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6 6.1. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7.

FUNCIÓN VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL 6.1.1 DOMINIO 6.1.2 LIMITE 6.1.3 CONTINUIDAD TRAYECTORIA (CAMINO) GRAFICA. DEFINICIÓN TRAZA CURVA DERIVADA CONCEPTOS ASOCIADOS A LA DERIVADA

Objetivos.

Se persigue que el estudiante: • •

3

Describas curvas de R . Calcule velocidad, rapidez, aceleración, ecuación de recta tangente, ecuación de plano tangente (Rectificante), ecuación de plano Normal, ecuación del plano Osculador, Curvatura, aceleración normal, aceleración tangencial.

209

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6.1 FUNCIÓN VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL. 6.1.1 Definición.

Una FUNCIÓN VECTORIAL DE UNA JG VARIABLEn REAL, es una función del tipo F : I ⊆ \ → \ tal que JG F (t ) = ( x1 ( t ) , x2 ( t ) ,", xn ( t ) ) ∈ \ n Donde xi : I ⊆ \ → \, i = 1, 2," , n ; son funciones reales de variable JG real t , llamadas Funciones Coordenadas de F . Ejemplo1

JG JG Sea F : I ⊆ \ → \ 3 tal que F (t ) = (1 − 2t , 3 + t , − 1 + t ) . Ejemplo 2

JG JG Sea F : I ⊆ \ → \ 3 tal que F (t ) = ( a cos t , bsent , t ) .

Ejemplo 3

JG JG Sea F : I ⊆ \ → \ 4 tal que F (t ) = ( t , t 2 , t 3 , 2t + 1)

Ejemplo 4

(

JG JG t2 t4 Sea F : I ⊆ \ → \ 3 F (t ) = t , t 2 , 3 1 − 25 − 16

)

6.1.2 Dominio

JG JG Sea F : I ⊆ \ → \ n , el dominio de F es el subconjunto de números reales I .

En decir, el conjunto de valores para correspondencia.

t,

que da sentido a la regla de

Ejemplo1

JG JG Para F (t ) = (1 − 2t , 3 + t , − 1 + t ) , Dom F = \

Ejemplo 2

JG JG Para F (t ) = ( a cos t , bsent , t ) , Dom F = \

210

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Ejemplo 3

JG JG Para F (t ) = ( t , t 2 , t 3 ) , Dom F = \

Ejemplo 4

)

(

JG JG t2 t4 t2 t4 Para F (t ) = t , t 2 , 3 1 − 25 , Dom F = t ∈ \ /1 − 25 − 16 ≥0 − 16

{

}

6.1.3 LIMITE 6.1.3.1 Definición.

JG Sea F : I ⊆ \ → \ n una función definida en el intervalo abierto I de \ y sea t0 un punto de I o un de frontera de I . Entonces JG punto JG lim F ( t ) = L , si y sólo si: t →t0 JG JG ∀ξ > 0, ∃∂ > 0 / 0 < t − t0 < ∂ ⇒ F − L < ξ 6.1.3.2 Teorema

JG

JG F : I ⊆ \ → \n ,

tal que F (t ) = ( x1 ( t ) , x2 ( t ) ," , xn ( t ) ) . JG JG Entonces lim F ( t ) = L = ( l1 , l2 ,", ln ) si y solo si

Sea

t →t0

lim xi = li ; i = 1,2,", n t →t0

Ejemplo.

JG JG Sea F (t ) = ( t 2 + 1, 2t , sent ) Hallar lim F (t ) . t →0

SOLUCIÓN: JG lim F (t ) = lim ( t 2 + 1) , lim 2t , lim sent

(

t →0

t →0

t →0

t →0

)

= (1, 0, 0 )

Ejercicios Propuesto 6.1 Calcular:

a)

⎛

t2 − 4 1⎞

⎝

⎠

, ⎟ ⎜ t, 2 lim t − 2t t t →2

Resp. a) (2, 2, 12 )

⎛ ⎝

b) lim ⎜ et , t →0

sen t − t ⎞ ,e ⎟ t ⎠

b) (1, 1, 1)

⎛

ln t

⎞

c) lim ⎜ t , 2 , 2t 2 ⎟ t −1 t →1 ⎝ ⎠

(

c) 1, 12 , 2

)

211

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6.1.4 CONTINUIDAD.

JG JG n Sea F : I ⊆ \ → \ . Entonces F es continua JG JG en t0 ∈ I si lim F ( t ) = F ( t0 ) t →t0

6.1.4.1 Teorema

JG

JG F : I ⊆ \ → \n ,

tal que F (t ) = ( x1 ( t ) , x2 ( t ) ," , xn ( t ) ) . JG Sea t0 ∈ I . Entonces F es continua en t0 si y sólo si sus funciones coordenadas xi lo son. Sea

Ejemplo 1

JG F (t ) = ( t 3 + 1, t 2 − 2t , sent ) es continua en todo \ .

Ejemplo 2 ⎧⎛ 2 sent ⎞ JG ⎪⎜ t , t , ⎟ ;t ≠ 0 t ⎠ F (t ) = ⎨⎝ ⎪ ( 0, 0, 0 ) ; t = 0 ⎩ sent ⎞ ⎛ No es continua en t = 0 debido a que lim ⎜ t , t 2 , ⎟ = ( 0, 0,1) que es diferente de t →0 t ⎠ ⎝ JG F (0) = ( 0, 0, 0 )

Ejemplo 3 ⎛ 1 ⎞ JG , t 3 ⎟ no es continua en t = −1 . F (t ) = ⎜ 2 ⎜ ( t + 1) ⎟ ⎝ ⎠

Ejercicios Propuesto 6.2 Analice la continuidad de: a)

r (t ) =

b)

r (t ) = t , arcsen t , t − 1

c)

r (t ) = 8, t , 3 t

t , t −1

Resp. a) Dom r (t ) = [1,+∞] b) Dom r (t ) = [−1,1]

212

c) Dom r (t ) = [0,+∞]

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6.2 TRAYECTORIA (CAMINO) JG Una función F : I ⊆ \ → \ n continua se la JG llama trayectoria o camino en \ n si F está definida en un intervalo cerrado. JG Suponga que el intervalo sea I = [ a, b ] entonces F ( a ) es el punto JG inicial de la trayectoria y F ( b ) es el punto final. JG JG Si F ( a ) = F ( b ) tenemos una TRAYECTORIA CERRADA. JG Si F es inyectiva es una TRAYECTORIA SIMPLE. JG JG JG Si F ( a ) = F ( b ) y F es inyectiva tenemos una TRAYECTORIA CERRADA SIMPLE.

6.3 GRAFICA. DEFINICIÓN JG Sea F : I ⊆ \ → \ n . Se denomina gráfica de JG F al conjunto de puntos de \ n+1 de la forma JG t , F ( t ) tales que t ∈ I .

(

)

Se ha dado esta definición siguiendo la línea de la definición de gráfica que se enunció en el capítulo anterior. La definición siguiente permite darle una interpretación geométrica a una función vectorial de variable real.

6.4 TRAZA JG Se llama TRAZA de la trayectoria F al conjunto JG de imágenes de F , es decir: JG JG Traza F = F ( t ) ∈ \ n / t ∈ I

{

}

6.5 CURVA Se denomina CURVA a la traza de una JG trayectoria F . Conozcamos algunas curvas de

\3 .

213

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Ejemplo 1

JG JG Sea F : I ⊆ \ → \ 3 tal que F (t ) = ( a cos t , bsent , t ) .

Esta curva es llamada HELICE. ⎧ x = a cos t ⎪ Note que ⎨ y = bsent ⎪z = t ⎩ Se la pude observar como la traza que hace la superficie x = a cos z al cilindro x2 y2 + =1 a 2 b2 z

( 0, −b,3 2) π π

t =32

JG F (t ) = ( a cos t , bsent , t )

( −a,0,π ) t =π

= 2π π) ( at,0,2

( 0, b,ππ2 ) t=

2

y

( a,0,0 ) t =0

x

Ejemplo 2

JG JG Sea F : I ⊆ \ → \ 3 tal que F (t ) = ( t , t 2 , t 3 )

⎧x = t ⎪ Aquí tenemos ⎨ y = t 2 ⎪ 3 ⎩z = t ⎧⎪ y = x 2 Esta curva la podemos observar como la intersección entre las superficies ⎨ 3 ⎪⎩ z = x

214

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z

JG F (t ) = ( t , t 2 , t 3 )

y

x

Ejemplo 3

(

JG JG t2 t4 Sea F : I ⊆ \ → \ 3 tal que F (t ) = t , t 2 , 3 1 − 25 − 16

)

En este caso la curva será la intersección entre el elipsoide

x2 y 2 z 2 + + = 1 con el 25 16 9

cilindro y = x 2 z

y

(

JG t2 t4 F (t ) = t , t 2 , 3 1 − 25 − 16

)

x

215

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Ejercicios Propuesto 6.3 1.

Dibujar las siguientes curvas representadas por las funciones vectoriales propuestas. a) r (t ) = 3tî + (t − 1) ˆj + k

r (t ) = 2 cos tî + 4 sen tˆj + tkˆ r (t ) = 3 cos tî + 4 sen tˆj

b) c) 2.

Hallar trayectorias r (t ) que representen las siguientes curvas.

b)

{(x, y ) / y = e } {(x, y ) / 4 x + y

c)

Una recta en

x

a)

2

{(x, y ) / 9 x

d)

f)

4. 5.

que contiene al origen y al punto

}

(a, b, c ) .

+ 16 y = 4 2

Dibujar las curvas en el espacio representada por la intersección de las superficies propuestas, y represéntese la curva mediante la función vectorial usando el parámetro dado. Superficies Parámetro a)

z = x2 + y2 , x + y = 0

x = 2t

b)

4 x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 = 16, x = y 2

y=t

c)

x + y + z = 10, x + y = 4

x = 2 + sen t

d)

x 2 + z 2 = 4, y 2 + z 2 = 4

2

2

2

x = 3t

Muestre que la intersección de la superficie x − 4 y − 9 z = 36 y el plano x + z = 9 es una elipse. Escriba una ecuación vectorial para la curva de intersección de las superficies: 2

e2x 6.

}

=1

{(ρ ,θ ,φ )/(ρ = 6 cscφ ) ∧ (θ = π 4 )} {(ρ ,θ ,φ )/(ρ = 4 cscφ ) ∧ (θ = π 4 )}

e)

3.

2

IR 3

2

2

−5 x

= z 2 + 2,

2

2

y 2 + y = xz 3

La curva cuya ecuación vectorial es

r (t ) = 2 t cos t ,3 t sen t , 1 − t , 0 ≤ t ≤ 1

se define sobre una superficie cuádrica. Hallar la ecuación de dicha superficie.

x2 y 2 + + z2 = 1 4 9 Hallar la función vectorial para la curva de intersección de las superficies z = 1 + x − y , y Resp.

7.

y = x2 + x .

(

Resp. r (t ) = t − 12 , t 2 − 14 , − t 2 + t +

1 4

)

6.6 DERIVADA. JG Una función F : I ⊆ \ → \ n una trayectoria. JG Sea t0 ∈ I . Entonces la derivada de F en t0 , JG denotada como F´( t0 ) , se define como: JG JG JG F ( t 0 + h ) − F ( t0 ) F´( t0 ) = lim h →0 h si este límite existe. 216

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En tal caso se dice que

JG F

es DIFERENCIABLE en

t0 .

JG

Si F (t0 ) = ( x1 ( t0 ) , x2 ( t0 ) ,", xn ( t0 ) ) entonces

JG F (t0 + h) = ( x1 ( t0 + h ) , x2 ( t0 + h ) ,", xn ( t0 + h ) ) .

Aplicando la definición de derivada JG JG JG F ( t0 + h ) − F ( t0 ) F ´( t0 ) = lim h →0 h ( x ( t + h ) , x2 ( t0 + h ) ," , xn ( t0 + h ) ) − ( x1 ( t0 ) , x2 ( t0 ) ," , xn ( t0 ) ) = lim 1 0 h →0 h x ( t + h ) − x1 ( t0 ) x ( t + h ) − x2 ( t0 ) x ( t + h ) − xn ( t0 ) ⎞ ⎛ = ⎜ lim 1 0 , lim 2 0 ," , lim n 0 ⎟ h →0 h →0 h h h ⎝ h →0 ⎠ Es decir:

JG F´(t0 ) = ( x1´( t0 ) , x2 ´( t0 ) ,", xn ´( t0 ) ) Ejemplo

JG JG Sea F ( t ) = ( t 2 , t , sent ) entonces F ´( t ) = ( 2t ,1, cos t )

6.6.1 Teorema JG Sea JG F una trayectoria diferenciable. El vector F´( t0 ) es tangente a la trayectoria en el punto t0 . Observe la gráfica z

JG JG F ( t 0 + h ) − F ( t0 )

JG F ( t0 + h )

JG F ( t0 )

JG F´( t0 ) ( x0 , y0 , z0 )

y

x

217

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Ejemplo

JG Sea F ( t ) = ( cos t , sent , t ) . Hallar la ecuación de la recta tangente y la del plano

normal en t =

π 4

.

SOLUCIÓN: JG Un vector directriz de la recta tangente seria F ´( π4 ) , que también sería un vector perpendicular al plano normal. JG JG Como F ( t ) = ( cos t , sent , t ) entonces F ´( t ) = ( − sent , cos t ,1) JG Tenemos un punto: F ( π4 ) = ( cos π4 , sen π4 , π4 ) = 22 , 22 , π4

(

)

Y un vector paralelo a la recta o perpendicular al plano normal: JG F ´( π4 ) = ( − sen π4 , cos π4 ,1) = − 22 , 22 ,1

(

)

Por tanto, la ecuación de la recta tangente sería: ⎧ x = 22 − 22 t ⎪⎪ l : ⎨ y = 22 + 22 t ⎪z = π + t 4 ⎪⎩ Y la ecuación del plano normal sería: −

2 2

( x − ) + ( y − ) + 1( z − 2 2

2 2

2 2

π 4

)=0

6.6.2 Trayectoria Regular JG JG Sea F : I ⊆ \ → \ n . Entonces F es una JG G trayectoria regular en I , si F´( t0 ) ≠ 0 para todo t∈I.

6.6.3 Propiedades JG JG Sean F y G dos trayectorias diferenciables. Sea f una función escalar diferenciable. Entonces: JG JG JG JG 1. Dt F ( t ) ± G ( t ) = F ´( t ) ± G´( t ) JG JG JG 2. Dt f F ( t ) = f ´ F ( t ) + f F ´( t ) JG JG JG JG JG JG 3. Dt F ( t ) • G ( t ) = F´( t ) • G ( t ) + F ( t ) • G´( t ) JG JG JG JG JG JG 4. Dt F ( t ) × G ( t ) = F ´( t ) × G ( t ) + F ( t ) × G´( t )

( ( ( (

218

)

)

) )

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6.7 CONCEPTOS ASOCIADOS A LA DERIVADA. JG

JG

Sea F : I ⊆ \ → \ n . Tal que F (t ) = ( x1 ( t ) , x2 ( t ) ," , xn ( t ) ) Se define: G JG Vector Posición: r (t ) = F (t ) = ( x1 ( t ) , x2 ( t ) ," , xn ( t ) ) G G Vector Velocidad: v(t ) = r´(t ) = ( x1´( t ) , x2´( t ) ," , xn ´( t ) ) G r '(t ) Vector Tangente Unitario: Τ = G r '(t ) Longitud de un camino: t2

s=

∫

[ x1´( t )] + [ x2´( t )] 2

2

+ " + [ xn ´( t )] dt 2

t1

G ds G = v (t ) = r ' (t ) dt G JG G Aceleración: a(t ) = v´(t ) = r´´(t ) = ( x1´´( t ) , x2´´( t ) ," , xn ´´( t ) )

Rapidez:

JG Τ '(t ) Vector Normal Unitario: Ν = JG Τ '(t )

Vector Binormal: Β = Τ × Ν Plano Osculador: Definido por Τ y Ν y ortogonal a B Plano Rectificante: Definido por Τ y B y ortogonal a Ν Plano Normal: Definido por Ν y B y ortogonal a Τ

G r (t )

z

G a ( t0 ) Ν G r ( t0 )

G v ( t0 ) Τ ( x0 , y0 , z0 )

y

x

219

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Τ • Τ = 1 , derivando miembro

El vector tangente es unitario, entonces: a miembro

d d ( Τ • Τ ) = (1) dt dt Τ´•Τ + Τ • Τ´= 0 2Τ´•Τ = 0 Τ´•Τ = 0

Por tanto se concluye que el vector Τ y demuestra la definición del Vector Normal Unitario.

Τ´ son

ortogonales, lo cual

Ejemplo

G Hallar la ecuación del plano osculador para r ( t ) = ( cos t , sent , t ) en t = π .

SOLUCIÓN: Para hallar la ecuación de un plano necesitamos un punto y un vector normal. G El punto sería: r (π ) = ( cos π , senπ , π ) = ( −1, 0, π ) Y el vector normal es el vector Binormal: Β = Τ × Ν Hallemos Τ : G r ' (π ) Τ= G = r ' (π )

( − sent , cos t ,1) 2

JG Τ ' (π ) Ν = JG = Τ ' (π )

1 2

( − cos t , − sent , 0 ) cos 2 t + sen 2 t

1 2

( 0, −1,1) 2

t =π

1

Hallemos Ν :

=

+ cos t + 1 sen t    2

= (1, 0, 0 ) t =π

Entonces i Β = Τ× Ν = 0 − 1

j

k

1

1 2

0

2

= ( 0,

1 2

,

1 2

)

0

Finalmente la ecuación del plano osculador sería: 0 ( x + 1) + 12 ( y − 0 ) + 12 ( z − π ) = 0

6.7.1Teorema. Formulas de Frenet- Serbet

G Sea r una trayectoria diferenciable, entonces: Β = Τ × Ν = −Ν × Τ Ν = Β × Τ = −Τ × Β Τ = Ν × Β = −Β × Ν

220

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6.7.2 Curvatura y radio de curvatura.

Sea

G r

una trayectoria diferenciable. La CURVATURA, denotada por κ , está definida en dΤ la expresión: = κΝ . ds dΤ Es decir: κ = ds El radio de curvatura, denotado por ρ , es: 1 ρ=

κ

Observe que

dΤ dΤ d Τ dt dt κ= = = ds ds dt ds dt Τ´( t ) Es decir, κ = r´( t ) Ejemplo

G Hallar κ para r ( t ) = ( cos t , sent , t ) en t = π .

SOLUCIÓN: La curvatura en este punto sería: κ =

Τ´(π )

r´(π )

En el ejemplo anterior se obtuvo Τ´(π ) =

κ=

Τ´(π ) r´(π )

1 =

1 2

G y r ' (π ) = 2

2 =1 2 2

6.7.3 Torsión.

G r

Sea una trayectoria diferenciable. La TORSIÓN, denotada por τ , está definida en la dΒ dB expresión: = −τΝ . Es decir: τ = ds ds

221

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6.7.4 ACELERACIÓN NORMAL Y ACELERACIÓN TANGENCIAL. En cuestiones físicas, se hace necesario presentar la aceleración en términos de sus componentes tangencial y ortogonal en un punto de la trayectoria. G r (t )

z

G a

JJG aT

JJG aN Ν

Τ ( x0 , y0 , z0 )

y

x

G G G a = aT + a N = at Τ + an Ν La aceleración es la derivada de la velocidad:

G d G d ⎡ G ⎤ d ⎡ ds ⎤ d 2 s ds a = ⎡⎣v ⎤⎦ = v Τ = ⎢ Τ ⎥ = 2 Τ + Τ´ ⎦ dt ⎣ dt ⎦ dt dt dt ⎣ dt

Deduzcamos

Τ´ :

dΤ dΤ = κΝ , transformando ds ds d Τ dt = κΝ dt ds dΤ dt = κΝ ds dt ds Τ´= κ Ν dt

En la expresión

Es decir:

222

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Reemplazando:

G d 2s ds a = 2 Τ + Τ´ dt dt d 2s ds ⎛ ds ⎞ = 2 Τ + ⎜κ Ν ⎟ dt dt ⎝ dt ⎠ 2

d 2s ⎛ ds ⎞ = 2 Τ+κ ⎜ ⎟ Ν dt ⎝ dt ⎠ Por tanto:

d 2s at = 2 dt

y

⎛ ds ⎞ an = κ ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠

2

Ejemplo

G Sea r ( t ) = ( cos t , sent , t ) . Hallar at y an t = π .

SOLUCIÓN: Empleando los resultados anteriores d 2s ds G = r´(π ) = 2 entonces at = 2 = 0 1. dt dt 2. La curvatura ya la obtuvimos en el ejercicio anterior, por tanto: 2

1 ⎛ ds ⎞ an = κ ⎜ ⎟ = 2 ⎝ dt ⎠

( 2)

2

=1

En ocasiones determinar los parámetros anteriores no es tan sencillo debido a la ecuación de la trayectoria. Podemos darles otra forma a las formulas anteriores. Observe la figura:

G r´´= a

h = an

an

G r´= v

223

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Por teoría de vectores: El área del paralelogramo sustentado por los vectores está dada por:

G r´= v

y

G r´´= a

G G Area = r´×r´´

Pero, por geometría también tenemos:

JG Area = ( base ) × ( altura ) = r´ an

Igualando y despejando resulta:

G G r´×r´´ an = G r´

Para la curvatura tenemos:

G G r´×r´´ G G G r´ r´×r´´ an κ= = G 2 = G 3 2 ds ⎛ ⎞ r´ r´ ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ G G r´×r´´ κ= G 3 r´ Ejemplo

G G G Sea r ( t ) = ( 4t ,3cos t , sent ) . Hallar v , a , at , an , κ , para cualquier t .

Solución:

G G v = r´( t ) = ( 4, −3sent , cos t ) G G a = r´´( t ) = ( 0, −3cos t , − sent ) ds G = r´( t ) = 16 + 9 sen 2 t + cos 2 t dt i j k G G r´×r´´= 4 −3sent cos t = ( 3sen 2 t + 3cos 2 t , 4sent , − 12 cos t ) = ( 3, 4 sent , − 12 cos t ) 0 −3cos t − sent G G r´×r´´ 9 + 16sen 2 t + 144 cos 2 t = an = G r´ 16 + 9sen 2 t + cos 2 t G G r´×r´´ 9 + 16 sen 2 t + 144 cos 2 t κ= G 3 = 3 r´ 16 + 9 sen 2 t + cos 2 t

(

224

)

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Finalmente, también se podría utilizar el teorema de Pitágora para determinar la magnitud de una de las aceleraciones:

G2 a = an 2 + at 2

Ejercicios Propuestos 6.4 1.

Halle

σ′(t ) y σ′(0 ) en cada uno de los casos siguientes:

( b) σ(t ) = (e , cos t , sen t )

a) σ(t ) = sen 2πt , cos 2πt ,2t − t 2

)

t

Resp. a) σ ´(0) = (2π ,0,2)

2.

3.

(

c) σ(t ) = t 3 , t 2 − 4t ,0

)

d) σ(t ) = (sen 2t , log(1 + t ), t )

b) σ ´(0) = (1,0,1)

c) σ ´(0) = (0,−4,0 )

1 ⎞ ⎛ ,1⎟ d) σ ´(0) = ⎜ 2, ⎝ ln10 ⎠ Un punto situado en la rosca de un tornillo, que se enrosca en una viga describe una hélice circular, siendo t el ángulo de giro del tornillo, a el radio del tornillo y b la elevación correspondiente al giro de una vuelta. Determine la velocidad y el vector aceleración del movimiento del punto. b ⎞ ⎛ Resp. r´(t ) = ⎜ − asent , a cos t , r´´(t ) = (− a cos t ,− asent ,0 ) ⎟ 2 π⎠ ⎝ El movimiento de una partícula está definido por R(t ) = at (cos tî − sen tˆj ) . Hállese su velocidad, las componentes tangencial y normal de la aceleración en t = π .

2

4.

5.

(

a)

r (t ) = 6t ,3t 2 , t 3 , t = 0

b)

r (t ) = sen 3t , cos 3t ,2t 2 , t = 1

3

Resp. a) r´(0) = (6,0,0) ;

6.

)

La posición de una partícula móvil en el tiempo t viene dada por r (t ) = t 2 − 6t î + 5tˆj . Calcule el instante en que la rapidez de la partícula es mínima. Resp. t = 3 Determinar los vectores velocidad y aceleración, y la ecuación de la recta tangente para cada una de las curvas siguientes en el valor especificado de t .

⎧ x = 6t ⎪ r´´(0) = (0,6,0 ) ; l : ⎨ y = 0 ⎪z = 0 ⎩

b) Sea una partícula de 1 gramo de masa, que sigue la trayectoria r (t ) = cos t , sen t , t , con unidades en segundos y centímetros. ¿Qué fuerza actúa sobre ella en Nota: F = m.a

t = 0?

Resp. F = 10−5 (− 1,0,0 ) N

7. 8.

Sea σ punto.

(t ) una trayectoria en IR 3 con aceleración cero. Probar que σ es una recta o un

una trayectoria tangente en 9.

(

)

Suponer que una partícula sigue la trayectoria r (t ) = e t , e −t , cos t hasta que sale por

t = 1 . ¿Dónde está en t = 2 ? Resp. (2e, 0, cos1 − sen1)

Una partícula se mueve sobre la curva C que se obtiene de la intersección de la esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 1 y el plano z = y . Obtener la ecuación de la trayectoria que describiría ⎛ ⎞ la partícula si se separase de la curva C en el punto ⎜ 2 , 1 , 1 ⎟ 2 2 2 ⎝ ⎠

225

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(

)

⎧x = − 2 t − π + 2 2 4 2 ⎪ ⎪ Resp. l : ⎨ y = 12 t − π4 + 12 ⎪ ⎪ z = 12 t − π4 + 12 ⎩ 10. Calcular la curvatura y la componente normal de la aceleración de la curva

( ) ( )

r (t ) = cos t , e 2t , (t + 1)3 ,

para t = 0

→ 1 a N = (− 1,0,0) 13 11. Encontrar las ecuaciones de la recta tangente y el plano normal a la curva

Resp. k =

x = 6 sen t , y = 4 cos 3t , z = 2 sen 5t en el punto t = π 12. El

movimiento

de

Resp. una partícula

está

4

representado

por

la

función

5 2 r (t ) = t − 1, t 3 ,2t , t ≥ 0 . En el tiempo t = 1 , la partícula es expulsada por la 2 tangente con una rapidez de 12 unidades por segundo. ¿A qué tiempo y por qué punto 2 2 atraviesa al paraboloide z + y = 4 x ?

Resp. t = 0,30389 seg.

⎛ 5 22 22 + 3 22 32 + 2 22 ⎞⎟ + , , P⎜ 69 ⎜ 26 ⎟ 13 13 13 ⎝ ⎠

−2t 2t , e ,2 2 t , 13. Dada la curva r (t ) = e

Encontrar la curvatura y las ecuaciones de

las rectas tangente y normal en t = 0 Resp. 14. Hallar la función vectorial para la curva de intersección entre el cilindro plano y = 5 z . Encontrar la curvatura en el punto (2,5,1).

(

)

Resp. r (t ) = 2 2 cos t , 5 2 sent , 2 sent ;

k=

x2 y2 + = 2 y el 4 25 2 13 15 15

15. Una partícula se mueve suponiendo la trayectoria r (t ) = t 2 , t 3 − 4t ,0 en t=2 seg sale por la tangente. Calcular la posición y la velocidad de la partícula en t=3 seg. l (3) = (8,8,0 ) Resp. r´(2) = (4,8,0 ) 16. Calcular

la

longitud

r (t ) = 3 cos t ,−3 sen t ,−t

2

de

arco

descrito

por

el

vector

, 0≤t ≤2. Resp. L = 5 + 94 ln 3

(

17. Una partícula se mueve por la trayectoria σ (t ) = cos t 2 ,

1 2

sent 2 ,−

1 2

)

sent 2 desde

t = 1 seg hasta t = 3 π seg. En t = 3 π seg la aceleración normal deja de actuar, y la

partícula sale disparada tangencialmente a σ . Calcular la posición de la partícula 1 seg después que deja de actuar la aceleración normal.

(

Resp. − 1,−3 2π ,3 2π

226

)