Clase 3 4

Clase 3-4

EES. Luis A Ramírez P 17.811.609 Nº 29

Bandas de energía en los sólidos Modelo de KRONIG-PENNEY En física del estado solido, el modelo de Kronig-Penney, formulado por los físicos Ralph Kroning y William George Penney, describe los estados de energía de un electrón perteneciente a un cristal. Para esto supone que la estructura cristalina configura un potencial periódico, de cambios

Siguiendo el modelo de Kronig-Penney , el siguiente gráfico representaría la función potencial de un átomo aislado.

En la figura, X representa la posición sobre un eje que pasa por el núcleo, y cuyo origen esta en el núcleo. También se observan los estados energéticos, y se ocupan siguiendo el principio de exclusión de Pauli. En una visión clásica los

El siguiente gráfico, muestra otro modelo de Kronig-Penney. Que representaría la superposición de las Funciones de Potencial de átomos adyacentes.

Clásicamente el electrón está compartido, moviéndose entre los dos iones, si su energía potencial es superior a un cierto valor E0, pero Cuánticamente, un electrón puede pasar de un ión al otro incluso para

En la siguiente figura, se puede observar el comportamiento de un electrón en una red de cristal unidimensional.

Puede observarse que cuando un electrón pasa cerca de un átomo es acelerado, y cuando se aleja es desacelerado hasta que entra en el campo de acción del próximo átomo, estableciéndose niveles de energía potencial que delimitan el movimiento del electrón a través de la red.

Kronig – Penney plantean un modelo matemático de potencial iónico periódico, que permite describir el comportamiento de los electrones V(x) dentro del cristal. Vo E

I

II

x -b a+b

0

a L=a+b

Este modelo describe el movimiento de un solo electrón en la una red cristalina periódica unidimensional. Este atraviesa en forma dos tipos de regiones en forma alternada: región I Ep = 0 región II Ep = E0

Ese movimiento de la partícula esta descrito por la Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

En

el modelo unidimensional de Kronig-Penney el potencial presenta discontinuidades abruptas que, si

Determinación de las funciones de bloch La solución del sistema requiere resolver la ecuación de Schrodinger sujeta a las condiciones en las regiones I (V(x) = 0) y II (V(x) = Vo), resultando: Región I: Región II: Luego Los coeficientes A, B, C y D se obtienen de las condiciones de continuidad para la función de onda y su primera derivada, las que

y además: Aplicando estas condiciones resulta sistema de cuatro ecuaciones cuya solución seria:

un

El lado derecho de la ecuación se puede convertir en una función de la energía f(E):

Esta función queda limitada entre los valores +1 y -1 por la condición impuesta por el segundo

Diagrama del Espacio ` K´ En la siguiente figura podemos hallar la energía total para un electrón que lleva cierta velocidad, y nos damos cuenta que esta energía es igual a la energía cinética.

La partícula libre:

En el siguiente diagrama de E vs. K se observan las bandas de energía permitidas y prohibidas

La banda prohibida, define la cantidad de energía que se debe inyectar al electrón para pasarlo de la banda de valencia a la de conducción. La variación de

La banda de valencia para la mayoría de los semiconductores se da para un k = 0, pero la banda de conducción tiene dos posibilidades: 

k=0, estos semiconductores se conocen como de banda de separación directa y son óptimamente activos.



K diferente de 0, estos semiconductores se conocen como de banda de separación indirecta, son muy agudos con la luz y no sirven como dispositivos ópticos eficaces activos.

Donde: EC : Energía de la banda de conducción. EV : Energía de la banda de valencia.

Conducción Eléctrica en los Sólidos

Modelo de enlace La siguiente figura, es la representación bidimensional del enlace covalente en un El Ge y Si forman enlaces semiconductor para K=0. covalentes, cuando están en el cero absoluto forman todos los enlaces. El Si comparte los electrones de valencia con sus niveles mas bajos.

En la siguiente figura se muestra la ruptura de un enlace covalente:

De allí podemos decir, si incremento la T, se aumentan las vibraciones y por lo tanto la energía cinética, y puede ser suficiente para romper los enlaces. En este caso el electrón quedaría libre y pasa a otro hueco o a la banda de conducción como se muestra en la siguiente figura.

Los puntos negros indican los electrones y los blancos los huecos, se observa que por cada electrón que salta a la banda de conducción queda un hueco en la banda de valencia que se desplaza a través de ésta.

Corriente de Arrastre Puede definirse como la concentración de impurezas (Huecos y electrones) que se desplazan formando regiones de dolarización para lograr así obtener un equilibrio. En cuanto al modelo de bandas, se puede decir que los estados no se ocupan simétricamente como se muestra en la figura:

Masa Efectiva del Electrón Cuando se aplica un campo eléctrico al cristal, ese portador se acelera, pero actúan fuerzas internas, el problema mecánico se resuelve variando la masa y omitiendo las fuerzas internas, el cristal depende de la masa. La ecuación que nos lleva al concepto de masa efectiva es la siguiente:

La siguiente figura muestra la banda permitida de conducción:

En el punto Ec, se puede aproximar la parábola, por esto se plantea la siguiente relación: E-Ec=C1×(K), donde k tiene potencia 2

El Concepto de Hueco Es un enlace covalente roto, si el electrón salta a ocupar un estado, este electrón deja libre un hueco, y si salta a llenar un hueco, estaríamos hablando de una conducción de valencia. La siguiente figura ilustra un poco este proceso.

Allí se puede observar el electrón saltando a ocupar un hueco, entonces se trata de

En el siguiente grafico, se puede observar que en un grafico E vs. K, podemos hacer una aproximación de parábola invertida, queriendo explicar con esto que la masa efectiva depende de la energía y es negativa.

Para la aproximación de la parábola,

Para continuar con la definición del hueco, planteamos la siguiente ecuación:

donde m* es la masa efectiva positiva si se trata de huecos, y negativa si hablamos de electrones, y C2 es una CTE positiva, lo que quiere decir que el electrón se mueve cerca de la parte superior de una banda permitida y se comporta

Metales, Aislantes y Semiconductores La banda se forma cuando los átomos se fraccionan, se separan unos de los otros, si los estados son permitidos, son bandas permitidas, casi todos los estados de la B.V están ocupados. En la figura se muestran cuando la banda permitida esta llena y vacía.

Para seguir con el análisis de los metales, aislantes y semiconductores, veamos el siguiente grafico.

Si la banda de valencia esta llena y la banda de conducción vacía, significa que todos los portadores están unidos en su estructura, este seria el caso de un aislante. En los

2)

6)

en el caso del metal, hay 2 tipos. La B.C parcialmente llena y la B.V llena.

La banda de conducción llena, en esta caso se solapan y tendríamos una banda de valencia solapada.

Para entender un poco mas acerca de las bandas prohibidas de los metales, aislante, y semiconductores, se presenta el siguiente grafico:

se muestra que para los aislantes la banda prohibida es muy grande, la energía necesaria para saltar a la banda de conducción es de 6 ev.

En el caso de los semiconductores, posee una resistencia media, y su energía necesaria para llevar un electrón a la banda de conducción es de 1 ev. En cambio para el caso de los metales, La banda de conducción y de valencia se solapan, poseen electrones muy débilmente asociados al medio, tienen baja resistividad y alta conductividad

Modelo de Bandas de Energía Tridimensional

De la figura, se puede decir que en un cristal tridimensional, sucede que el potencial cambia con la dirección de los planos.

En la siguiente figura se muestra la estructura de bandas de energía del AsGa.

Podemos observar que los átomos están en diferentes direcciones, por lo tanto la grafica no es simétrica. Este es el tipo de semiconductor de banda prohibida directo y sirven como fuentes fotónicas.

otro tipo de semiconductor seria el de banda prohibida indirecto, y se muestra en la siguiente figura.

Se puede observar que el mínimo de la B.C y el máximo de la B.v están en diferentes puntos o sea diferentes valores de K la diferencia de energía se la emite al cristal. El Ge y Si pertenecen a estos semiconductores.

Función de densidad de estados La corriente se da en los estados libres en la banda de conducción, y para poder modelar esa corriente, se toma 1/8 del espacio esférico K positivo como lo indica la siguiente figura.

Al analizar el modelo de pozo de potencial en tercera dimensión, se obtiene la siguiente ecuación.

y se plantea un modelo para los estados.

La densidad del estado para la banda de valencia y la banda de conducción se puede hallar mediante la siguiente ecuación: Esta ecuación da negativa, porque la densidad de estados de energía en la banda de conducción y en la banda de valencia en función de la energía es negativa.

PORTADORES EN EQUILIBRIO TÉRMICO El Semiconductor Intrínseco Es un semiconductor ideal, su red cristalina esta formada solo por átomos de un mismo tipo (Si o Ge), no presenta defectos en su estructura, y sus enlaces covalentes están completos.

Semiconductor Extrínseco Es un semiconductor que se le añaden a su red cristalina cierta cantidad de impuraza para doparlo o contaminarlo y modificar su concentración de portadores. Las impurezas modifican el nivel de energía de Fermi, aumentado la probabilidad de que los portadores sean excitados a niveles de energía menores que las necesarias en la concentración intrínseca. Existen 2 tipos de semiconductores

1.

Semiconductores tipo N: la impureza es pentavalente es decir 5 electrones de valencia donan electrones al material ya que 4 electrones forman enlaces covalentes y el otro electrón queda disponible.

2) Semiconductores tipo P: La impureza inyectada es trivalente, es decir 3 electrones de valencia crea deficiencia en el material ya que solo tres electrones forman enlaces covalentes dejando un enlace roto (hueco) por cada átomo contaminante.

Para 0° K el semiconductor se comporta como un aislante, es decir, los electrones de valencia ocupan completamente la banda de valencia. En los semiconductores intrínsecos la concentración de electrones n = ni y la concentración de huecos p = pi, y ni = pi; el producto de las concentraciones es: Esta ecuación se conoce como EC de equilibrio del semiconductor. Para calcular la concentración de

La siguiente es la integral de FermiDirac en función de la energía de Fermi. Se dice que hay una relación casi directa con el argumento, por ello, la integral se puede considerar como una constante. Analicemos la siguiente grafica:

Esta grafica es una función de probabilidad, y representa la probabilidad que tiene un semiconductor de alcanzar un nivel de energía. El nivel de Fermi especificado, es el encargado de garantizar el equilibrio en la función de probabilidad.

En un grafico de temperatura intrínseca en función de la concentración de la base, observamos que al aumentar la temperatura, aumenta la conductividad como se muestra a continuación.

Dadores y Aceptores Vamos a analizar la siguiente figura:

Mediciones de niveles de energía de diversas impurezas en Ge, Si y GaAs. Los niveles debajo del centro de la banda prohibida se midieron desde la parte superior de la banda de valencia y son aceptores al menos que se indique con D, como nivel de dador. Los niveles por encima del centro de la banda prohibida se midieron desde la parte inferior de la banda de conducción y son niveles de dadores al menos que se indiquen con A, como nivel de aceptor. Las

Nivel de Fermi Es el nivel de energía de un estado ficticio donde los electrones no interactúan entre si . Las siguientes figuras muestran el esquema de banda de energía, Estados de la Densidad, Distribución de FermiDirac y La concentración de portadores para el semiconductor intrínseco en equilibrio térmico.

La siguiente figura muestra lo mismo, pero en este caso para un semiconductor tipo n:

y esta ultima figura lo muestra para un semiconductor tipo P

Y por ultimo se puede decir que el nivel de energía de un aceptor, esta siempre ubicado en la banda de valencia.

Lo siguiente es el método grafico para determinar el nivel de energía de Fermi

Transporte de Portadores. Propiedades de los Semiconductores Movilidad

Movilidad A la hora de producir una corriente eléctrica no es lo mismo trabajar con silicio tipo P, que con silicio tipo N. En el silicio tipo N la conducción la producen los electrones y en el tipo P la producen los huecos. Sin embargo no se requiere la misma energía para mover un electrón que para mover un hueco, a este parámetro se le denomina movilidad. Se mide en cm/Vs (centímetros / (voltio·segundo), y depende el material y de la concentración de portadores.

Para hacer referencia a la movilidad, se muestra el siguiente grafico.

Resistividad y Efecto Hall Estudia el efecto a la presencia de un campo magnético sobre cada partícula que está en la muestra de un material semiconductor. Una configuración básica para medir la concentración de portadores para medir el efecto hall seria:

En la siguiente figura se muestra la Dependencia del coeficiente Hall extraordinario y la resistividad longitudinal como función de la temperatura; en el recuadro superior se observa la correlación entre R y la resistividad ρxx. A

La resistividad en función de la concentración de impurezas para el silicio a 300 K seria:

Procesos de Recombinación La recombinación se da a través de 2 procesos físicos, recombinación directa y recombinación indirecta. 

Recombinación

Directa:

En la recombinación directa un electrón de la banda de conducción y un hueco de la banda de valencia se combinan sin la participación de ningún estado intermedio, es decir, se da una transición vertical entre un electrón cercano a la parte superior de la banda de valencia y un hueco cercano a la parte inferior de la banda de conducción, este proceso emite

A continuación se recombinación directa:

muestra

la

2) Recombinación Indirecta: Ocurre cuando un electrón de la banda de conducción y un hueco de la banda de valencia se combinan con la participación de un estado intermedio, es decir, la banda de conducción se encuentra a un valor de cantidad de movimiento diferente de cero (k ≠ 0). Esta transición requiere de

A continuación se muestra recombinación indirecta.

la