Clase No. 5 - Tablas De Verdad.ppsx

Clase No. 5

Ing. Esau Hernandez

Proposiciones compuestas (Disyunción, Conjunción, Negación, Condicional, Bicondicional)

Ing. Esau Hernandez

p v q (se lee: ” p o q”)

DISYUNCIÓN La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas. EJEMPLOS: p = ” El numero 2 es par”

q = ” la suma de 2 + 2 es 4″ entonces… pvq: “El numero 2 es par o la suma de 2 + 2 es 4″ p = ” La raíz cuadrada del 4 es 2” q = ” El numero 3 es par″ entonces… pvq: “La raíz cuadrada del 4 es 2 o el numero 3 es par” Ing. Esau Hernandez

p ^ q (se lee: ” p y q”) CONJUNCIÓN La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas. EJEMPLOS: p = ” El numero 4 es par” q = ”Siempre el residuo de los números pares es 2″

entonces… p^q: “El numero 4 es par y Siempre el residuo de los números pares es 2″

p = ” El numero mas grande es el 34” q = ”El triangulo tiene 3 lados″ entonces… p^q: “El numero mas grande es el 34 y El triangulo tiene 3 lados” Ing. Esau Hernandez

-p (se lee: ”La negación de p”)

NEGACIÓN La negación es un operador que se ejecuta. sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada. EJEMPLOS p: “4 + 4 es igual a 9” -p: “4 + 4 no es igual a 9″ p: “El 4 es un numero par” -p: “El 4 no es un numero par”

Ing. Esau Hernandez

p → q (se lee: ” p entonces q”) CONDICIONAL

El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso. La condicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por p → q

EJEMPLOS p: “llueve” q: “hay nubes” p→q: “si llueve entonces hay nubes” p: “Hoy es miércoles” q: “Mañana será jueves”

p→q: “Si Hoy es miércoles entonces Mañana será jueves”

p <→ q (se lee: ” p si y solo si q”)

BICONDICIONAL El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad difieren.

EJEMPLOS p: “10 es un número impar” q: “6 es un número primo” p↔q: “10 es un número impar si y solo si 6 es un número primo” p: “3 + 2 = 7” q: “4 + 4 = 8”

p↔q: “3 + 2 = 7 si y solo si 4 + 4 = 8″

Ing. Esau Hernandez

Verdad Indeterminada o Contingencia Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso: Su tabla de verdad se construye de la siguiente manera: Ocho filas que responden a los casos posibles que pueden darse según el valor V o F de cada una de las proposiciones A, B, C. (Columnas 1, 2, 3) Una columna (Columna 4) en la que se establecen los valores de aplicando la definición del disyuntor a los valores de B y de C en cada una de las filas.(Columnas 2,3 → 4) Una columna (columna 5) en la que se establecen los valores resultantes de aplicar la definición de la conjunción entre los valores de A (columna 1) y valores de la columna , (columna 4) que representarán los valores de la proposición completa , cuyo valor de verdad es V o F según la fila de los valores de A, B, y C que consideremos. (Columnas 1,4 → 5) Donde podemos comprobar cuándo y por qué la proposición es V y cuándo es F

Si es verdadera una contingencia.

y

falsa,

la

proposición

es

Ing. Esau Hernandez

Contradicción Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:

Procederemos de manera similar al caso anterior. Partiendo de la variable A y su contradicción, la conjunción de ambos siempre es falso, dado que si A es verdad su contradicción es falsa, y si A es falsa su contradicción es verdad, la conjunción de ambas da falso en todos los casos.

Si la tabla de verdad una contradicción.

es

siempre

falsa,

será

Ing. Esau Hernandez

Tautologías Se entiende por proposición tautológica, o tautología, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es V. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso: Siguiendo la mecánica algorítmica de la tabla anterior construiremos su tabla de verdad, tenemos la variable A en disyunción con su contradicción, si A es verdad, su negación es falsa y si A es falsa su negación es verdad, en cualquier caso una de las dos alternativas es cierta, y su disyunción es cierta en todos los casos. Si la tabla de verdad de la proposición es siempre verdadera, independientemente de la verdad o falsedad de las proposiciones simples, entonces la expresión es tautológica.

Ing. Esau Hernandez

Tarea •

Establecer si las siguientes proposiciones son tautologías, contingencias o contradicciones. (a) (p −→ q) ∧ (q −→ p) (b) [p ∧ (q ∨ r)] −→ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] (c) (p ∨ ¬q) −→ q (d) p −→ (p ∨ q) (e) (p ∧ q) −→ p (f) [(p ∧ q) ←→ p] −→ (p ←→ q) (g) [(p −→ q) ∨ (r −→ s)] −→ [(p ∨ r) −→ (q ∨ s)]

Ing. Esau Hernandez

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