Complejo

Problema 10. Sea f : D ← C una funci´on holomorfa muestre que si f es inyectiva en ∂Br (0) entonces f es inyectiva en Br (0), 0 < r < 1. Demostraci´ on. Sea a ∈ Br (0), entonces por el el principio del argumento Z 1 f 0 (z) N= dz 2π ∂Br (0) f (z) − f (a) es el n´ umero de veces que se alcanza f (a) en el interior de la bola de radio r. Ahora sea t = f (z) entonces dt = f (z)dz, y como f es inyectiva en ∂Br (0) se tiene que Γ = f (∂Br (0)) s´ olo da una vuelta alrededor de f (a), y entonces Z Z f 0 (z) 1 1 1 dz = dt = 1 N= 2π ∂Br (0) f (z) − f (a) 2π Γ t − f (a) Por lo tanto f (a) s´ olo ocurre una vez en la bola de radio r, de donde se sigue que f es inyectiva en la bola de radio r. El inciso (ii) se sigue inmediatamente de este.

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