Complejo

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c c . o .cc o .cc c c . . n n o o n.co o i c . c a cion m cio r a o f m p II.2. NÚMEROS COMPLEJOS. r d pfo e . w . .e. . d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Introducción. . . . . . . . . . . w . . . . . . . .. w / / 2. Definición. . . . . .:. / . ./. . . . . .w . . .w ................................................... : p p t t w 3. Representación complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t /de los números htttgráfica h :/ :/complejos. p 4. Igualdad de números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ttp hcon números complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h. 5. Operaciones A. Suma de números complejos. Propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. Producto de números complejos. Propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c .......... c c c . . C. Forma binómica de un número complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... o o c c c . . c c D. Potencia de números complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .c ........ . . n n o n.co E. Conjugado de un número complejo. Propiedades. . . . a. . .c. . i. o. . . . n. . ...c. . o ............... F. Cociente de números complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... o i m c io c r G. Raíz cuadrada de números complejos. . . .f. o . . . . . . . . . .a ............................. m p r 6. Módulo y argumento de un número complejo. . . . . . . . . . . . ............................. d o e f . A. Formas polar y trigonométrica p complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . w de. .une. .número d w B. Propiedades del módulo. . . . . .. ............................................ w w y opuestos en forma polar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p:// / / 7. Números complejos iguales, conjugados : w p 8. Operacionestcon h t . .pnúmeros ://wcomplejos en forma polar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .h. . tt :/ A. Producto.tt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ttp h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .h. B. Cociente. C. Potencia. (Fórmula de Moivre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D. Raíces n-ésimas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c .......... c c c . . 9. Raíces n-ésimas de la unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... o o c c c . . c A. El grupo multiplicativo de las raíces n-ésimas de la unidad. . . . .n . . . . . . . . . ... c . . .c ........ . n o o n.co10. Interpretación geométrica del producto de números complejos. o i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ c . c n a 11. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m . . . . . . . . . . .i.o ....................... cio c r a o f rm p d .e dpfo w e w . w w / / / / : : w p p httttp://w httttp:/ h h c c c c . . o .cc o .cc c c . . n n o o n.co o i c . c a cion m ci o r fo rma p d o e f . p w .ed w w ww / / / / : : p p httttp://w httttp:/ h h c c c c . . o .cc o .cc c c . . n n http://www.edpformacion.co.cc o n.co cio©n.co I. E. S. Fray Luis de León

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c c . o .cc o .cc c c . . n n o o n.co o i c . c a cion m cio r a o f m p r d pfo e . w .ed w w w / / / / : : w p p 1. INTRODUCCIÓN. t t w htttp:// htttp:/ Motivación. hLa no existencia, en el cuerpo de los números reales, de la raíz cuadrada de númerosh negativos. c c c c . . 2. DEFINICIÓN. o o c c c c . . c c . . n n o , siendo a y b o n.co Llamamos número complejo a un par ordenado de números o i c . c reales: z=(a,b) n a cio números reales. Es, pues, un elemento del conjunto RxR.rm c io a o f m p r d pfo e . w .ed w w w lo representaremos por C. / / El conjunto de los :números complejos / / : w p p t ://w t :/ t t h h p 3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS. ttp htt h Consideremos unos ejes cartesianos en el plano. cA cada número complejo z=(a,b) le asociamos un vector de c c c . . o o c c c c . . c c origen el punto O(0,0) y extremo el punto P(a,b). . . n n o o n.co o i c . c n ael cio Recíprocamente, a cada vector de origen O(0,0) y extremo m cio r a o punto P(a,b) le asociamos el número complejo z=(a,b). f m p r eddpfo Afijo de z es el punto P(a,b) w. e w . w w / / / / Al eje de absacisas:OX se le suele llamar eje real, y al eje de ordenadas OY eje imaginario. : w p p tt p://w tt p:/ h h Ejercicios. tt h htt 1. Supongamos dibujadas en el plano las bisectrices de los cuatro cuadrantes. Si se traza una circunferencia de centro el origen y radio 3, y se designan por A, B, C y D los puntosc de corte de c c c . . la misma con las bisectrices, ¿cuáles son los números complejos de afijos A, B, C y D? o .cc o .cc c c . . n n o o n.co o i c . c a cion 4. IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS. m ci o r o rma f p d Sean los números complejos: z=(a,b)e y z'=(c,d).fDiremos que z=z' ] a=c y b=d. o . p w .ed w w ww / / / / : : p p httttp://w httttp:/ h h c c c c . . o .cc o .cc c c . . n n http://www.edpformacion.co.cc o n.co cio©n.co I. E. S. Fray Luis de León

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Son númer os complejos: (2 ,3), (-4,5), (-6,-7), (

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,9), etc.

Solución.

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De (2,a) = (b,6) Y a=6 y b=2.

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c c . o .cc o .cc c c . . n n o o n.co o i c . c a cion m cio r a o f 5. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS. m p r d pfo e . w .ed PROPIEDADES. A. SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS. w w w / / : w Consideremostlos números complejos: z=(a,b) y z'=(c,d). p w t / / h ttp: Definimos:hz + z' = (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) c c c c . . o o c c Propiedades. c c . . c c . . n n o n.co 1. Asociativa. [(a,b) + (c,d)] + (e,f) = (a,b) + [(c,d) + (e,f)]acio n.co o i m 2. Conmutativa. (a,b) + (c,d) = (c,d) + (a,b) c io c r a o 3. Existencia de elemento neutro. (0,0) pf m r d 4. Existencia de elemento opuesto. e Opuesto defo (a,b) . sonpsimétricos= (-a,-b). Los números complejos (a,b) y (-a,-b)d respecto del origen. w e w . w w / / : (C, +) es un grupo abeliano. w p tt p://w h Ejercicios. tt h 1. Representa gráficamente la suma y la diferencia de dos números complejos.. cB. PRODUCTO DE NÚMEROS COMPLEJOS. PROPIEDADES. o.cc c . o c c c c . . c c . . n n o n.co Consideremos los números complejos: z=(a,b) y z'=(c,d).acio n.co o i m cio c r a o Definimos: z @ z' = (a,b) @ (c,d) = (ac-bd, f rmad+bc) p d .e dpfo w e w . w w / / Propiedades. : w p t w t / / h ttp[(a,b): @ (c,d)] @ (e,f) = (a,b) @ [(c,d) @ (e,f)] 1. Asociativa. h 2. Conmutativa. (a,b) @ (c,d) = (c,d) @ (a,b) 3. Existencia de elemento neutro. (1,0) c c 4. Existencia de elemento inverso. Inverso de (a,b) = c c . . o .c5.c Distributiva. (a,b) @ [(c,d)] + (e,f)] = (a,b) @ (c,d) + (a,b) @ (e,f)] n.co .cc c . n o o n.co o i c . c a cion (C-{0}, .) es un grupo abeliano. m ci o r fo rma p (C, +, .) tiene estructura de cuerpo abeliano. d o e f . p w .ed Ejercicios. w w ww / / : p 1. Calcula el inverso /w httttpde:/z=(3,4). h c c c c . . o .cc o .cc c c . . n n http://www.edpformacion.co.cc o n.co cio©n.co I. E. S. Fray Luis de León

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/ / : p t htttp:/ h

(2,3) + (5,6) = (2+5, 3+6) = (7,9).

(2,3) @ (5,6) = (2@5-3@6, 2 @6+3@5) = (-8,27)

/ / : p httttp:/ h

/ / : p httttp:/ h

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c c . o .cc o .cc c c . . n n o o n.co o i c . c a cion m cio r a o f C. FORMA BINÓMICA DE UN NÚMERO COMPLEJO. m p r d pfo e . w .(a,0) d Los números complejos de la forma son números reales: e w (a,0) = a w w / / : w wimaginaria. ttppunidad / / : (0,1) = h i se llama tt h Los números complejos de la forma (0,b) son números imaginarios puros: (0,b) = bi c c c c . . o o c c c c (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + bi (FORMA BINÓMICA) . . c c . . n n o o n.co o i c . c n a cio a parte real. m c io r b parte imaginaria. a o f m p r d pfo e D. POTENCIA DE NÚMEROS.COMPLEJOS. w .ed w w w imaginaria i. / / Calculemos las potencias de la unidad : w p httttp://w i = 1 por convenio. h i =i ci = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1 Y c c c . . o o c ic = i i = (-1,0)(0,1) = (0,-1) = -i c c . . c c . . n n o o n.co i = i i = (-1,0)(-1,0) = (1,0) = 1 o i c . c n a cio m i = i i = (1,0)(0,1) = (0,1) = i cio r a o f ......................................................................... m p r d pfo e . w .ed w w w / / : w p httttp://w h A partir de aquí ya podemos decir que: c c c c . . o .c(a+bi) o .cc c c c = .... . . n n o o n.co o i c . c a cion m ci o r fo rma Ejercicios. p d o e f . p w .ed 1. Calcula las siguientes potencias: w w+i )w a) (2+i) . b) (1+i) . /c)/(i . w : p httttp://w h c c c c . . o .cc o .cc c c . . n n http://www.edpformacion.co.cc o n.co cio©n.co I. E. S. Fray Luis de León

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/ / : p t htttp:/ h

/ / : p httttp:/ h

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3

2

4

2 2

5

4

# #

i27 = i3 = -i. i38 = i2 = -1.

/ / : p httttp:/ h

n

#

#

(a+bi) 2 =

4

3

Solución. a) -7+24i. b)

5

c)

8 3

(a+bi) 3 =

/ / : p httttp:/ h

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c c . o .cc o .cc c c . . n n o o n.co o i c . c a cion m cio r a o f E. CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO. m p r d pfo e . wse define d Dado el número complejo z=a+bi, el conjugado de z, y se escribe , al número complejo e w . w w / w / =a-bi. / / : : p p t t w t t / / / h h : : p p Los números t complejos z=a+bi y =a-bi son simétricos respecto del eje de abscisas. t t h ht c c c c . . o o c c c c . . c c . . n n o o n.co o i c . c n a cio Propiedades m c io r ala suma de los conjugados de los o f m p 1. = + . Es decir: El conjugado de una suma es r eddpfo sumandos. w. e w . w w / / / / 2. = @ . Es decir: El conjugado de un producto es el producto de los conjugados. : : w p p tt p://w tt p:/ h h 3. = z. Es decir: htt El conjugado del conjugado de z es z. htt Ejercicios. c c c c . . o o 1. Consideremos el número complejo z=-2+3i. Calcula: c c c c . . c c . . a) Su opuesto. b) Su conjugado. c) El conjugado de su opuesto. d) El opuesto de su conjugado. ¿Qué n n o o n.co relación existe entre estos dos últimos? o i c . c n a o o i i 2. Siendo a=5-3i y b=-4+8i. m c c r a o a) Calcula: , , a+b, + , . f dppform b) Comprueba que = @ . e . c) Comprueba que =a y =b.w d e w . w wCOMPLEJOS. / / / / : : w F. COCIENTE DE NÚMEROS p p httttp://w httttp:/ h h c c c c Ejercicios. . . o .cc o .cc c c . . n n o operaciones con números complejos: o n.co1. a)Calcula(1+i)las:siguientes o i c . c (4+i) a cion m ci o b) (2+i) : (1+i) r fo rma p d o 2. Calcula el valor de las siguientes expresiones: e f . p w )d w a) . b) . c) (i +i .e w ww / / / / : : p p httttp://w httttp:/ h h c c c c . . o .cc o .cc c c . . n n http://www.edpformacion.co.cc o n.co cio©n.co I. E. S. Fray Luis de León

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Si z=2+3i entonces =2-3i Si z=4-5i entonces =4+5i Si z=-6+7i entonces =-6-7i Si z=-8-9i entonces =-8+9i

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Solución.

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-12 3

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c c . o .cc o .cc c c . . n n o o n.co o i c . c a cion m cio r a o f G. RAÍZ CUADRADA DE NÚMEROS p COMPLEJOS. m r d pfo e . w .ed w = x+yi w / / / / =w a+bi Y {x -y =a, 2xy=b} Las soluciones de este sistema son De la definición de:raíz: (x+yi) : w p p t t w las raíces cuadradas htttdepa+bi. htttp:/ :// h h c c c c . . o o c c c c . . c c . . n n o o n.co Ejercicios. o i c . c n a cio m c io r f 1. Calcula las soluciones de la ecuación: x +1=0. .o . . . . . .m . . . .a ................ p r d 2. Calcula las soluciones de la ecuación: .f . .o ........................ .ex2x+4=0. p w 3. Calcula las soluciones de la ecuación: -4x+5=0. ....................... d e w . 4. Cómo debe ser el número complejo a+bi para que su cuadrado sea: w w / / / / : : w a) Imaginariotpuro. b) Un número real positivo. c) Un número real negativo. p p t p://w tt p:/ h h t 3-2i es una raíz de una ecuación de segundo grado. ¿Cuál es la otra raíz? ¿Dehtt 5. El número complejo t h qué ecuación se trata? c6. MÓDULO Y ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO. c c c . . o o c c c c . . c c . . n n Un número complejo z=(a,b)=a+bi queda determinado o n.cotambién mediante otros dos elementos que definimos a continua-acio n.co o i m ción. cio c r a o f rm p d o Módulo del número complejo z, es.ele módulop delfvector . w d Lo representaremos por: m = w = z .e w w / / / / : : w p p wcomplejo z, es el ángulo que el eje tt delpnúmero tt p:/ / Argumento / h h : t forma con la semirrecta de origen O que t positivo de abscisas t t h h contiene al afijo de z. No se define el argumento del número complejo (0,0). c c c c . . COMPLEJO. o .cA.c FORMAS POLAR Y TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO o .cc c c . . n n o o n.co De la figura anterior se deduce: o i c . c a cion m ci o r fo m"a= arctag p tag " =orY m =a +b Y m= d .e dpf w e w . w w / / / / Estas expresiones permiten calcular el módulo y el argumento de un número complejo z conocidas : : w p p t ://w t :/ t sus componentes htcartesianas. h http http c c c c . . o .cc o .cc c c . . n n http://www.edpformacion.co.cc o n.co cio©n.co I. E. S. Fray Luis de León

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Calcula:

2

Solución.

2

Solución.

2

Solución.

Solución. a) a2 -b2 =0. b) b=0. c) a=0.

Solución. 3-2i, x 2 -6x+13.

* *

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c c . o .cc o .cc c c . . n n o o n.co o i c . c a cion m cio r a manera: o f Así, el número complejo z=a+bi se puede escribir de lam siguiente p r d pfo e . d POLAR zw = (m)eFORMA w . w w / w / / / : : p p t t w htttp:// htttp:/ h h Conocidos el módulo y el argumento se obtienen las componentes cartesianasc recordando la c c c . . definición de seno y coseno de un ángulo. o o c c c c . . c c . . n n o o n.co cos"= Y a = mcos" o i c . c n sen " = Y b = msen " a cio m c io r a o f m p r describir Así, el número complejo z=(m) se.puede e fode la siguiente manera: p w d e w . w z =/m(cos " +isen " ) FORMA TRIGONOMÉTRICA w / / / : : w p p httttp:/ httttp://w h h Las últimas relaciones nos dan las igualdades siguientes entre las diversas formas de escribir un c c número complejo z: c c . . o o c c c c . . c c z = (a,b) = a+bi = (m) = m(cos " +isen " ) . . " n n o o n.co o i c . c n a cio Ejercicios. m cio r a o f m p r 1. Expresa en forma polar el número complejo ...................... d z=2+2i. o e f . p .................... 2. Expresa en forma binómica el número complejo z=(4) w d e w . 3. Escribe en todas sus formas el número complejo: z = (3,-3 ). . . . . . . . . . . . . . . . w w / / / / : : w p p w MÓDULO. B. PROPIEDADES httttp://DEL httttp:/ h h 1. z =0 ] z=0 2. -z = z c c c 3.cz = . . o 4..cz cAz = z A z o .cc c c . . n n o o n.co5. z +z # z + z o i c . c a cion 6. Si c0R, cAz = c A z m ci o r fo rma p Ejercicios. d o e f . p w .ed 1. w w ww / / / / : : p p httttp://w httttp:/ h h c c c c . . o .cc o .cc c c . . n n http://www.edpformacion.co.cc o n.co cio©n.co I. E. S. Fray Luis de León

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Si z=1+i Y m =

#

Si z=

-i Y m =

=

, " = arctag

= 2, " = arctag

= 45° Y z=(

)45°.

= 330° Y z=(2)330°.

"

#

Si z=(2)30° Y z = 2(cos30°+isen30°) = 2(

+i

)=

+i.

Solución. (

60°

Solución. 2+2

)45°.

i.

Solución. (6)300°.

* * * * * * * * * * * 1 2* * 1* * 2* * 1 2* * 1* * 2* * * * ** *

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c c . o .cc o .cc c c . . n n o o n.co o i c . c a cion m cio r a o f 7. NÚMEROS COMPLEJOS IGUALES, CONJUGADOS Y OPUESTOS m p r d pfo EN FORMA POLAR. .e w .ed w w w / / / / (m) y (n) son iguales ] {m=n y : : w p p t t w t p:/ / ß-"=2kB} h (Elt mismo:/módulo. Sus argumentos se h p t de 2B radianes. Sus afijos t diferencian en untmúltiplo t h h coinciden) c c (m) y (n) son conjugados ] {m=n y ß=c c . . o o c c ".+2k B} (El mismo módulo. Sus argumentos son c c . . c c . n n o Sus afijos son simétricos respecto del eje de o n.coopuestos. o i c . c n abscisas) a cio m c io r foyrma p (m) y (n) son opuestos ] d{m=n fose .eargumentos ß=("+B)+2kB} (El mismo módulo. Sus p w d e w diferencian B radianes. Sus afijos son simétricos respecto del origen de coordenadas) . w w / / / / : : w p p httttp:/ httttp://w h h Ejercicios. c c c 1.c Si (m) = a+bi, demuestra que: . . o o c c c a)c El conjugado de (m) es a-bi . . c c . . n n o o n.co b) El opuesto de (m) es -a-bi o i c . c n a cio m cio r 8. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS a EN FORMA POLAR. o f m p r dnúmeros o e f . No se emplea la forma polar para sumar complejos por resultar mucho más sencilla y p w rápida la forma binómica. Podemos hacer,.e sin d embargo, la representación gráfica de la suma de dos w w w Para hallar el módulo y el argumento de dicha suma se p:// / números complejos dados en forma polar. / : w p aplicarán los teoremas /w y de los senos, respectivamente. httttpdel:/coseno httttp:/ h Ejercicios.h en forma 1. c Calcula (3) + (4) . Comprueba el resultado realizando las operaciones también c c c . . binómica. o .cc o .cc c c . . n n o o n.co o i c . c a cion m ci o r fo rma p d o e f . p w .eresulta d La forma polar de los números complejos muy cómoda para calcular productos, cocientes, w w w / / potencias, y sobre todo,:raíces n-ésimas, como veremos a continuación. / / : w p p httttp://w httttp:/ h h c c c c . . o .cc o .cc c c . . n n http://www.edpformacion.co.cc o n.co cio©n.co I. E. S. Fray Luis de León

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Dado el número complejo: (5)45°. Su conjugado es (5)315°+2kB . Su opuesto es (5)225°+2kB . Dado el número complejo: (3)150°. Su conjugado es (3)210°+2kB . Su opuesto es (3)330°+2kB .

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30°

60°

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c c . o .cc o .cc c c . . n n o o n.co o i c . c a cion m cio r a o f A. PRODUCTO. m p r d pfo e . w que: xe @z =d(m) @(n) = (m@n) Si x=(m) y z=(n) se verifica w . w w / / / / : : w p p Dem: Escribe los dos números complejos en forma trigonométrica y efectúa el producto. t t w htttp:// htttp:/ h h Ejercicios. c c c c . . o o c c 1..cHalla el módulo y el argumento del número complejo: z=( )(1+i)(.c ). .cc . n .co onn.co2. Expresa en forma polar el inverso del número complejo: z=(m) o i c a . on o i i m c c r a o f rm p d B. COCIENTE. .e dpfo w e w . w w / / / :/se/verifica : w p p Si x=(m) ytt z=(n) que: = = httttp:/ h ttp:/ w h h Dem: Escribe los dos números complejos en forma trigonométrica y efectúa el cociente. c c c c . . o o c c c c . . c c . . n n o o n.co o i c . c n a cio Ejercicios. m cio r anúmero complejo que se expresará o f m p 1. Simplifica las siguientes expresiones, reduciéndolas a un único r d pfo e . en forma binómica: w .ed w w a) w / / / / : : w p p tt p://w tt p:/ h h b) htt htt c) c c c c . . o .cc o .cc c c . . n n o o n.co o i c . c a cion m ci o r apolar este último nº complejo. 2. Si z=cos"+isen", ¿cuál es el argumento de 1+z? forma foPon renm p d o e f . p w .ed w w ww / / / / : : p p httttp://w httttp:/ h h c c c c . . o .cc o .cc c c . . n n http://www.edpformacion.co.cc o n.co cio©n.co I. E. S. Fray Luis de León

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ß

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" +ß

ß

Si x=(6)60° y z=(2)30° se verifica que : x@z = (6)60°@(2)30° = (12)90°.

Solución.

, 75°.

"

Solución. z-1 = (m -1 )-" .

"

#

ß

Si x=(6)60° y z=(2)30° se verifica que :

=

= (3)30°.

Solución.

Solución.

))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

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c c . o .cc o .cc c c . . n n o o n.co o i c . c a cion m cio r a o f C. POTENCIA. (FÓRMULA DE MOIVRE) m p r d pfo e . = (m ) ] d [(m).e z =w Si z=(m) se verifica que: w w w / en forma / / / : : w p p (cosn " +isenn " ) se = m Expresión que escrita trigonométrica: [m(cos " +isen " )] t t w htttpDE://MOIVRE. htttp:/ denomina FÓRMULA h h Dem: Obvia por la definición de potencia. c c c c . . o o c c c c . . c c . . n n Ejercicios. o o n.co o i c . c n a cio m 1. Calcula en forma polar las potencias de i. c io r a o f m p r d pfo e . w .ed w w w / / / / : : w p p httttp:/ httttp://w h h 2. Calcula la cuarta potencia de z=(4,4 ). c c c c . . o o c c c c . . c c . . n n o o n.co o i c . c n a cio m cio r a o f 3. Calcula la potencia (-1+i) . m p r d pfo e . w .ed w w w / / / / : : w p p t :/potencias: t :/ w t / 4. Calcula las htsiguientes h ttp. c) (1+i) . d) (-5-5i) . e) (2i+ ) . a) (1-i) . b) h(2+i) http c c c c . . o .cc o .cc c c . . n n o o n.co o i c . c a cion m ci o r fo rma p d o e f . p w .ed w w ww / / / / : : p p httttp://w httttp:/ h h c c c c . . o .cc o .cc c c . . n n http://www.edpformacion.co.cc o n.co cio©n.co I. E. S. Fray Luis de León

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n"

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n

1

#

Si z=(2)30° se verifica que : z5 = [(2)30°]5 = (32)150°

Solución.

Solución. * z * =8, " =60° Y z=(8)60°. z4 =(4096)240°=-4096-4096

i.

30

15

Solución. 2 i.

8

-4

20

6

6

Solución.

1

Abraham de Moivre: Matemático francés, emigrado a Londres, expresó, por primera vez, en 1707, esta fórmula.

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c c . o .cc o .cc c c . . n n o o n.co o i c . c a cion m cio r a o f D. RAÍCES N-ÉSIMAS. m p r d pfo e . w .e=d(r) . Es decir, hay que calcular r y ß. Si z=(m) . Pretendemos calcular w w w / / / / : : w p p t t w t (m):/=/[(r) ] = (r ) . Igualdad de números complejos que exige que se cumplanht p:/ =h (r) Y p htt htt dos condiciones: c c c c 1) r = m Y r = . . o o c c c c . . c c . . 2) nß = " +2k B Y ß = para todo k , Z n n o o n.co o i c . c n a cio m c io r a Si bien k puede tomar cualquier valor de Z, sin embargo, las soluciones realmente distintas son para o f m p r k=0,1,2,3,...,n-1, pues los argumentos que se obtienen difieren de los anteriores en un o k=n,n+1,... edlospcomplejos fpara número entero de vueltas completas,w con.lo qued correspondientes son iguales. e w . w w / / / / Esto prueba que un:número complejo tiene n raíces n-ésimas dadas por la fórmula: : w p p httttp:/ httttp://w h h = (k=0,1,2,...,n-1) c c c c . . o o c c c c . . c c . . n n o o n.co o i c . c n a cio m cio r a o f m p r d pfo e . w .ed Ejercicios. w w w / / / / : : w 1. Calcula las raíces cúbicas de -8. p p httttp://w httttp:/ h h c c c c . . o .cc o .cc c c . . n n o o n.co2. Calcula las raíces cúbicas de i. o i c . c a cion m ci o r fo rma p d o e f . p w .ed w w ww / / / / : : p p httttp://w httttp:/ h h c c c c . . o .cc o .cc c c . . n n http://www.edpformacion.co.cc o n.co cio©n.co I. E. S. Fray Luis de León

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n

"

ß

ß

nß

n

n

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=

=

(k=0,1,2,3)

Para k=0 Y (2)45° = Para k=1 Y (2)135° = Para k=2 Y (2)225° = Para k=3 Y (2)315° =

Los afijos de las raíces forman un polígono regular de 4 lados.

Solución.

Solución.

,

, -i.

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c c . o .cc o .cc c c . . n n o o n.co o i c . c a cion m cio r a o f 9. RAÍCES N-ÉSIMAS DE LA UNIDAD. m p r d pfo e . wson.elasdsoluciones de la ecuación: x -1=0. Las raíces n-ésimas de la unidad w w w / / / / : : w p p t t w x -1=0 Y (k=0,1,2,...,n-1) hxt=1ttpY :x=// Y x= Y x= htttp:/ h h c c c c . . o o c c c c . . c c . . n n o o n.co o i c . c n a cio m c io r a o f m p r d pfo e . w .ed w w w / / / / : : w p p tt p://w tt p:/ h h Ejercicios.htt htt 1. Un de las raíces cúbicas de un cierto número complejo es (2) . Calcula las otras dos y el número ccomplejo de que se trata. c c c . . o o c c c c . . c c . . n n o o n.co A. EL GRUPO MULTIPLICATIVO DE LAS RAÍCESaN-ÉSIMAS io nDE c . c LA UNIDAD. o i m cio c r a o f La representación gráfica de cada una de las raíces n-ésimas de la unidad es el vértice de un polígono m p r d regular de n lados inscrito en una circunferencia fo1. .e ddepradio w e w . Ejercicios. w w / / / / : : w p p wde las n raíces n-ésimas de la unidad con la operación de multiplicarhes tt p:/ tt elpconjunto / / 1. Demuestra que h : un grupo abeliano htt (cíclico). htt c c 10. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO DE.NÚMEROS c c . o .cc COMPLEJOS. o .cc c c . . n n o o n.co o i c . c a cion m ci o r fo rma p d o e f . p w .ed w w ww / / / / : : p p httttp://w httttp:/ h h c c c c . . o .cc o .cc c c . . n n http://www.edpformacion.co.cc o n.co cio©n.co I. E. S. Fray Luis de León

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n

n

#

n

Calculemos las raíces sextas de la unidad: =

=

(k=0,1,2,3,4,5)

Para k=0 Y (1)0° = 1 Para k=1 Y (1)60° =

Para k=2 Y (1)120° =

Para k=3 Y (1)180° = -1 Para k=4 Y (1)240° =

Para k=5 Y (1)300° =

60°

Solución.

Solución.

#

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c c . o .cc o .cc c c . . n n o o n.co o i c . c a cion m cio r a o f 11. EJERCICIOS. m p r d pfo e . w .todas d 1. Representa la curva y=x +16w y calcula las raíces de la ecuación x +16=0. Saca una conclusión e w en relación con la gráfica dibujada. w / w / / / : : p p t t w htttp:// htttp:/ h h c 2.cc Las raíces de un cierto número complejo son los vértices de un pentágono regular inscrito en una c . . o o c c . . c c circunferencia de radio unidad. Uno de los vértices tiene argumento igual ac . Halla elc radicando . . n n o o n.co y la forma polar de todas las raíces. o i n.c c a o i m c io c r a o f rm p d .e dpfo w e w . w w / / / / : w 3. Un hexágonotregular estáw inscrito en una circunferencia de radio 1. Un vértice es (-1,0). Halla la tp: p t p:/tienen t p:/ / h ecuaciónh cuyas raíces por afijos los vértices de este hexágono. htt htt c c c c . . o o c c c c . . c c . . n n 4. Los afijos de las raíces de una ecuación de segundo grado son los puntos (1,0) y (2,1). o vérticeBuscade unla o n.co ecuación de tercer grado cuyas raíces tengan estos afijos y elacorrespondiente io n.cal tercer c oque este triángulo está en el i triángulo equilátero cuyos otros dos sean los puntosrdados sabiendo m cio c a o f rm primer cuadrante. p d .e dpfo w e w . w w / / / / : : w p p tt p://w tt p:/ h h t 5. Prueba que sitlas raíces de una ecuación son los vértices de un paralelogramo cuyo centro es el tt h h origen de coordenadas, la ecuación es bicuadrada. c c c c . . o .cc o .cc c c . . n n o n.co6. Calcula el módulo, el argumento y el cociente de las raíces ade lacecuación: io n.xc- ox+4=0. Calcula o i también el séptimo término del desarrollo de la potencia duodécima de la raíz que tiene por afijo un m ci o c r a o punto del primer cuadrante. f m p r d o e f . dp w e w . w w / / / / : : w p p httttp://w httttp:/ h h c c c c . . o .cc o .cc c c . . n n http://www.edpformacion.co.cc o n.co cio©n.co I. E. S. Fray Luis de León

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4

Solución.

Solución.

Solución.

Solución.

Solución.

2

Solución.

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