Distribuciones De Probabilidad

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD INTRODUCCIÓN Las variables aleatorias están ligadas a experimentos aleatorios. Y se dice que se ha definido una variable aleatoria cuando a cada elemento del espacio muestral se le ha asociado un número. Si una variable real, X, es una variable aleatoria sus valores dependen del azar. Por ejemplo, si se lanzan dos dados y X es el número de veces que sale un 6, entonces X es una variable aleatoria, y toma, al azar, uno de los valores 0, 1 ó 2. El estudio de las distribuciones de probabilidad es similar al de la variable estadística, el equivalente de la frecuencia relativa en la variable aleatoria es la probabilidad. 1. Variables aleatorias Consideremos un experimento aleatorio y sea E el espacio muestral asociado, S = conjunto de sucesos p = probabilidad asociada a cada suceso, a la terna (E, S, p) le llamamos espacio probabilístico Definición 1. Llamamos variable aleatoria o variable estocástica, X, a toda aplicación que asocia a cada elemento del espacio muestral, E, un número real x. Dicho de manera informal: es el valor numérico que “de alguna manera” se asigna a un suceso. El conjunto imagen de la aplicación se llama recorrido de la variable. Suele confundirse variable aleatoria con recorrido. Ejemplo 1. Si lanzamos tres monedas al aire y X es el número de caras que salen, los valores que toma X son 0, 1, 2 y 3. Ejemplo 2. Si de una camada de 6 cachorros se cuenta el nº de hembras que se “obtienen” la variable aleatoria toma los valores x =0, x=1,....x =6Ejemplo 3. Al extraer una bombilla de una población y observar si es o no defectuosa, X tomaría los valores 1 y 0 según sea o no defectuosa. En los ejemplos anteriores se habla de variable aleatoria discreta (toma valores discretos) Ejemplo 4. Si se toma como X la estatura de los soldados de un reemplazo X puede tomar todos los valores, (dentro de unos límites) Ejemplo 5. Si se toma como variable la longitud de un tornillo X puede tomar todos los valores de un intervalo. En estos casos últimos se hablará de variable aleatoria continua. Estudiaremos dos modelos de variable aleatoria: uno discreto la binomial la normal otro continuo Estudiaremos en primer lugar las distribuciones discretas de probabilidad. 2. Función de probabilidad y de distribución Una función de probabilidad no es más que la asignación a cada valor de la variable de la

probabilidad que le corresponde. Es decir: Definición 2. La función de probabilidad, f, se define así: f(x i)= P(X=x i) Ejemplo 6. En el ejemplo de la introducción: f(0)=P(X =0)=p(no salga ningún 6)=

, f(1)=P(X =1)=

, f(2)=P(X =2)=

.Observación: Se verifica, al igual que con la probabilidad, que f(0)+f(1)+f(2)= 1 Propiedades Por ser una probabilidad se verifica : 1) f(x i) >0; 2) la suma de todas las f(x i) es 1, es decir Definición 3. Sea X una variable aleatoria. Se llama función de distribución, F, a la función definida por F(x)= P(X x) En el caso de que X sea una variable discreta se tiene: F(x)= F está comprendido entre 0 y 1. Ejemplo 7. En el ejemplo anterior F(1)=P(X 1)= P(no salga ningún seis, o salga un seis)= P(X=0)+P(X=1) 3. Media o esperanza de una variable aleatoria Sea X una variable aleatoria discreta, que toma los valores x1, x 2, x 3..... x n con función de probabilidad f. Definición 4. Se llama media o esperanza (o valor esperado) de X a: E(X)=x1f(x 1)+x2f(x 2)+......+xnf(x n)

Observación. Es análoga a la definición de la media para una distribución de frecuencias. Ejemplo 8. Un jugador lanza un dado corriente. Si sale un número impar gana dicho número de euros, pero si sale par entonces pierde esa cantidad en euros. Estudiar si el juego es equitativo. Solución Los resultados posibles x i (euros que gana o pierde al lanzar el dado) y sus respectivas probabilidades son: xi

1

3

5

-2

-4

-6

f(x i)

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

Los número negativos indican el hecho de perder cuando sale par. E(X) =

luego no es equitativo.

Nota. Se dice que un juego de dinero es legal o equitativo si E =0 y desfavorable si E<0 Propiedades. Si X e Y son variables aleatorias, del mismo espacio muestral, y k un número real 1) E(X +k)=E(X)+k 2) E(kX)= kE(X) 3) E(X +Y)= E(X)+E(Y) (la esperanza de la suma es la suma de las esperanzas) 4. Varianza y desviación estándar (o típica) Al igual que para las variables estadísticas la esperanza mide, en cierto sentido, el “valor promedio”de X. El concepto siguiente, el de la varianza, va a medir la dispersión o distanciamiento de X, respecto de la media. Definición 5. Sea X una variable discreta que toma los valores, x1, x 2, ..... .x n con función de probabilidad f. Se llama varianza de X y se designa por var(X) a: =E(X2)-E(X) 2 Es decir, la media de la variable al cuadrado menos el cuadrado de la media. La desviación estándar o típica se define como la raíz cuadrada de la varianza. Ejemplo 9. Consideremos la variable X que asigna la suma de dos números que se muestran en un par de dados. La distribución de X es: xi

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

f(x i)

1/36

2/36

3/36

4/36

5/36

6/36

5/36

4/36

3/36

2/36

1/36

xi

f(x i)

x if(x i)

x i2

x i2f(x i)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1

2/36 6/36 12/36 20/36 30/36 42/36 40/36 36/36 30/36 22/36 12/36 7

4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144

4/36 18/36 48/36 100/36 180/36 294/36 320/36 324/36 300/36 242/36 144/36 1974/36

La varianza, Var (X)= E(X2)-E(X) 2=

=

=54,83-49=5,83

La desviación típica Propiedades. Si X es una variable aleatoria y k un número real 1) Var(X +k)=Var(X) 2) Var(kX)=k 2Var(X) Consecuencia:

y

Observación 1. Hay una interpretación física de la media y la varianza. Supóngase que para cada punto x i sobre el eje X se coloca con una unidad con masa f(xi). Entonces la media es el centro de gravedad y la varianza es el momento de inercia del sistema. Observación 2. Muchas variables aleatorias dan origen a la misma distribución, de ahí que se hable de la media y desviación típica de una distribución, en vez de una v.a. 5. Normalización o tipificación de una variable aleatoria Sea X una variable aleatoria con media, la variable aleatoria X* normalizada que corresponde a X se define por: Se verifica E(X*)=0y Var(X*)=1 6. Distribución binomial

Partimos de una experiencia en la que sólo consideramos dos sucesos A y su contrario Ac. Sus probabilidades son P(A)= p y P(Ac)= q=1-p El suceso A es el suceso favorable, se le suele llamar éxito, al contrario fracaso. Si repetimos n veces la experiencia, y estamos interesados en e número de éxitos, la variable aleatoria X indicará éstos y tomará los valores 0, 1, 2, ...n. Se trata de una distribución de probabilidad discreta, que se llama distribución binomial de parámetros n (nº de repeticiones) y p 8probabilidad del éxito). Se designa B(n, p) La probabilidad de obtener k éxitos es p(X= k)=

pk q n-k

Ejemplo 10. Un jugador de tenis tiene una probabilidad de ganar una partida de 0,25. Si juega 4 partidas, calcula la probabilidad de que gane mas de la mitad. Solución Es una binomial con n=4 y p=0,25, lo que piden es que calculemos P(X=3)+P(X=4) donde:

P(X=3)=

, P(X=4)=

(terminarle)

Ejemplo 11. Una máquina fabrica tornillos y se ha comprobado que el 2% de los mismos son defectuosos. Si se vende en paquetes de de 29, se pide: a) ¿Cuál es la función de probabilidad de la variable aleatoria nº de tornillos defectuosos en un paquete? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al comprar un paquete haya en el mismo 2 defectuosos? Solución a) Es una binomial de parámetros n = 20 y q = 0, 02. Su función de probabilidad es p(X =k)= b) P(X =2)= PARÁMETROS

(0,02)k (0,98)20-k

(comprobarlo)

La media es , la varianza y la desviación típica Observación: Cuando n. p>5 se puede considerar que la distribución es normal (la vemos después). Ejemplo 12. La probabilidad de que en una empresa haya un empleado enfermo es de 0,02. Sabiendo que hay 300 empleados hallar la esperanza matemática y la varianza de la distribución correspondiente. Solución Como se trata de una distribución binomial de parámetros n= 300 y p= 0,02, se verifica: E(X)= n.p = 300.(0,02) =6, Var(X)= n.p.q= 300.(0,02).(0,98)= 5,88

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