n, p 

N  x,   np,   npq 

Normal µ = 10 σ2 = 5

2

0

Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

2

4

6

8

10

Luis C. Bravo M.

APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A LA NORMAL La distribución binomial se aproxima a la normal cuando n es grande ó p es aproximadamente igual a 0.5 Binomial n = 100 P = 0.1

B  x , n, p 

N  x,   np,   npq 

Normal µ = 10 σ2 = 9

2

0 Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

5

10

15

20

Luis C. Bravo M.

APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A LA NORMAL Ejemplo: Estadísticas publicadas por un periódico local muestran que en una noche de fin de semana, en promedio, 1 de cada 10 conductores está ebrio. Si se verifican 400 conductores en forma aleatoria la siguiente noche de sábado, ¿Cuál es la probabilidad de que el número de conductores ebrios sea: a) Exactamente 20? b) Menos de 30? c) Más de 49? d) Al menos 30 pero menos de 49? Distribución ??? Parámetros ???

B  x, n  400, p  1 / 10 

40

36

N  x,   ??,   ??  2

Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A LA NORMAL Nota: Cuando se aproxima una variable aleatoria discreta por una variable aleatoria continua, se debe tener en cuenta que en las distribuciones discretas, tiene sentido hablar de P(X = x), pero en las distribuciones continuas no. Por lo tanto, si deseamos hallar P(X = x), la aproximación se hace por:

P  X  x   P  x  0.5  X  x  0.5  P  X  x   P  X  x  0.5  P  X  x   P  X  x  0.5  P  X  x   P  X  x  0.5  P  X  x   P  X  x  0.5  Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN POISSON A LA NORMAL λ=1

0

2

4

λ=2

6

8

10

0

2

4

6

5

10

15

10

λ = 50

λ = 10

0

8

20

30

40

50

60

70

El histograma de la distribución Poisson tiende a ser simétrico cuando λ crece. Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN POISSON A LA NORMAL La distribución Poisson se aproxima a la normal cuando λ es grande. Poisson λ = 20

Poisson  x,  

N  x,    ,    

Normal µ = 20 σ2 = 20

2

0

Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

10

20

30

40

Luis C. Bravo M.

APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN POISSON A LA NORMAL Ejemplo: Un banco recibe en promedio 6 cheques falsos al día, suponiendo que el número de cheques falsos sigue una distribución Poisson, ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban más de 40 cheques falsos en una semana? λ = 30 (Promedio de cheques falsos en una semana) Distribución ??? Parámetros ???

Poisson  x,   30 

N  x,   30,   30  2

Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.

PARA TENER EN CUENTA Notas: • Cuando el tamaño de la muestra n es mayor o igual a 30 y la probabilidad del suceso p es menor o igual al 5% (n > 30 y p ≤ 0.05), es útil aproximar la distribución Binomial a la distribución Poisson. • La distribución Binomial se aproxima a la distribución Normal cuando n es grande en especial cuando n ≥ 100 ó p es aproximadamente igual a 0.5. • La distribución Poisson se aproxima a la distribución Normal cuando λ ≥ 20.

Universidad del Valle

Fundamentos de Estadística

Luis C. Bravo M.