Curvas Y Superficies De Nivel.docx

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE MECÁNICA CARRERA DE INGENIERÍA MECÁNICA

ANÁLISIS MATEMÁTICO II

ESTUDIANTE: JAIRO ANDRES CANELOS PAREDES CÓDIGO: 7498 CURSO: SEGUNDO ‘B’

Curvas de nivel

De la misma forma que una función de una variable tiene una representación gráfica mediante una curva en el plano, cuando la función tiene dos variables podría representarse mediante una superficie en el espacio tridimensional. Dicha superficie estaría formada por los puntos de la forma (x, y, f (x,y)). No obstante, existe una forma de representar gráficamente funciones de dos variables en el plano: mediante las conocidas como curvas de nivel de la función. Las curvas de nivel de la función f (x,y) son la familia de curvas de la forma: f (x,y) = k para cada valor de k en R.

Cuando tenemos una función z = f(x, y) de dos variables reales y valor real, la gráfica de dicha función corresponde al conjunto gr (f):= {(x, y, f(x, y)): (X, y) ,¬ Dom (f)}. Al ubicar dichos puntos en el espacio R3, obtenemos una superficie en dicho espacio. Una forma de estudiar dicha superficie, aunque en dos dimensiones, es considerar la intersección de dicha superficie con el plano z = k, donde k ,¬ Recorrido (f). De esta manera, obtenemos el conjunto {(x, y, k): f(x, y) = k}, el cual corresponde a la curva de nivel de la superficie z = f(x, y) con z = k. Al proyectar dicha intersección en el plano x,y, obtenemos lo que se denomina curva de nivel.

Ejemplo 1. Consideremos la función z = x2 + y2. Tomando k > 0, la curva de nivel correspondiente a z = k es la circunferencia x2 + y2 = k y tomando k = 0 la curva

de nivel corresponde a la descrita por los puntos (x, y) tales que x2 + y2 = 0 (que corresponde únicamente al punto (0, 0))

f (x,y) = 3 x – y. Las curvas de nivel tienen la forma 3 X – Y = k o si se prefiere Y = 3 X – K, por tanto, son una familia de rectas paralelas como muestra la figura.

Superficies de nivel Las curvas de nivel pasan a ser superficies de nivel cuando se añade una dimensión. De allí la siguiente definición: Si f es una función de tres variables y c es una constante, la gráfica de la ecuación f (x,y,z) =C es una superficie de nivel de la función f Ejemplos: Describir las superficies de nivel de la función

f (x,y,z) = 4x²+y²+z² Cada superficie de nivel tiene una ecuación de la forma 4x²+y²+z²=c Ecuación de una superficie de nivel, por lo tanto, las superficies de nivel son elipsoides (cuyas secciones paralelas al plano Yz son circunferencias). Al crecer c, los radios de las secciones circulares crecen con la raiz cuadrada de c. Así, las superficies de nivel correspondientes a c= 0,c= 4 y c= 16 son

Paraboloide hiperbólico, o silla de montar: f(x,y)=x²-y² despejo z entonces me queda 0=x²+y²-z