Curs8 Modelare Economica 2008_nadia Ciocoiu

CURS 8 MODELARE ECONOMICA Conf. dr. NADIA CIOCOIU

3. Decizii în condiţii de risc.

3.2. Arbori decizionali 3.3. Conceptul de utilitate

3.2. Metoda arborelui de decizie Se aplică la situaţiile decizionale de mare complexitate, în care sunt implicate evenimente aleatoare care se produc succesiv. este folosita în cazul unei succesiuni de decizii intercondiţionate în timp. se bazeaza pe reprezentarea grafica a tuturor combinatiilor posibile de variante decizionale si stari ale naturii corespunzatoare fiecǎrui moment de timp sub forma unei diagrame formata din: noduri şi ramuri

3.2. Metoda arborelui de decizie

Tipuri de noduri: Noduri de decizie - D Noduri de tip incertitudine - C sau E Noduri de tip consecinta (noduri finale)

Tipuri de ramuri: Variante decizionale Stări ale naturii

3.2. Metoda arborelui de decizie Reguli : • fiecare nod are un singur nod ascendent şi unul sau mai multe descendente; • calculul valorilor asociate fiecǎrui nod se face dinspre nodurile finale cǎtre cel iniţial. Algoritmul de rezolvare se bazează pe procedura “roll-back”: calcularea valorii tuturor nodurilor de la cele finale către cele iniţiale şi apoi selectarea deciziei optime începând de la nodul iniţial către cele finale.

Nodurile de tip decizie (D) Ramuri = variantele decizionale: - pornesc din noduri de tip D si ajung în noduri de tip eveniment (C) sau în noduri terminale

Noduri de incertitudine (C) Ramuri = stări ale naturii (au probabilităţi asociate) - pornesc din noduri de tip (C) si ajung în noduri de tip decizie (D) sau în noduri terminale

Reprezentarea arborelui de decizie - exemplu Piaţă foarte favorabilă E V1: Lot 1000

2

Piaţă mediu favorabilă

25

6

(0,40)

24,25

45

5

(0,35)

Piaţă nefavorabilă

-6

7

(0,25)

Piaţă foarte favorabilă (0,35)

D

1

V2: Lot 700

E

Piaţă mediu favorabilă

3

24,25

30

8

21,20

Piaţă nefavorabilă (0,25)

10

Piaţă foarte favorabilă E V3: Lot 300

4

(0,35)

13,75

11

Piaţă mediu favorabilă (0,40)

12

Piaţă nefavorabilă (0,25)

28

9

(0,40)

13

-2

20

15

3

La construirea arborelui trebuie să se aibă în vedere respectarea următoarelor cerinţe: 1.

2.

3.

valoarea nodurilor de incertitudine ( în care natura „face” alegerea) să depindă numai de evenimentele viitoare şi nu de deciziile precedente; succesiunea proceselor decizionale la diferite momente de timp face ca deciziile intermediare să fie condiţionate de rezultatele estimate ale deciziilor finale (la ultimele procese decizionale reprezentate în arbore); decizia iniţială (corespunzătoare primului nod de decizie) depinde de efectele cumulate ale tuturor deciziilor intermediare şi finale.

Etape de rezolvare definirea problemei decizionale, a evenimentelor posibile care condiţionează probabilistic consecinţele ale fiecărei alternative decizionale reprezentarea grafică a nodurilor decizionale, a variantelor decizionale şi evenimentelor care influenţează consecinţele acestora sub forma unui arbore  stilizat, cu un număr variabil de ramificaţii, corespunzător variantelor şi evenimentelor abordate. determinarea consecinţelor decizionale aferente fiecărei variante condiţionate de probabilitatea de apariţie şi manifestare a evenimentelor respective

Etape de rezolvare (cont.) determinarea probabilitatilor de aparitie şi manifestare a evenimentelor calculul valorii nodurilor începând de la cele finale către cel  iniţial: Valoarea unui nod Eveniment / „Chance” C = valoarea medie n probabilistă sau valoarea asteptată =  pjCij j 1

Valoarea unui nod tip decizie (D): (D MAXIM dintre valorile nodurilor de la sfârsitul ramurilor de decizie care pornesc din nodul respectiv , sau MINIM dintre valorile nodurilor de la sfârşitul ramurilor de decizie care pornesc din nodul respectiv

Etape de rezolvare (cont.) alegerea variantei optime. Se realizează pe baza analizei comparative a speranţelor matematice determinate în etapa precedentă. Speranţa matematică cu valoarea cea mai mare/mică indică decizia optimă. Găsirea unei soluţii „optime” este echivalentă cu alegerea unui drum complet în arbore, pornind de la nodul iniţial şi parcurgând ramurile arborelui până la nodurile finale.

3.3. Conceptul de utilitate Pentru a se ţine cont de preferinţa decidentului în procesul de alegere a unei variante se poate folosi conceptul de utilitate. Utilitate este o mărime subiectivă (depinde de aprecierea decidentului). Acest concept poate fi aplicat atât în cazul mai multor criterii de evaluare a variantelor decizionale pentru a face posibilă  compararea diferitelor evaluări, cât şi pentru a exprima atitudinea decidentului faţă de riscul adoptării unei variante decizionale. Axiomele von Neumann şi Oscar Morgenstern (vezi carte ME !)

3.3. Conceptul de utilitate. În teoria utilităţii, axiomele sunt folosite pt. construirea funcţiilor de utilitate: (figurile 1, 2, 3 şi 4 - exemple de funcţii de utilitate).

Figura 1. Funcţie de utilitate liniară/ atitudine neutră faţă de risc u

u

v

venit v

3.3 Conceptul de utilitate Figura 2. Funcţie de utilitate convexă/ simpatie faţă de risc

Figura 3. Funcţie de utilitate concava/ aversiune fata de risc u

u

u u

v

venit v

v

venit v

3.3. Conceptul de utilitate Figura 4. Funcţie de utilitate convexă – concavă/ simpatie şi aversiune u

u2

u1

v1

v2

Venit V

3.3. Conceptul de utilitate În cazul funcţiilor de utilitate liniare, procedura practică de determinare a utilităţilor este urmatoarea: 1. se considera cunoscute utilităţile a două valori (minimă=0 şi maximă = 1, pt. criterii de maxim), 2. se obţin prin interpolare utilităţile pentru celelalte valori: se determină valoarea minimă m şi valoarea maximă M a consecinţelor adoptării unei variante - în cazul consecinţelor Cij de tip venit sau profit (care se maximizează), utilităţile sunt: uij = Cij  mj Mj  mj

- în cazul consecinţelor Cij de tip cost (care se minimizează), utilităţile sunt: uij = Mj  Cij unde: Mj – val. cea mai mare, mj – val cea mai Mj  mj

mica a consecintelor corespunzatoare criteriului j

3.3. Conceptul de utilitate 3. Pentru alegerea variantei decizionale se aplica metoda valorii aşteptate (speranţa matematică) a utilităţii maxime: Pentru fiecare variantă Vi se determină valoarea aşteptată (speranţa matematică) a utilităţii: n

EUi =  pj · uij, pentru i = 1, ..., m j1

Se alege varianta V* corespunzătoare valorii aşteptate maxime a utilităţii: max {EU1, EU2, ..., EUm} => V*

3.3. Conceptul de utilitate Modificarea algoritmului de determinare a variantei decizionale optime în cazul arborilor decizionali multictriteriali:

Stabilirea de către decident a coeficienţilor de importanţă j >0, pentru fiecare criteriu j = 1, ..., r, astfel încât r j = 1. 

j 1

Determinarea utilităţilor pentru consecintele decizionale  asociate nodurilor finale. Calculul utilităţilor de sinteză pentru fiecare nod final: USi = r

  ju ij

, pentru i=1,..,n.

j 1 Evaluarea arborelui decizional de la nodurile finale spre nodul iniţial pentru a determina varianta corespunzătoare utilităţii de sinteză maxime. Se poate completa cu analiza senzitivităţii soluţiei la modificarea coeficienţilor de importanţă stabiliţi de decident.

Studiul de caz 7 carte ME -arbore nesimetric Val nod 7 = 3000*0,06+ (-250000*0,94)

Val nod 5 = max (val nod 8, val nod final renuntare)

Studiul de caz 8 carte ME-arbore simetric