Costanti Del Moto

Costanti del Moto In Meccanica Classica si definisce Costante del Moto una variabile dinamica diciamo F(q,p,t) il cui valore non muta nel corso dell’ evoluzione temporale del sistema, ovvero si deve avere dF ( q(t ), p (t ), t ) = 0 qualunque sia la soluzione q(t), p(t) dell’ equazione di Hamilton per cui è dt calcolata. Poiché in meccanica quantistica, non si può attribuire ad una grandezza ad ogni istante un valore determinato, una tale definizione va opportunamente modificata. Pertanto in Meccanica Quantistica definiremo Costante del Moto una grandezza il cui valore Medio resti costante nel tempo qualunque sia la soluzione ψ(t) dell’ equazione di Schrödinger per cui è calcolato ovvero: d < ψ (t ) | Fˆψ (t ) > =0 dt

Poiché vale la seguente equazione ( Si veda la Sezione Relativa a “Dipendenza dal Tempo del Valore Medio di una Osservabile e Teorema di Ehrenfest”)

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d < F >t ∂Fˆ 1 ˆ ˆ =< + F, H > dt ∂t i

da questa segue che condizione necessaria e sufficiente perché Fˆ sia una costante del moto, è che si abbia: CM-1)

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∂Fˆ 1 ˆ ˆ + F, H = 0 ∂t i

Se Fˆ non dipende esplicitamente dal tempo si ha:

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1 ˆ ˆ F , H = 0 ⇒ Fˆ , Hˆ = 0 i

ovvero Fˆ è una costante del moto se Commuta con Hˆ . TEOREMA: Se Fˆ soddisfa l’ equazione CM-1) risultano indipendenti dal tempo a) Gli autovalori λs di Fˆ (gli autovalori in generale ne dipendono) b) La distribuzione di probabilità P(F=λs|t)