Cm Bdt Schur

Cao Văn Dũng SV: Lớp K50A1s-Sp Toán – Khoa Sư Phạm – ĐHQGHN

Nhiều Cách Để Chứng Minh Cho Bất Đẳng Thức Schur

Bất đẳng thức Schur là một bất đẳng thức chặt và đẹp mắt có nhiều ứng dụng để giải toán, nhưng khi áp dụng nó thì phải chứng minh nó xong rồi mới được áp dụng. Bài viết này xin nêu ra một số cách để chứng minh, mong bạn đọc có them nhiều cách hay khác nữa đóng góp để cho bài viết trở nên phong phú hơn. Ta có bài toán bất đẳng thức Schur: Với các số thực không âm a,b,c ta luôn có bất đẳng thức sau: a(a − b )(a − c ) + b(b − c )(b − a ) + c(c − a )(c − b ) ≥ 0 . CM: Cách 1: (Đặt ẩn phụ) Do vai trò của a,b,c là như nhau nên ta có thể giả sử a ≥ b ≥ c . Đặt x = a − b ≥ 0; y = b − c ≥ 0 nên bất đẳng thức được viết lại thành: c( x + y ) y − (c + y )xy + (c + x + y )x( x + y ) ≥ 0. ⇔ c x 2 + xy + y 2 + x 2 ( x + 2 y ) ≥ 0 luôn đúng do x,y,c là các số không âm. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c hoặc a = b; c = 0 hoặc các hoán vị của nó.

(

)

Cách 2: Do vai trò của a,b,c là như nhau nên ta có thể giả sử a ≥ b ≥ c . TH: 2 trong 3 số a,b,c bằng nhau thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng. TH: a > b > c ta chia vế trái bất đẳng thức cho (a − b )(b − c )(a − c ) > 0 nên bất đẳng thức a b c − + > 0 bất đẳng thức trên luôn đúng do tương đương: b−c a−c a−b  a>b>0 a b ⇒ > .  0 < b − c < a − c b − c a − c Cách 3: (Khảo sát hàm) Do vai trò của a,b,c là như nhau nên ta có thể giả sử a ≥ b ≥ c . Bất đẳng thức trên được viết 3 3 3 a + b + c + 3abc − ab(a + b ) − bc(b + c ) − ca(c + a ) ≥ 0. . Ta xét hàm số sau: f (a) = a 3 + b 3 + c 3 + 3abc − ab(a + b ) − bc (b + c ) − ca (c + a )

1

lại:

Ta có ' 2 2 2 2 2 2 2 f ( x) = 3a + 3bc − 2ab − b − 2ac − c = a − b + 2a − 2ab + (2bc − 2ac ) + bc − c = (a − b )(a + b ) + 2a(a − b ) − 2c(a − b ) + c(b − c ) = (a − b )(a + b + 2a − 2c ) + c(b − c ) ≥ 0 Nên f (x ) đồng biến

(

) (

)

(

)

Nên f (a ) ≥ f (b ) = c 3 + 3a 2 c − 2ac(a + c ) = c (a − c ) ≥ 0. Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. 2

Cách 4: (Đánh giá) Do vai trò a,b,c là như nhau nên ta giả sử a ≥ b ≥ c . Khi đó ta có: c(c − a )(c − b ) ≥ 0 . Ta xét: a(a − c ) − b(b − c ) = a 2 − ac − b 2 + bc = (a − b )(a + b − c ) ≥ 0 . ⇒ a(a − b )(a − c ) − b(b − c )(a − b ) ≥ 0 ⇔ a (a − b )(a − c ) + b(b − c )(b − a ) ≥ 0 . Vậy cộng 2 bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh . Cách 5: (Dồn biến) Do vai trò a,b,c là như nhau nên ta giả sử a ≤ b ≤ c. Ta xét hàm số : f (a, b, c ) = a 3 + b 3 + c 3 + 3abc − ab(a + b ) − bc(b + c ) − ca(c + a ) Ta có 5   b+c b+c   b+c b+c 2 f (a, b, c ) − f  a, , ,  =  b + c − a (b − c ) ≥ 0 ⇒ f (a, b, c ) ≥ f  a, . 2 2   4  2 2    Như vậy để chứng minh bất đẳng thức trên ta chỉ cần chứng minh f (a, b, b ) ≥ 0 Mà f (a, b, b ) = a 3 + ab 2 − 2a 2 b = a(a − b ) ≥ 0. Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh xong. 2

Tài liệu tham khảo. [1]. Phạm Kim Hùng, 2006, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri Thức. [2]. Cao Văn Dũng, Nhiều cách để chứng minh cho bất đẳng thức Schur, Tạp chí toán học tuổi thơ 2 tháng 7/ 2008, NXB GD.

2