Curs10 Modelare Economica 2008_nadia Ciocoiu

CURS 10 MODELARE ECONOMICA CONF. DR. NADIA CIOCOIU

MODELAREA PROCESELOR DECIZIONALE MULTICRITERIALE 1. Multicriterialitatea în activitatea de management 2. Programarea liniară multidimensională/multiobiectiv (vezi exemplul din carte Modelare economica, 2007 !!!) 3. Programarea scop 4. Proceduri de fuzzyficare a problemelor de programare liniară (vezi carte Modelare economica, 2007 !!!) 5. Metoda utilităţii globale maxime 6. Metoda momentelor (vezi carte Modelare economica, 2007 !!!)

1. Multicriterialitatea în activitatea de management Procesul decizional presupune evaluarea mai multor variante decizionale în vederea alegerii uneia dintre ele. De cele mai multe ori, evaluarea variantelor decizionale se face pe baza mai multor indicatori economici consideraţi criterii de evaluare. Problemele în care se caută varianta decizională optimă în raport cu mai multe criterii se numesc probleme de optimizare multicriterială. În cazul optimizării multicriteriale se tratează distinct:  optimizarea multiatribut;  optimizarea multiobiectiv.

1. Multicriterialitatea în activitatea de management Optimizarea multiobiectiv

Optimizarea multiatribut

(ex. Programarea scop)

(ex. Metoda utilitatii globale max)

ulţimea infinită

soluţiilor

posibile

este

ulţimea alternativelor/ variantelor de acţiune este finită;

riteriile de optim se prezintă sub forma unor funcţii obiectiv care trebuie maximizate sau minimizate (metoda de programare scop = goal programming)

iecare alternativă este caracterizată de mai multe atribute (exprimate cantitativ sau calitativ)

oluţia conduce la abateri cât mai mici faţă de scopurile propuse prin funcţiile obiectiv

lternativa optimă aleasă este aceea care satisface cel mai bine toate atributele

1. Multicriterialitatea în activitatea de management Criteriile de evaluare a variantelor decizionale pot fi exprimate în unităţi de măsură diferite. O altă problemă constă în faptul că, unele criterii luate în considerare urmăresc maximizarea unor indicatori economici (de exemplu: venitul total, producţia totală tec.), iar alte criterii urmăresc minimizarea unor indicatori (de exemplu: costul total, timpul de lucru etc.). Pentru alegerea variantei decizionale optime este necesară ierarhizarea variantelor decizionale disponibile în raport cu toate criteriile dorite. Dar, în general, o variantă optimă în raport cu un criteriu este suboptimală în raport cu celelalte criterii. De aceea, se caută varianta care realizează cel mai bun compromis pentru toate criteriile. În acest scop este necesară transformarea valorilor indicatorilor în mărimi care să permită atât compararea variantelor cât şi agregarea valorilor criteriilor de evaluare.

2. Programarea liniară multidimensională/multiobiectiv Forma generală a problemei de programare liniară cu mai multe funcţii obiectiv: Optimum F(x) = Cx cu restricţiile: Ax ≤ b x ≥ 0, unde: F(x) = vector coloană cu r componente f1(x), f2(x),...,fr(x), care reprezintă funcţiile obiectiv prin care sunt exprimate criteriile de evaluare a variantelor decizionale.

Metode: Metoda maximizării unei funcţii sinteză de utilitate Metoda programarii scop

2. Programarea liniară multidimensională/multiobiectiv METODA MAXIMIZĂRII UNEI FUNCŢII SINTEZĂ DE UTILITATE Pentru determinarea unei soluţii care realizează cel mai bun compromis pentru toate funcţiile se va construi o funcţie sinteză a tuturor funcţiilor obiectiv numită funcţie sinteză de utilitate. Funcţia sinteză de utilitate se obţine prin transformarea funcţiilor obiectiv f1(x), f2(x), ..., fr(x), cu semnificaţii economice concrete, în funcţii de utilitate care pot fi însumate. Prin maximizarea funcţiei sinteză de utilitate în raport cu restricţiile problemei se obţine soluţia de compromis cu utilitate maximă. Algoritmul de calcul: Pasul 1. Se obţin valorile optimiste şi valorile pesimiste ale tuturor funcţiilor obiectiv. Pasul 2. Pe baza axiomelor von Neumann – Morgenstern, se determină utilităţile valorilor optimiste O1, O2, ..., Or şi pesimiste P1, P2, ..., Pr ale functiilor obiectiv. Pasul 3. Se construiesc funcţiile de utilitate. Pasul 4. Se rezolvă problema de programare liniară cu funcţia sinteză de utilitate.

3. Programarea scop PS - o metodă de rezolvare a problemei de programare liniară cu mai multe funcţii obiectiv. Metoda PS a fost propusă şi dezvoltată sub denumirea de "Goal Programming" de A. Charnes şi W. Cooper. Obiectivul programării scop: găsirea unei soluţii care verifică restricţiile Ax ≤ b, x≥0 şi care conduce la abateri cât mai mici faţă de scopurile propuse prin funcţiile obiectiv. Ideea de bază a metodei constă în transformarea tuturor funcţiilor obiectiv în „restricţii scop” prin:  specificarea pentru fiecare funcţie obiectiv a unui nivel de aspiraţie sau scop;  definirea pentru fiecare scop a unei perechi de variabile de abatere sau deviaţie:  

deviaţia în plus faţă de scopul propus; deviaţia în minus faţă de scopul propus.

Nivelurile de aspiraţie sau scopurile pot fi:  stabilite de decident;  obţinute prin optimizarea problemei de programare liniară în raport cu fiecare funcţie obiectiv.

3. Programarea scop Funcţia care minimizează deviaţiile faţă de nivelurile de aspiraţie sau scopurile propuse se numeşte „funcţie scop”. Forma generală a unui model PS: N

minimizează una sau mai multe funcţii scop de forma:

+ − ( π d + ρ d ∑ i i i i) i =1

supusă la restricţiile: Ax ≤ b x≥ 0 şi restricţiile „scop”: fi(x) = Vi + d+i - d-i => fi(x) - d+i+ d-i = Vi,

i = 1,...,N

d+i ≥ 0, d-i ≥ 0, i = 1,...,N unde: d+i si d-i deviaţia în plus/în minus faţă de val. prestabilită pentru funcţia obiectiv i; πi şi ρi sunt coeficienţi ai deviaţiilor care fac posibilă însumarea lor; fi(x) - funcţia obiectiv i; Vi - valoarea prestabilită (nivelul de aspiraţie) pentru funcţia obiectiv i; x - vector coloană cu n componente x1, x2,...,xn care reprezintă variabilele decizionale ale problemei. Ax ≤ b: restricţiile care definesc domeniul de admisibilitate al problemei pentru

3. Programarea scop Elementul cheie - specificarea funcţiei obiectiv, adică definirea coeficienţilor πi şi ρi pentru deviaţiile di+ şi di-. Dacă deviaţiile se măsoară cu unităţi de măsură diferite, atunci este necesară definirea unor costuri de penalizare a deviaţiilor astfel încât să se poată minimiza suma totală a costurilor de penalizare generate de diferite deviaţii. Funcţiilor scop li se pot asocia diferite priorităţi. În acest caz se poate proceda astfel: 

 

Se ordonează descrescător scopurile şi se stabileşte prioritatea de satisfacere a fiecărui scop: P1 >>> P2 >>> … >>>Pn... unde >>> înseamnă "mult mai mare". Numărul priorităţilor este mai mic sau cel mult egal cu numărul funcţiilor obiectiv, iar numărul funcţiilor scop este egal cu numărul priorităţilor acordate. Ordonarea prin priorităţi este absolută, astfel că scopul cu prioritatea P2 nu va fi niciodată atins înainte ca scopul cu prioritatea P1 să fie realizat cu abaterea cea mai mică faţă de nivelul de aspiraţie propus.

În acest caz, prin metoda programării scop se rezolvă succesiv un număr de probleme egal cu numărul priorităţilor. Rezolvarea modelelor de PS: WINQSB/ Gp – igp sau QM/ Goal Programming.

Studiul de caz 10 (carte Modelare Economica) Pasul I: scrierea modelului econ. – matematic cu mai multe functii obiectiv: Variabilele: x1 = cantitatea din Pcs1 x2 = cantitatea din Pcs2 x3 = cantitatea din Pcs3 Funcţiile obiectiv: Maximizarea venitului total (max) f1(x) = 60x1 + 120x2 + 90x3 Minimizarea timpului necesar de lucru (min) f2(x) = 15x1 + 10x2 + 19x3 Minimizarea consumului total din materia primă de import (min) f3(x) = 0,2x1 + 0,6x2 + 0,4x3 Restricţii: referitoare la materialul Mat1: C1: 0,6x1 + 0,6x2 + 0,2x3 ≤ 10 referitoare la cantităţile contractate: C2: 1x1 + 1x2 ≥ 12 C3: 1x3 ≥ 5 Restricţiile de nenegativitate: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0,

Se transforma in Restrictii Scop

Studiul de caz 10 (carte Modelare Economica) Pasul 2: transformarea in modelul economico – matematic de PS Funcţiile scop: Scopul cu prioritate 1: minimizarea deviaţiei în plus Mimpsupl faţă de consumul minim de materie primă de import Min G1: 1Mimpsupl Scopul cu prioritate 2: minimizarea deviaţiei în minus Venitm faţă de venitul maxim Min G2: 1Venitm Scopul cu prioritate 3: minimizarea deviaţiei în plus Timpsupl faţă de timpul de lucru necesar minim Min G3: 1Timpsupl Restricţiile pentru consumuri materiale şi pentru cerere: C1: 0,6x1 + 0,6x2 + 0,2x3 ≤ 10 C2: 1x1 + 1x2 ≥ 12 C3: 1x3 ≥ 5 Restricţiile scop: C4: 60x1 + 120x2 + 90x3 – Venitsupl + Venitm = 2700 Niveluri de C5: 15x1 + 10x2 + 19x3 – Timpsupl + Timpm = 215 aspiratie C6: 0,2x1 + 0,6x2 + 0,4x3 – Mimpsupl + Mimpm = 4,4 Restricţiile de nenegativitate: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, Venitsupl ≥ 0, Venitm ≥ 0, Variabile de Timpsupl ≥ 0, Timpm ≥ 0, Mimpsupl ≥ 0. Mimpm ≥ 0 abatere/deviatie

Pasul 3: Rezolvarea modelului cu WINQSB/Gp-igp Solution Summary for Studiul de caz 10 Decision Variable

Solution Value

Basis Status

Reduced Cost Goal 1

Reduced Cost Goal 2

Reduced Cost Goal 3

basic

0

0

0

1

X1

12

2

X2

0

at bound

0

60

-35

3

X3

5

basic

0

0

0

4

Venitsupl

0

at bound

0

1

0

5

Venitm

1480

basic

0

0

0

6

Timpsupl

60

basic

0

0

0

7

Timpm

0

at bound

0

0

1

8

Mimpsupl

0

at bound

1

-300

75

9

Mimpm

0

at bound

0

300

-75

Goal 1: Minimize G1 = 0 Goal 2: Minimize G2 = 1480 Goal 3: Minimize G3 = 60

Pasul 3: Rezolvarea modelului cu WINQSB/Gp-igp Sensitivity Analysis of the Right-Hand-Sides for Studiul de caz 10

Constraint 1

Material1

2

Cerere Pcs1+Pcs2

3

Allowable Min.RHS

Right Hand Side

Allowable Max.RHS

Shadow Price Goal 1

Shadow Price Goal 2

Shadow Price Goal 3

<=

10

8.2

M

0

0

0

>=

12

-M

12

0

0

0

Cerere PCs3

>=

5

3.2

5

0

20

-11

4

Venit prioritate 2

=

2700

1220

M

0

1

0

5

Timp prioritate 3

=

215

-M

275

0

0

-1

6

Mimport prioritate 1

=

4.4

4.4

5

0

2 conflicte: 1. intre scopul de prioritate 1 si cel de prioritate 2 (-300) 2. Intre scopul de prioritate 1 si cel de prioritate 3 (75)

-300

75

Studiul de caz 10 (carte Modelare Economica) Pasul 4:

Analiza rezultatelor:

1. Citirea solutiei (solution value) 2. Interpretarea costului redus 3. Interpretarea pretului umbra 4. Identificarea si analiza conflictelor dintre scopuri

5. Metoda maximizării utilităţii globale Baza informaţională se prezintă într-un tabel de forma Tabelului nr. 1.

…..

kj

a 11

a 12

a 1j

a 21

a 22

… … … … … …

a m1

a m2

…

a2j

a ij

… ……. . … … … …

cn kn a 1n a 2n a in

…

Vm

cj

…

…

a i2

…

a i1

…

Vi

…

…

k2

…

k1

…

c2

…

Coef. de importanţă Variante V1 V2

c1

…

Criterii

a mj

…

a mn

5. Metoda maximizării utilităţii globale Paşii metodei: Pasul 1. Transformarea valorilor aij în utilităţi uij (care se înregistrează într-un tabel asemănător cu tabelul nr.1). a)Pentru fiecare criteriu Cj, j = 1,...,n, se determină valoarea minimă ajmin şi valoarea maximă ajmax; b) În cadrul fiecărui criteriu se acordă utilitatea 1 celei mai “bune” valori aij şi utilitatea 0 celei mai “mici” valori. c) Pentru restul valorilor se calculează utilităţile uij: În cazul criteriilor de maxim: uij = În cazul criteriilor de minim: uij =

aij − aj min aj max − aj min

aj max − aij aj max − aj min

Pasul 2. nSe calculează utilitatea globală UGi pentru fiecare var. decizională Vi: UGi =

∑k ju ij j=1

,