Conectivas Logicas Y T. De La Verdad (20).doc

Conectivas lógicas y tablas de verdad Conectivas Básicas En el primer cuadro se presentan las conectivas lógicas básicas, sus símbolos y los términos del lenguaje general a los cuales se relacionan: Nombre

Símbolo

Conjunción Disyunción Inclusiva Disyunción Excluyente Condicional Bicondicional Negación

Enunciado Compuesto

Significado

.

(p ^ q)

… y…, __ aunque __

ˇ

(pˇ q)

… o…., __ y/o…

W

(p w q)

O bien… o bien…

→ =

(p → q) (p = q)

-

-p

Si… entonces … … si y solo si … No, no es cierto que…

Símbolos Alternativos

^

=> <=> ¬, ~

CONJUNCIÓN P V F V F

. V F F F

Q

Es verdadero solamente si las dos V V proposiciones son verdaderas. En el F resto de los casos es falso F

DISYUNCIÓN INCLUYENTE P V F V F

v Q Es verdadero si, al menos, una de las V V Vproposiciones V es verdadera. En el resto V F de los casos es falso F F

DISYUNCIÓN EXCLUYENTE P V F V F

w

Q

F

F

EsF verdadero si las proposiciones tienen distinto grado V deVverdad. Es falso si las proposiciones tienen el mismo V V F grado de verdad

CONDICIONAL P V F V F

→ V V F V

Q V V F F

Es falso solamente si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En el resto de los casos es verdadero

BICONDICIONAL P V F V F

= Q Es verdadero si las proposiciones tienen el mismo grado V V de Es falso si las proposiciones tienen distinto F verdad. V F F de verdad V

F

NEGACIÓN P V F

-P F V

Construcción de Tabla de Verdad Si tenemos dos proposiciones, para poder dejar patentizado todas las posibilidades que puede haber, necesitamos realizar cuatro filas cuatro filas. Por ejemplo: P Q p.q V V V F V F V F F F F F De estas cuatro filas la primera columna tendrá los valores de verdad: V, F, y V, F, y la segunda columna V, V, F y F. No todos los libros de lógica construyen igual las tablas de verdad ni como hemos visto utilizan los mismos símbolos para representar las conectivas. Pero a no preocuparse, todos llegan a los mismos resultados. Un ejemplo de esta forma distinta de presentar la tabla de verdad que muchos autores empiezan por presentar la primera columna con V, V y F, F y la segunda columna como V, F, V, F. P Q p.q V V V V F F F V F F F F Como se ve el resultado es el mismo, más allá de su presentación. En este caso elegiremos convencionalmente la primera forma de presentación para mantener la coherencia con la forma en que está expuesto en el PDF de la Cátedra y en el libro “Lógica, proposición y norma”. Las siguientes columnas, tendrán los valores de verdad según la proposición que se dé. Si se tienen tres proposiciones, necesitaremos ocho filas, de las cuales la primera columna se acomodarán los valores de verdad de la siguiente manera: V, F, V, F,

V, F, V, F. Para la segunda columna se reparten los valores: V, V, F, F, V, V, F, F. Y para la tercera columna serán: V, V, V, V, F, F, F, F. Ejemplo: La proposición molecular (p . q) v r P Q V V F V V F F F V V F V V F F F Como se

R (p . q) (p . q) v r V V V V F V V F V V F V F V V F F F F F F F F F puede observar en las primeras columnas se introducen los valores de

verdad de las proposiciones atómicas (p, q, r), luego se resuelven las proposiciones que aparecen entre paréntesis y finalmente se realiza la tabla de verdad de la proposición molecular que se presenta en la consigna. Si en vez de tres proposiciones, tuviéramos un ejercicio con un número de cuatro proposiones, se necesitan 16 filas de las cuales en las primeras. En general, el cálculo de las filas necesarias es simple si seguimos una regla: 

“Para n proposiciones calculamos 2n filas.”



Para dos proposiciones calculamos 22 = 4 filas.



Para tres proposiciones calculamos 23 = 8.



Para cuatro proposiciones necesitaremos 24 = 16 filas.

Como hemos dicho, Una vez que incorporamos las columnas de las proposiciones atómicas es necesario construir el resto de las columnas. Para guiarnos, construyamos la tabla de verdad para la proposición compuesta: [(p v q) . r ] Este el caso para tres proposiciones: p, q y r, en donde según vimos anteriormente necesitamos ocho filas. Para resolver esta conjunción, lo primero que debemos hacer es resolver, como se hace en matemática, con lo que se encuentra entre paréntesis. En este caso una disyunción (p v q). El resultado de esta disyunción que se encuentra entre paréntesis, la ponemos colocamos en una tercera columna. A esta tabla de verdad que nos da como resultado del paréntesis, le aplicamos la conjunción con r y a ese resultado lo colocamos en una cuarta columna. Hasta aquí el esquema es el siguiente: P

Q

R

pvq

(p v q) . r

V V V V V F V V V V V F V V V F F V F F V V F V F F V F V F V F F V F F F F F F Hasta aquí hemos resuelto correctamente la proposición molecular dada como ejemplo y hemos encontrado la tabla de verdad de la misma, pero ¿Qué pasaría si lo complejizamos? Resolvamos ahora este ejemplo: [(p v q) . r ](-q.p) En primer lugar, debemos observar que la proposición ofrecida como es un condicional, donde el antecedente es [(p v q ^ r)] y el consecuente es (-q . p). Por tanto lo que nos interesa al final son los valores de verdad de la condicional. Esto nos indica que debemos, empezar por despejar el antecedente, es decir, debemos encontrar los valores para la proposición [(p v q) ^ r], que ya lo hemos hecho anteriormente. Ahora nos hace falta encontrar los valores de verdad de la proposición –q . p, la cual evidentemente se trata de una conjunción, para esto se necesita encontrar los valores de -q los cuales se deducen de la columna dos aplicando la ley de la negación: si q es V entonces -q es F, si q es F entonces -q es V, etc. A estos valores los colocamos en la columna número seis. Ya estamos en condiciones de encontrar los valores de verdad de la conjunción -q ^ p, estos se deducen de las columnas sexta y la primera, valores que colocamos en la séptima columna. Finalmente encontramos los valores de la implicación [(p v q) . r]  (-q . p) de donde ahora se pueden deducir con claridad de las columnas quinta y séptima, a estos valores los colocamos en la octava y última columna. La tabla de dicha proposición es la siguiente: P V F V F V F V F

Q V V F F V V F F

R V V V V F F F F

pvq V V V F V V V F

(p v q).r V V V F F F F F

-q F F V V F F V V

(-q.p) F F V F F F V F

[(p v q).r](-q.p) F F V V V V V V

El resultado final de esta tabla de verdad es una contingencia.

Ejercicios 1) Ejercicio de formalización. Formalice las siguientes expresiones: 

“No participo de la emboscada ni del robo”



“No es cierto que el contrato de compraventa sea un acto gratuito y unilateral”



“El profesor de derecho penal recomendó a Núñez o recomendó a Fontan Balestra”



“Juan estaba en la escena del crimen o no estaba en la escena del crimen.”



“Si viola la norma entonces ira preso”



“Sumara puntos si y solo si gana el partido”

2) Ejercicio de interpretación: a. De un ejemplo en lenguaje natural de cada una de las conectivas lógicas. b. De un ejemplo en lenguaje natural de las siguientes proposiciones moleculares: 

(p v q)



(p v q).-p



-(p . q)

2) Realice los siguientes ejercicios de tablas de Verdad y determinar si sus resultados son contingencias, contradicciones o tautologías: 

(p . q)=>r



[(p=>q).p]=>q



[(p v q).-p]=>q



-[(p v q).-p]=>q



[(p=>r).q] v (r . p)