20 Cach Cm Bdt Nesbit

20 cách chứng minh bất đẳng thức NesBit Loạt bài này sẽ giới thiệu 20 cách chứng minh bất đẳng thức Nesbit nổi tiếng. Trước hết ta phát biểu lại bất đẳng thức này: Với mọi a, b, c lớn hơn 0, ta luôn có

Xin nói ngoài lề một chút, trong bài này ta sử dụng một cách viết công thức trong Blogspot mới, cho một kết quả tốt hơn chưa xuất hiện ở đâu trên thế giới. Nó sẽ ra mắt bạn đọc trong một ngày không xa. Ta trở lại với bài toán. Cách 1: Cộng thêm 1+1+1 vào hai vế của bất đẳng thức , ta được:

Đây là bất đẳng thức quen thuộc (nhân hai vế với 2 rồi sử dụng BĐT Cauchy 2 lần và nhân lại). Cách 2: Đặt

Ta có

Từ đó

Cách 3: Không mất tính tổng quát, ta giả sử:

. Xét hàm số:

trên khoảng I=(0;1), ta có

Do đó

là hàm lồi trên , áp dụng bất đẳng thức Jensen thì

Cách 4: Đặt

Ta sẽ chứng minh:

Thật vậy,

Do đó

Tiếp theo ta chỉ ra

Ta đặt

Bài toán tương đương với

Nói cách khác

Điều này là rõ ràng. Cách 5: Có thể giả sử

Lúc đó

luôn không âm vì a, b, c dương và Cách 6: Dùng phương pháp SOS.

.

Vì a, b, c là các số dương nên bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng. Cách 7: Không mất tính tổng quát ta giả sử Khi đó hay Theo BDT hoán vị thì và Cộng vế theo vế ta có kết quả mong muốn Cách 8: Theo Cauchy-Schwarz ta có:

Ta còn có :

Kết hợp lại là xong . Cách 9: BDT ban đầu tương đương với

hay :

Theo AM-GM:

.

Cộng theo vế 6 BDT tương tự ta có kết quả mong muốn. Cách 10:Không mất tính tổng quát giả sử Ta có:

và các dạng "hoán vị" của nó. Áp dung BDT:

ta có đpcm . Cách 11: Trước hết ta chứng minh

That vay, ta có thể viết lại là:

luôn đúng. Cộng vế theo vế là xong. Cách 12: . Khi đó: Giả sử

Theo Chebyshev và AM-GM, ta có:

Chứng minh xong. Cách 13: Ta có

.

Theo AM-GM ta có:

Cách 14: Đặt

Lúc đó

BDT cần chứng minh là

Ta chứng minh bằng phản chứng, nếu

thì theo 2 BDT quen thuộc ta có

Mâu thuẫn!!! Cách 15: Theo AM-GM cho 2 số thì

hay

Hoàn toàn tương tự, ta được

và

Cộng vế theo vế ta có kết quả

Cách 16: Ta có thể giả sử

Với x thuộc khoảng (0;3) ta có (dành cho bạn đọc)

Lần lượt thay x bởi a, b, c và cộng các BDT vừa đạt được theo vế ta có kết quả. Cách 17: Đặt thì BDT Nesbit trở thành Rút gọn ta có Áp dụng AM-GM cho 6 số là xong. Cách 18: (Áp dụng BDT Jensen cho hàm lõm) Đặt

Với t dương, xét hàm số

Dễ thấy

Theo BDT Jensen

Mặt khác

do đó hàm f tăng ngặt trên

. Suy ra

Suy ra điều phải chứng minh. Cách 19: (Theo Hojoo Lee) Theo AM-GM ta có các BDT

và

Suy ra

hay

Điều này quá gần với BDT Nesbit. Công việc còn lại dành cho bạn đọc. Cách 20: Ta có: Áp dụng BDT sau của Vasile Cirtoaje (có thể tìm thấy chứng minh trong cuốn Sáng tạo BDT của Phạm Kim Hùng).

Áp dụng BDT Schwarz cho 3 số