Distribuciones Bivariadas

CAPITULO III Distribuciones Bivariadas. Muchos de los fenómenos que aparecen en la naturaleza y en la vida diaria, involucran diferentes y diversos factores. Cada factor puede ser identificado por medio de una variable. En éste sentido un fenómeno de interés estará regido por el comportamiento conjunto de muchas variables. Si X y Y son variables aleatorias (discretas o continuas), la distribución que rige el comportamiento conjunto de ambas variable se conoce como distribución Bivariable o Conjunta. Si se tienen más de dos variables le llamaremos distribución multivariable (Multivariada). Ejemplo: De un gran lote de impresoras descompuestas se escogen al azar cuatro. Se clasifica cada impresora según el daño, leve o severo. Sea X el número de impresoras con daño leve y sea Y el número de impresoras con daño severo. Es claro que X bin ( 4 , p ) , x = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 y

Y bin ( 4 , p 2 ) , y = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 . Si x = 0

y = 4; Si x = 1

y = 3; Si x = 2

y = 2;

Si x = 3 y = 1; Si x = 4 y = 0. Así X + Y = 4 De manera natural el espacio de las variables aleatorias X e Y estará conformado ppor el conjunto de pares ( x , y ) tal que x + y = 4 .

( x, y )

=

x + y = 4; x = 0, 1, 2, 3, 4 y = 0, 1, 2, 3, 4

= {( 0, 4 ) , (1, 3) , ( 2, 2 ) , ( 3,1) , ( 4, 0 )}

El par ( x , y ) será llamado vector aleatorio. Caso discreto: Sean X e Y variables aleatorias. La distribución de probabilidad conjunta de X e Y , la cuál denotaremos f x y está dada por f x y ( x , y ) = P ( X = x , Y = y ) . Propiedades: 1) f x y ( x , y ) 0 , 2) x

y

A

f xy (x , y ) = 1

3) Si A La

(x , y)

A

P (( x , y ) A ) =

distribución

Fx y ( x, y ) = P ( X

acumulada

x, Y

y) .

( x, y )

(x , y )

A

f xy (x , y ) .

para R

2

X

e

Y,

F xy ,

está

dada

por

.

Ejemplo: Sean X e Y variables aleatorias discretas con distribución de probabilidad F x y dada por X Y Fx y

0 1 1 2 2 0 1 2 1 2 1/8 ¼ 1/8 1/8 3/8

Calcule P ( x , y ) A donde A = {( x, y ) x = y} , P ( x 1, y 1) , P ( x > 1 y < 2 ) .

Solución:

P ( x, y ) A =

( x, y )

A

Fx y ( x, y ) = Fx y ( 0, 0 ) + Fx y (1, 1) + Fx y ( 2, 2 ) =

6 8

P ( x 1 y 1) = P ( x > 1 y < 2) =

x 1 y 1

x >2 y<2

Fx y ( x, y ) = Fx y ( 0, 0 ) + Fx y (1, 1) = Fx y ( x, y ) =Fx y ( 2, 1) =

3 8

1 8

Ejemplo: Una urna contiene 3 bolas rojas, 4 bolas blancas y 2 azules. Se extraen al azar sin reemplazo 3 bolas de la urna. Sea X : el número de bolas blancas en la muestra y sea el número de bolas rojas en la muestra. Halle F xy .

y Y:

Solución: A = {( x , y ) 1 x + y < 3} . Se tiene que X hip ( 9 , 4 , 3) y

4 3 2 " x #" y #" 3 ! x ! y # , 1 x + y 3 9 Fx y ( x, y ) = "3# 0,

otro caso

Caso Continuo: Sean X e Y variables aleatorias continuas definidas en un conjunto A R 2 . La distribución acumulada de X e Y , denotada por F x y , está dada por: F x y ( x , y ) = P ( X x , Y y ) . Si existe una función F x y no negativa f : R 2 $ R tal que

(x , y)

donde

% 2F x y

% 2F x y %x dy

= Fxy (x , y )

% 2F x y

existe (y también ). F x y es llamada función de densidad de %x dy %x dy probabilidad conjunta de X e Y . Propiedades de F x y 1) Por el teorema fundamental del calculo en R 2 , F ( x, y ) =

x

y

' ' F ( t , s ) ds dt xy

!& !&

2)

+&

+&

!&

!&

' ' F ( x , y ) dy dx = ' ' xy

R

2

3) Si B

R2

Ejemplo:

Fx y ( x , y ) =

.

F x y ( x , y ) dy dx = 1

P ( x , y ) B = ' ' F x y ( x , y ) dy dx

Determine el valor c ( x , y ) , 0 < x < 3, x < y < x + 2

0, otro caso Sea una f.d.p conjunta de X e Y .

de

c

que

hace

que

la

función

Solución:

' ' F ( x , y ) dA = 1

(

xy

R

2

y2 = c ' xy + 0 2 3

x+2

x

3

x +2

0

x

''

c ( x , y ) dy dx

dx = c ' ( 4x + 2 ) dx = c 2x 2 + 2x 0 ) 0 3

= 24 c = 1, c = 1

3

24

Calcule: a)

P ( x < 1, y < 2 ) =

P (1 < x < 2 ) =

2

x+2

x

x

1 ( x + y ) dy dx = 24

2 1 2x 2 + 2x 1 24 )

=

c)

0

1 ( x + y ) dydx 24

=

1 ( x + y ) dy dx + 0 2 24 2 2 1 = 1! ' ' ( x + y ) dy dx = 0 x 24

P ( y > 2) =

2

''

x +2

=

1 x3 ) x 2 + 2x ! 24 ) 2

1

= 0

1 5 5 = 24 " 2 # 12

1 2 ( 4x + 2 ) dx 24 '1 8 1 = 24 3

1 ( x + y ) dy dx 2 x 24 1 2 3x 2 1! 2x + 2 ! dx 24 '0 " 2 #

2

1 x3 ) x 2 + 2x ! * 1! 24 ) 2 0*

2

1 y2 )x y + dx = ' 0 24 2 x ) 1

1 1 3x 2 2x 2 dx = + ! 24 '0 " 2 #

'' 1

2

''

=

b)

1

= 1!

3

''

x +2

1 1 ( 4) = 1 ! 24 6

=

5 6

Ejemplo: Se está interesado en el comportamiento conjunto de dos variables aleatorias X : el tiempo total empleado por una persona al ingresar a un banco hasta ser atendido y Y : el tiempo en fila. La f.d.p conjunta de X e Y está dada por:

Fx y ( x, y ) =

e !x , 0 0,

y<x

Calcule

P ( x > 2, y > 1) , P ( x ! y < 1)

otro caso

P ( X > 2, Y > 1) = '

+&

2

'

x

1

e x dy dx = '

+&

2

( x ! 1) e ! x dx

+& 2 =+&! x1e+ y! x = 2 P ( X ! Y < 1) = ' ' e !2 x dx edy 0

y

= !'

+&

0

=! e

e

! (1+ y )

!(1+ y )

! e -y dy

! e -y

+& 0

= 1!

1 e

Valor Esperado: Sean X e Y variable aleatoria (discretas o continuas) con distribución de probabilidades (o f.d.p) conjunta F x y . x f xy ( x , y ) ,

E [X] =

' ' g ( x , y ) f ( x , y ) dA, xy

si X e Y variables aleatorias discretas si X e Y variables contínuas

Ejemplo: Sean X e Y variables aleatoria discretas con distribución de probabilidad conjunta F x y dada por: 0 1 1 2 2 X 0 1 2 1 2 Y Fx y 1/8 1/4 1/8 1/8 3/8 E [X] =

Halle

E [ X ] , E [ Y ] , E )( X ! E [ X ] ) * = V [ X ] , 2

V [ Y ] = E )( Y ! E [ Y ] ) * , E [ X Y ] 2

x f xy ( x , y )

( x , y)

Solución: 11 8 11 E [ Y ] = 0 f xy ( 0, 0 ) + 1 f xy (1, 1) + 2 f xy (1, 2 ) + 1 f xy ( 2, 1) + 2 f xy ( 2, 2 ) = 8 !E [ X ] = x f ( x, y ) = x f x ( x ) ! E [ X ] = 0 f xy ( 0, 0 ) + 1 f xy (1, 1) + 1 f xy (1, 2 ) + 2 f xy ( 2, 1) + 2 f xy ( 2, 2 ) =

2

E X

2

19 19 11 31 x fx y ( x, y) = V [X] = ! = 8 8 " 8 # 64 19 31 y2 f x y ( x, y ) = V [Y] = 8 64 18 9 x y fx y ( x, y) = = 8 4

=

2

E Y2 = E [X Y] =

Ejemplo:

f xy ( x , y ) = Hallar Solución:

Sean X e Y variables e !x , 0 y < x

0,

aleatorias

otro caso

E [X] , E [Y] , V [X] , V [Y] , E [X Y]

continuas

con

f.d.p

conjunta

dada

por

E [X] = '

+&

E [Y] = '

+&

0

'

x

'

x

0

0

E X2 = '

E Y2 = '

+&

0

y e dy dx = '

+&

!x

'

x

'

x

x 2e ! x dy dx = '

'

+&

x

0

x

dx = 0

1 +& 2 !x x e dx =1 = U y 2 '0

x 3e ! x dx = 3! = 6

x3 ! x 1 +& 6 e dx = ' x 3 e ! x dx = = 2 0 3 3 0 3 2 2 = 6 ! 4 = 2, V [ Y ] = E Y ! U y = 2 ! 1 = 1

y 2 e ! x dy dx = ' ! U x2

2

+&

0

y2 !x e 2

0

0

V [X] = E X

x 2 e ! x dx = F ( 3) = 2 ! = U x

0

0

0

E [X Y] = '

+&

0

0

+&

x e ! x dy dx = '

+&

x y e ! x dy dx = '

+&

0

x3 !x 1 +& 6 e dx = ' x 3 e ! x dx = = 3 0 2 2 2

Distribuciones Marginales: Sean X e Y variables aleatorias (discretas o continuas). La distribución marginal de las variables aleatorias X ó Y , están dadas por: fx ( x ) =

f x y ( x , y ),

X e Y variables aleatorias discretas

' f ( x , y ) dy,

X e Y variables aleatorias continuas

y

xy

Una notación similar:

fx ( x ) =

' f ( x , y ) dy; xy

Rx

R x = {( a , b )

Analogamente para Y

a = x}

Ejemplo: Sean X e Y variables aleatoria discretas con distribución de probabilidad conjunta dada por: X Y Fx y

0 1 1 2 2 0 1 2 1 2 1/8 1/4 1/8 1/8 3/8 x fx ( x )

fx ( x ) = fy ( y) =

2 x =0

0 1 2 1/8 3/8 4/8

y

f x y ( x , y ) = f x y ( x , 0 ) + f x y ( x , 1) + f x y ( x , 2 ) ; para x = 0, 1, 2

f x y ( x , y ) = f x y ( 0, y ) + f x y (1, y ) + f x y ( 2, y ) ; para y = 0, 1,2

y fy ( y)

0 1 2 1/8 3/8 4/8

Ejemplo: Sean X e Y variables aleatoria discretas con distribución de probabilidad x+y fx y ( x, y ) = , x = 1, 2, 3; y = 0, 1, 2, 3 36

fx ( x ) =

x + y 3x+6 x + 2 ; x = 1, 2, 3 = = 36 12 y =1 36

fy ( y) =

x + y 3y + 6 y + 2 ; y = 1, 2, 3 = = 36 12 x =1 36

3

3

Ejemplo: Sean X e Y variables aleatorias continuas con f.d.p conjunta dada por

f xy

dada por:

f x ( x ) = ' e ! x dy = x e ! x , x > 0 x

f xy ( x , y ) =

!x

y<x

0,

otro caso

e , 0

0

+&

f y ( y ) = ' e ! x dx = e ! y , y > 0 y

Distribuciones Condicionales: Sean X e Y variables aleatorias (discretas o continuas) con distribución de probabilidades f x y . La distribución condicional de “ Y dado X = x ”, es una función de los valores de la variable aleatoria Y cuando se fija un valor especifico para X . Si denotamos dicha función por f Y|x entonces f Y|x ( y ) =

f x y ( x, y ) f x (x)

, f x (x) > 0

(Análogamente se define f Y|x ). Ejemplo: Para el ejercicio anterior: x + y x = 1, 2, 3 , f x y ( x , y ) = 36 y = 1, 2, 3 0,

f Y|x ( y ) =

f X|y ( x ) =

f Y|1 ( y ) =

f X|2 ( x ) =

otro caso

f x y ( x, y ) f x (x)

f x y ( x, y) f y ( y)

f (1, y ) f x (1)

=

f xy ( x , 2 ) fy ( 2)

x+2 , x = 1, 2, 3 12 y+2 f y ( y) = , y = 1, 2, 3 12 f x (x) =

x+ y x+ y = 36 = , y = 1, 2, 3 x + 2 3 ( x + 2) 12 x+ y x+ y = 36 = , x = 1, 2, 3 y + 2 3( y + 2) 12

1+ y y+1 , y = 1, 2, 3 = 3 (1 + 2 ) 9 =

x+2 x+2 = , x = 1, 2, 3 3( 2 + 2) 12

Observe que para cualquier caso P ( x , y ) = P x ( x ) P Y|X ( y | x ) = P y ( y ) P X|Y ( x | y )

o F ( x , y ) = F x ( x ) F Y|X ( y | x ) = F y ( y ) F X|Y ( x | y ) Diremos que X e Y son v.a Estadísticamente independientes si

P (x , y ) = P x (x) P y (y )

(x , y)

F (x , y ) = F x (x) F y ( y )

(x , y)

o

Si existe algún par ( x , y ) para el cual no se cumple esta igualdad, diremos que X e Y son Estadísticamente dependientes. Ejemplo: Sean X e Y variables aleatorias continuas con f.d.p conjunta f x y .dada por: f x ( x ) = x e !x , x > 0

e !x , 0 y < x 0, otro caso

f x y ( x, y ) =

f Y|x ( y ) =

e !x 1 = , 0 !x xe x

f X|y ( x ) =

e !x ! x!y = e ( ), y < x !y e

y<x

f x ( y) = e !y , y > 0

( uniforme en ( 0, x ) )

1 ! x !1 f Y|2 ( y ) = , 0 < y < 2, f X|1 ( x ) = e ( ) , x > 1 2 ! x!y Observe que f x ( x ) f y ( y ) = xe ( ) - e ! x entonces

X

e

Y

no

son

estadísticamente

independientes. Al igual que en el caso de una variable, podemos definir el valor esperado para funciones de más de una variable aleatoria, solo que tenderemos más de una sumatoria o más de una integral, según el caso. Como f Y|x o f X|y son distribuciones o funciones de densidad de probabilidad, tiene sentido calcular probabilidades condicionales y valores esperados condicionales. Sean X e Y variables aleatorias (discretas o continuas) y sean A P ( X A|Y = y ) =

x A

f x|y ( x ),

caso discreto

' f ( x ) dx, x|y

caso continuo

;

Ax y B

Ay.

Análogamente P (Y B | X = x)

A

El valor esperado de “ Y dado X = x ”, el cuál se denota E [ Y | X = x ] ó µ Y|x , está dado por E [Y | X = x] =

y f Y|x ( y ),

caso discreto

' y f ( y ) dy,

caso continuo

y

Y|x

;

Análogamente E [ X | Y = y ] = U X|y

Si g es una función de Y entonces E g ( y) =

x

y

g ( y ) f xy ( x , y )

' ' g ( y ) f ( x, y ) dy dx xy

Análogamente E g (Y) | X = x =

g ( y ) f Y|x ( y ),

caso discreto

' g ( y ) f ( y ) dy,

caso contínuo

y

Y|x

Análogamente

E h (x) | Y = y =

x

h ( x ) f x | y ( x ),

' h ( x ) f ( x ) dx, x| y

discreto caso continuo

2 Así la varianza de “ Y dado X = x ”,la cuál denotamos V [ Y | X = x ] o / Y|X está dada por:

V [ Y | X = x ] = /2 Y|x = E ( Y ! U Y|x ) | X = x = E Y 2 | X = x ! U Y|x 2 ) * 2

V [ X | Y = y] = /2X | y = E X 2 | Y = y ! U X | y 2

Ejemplo: Sean X e Y variables aleatoria discretas con distribución conjunta dada por: f x y ( x, y ) =

Hallar:

x +y , x = 1, 2, 3 y = 1, 2, 3 36 .

E [ Y | X = 1] E [ X | Y = 2] P ( X < 2 | Y = 2 ) P ( Y > 1 | X = 1) , , ,

Solución:

E [ Y | X = 1] = E [ X | Y = 2] =

3 y =1

y f Y| 1 ( y ) = 1f Y| 1 (1) + 2f Y| 1 ( 2 ) + 3f Y| 1 ( 3) =

3 X =1

x f X| 2 ( x ) =

3 8 15 26 13 + + = = = U X| 2 12 12 12 12 6

P ( X < 2 | Y = 2) = P ( X 1 | Y = 2) = P ( Y > 1 | X = 1) = P ( Y

2 6 12 20 + + = = U Y| 1 9 9 9 9

2 | X = 1) =

1 X =1 3

f X| 2 ( x ) = f X| 2 (1) =

f Y| 1 ( y ) =

Y =2

3 1 = 12 4

3 4 7 + = 9 9 9

Ejemplo: Sean X e Y variables aleatorias continuas con f.d.p conjunta dada por:

f x y ( x, y ) =

e !x , 0 0,

E [ X | Y = 1] = '

+&

1

y<x

otro caso xe

!( x !1)

dx =

Hallar

E [ X | Y = 1] E [ Y | X = 2] ,

! ( x + 1) e x !1

+&

= 2 = U X |1 1

E [ Y | X = 2] = '

2

0

2

1 y2 = 1 = UY | 2 y dy = 2 4 0

Calcular: P ( Y > 3 | X = 2 ) P ( X < 3 | Y = 1) / 2 Y|2 / 2 X|1 , , , . Podemos hablar de valor esperado condicional, pero usaremos las distribuciones condicionales en vez de las conjuntas o marginales (según el caso). Asi, El valor esperado de “ Y dado X = x ”, el cuál denotamos E [ Y | X = x] =

y

y P Y|X ( y | x )

' y f ( y | x ) dy Y|X

;

X e Y discretas

; X e Y continuas

E [ Y | X = x ] suele denotarse µ Y|x . Análogamente se define µ X|y Covarianza y Correlación Cuando dos v.a X e Y no son independientes la pregunta de interés es ¿Qué tan relacionadas están?. Una medida del grado de dependencia entre X e Y es conocida como Covarianza. Definición: Sean X e Y v.a. (discretas o contínuas). La Covarianza entre X e Y mide el grado de dependencia entre estas variables. Una Covarianza alta implica, casi siempre, una alta dependencia entre X e Y . El problema de la covarianza es quee s sensible a la escala de medición de las variables involucradas. Así Covarianzas altas no implican necesariamente alta dependencia. Para evitar este problema observe que: X!µ X X!µ X X!µ X Y !µ Y y estan E) * =0 y V) * = 1 . Similar para con Y . Lo que implica que /X /Y ) /X * ) /X * a la misma escala y son adimensionales. Por lo tanto la Covarianza entre estas dos variables no X!µ X Y !µ Y y se conoce como depende de la escala de medición. La Covarianza entre /X /Y

correlación entre X e Y . Definición: La correlación entre X e Y , o Coeficiente de correlacion lineal entre X e Y , se X!µ X Y !µ Y cov [ X , Y ] , denota como 0 x y y 0 x y = cov ) *= /X /Y )" / X # " / Y # * Se puede demostrar que 0 x y 1 . Un valor de 0 x y cercano a 1 indica una alta dependencia lineal positiva. Un valor de 0 x y cercano a !1 indica un alta dependencia negativa. Un valor cercano a cero indica poca independencia lineal. Ejemplo:

Tenga en cuenta que si la correlación es cercana a cero esto no implica que NO hay independencia entre X e Y . Ejemplo: Sean X e Y v.a discretas con p.m.f conjunta dada por x y

P (x , y)

0 0 1

8

1 1 1

4

1 2 1 8

2 1 1

8

2 2 3

8

Halle E [ X ] , E [ Y ] , V [ X ] , E [ XY ] , 0 x y Solución: E [ X] = E [ X] =

(x , y)

x p ( x , y ) = 0p ( 0 , 0 ) + 1p (1 , 1) + 1p (1 , 2 ) + 2p ( 2 , 1) + 2p ( 2 , 2 )

11 8

Análogamente E [ Y ] =

11 8 2

19 19 11 31 E X = 1 V [ X] = E X 2 ! µ2X = ! = 8 8 "8# 64 E [ XY ] = x y p ( x , y ) = ( 0 )( 0 ) p ( 0 , 0 ) + (1)(1) p (1 , 1) + (1)( 2 ) p (1 , 2 ) + ( 2 )(1) p ( 2 , 1) + ( 2 )( 2 ) p ( 2 , 2 ) 2

(x , y)

18 9 = 8 4 18 11 11 23 cov [ X , Y ] = ! = 8 " 8 # " 8 # 64 23 23 64 0 xy = = = 0.7419 31 31 31 64 64 E [ XY ] =

Definición: Sean X e Y variables aleatorias (discretas o continuas) con distribución conjunta f x y . X e Y se dicen f x y ( x, y ) = f x ( x ) f y ( y ) ,

variables ( x , y)

xy

aleatorias Estadísticamente Independientes f ( x ) = f x ( x ) f Y|x ( y ) = f Y ( y ) con esto X| y y .

(E.i).

si

Corolario: Si X e Y son variables aleatorias E.i entonces E ( XY ) = E ( X ) E ( Y ) . Si h y g son funciones de valor real.

Ejemplo: Sean X X -1 0 -1 1/8 0 Y 0 1/8 0 1 1/8 1/4 3/8 1/4

E g ( X ) h ( Y ) = E (g ( X )) E h ( Y )

.

e Y v.a. discretas con distribución de Probabilidad dada por:

1 1/8 2/8 1/8 2/8 1/8 4/8 3/8

Calcule

E [X Y] , E[X] , E[Y] , E ( X - Ux ) ( Y - Uy )

¿Son X e Y variables aleatorias E.i?

Solución: 2 E [ X] = 0 E [ Y] = 8 E [ X Y] = 0 E ( X - U x ) ( Y - U y ) = E [ X Y] ! U x U y = 0 , , , X e Y no son E.i, pues 1 3 2 6 f x y ( !1, !1) = - f x ( !1) f y ( !1) = 2 = 8 8 8 64

Ejercicios propuestos: -

-

(*)Demuestre que la siguiente función satisface las propiedades de una función de probabilidad conjunta. y f XY ( x , y ) x 1.5

2

1. 5

3

2.5

4

3

5

Continuación del anterior ejercicio Calcule las probabilidades siguientes a. P ( X < 2.5 , Y < 3) b. P ( X < 2.5 ) c. P ( Y < 3)

d. P ( X > 1.8 , Y > 4.7 )

e. Determine E ( X ) y E ( Y )

1

8 1 4 1 2 1 8

f. Determine la distribución de probabilidad marginal de la variable aleatoria X g. Determine la distribución de probabilidad condicional de Y dado que X = 1.5 h. Determine la distribución de probabilidad condicional de X dado que Y = 2 -

En la transmisión de información digital, la probabilidad de que un bit tenga una distorsión alta, moderada o baja es 0.01, 0.04 y 0.95, respectivamente. Suponga que se transmiten tres bits y que la cantidad de distorsión de cada uno es independiente. Sean X y Y las variables aleatorias que denotan el número de bits, de los tres transmitidos, que tienen una distorsión alta o moderada, respectivamente. a. ¿Cuál es el rango de la probabilidad conjunta de X y Y ? b. Calcule P ( X = 3 , Y = 0 ) c. Determine P ( X = 2 , Y = 1)

d. Determine P ( X = 2 , Y = 0 ) e. ¿Son independientes las variables aleatorias del ejercicio (*). Explique su respuesta. -

Determine el valor de c tal que la función f ( x , y ) = c x y , para 0 < x < 3 y 0 < y < 3 , cumpla con las propiedades de una función de densidad de probabilidad conjunta.

-

Continuación del anterior ejercicio Determine lo siguiente: a. P ( X < 2.5 , Y < 3)

b. P ( X < 2.5 )

c. P (1 < Y < 2.5 )

d. P ( X > 1.8 , 1 < Y < 2.5 )

e. E ( X ) f. E ( Y )

-

Determine el valor de c que hace que la función f ( x , y ) = c ( x + y ) sea una función de densidad de probabilidad conjunta sobre el rango 0 < x < 3 y x < y < x + 2 .

-

Continuación del ejercicio anterior

-

Obtenga lo siguiente: a. P ( X < 1 , Y < 2 )

b. P (1 < X < 2 ) c. P ( Y > 2 )

d. P ( X < 2 , Y < 2 ) -

e. E ( X )

-

Se utilizan dos métodos para medir la rugosidad superficial con la finalidad de evaluar un producto de papel. Las mediciones se registran como una desviación a partir del valor nominal de la rugosidad de la superficie. La distribución de probabilidad conjunta de las dos mediciones puede describirse mediante una distribución uniforme sobre el interior de la

región 0 < x < 4 , 0 < y , y x ! 1 < y < x + 1 . Esto es, f ( x , y ) = c para ( x , y ) tal que 0 < x < 4 ,

0 < y , y x !1< y < x +1

a. Determine el valor de c para el que f ( x , y ) es una función de densidad de probabilidad conjunta. b. Determine P ( X < 0.5 , Y < 0.5 )

c. Obtenga P ( X < 0.5 )

d. Calcule E ( X ) y E ( Y ) e. Obtenga la distribución de probabilidad condicional de X dado que Y = 1 -

Determine la Covarianza y la correlación de la siguiente distribución de probabilidad conjunta x y f XY ( x , y ) 1

3

1

4

2

5

3

6

1

8 1 4 1 2 1 8

Sean X e Y variables aleatorias continuas con p.d.f. conjunta dada por: e !x , 0 y < x f x y ( x, y ) = Calcule / x y , 0 x y 0, otro caso Solución: Sabemos que E [ X ] = 2 , E [ Y ] = 1 , V [ X ] = 2 , V [ Y ] = 1 y E [ XY ] = 3 Así Cov [ X , Y ] = E [ XY ] ! µ X µ Y = 3 ! ( 2 )(1) = 1 y por tanto 0 x y =

-

1 1 = = 0.707 2. 1 2

Ejercicio: Demuestre que la siguiente función satisface las propiedades de una función de probabilidad conjunta y f XY ( x , y ) x !1

!2

!0.5

!1

0.5

1

1

2

Calcule las siguientes probabilidades a. P ( X < 0.5 , Y < 1.5 ) b. P ( X < 0.5 )

1

8 1 4 1 2 1 8

c. P ( Y < 1.5 )

d. P ( X > 0.25 , Y < 4.5 ) Ejemplo: Supóngase que la variable aleatoria continua X denota la longitud de una de las dimensiones de una pieza moldeada por inyección, y que la variable aleatoria continua Y denota la longitud de otra dimensión de lamisca pieza. Supóngase además que la función de densidad de probabilidad conjunta f X Y ( x , y ) es constante sobre la región R identificada por 4.8 < x < 5.2 y 2x < y < 2x + 0.1 .

Sea c el valor constante, no conocido, de f X Y ( x , y ) . & &

1=

' ' f ( x , y ) dx dy XY

!& !&

=

5.2 2 x + 0.1

' '

4.8

c dy dx

2x

Una vez efectuada la integración, se tiene que c = 25 . Determine P ( 4.9 < X < 5.1) . Esto representa la probabilidad de que la dimensión X cumpla las especificaciones. Esta probabilidad es el volumen bajo la f X Y ( x , y ) sobre la región 4.9 < X < 5.1 ,

la cuál aparece indicada con una Q . Sin embargo, f X Y ( x , y ) es igual a cero, excepto sobre la

región R . Por consiguiente el volumen es la integral de la constante 25 sobre la intersección de Q y R . Ahora bien, P ( 4.9 < X < 5.1) = =

5.1 2 x + 0.1

' '

f XY ( x , y ) dy dx

4.9

2x

5.1

2 x + 0.1

4.9

2x

') '

25 dy * dx

5.1

= 25 ' 0.1 dx 4.9

= 25 [ 0.1× 0.2] = 0.5

Determínese P (10.0 < Y < 10.1) . La probabilidad pedida está representada por el volumen de f X Y ( x , y ) sobre la región sombreada T . El volumen puede hallarse al particionar T en dos

regiones, T1 y T 2 , tales que T = T1 4 T 2 . Entonces,

P (10.0 < Y < 10.1) = 25 por el área de T 2

2 x + 0.1

5.0

=

'

'

)

4.95

25 dy * dx

10.0

5.05 10.1

+

' ) ' 25 dy * dx

5.0

2x

5.0

' ( 2x + 0.1 ! 10.0) dx *

= 25 )

4.95 5.05

+25 )

' (10.1 ! 2x ) dx *

5.0

= 0.0625 + 0.0625 = 0.125

Ejercicio: Sean X e Y v.a. con distribución conjunta dada por: x ye ! 2x f x y ( x, y ) = ; x > 0; y = 0,1, 2, 3, ... y! Hallar f x , f y , f Y| x , 0 x y , f X| y , E [ X ] , E [ Y ] , /2 y , / 2 X , / x y .

Ejemplo: Sean X e Y variables aleatorias discretas con distribución conjunta dada por: 0 1 1 2 2 0 1 2 1 2 1/8 1/4 1/8 1/8 3/8

x y f x y ( x, y )

Halle

/xy

E [X Y] =

. x y f x y ( x, y ) =

18 9 = 8 4

2

11 E Y = 11 1 / = 9 ! 11 = 23 = 0.359375 [ ] E [X] = xy 8 4 " 8 # 64 8, .

Ejercicio: Sean X e Y variables aleatorias continuas con f.d.p dada por:

f x y ( x, y ) =

E [X Y] =

e !x , 0

+& x

0,

' 'x ye

y<x

Halle / x y .

otro caso

!x

dy dx = 3

0 0

E [Y] = 1 1 /x y = 3 ! 2 = 1

,

E [X] = 2

,

Debido a los problemas de escala, observe que: X !µ X Y !µ Y y son variables aleatorias con media cero y varianza 1. /X /Y

E)

X ! Ux 1 ( E[X] ! Ux ) = 0 *= /x /x

Así, las variables

X !µ X /X

V)

y Y !µ Y

y

/Y

X ! Ux 1 * = 2 V [X] = 1 /x /x

.

está a la misma escala.

Así, la Covarianza entre estas dos variables no depende de las escalas de medición. Esta nueva medida se conoce como coeficiente de correlación lineal entre X e Y y se denota 0 x y

E ( X ! Ux ) ( Y ! Uy ) X ! Ux Y ! Uy X ! Ux Y ! Uy , *= * = E) /x /y * /x / y )" / x # " / y # * cov [ X , Y ] . Es fácil ver que 0 x y 1 . = /X /Y

0 x y = cov ) ) Así, 0 x y

Un valor de 0 x y cercano a uno indica una lata dependencia positiva (cuando X aumenta, Y tiende a aumentar). Un valor de 0 x y cercano a menos 1 indica una alta dependencia negativa. Un

0 x y cercano a cero no permite concluir.

cov [ X , Y ]

donde cov [ X , Y ] = 1 ,

/ X2 = 2

y

Corolario: Sean X e Y variables aleatorias (discretas o continuas). Si X e Y estadísticamente independientes , entonces 0 x y = 0 .

son

Para

el

ejemplo

/y 2 = 1 1 0 x y =

1 2

anterior,

0 xy =

/X /Y

5 0.707

.

Ejemplo: esta muestra que si 0 x y = 0 no implica independencia entre X e Y . Sean X e Y variables aleatorias discretas con distribución de probabilidad dada por: X cov [ X, Y ] = E [ X Y ] ! U x U y -1 0 1 x y f xy = 0 -1 1/8 0 1/8 E [ X Y ] = Y 0 1/8 0 1/8 2 1 cov [ X, Y ] = 0 0xy = 0 E [ X ] = 0, E [ Y ] = 1 1/8 1/4 1/8 8 pero

f x y ( !1,1) =

1 3 4 3 - f x ( !1) f y (1) = = 8 " 8 #" 8 # 16

es decir

X

e

Y

son estadísticamente

dependientes. Distribución normal bivariada Sean X e Y variables aleatorias continuas. Diremos que X e Y tienen una distribución normal bivariada si su f.d.p conjunta está dada por:

f x y ( x, y ) =

1 26 / x / y 1 ! 0 x y 2

2e

(

!& < x < +&

!1

2 1!0 x y 2

!& < y < +& !& < U x < +&

Q

) ;

!& < U y < +& 2

2

Y ! Uy X ! Ux X ! Ux Y ! Uy Q= ! 20 x y + ; / x , / y > 0, " /x # " /x # " /y # " /y # No es difícil mostrar que

| 0 x y |< 1

' ' f ( x , y ) dy dx = 1 xy

2

Las distribuciones marginales para X e Y son variables aleatorias normales Y n ( U y , /y2 ) 0 x y = 0 y . / n Uy + 0 x /y "

Y|x

Además,

E [Y | X = x ] = U y + 0

/y /x

( x ! U x ) , / y 2 (1 ! 02 )

( x ! U x ) = a x + b;

#,

X|y

con a = 0

/y /x

/ n Ux + 0 x /y "

y b = U y !0

X

(

n U x , /x 2

( y ! U ) , / (1 ! 0 ) 2

y

/y /x

Ux

x

),

2

#

.

Teorema: Sean X e Y son variables aleatorias con f.d.p conjunta una normal bivariada X e Y son estadísticamente independientes entonces 0 x y = 0 . 2

Demostración: " 7 " Si

0xy = 0

f x y ( x, y ) =

2

2

f x y ( x, y ) =

1 26 /x

e

1 X!Ux * ! ) 2 )" / x # *

1 e 26/x /y

2

1 26 /y

e

1 Y!Uy * ! ) 2 )" / y # * ) *

2

Y!Uy 1 X!Ux * ! ) + 2 )" / x # " / y # * ) *

= f x ( x ) f y ( y)

Ejemplo: Suponga que X e Y son variables aleatorias con f.d.p normal bivariada con 1 U y = 2 U x2 = 1 U y2 = 4 0 x y = 0 = 3 , , , . Calcule: a) P ( X < 2 ) b) P ( Y > 1) c) E [ Y | X = 1] d) E [ X Y ] e) V [5X ! 2Y + 1] V [ aX ! bY + c] = a 2 V [ X ] + b 2 V [ Y ] + 2 a b cov [ X, Y ]

Sugerencia.

n (1, 1) , Y

Solución: X

n ( 2, 4 ) , Y | x

1 2 2 n 2+ ,, ( x ! 1) , 4 3" 1 # " 3 ## "

a) P ( X < 2 ) = P

X !1 2 !1 < = P ( Z < 1) = 0.8413 1 # " 1

b) P ( Y > 1) = P

Y ! 2 1! 2 1 1 < =P Z>! =P Z< = 0.6915 2 # 2# 2# " 2 " "

c) E [ Y | X = 1] = 2 +

d) E [ X Y ] = ?

1 2 (1 ! 1) = 2 3" 1 #

cov [ X, Y ] = E [ X Y ] ! µ x µ y

y 0 xy =

cov [ X, Y ] /x /y

1 E [ X Y ] = cov [ X, Y ] + µ x µ y = / x / y 0 x y + µ x µ y E [ X Y ] = (1)( 2 )

1 2 8 + (1)( 2 ) = + 2 = 3 3 "3#

e) V [5X ! 2Y + 1] = 25V [ X ] + 4V [ Y ] ! 20 COV [ X, Y ] 1 = 25 (1) + 4 ( 4 ) ! 20 (1)( 2 ) 3# " 40 83 = 25 + 16 ! = 3 3 Combinaciones de variables aleatorias: Esperanza y varianza Sean X 1 , … , X p variables aleatorias (discretas o continuas) y sean Sea

I)

c 1 , c 2 , ... , c p

.

p

Y=

i =1

E[Y] = V [Y] =

c iX i

Y es una combinación lineal de las variables aleatorias X 1 , … , X p .

p i =1 p i =1

c iE X i c i2 V X i + 2

i< j

c i c j cov X i , X j

U x =1

,

II) Si X 1 , … , X p son variables aleatorias estadísticamente independientes entonces

V [Y] = V )

p i =1

p

c iX i *

V X i = / 2;

(

i =1

c i2 V X i , c i =

i, i = 1, 2, ..., p

1 , E X i = U . Además, si; p

Y = x y así E [ x ] = U y V [ x ] =

/2 p

III)

)

n µi , /i 2 , i = 1, 2, ..., p entonces si X 1 , … , X p son E.i entonces Y

Xi

(

)

Si p

n

" i =1

c iµ i ,

cada p i =1

c i 2/ i 2

#

en

2 1 x n µ, / , µ i = µ y / i2 = / 2 p p “Combinación lineal de normales independientes es Normal” o Propiedad Reproductiva de la Normal.

particular si, c i =

Ejercicios Propuestos 1. Muestre que si µ x , µ y , 9 x 2 , 9 y2 , y 2.

Si

en

una

e Y tienen una X : entonces X n µ x , / x 2 .

normal

(

bivariada

)

distribución

µ x = 2, µ y = 3, 9 x 2 = 4

E [ X Y + X + 2Y ! 3] .

normal

bivariada

1 , 9 y 2 = 1, 0 x y = . 3

con

Calcule

3. Suponga que X e Y son variables aleatorias discretas con distribución conjunta dada por:

x y f x y ( x, y )

-10 0 0 1 0 -1 1 0 1/4 1/4 ¼ 1/4

Calcule V [ 2X ! 3Y + 1]

4. Sean X e Y variables aleatorias discretas con f.d.p conjunta por: k , 0 < x < 2, 0 < y < 1 Calcule V [ X ! 3Y + 2] . f x y ( x, y ) = 0, otro caso -

Suponga que la correlación entre X y Y es 0 . Para las constantes a , b , c y d . ¿Cuál es la correlación entre las variables aleatorias U = aX + b y V = cY + d ?

-

Sean X y Y la concentración y la viscosidad de un producto químico. Suponga que X y Y tienen una distribución normal bivariada con / X = 4 , / Y = 1 , µ X = 2 , µ Y = 1 y 0 = 0.8 . Dibuje una gráfica de contornos de la función de densidad de probabilidad conjunta.

-

Sean X y Y dos dimensiones de una pieza moldeada por inyección. Suponga que X y Y tienen una distribución normal bivariada con / X = 0.04 , / Y = 0.08 , µ X = 3.00 , µ Y = 7.70 y

0 = 0 . Determine P ( 2.95 < X < 3.05 , 7.60 < Y < 7.80 )

-

Si X y Y son variables aleatorias normales independientes con E ( X ) = 0 , V ( X ) = 4 ,

E ( Y ) = 10 y V ( X ) = 9 . Calcule lo siguiente:

a. E ( 2 X + 3Y )

b. V ( 2 X + 3Y )

c. P ( 2 X + 3Y < 30 )

d. P ( 2 X + 3Y < 40 ) -

El ancho del marco de una puerta tiene una distribución normal con media 24 pulgadas y desviación estándar de 1 de pulgada. El ancho de la puerta tiene una distribución normal 8 7 pulgadas y desviación estándar de 1 pulgadas. Suponga con media 23 y 8 16 independencia. a. Determine la media y la desviación estándar de la diferencia entre le ancho del marco y el de la puerta. b. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre el ancho del marco y el de la puerta sea mayor que 1 de pulgada? 4 c. ¿Cuál es la probabilidad de que la puerta no quepa en el marco?

- Un componente en forma de U está formado por tres piezas, A , B y C . La longitud de A tienen una distribución normal con media de 10 milímetros y desviación estándar de 0.1 milímetros. El espesor de las piezas B y C está distribuido normalmente con media de 2 milímetros y desviación estándar de 0.05 milímetros. Suponga que todas las dimensiones son independientes. a. Determine la media y la desviación estándar de la longitud del hueco D . b. ¿Cuál es la probabilidad de que el hueco D sea menor que 5.9 milímetros?

El tiempo de vida de seis componentes importantes de una copiadora son variables aleatorias exponenciales independientes con medias de 8000, 10000, 10000, 20000 y 25000 horas respectivamente. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de todos los componentes sea mayor que 5000 horas? b. ¿Cuál es la Covarianza entre los componentes cuya duración media es de 5000 horas y los de 25000 horas?