Bdt

Kỹ thuật chọn điểm rơi trong các bài toán BĐT và cực trị Tác giả: minhbka đưa lên lúc: 14:07:37 Ngày 09-11-2007 Thời gian qua mình đã nhận được nhiều yêu cầu của các bạn hướng dẫn cách làm bài tập về BĐT và cực trị.Đây cũng là mảng kiến thức sâu rộng và tương đối khó.Bài viết này sẽ hướng dẫn các bạn những hướng suy nghĩ và giải quyết các bài tập dạng này thông qua PP chọn "điểm rơi"-tức là những điểm ta dự đoán được để từ đó có hướng giải quyết phù hợp nhất. Ký hiệu sqrt là căn bậc 2 và cbb là căn bậc 3 Ta hãy bắt đầu từ 1 bài toán đơn giản: Bài 1: Cho

.Tìm Min của:

Giải: Rõ ràng ko thể áp dụng Cosi ngay để thuẫn với đk

vì dấu = xảy ra khi a=1, mâu

Ta dự đoán từ đề bài rằng P sẽ nhỏ nhất khi a=3 và đây chính là "điểm rơi" của bài toán.Khi a=3 thì và Ta áp dụng Cosi như sau: ta có Khi đó kết hợp với đk Dễ thấy khi a=3 thì

ta có .Vậy

khi a=3

Bài 2: Cho a,b,c dương và abc=1.CMR:

Giải: Dự đoán dấu đẳng thức xảyra khi a=b=c=1.Lúc này

và 1+b=2.Ta áp dụng Cosi như sau:

Tương tự cho 2 BĐT còn lại.Khi đó ta có tục áp dụng Cosi cho 3 số ta có

.Thay vào ta có

Bài 3: Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn x+y+z=1.CMR: P= Giải:

+

+

.Tiếp

>=

Đầu tiên ta thấy trong căn có dạng

nên nghĩ ngay đến sử dụng Bunhi dạng .Ở đây dễ thấy

.Vậy còn a và b.Ta sẽ sử dụng PP

"điểm rơi". Ta hãy cứ viết

và dấu "=" đạt được khi

x+y+z=1 và "dự đoán" dấu = xảy ra ở bài toán khi ta được ngay:

.Ta chú ý tiếp đk

.Khi đó ta có 9a=b.Cho a=1 và b=9

Tương tự cho y và z.Cuối cùng ta sẽ có 1 bài toán đơn giản hơn rất nhiều và chỉ là TH đặc biệt của bài toán 1. Cuối cùng là 1 bài toán mình xin dành lời giải cho các bạn: Bài 4: Cho a,b,c dương và a+b+c=3.Tìm Min: P=

+

+

Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu Tác giả: boy148 đưa lên lúc: 16:57:04 Ngày 20-02-2008 Bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức kinh điển rất quen thuộc với học sinh THPT .Chuyên đề này muốn giới thiệu một phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cô-Si đó là kĩ thuật Cô-Si ngược dấu. Ví dụ 1) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng:

Bài giải: Ta luôn có :

Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có:

nên

Hoàn toàn tương tự ta cũng có: (2) (3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có:

(1)

(đpcm).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 Trong bài này để sử dụng bất đẳng thức

thì ta phải dùng tới biểu thức

Ví dụ 2)Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có:

Ta có: Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có:

nên

(1) Hoàn toàn tương tự ta cũng có: (2) (3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cũng có:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 Nhờ kĩ thuật Cô-Si ngược dấu ta đã chứng minh được những bài toán mà nếu giải bằng các phương pháp khác sẽ rất dài thậm chí không giải được ,sau đây là một số bài tập ứng dụng: Bài 1)Chứng minh với mọi số dương a,b,c,d ta luôn có:

Bài 2)Chứng minh rằng với a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=4 ta luôn có:

Bài 3)Cho 3 số

và a+b+c=3.Chứng minh rằng:

MỘT KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT CÓ ĐIỀU KIỆN

Tác giả: nhoanh2006d đưa lên lúc: 15:29:02 Ngày 18-02-2008 Chúng ta thường gặp các dạng toán chứng minh BĐT có dạng :Cho ,chứng minh có một kĩ thuật là ta đi chứng minh : .Nếu chứng minh được như thế , từ điều kiện ta suy ra được .Sau đây là một số ví dụ: Ví dụ 1.Cho

,chứng minh :

Giải : Ta có :

mà

nên

nên Ví dụ 2:Cho x,y là các số dương thỏa mãn

,chứng minh rằng :

Giai: Ta có : Mà

Ví dụ 4:Cho x,y là các số dương thỏa

,chứng minh rằng :

Giải: Ta có : (x,y là các số dương) tương tự 2 bài trên ta suy ra Mong phương pháp này sẽ hỗ trợ cho các bạn giải toán ,đặc biệt là những ai yêu bài toán BĐT .HẾT

Phương pháp tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức Tác giả: boy148 đưa lên lúc: 12:24:38 Ngày 20-02-2008 Trong chuyên đề này chúng ta sẽ sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức.Nội dung của chuyên đề này hết sức đơn giản đó là : Đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng Khi đó ta có thể xem vế trái của (*) là một tam thức bậc hai của một biến nào đó rồi sử dụng định lí thuận hoặc định lí đảo của tam thức bậc hai để chứng minh (*). Dạng 1 : Sử dụng định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai.

Bài 1)Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác còn x,y,z là ba số thỏa mãn điều kiện ax+by+cz=0.Chứng minh (1) Bài giải: Từ ax+by+cz=0

Vậy:

(1) (2) Nếu y=0 thì (2) Nếu

-->(2) đúng -->(1) đúng.

,khi đó:

Quan niệm vế trái của (3) là tam thức bậc hai của

Từ |b-c|

có hệ số của

, tương tự

và

Vậy --> >0-->(3) đúng -->(1) được chứng minh.

nên vế trái của (3) luôn

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=0 Bài 2)Cho

Từ abc=1

và abc=1.Chứng minh rằng:

và do

nên chắc chắn a>0.Ta có:

(1) Xét tam thức bậc hai Ta có hệ số của

là 1>0 và

Theo định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai thì f(x)>0 với mọi x đúng-->dpcm Dạng 2)Sử dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai Bài 1)Cho (a+c)(a+b+c)<0.Chứng minh:

là a>0 và

Nếu a=0 thì từ giả thiết ta có c(b+c)<0 (1) Bất đẳng thức phải chứng minh có dạng Từ (1) suy ra Nếu

(2)

vậy (2) đúng -->dpcm.

xét tam thức bậc hai sau:

Từ f(0)=a+b+c ; f(-1)=2(a+c) -->từ gải thiết ta có f(0)f(-1)<0.Theo định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai suy ra phương trình f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt .hay

Một số bài tập vận dụng: 1)Cho các số a,b,c,d,m,n thảo mãn : .Chứng minh rằng:

2)Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta đều có:

Trên đây là một trong những phương pháp chứng minh bất đẳng thức điển hình , rất mong sau khi đọc xong bài viết này các bạn có thể vận dụng vào những bài bất đẳng thức thành thạo hơn.

Các phương pháp biến đổi trong chứng minh BĐT Tác giả: minhbka đưa lên lúc: 14:09:13 Ngày 09-11-2007

1.Biến đổi tương đương: khi sử dụng phép biến dổi tương đương cần chú ý tới dấu của BĐT khi đảo chiều hay nhân thêm biểu thức...

Ví dụ:Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện

, chứng tỏ rằng :

Giải:

, bất đẳng thức này đúng do giả thiết Đẳng thức xảy ra

2.Đưa về hàm số: khi đưa về hàm số ta thường sử dụng tính chất đơn điệu và liên tục

Ví dụ:Cho các số x, y thỏa mãn :

và

.

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Giải: Từ giả thiết

. Ta có :

Đặt

với

; có

P là hàm nghịch biến trong đoạn ( đạt khi

hoặc

( đạt khi

).

).

3.Sử dụng phương pháp đánh giá: đây là PP tương đối khó trong việc Cm BĐT,tùy từng dạng bài mà có cách đánh giá khác nhau.Cần chú ý điều kiện đề bài để có hướng đi phù hợp nhất cho bài toán Ví dụ 1: Cho

là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2]. Chứng minh rằng:

Giải: Do giả thiết

(đpcm) Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên

ta đều có:

Giải: bất đẳng thức cần chứng minh đúng với Với

, đpcm

(1)

Ta có :

( đpcm). Ví dụ 3: Cho

. Chứng minh:

Giải:

Dấu “

” xảy ra

4.Sử dụng tam thức bậc 2: Ví dụ:

hoặc 2 trong 3 số

bằng 1, số còn lại bằng 0

.

Chứng minh rằng với mọi u, v thỏa mãn điều kiện

, ta luôn có:

Giải: - Nếu - Nếu

thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng. thì

với

và

đpcm

Vế trái (1) là tam thức bậc 2 với

nên (1) đúng

( đpcm)

5.Phương pháp quy nạp: Ví dụ: Chứng minh rằng với

thì

Hãy nêu và chứng minh một kết quả tổng quát hơn kết quả của bài toán trên. Giải: Ta sẽ chứng minh kết quả tổng quát sau đây: Với

.

Chứng minh ( bằng quy nạp toán học theo n): - Với - Giả sử khẳng định đúng với Do khẳng định đúng với Vì

Mà vế phải bằng

Vậy khẳng định đúng với

( do

.

, ta sẽ chứng minh khẳng định cũng đúng với

.

(còn tiếp)...