Presentacion 3 Y 4 Clase

ESTRUCTURAS DE BANDAS DEL SEMICONDUCTOR

MODELO DE KRONIG-PENNY Modelo matemático de potencial iónico periódico, que permite describir el comportamiento de los electrones dentro de un cristal.

El modelo considera a un único electrón desplazándose a través de la red, de tal manera que en la energía potencial Ep, es nulo en las regiones del tipo I y E0 en las de tipo II.

ECUACION DE SCHRODINGER El movimiento de la partícula esta determinado por la ecuación de Schrodinger

La soluccion de la ecuación es una función de onda bloch

Donde u(x) es la amplitud con el periodo de la red l, la forma de la amplitud m y los valores permitidos de k, son los que se deben determinar. La ecuación en la región I Ep(x) = 0:

Agrupamos Si

Solución Realizando las derivadas de la función de onda:

Por otra parte la solución en la región II Ep(x)= Eo

Si Combinamos

Derivamos

Solución

Expresando las ecuaciones en función de energía E dado que 0 E < Eo

El movimiento de los electrones en la red se puede asimilar a la propagación de una onda electromagnética en un cristal. La dispersión de la onda electromagnética por los átomos de la red, da lugar a una onda dispersada que se refuerza cuando se satisface la condición de Bragg es:

Donde a es la distancia entre los planos y es el ángulo que la dirección de propagación forma con los planos de la red. Para incidencia normal la condición de Bragg se convierte en Esta es la condición a aplicar para la propagación de ondas a lo largo de la red lineal. Si las ondas (1) y (2) son reflejadas por iones sucesivas A y A’, los rayos reflejados (1’) y (2’) tiene una diferencia de camino 2a y una diferencia de fase es Para una intensidad máxima de (1’) y (2’); esta diferencia de fase debe ser igual a 2pn ,tal que

Por consiguiente los valores k son aquellos para los cuales la red lineal impide el movimiento de electrones en una dirección dada y los obliga a moverse en la dirección opuesta. El conjunto de los valores de k comprendidos entre a ( ) constituye la primera zona de Brillouin. Para k comprendido a ( ) entre ( sucesivamente.

)y(

), tenemos la segunda zona de Brillouin, así

Las bandas permitidas y prohibidas se grafican en la relación E vs. k

En el gráfico E = f (k )se observa los valores de k no cercanos a los dados por la ecuación

La energía se aparece mucho a la de una partícula libre (indica con líneas de trazo). En consecuencia la red afecta el movimiento del electrón solo cuando k es cercano a y el efecto de producir discontinuidad de energía. Para los valores intermedios de k, los electrones se mueven libremente a través de la red. Las bandas de energía permitida son las correspondientes a las líneas llenas.

Modelo sencillo de bandas de energía. La ecuación de Schrödinger tiene soluciones para valores directos de energía en el caso de la partícula libre. Existe en el cristal un gran número de átomos que interactúan y que están distribuidos periódicamente, por lo tanto, la energía potencial del electrón es periódica. Así como los átomos interactúan entre sí, también lo hacen los niveles de energía y se desdoblan en tantos niveles como átomos existen en el cristal formando las bandas de energía.

CONDUCCIÓN ELÉCTRICA EN LOS SÓLIDOS METALES, AISLANTES Y SEMICONDUCTORES Banda de Energía permitida (llena)

Banda de Energía permitida (vacía)

Una banda completamente llena

Una banda vacía,

BANDA CONDUCCION VACIA

Eg BANDA VALENCIA LLENA

La banda prohibida de energía entre dos bandas permitidas.

CONDUCCIÓN ELÉCTRICA EN LOS SÓLIDOS METALES, AISLANTES Y SEMICONDUCTORES Alta resistividad

Aislante

Resistividad media y baja conductividad

Semiconductor

Baja resistividad y alta conductividad

Conductor

Concepto de hueco y electrón en el modelo sencillo de bandas de energía

Todos los estados de la banda de valencia están ocupados y la de conducción esta vacía es decir el material tiene resistividad infinita

Es un material intrínseco ( sin impurezas) por cada electrón existe un hueco. Si un semiconductor gana energía, entonces un portador de carga puede saltar de la banda de valencia a la banda de conducción

Semiconductor intrínseco Semiconductores puros, en los que la conducción se debe al aumento de electrones originados por la temperatura. Los portadores de carga son los electrones y huecos. Los semiconductores intrínsecos no presentan impurezas en su estructura, y están constituidos solamente por el elemento tetravalente semiconductor, Germanio y Silicio puro

PORTADORES EN EQUILIBRIO TÉRMICO EL SEMICONDUCTOR INTRÍNSECO

Integral de Fermi- Dirac F1/2en función de la energía de Fermi

Densidad de portadores intrínseco de Ge, Siy GaAsen función del inverso de la Temperatura

Temperatura intrinseca en función de la concentracion de la base

Concentracion de portadores Se ha encontrado que la concentración de portadores en equilibrio térmico en un semiconductor intrínseco depende de la temperatura de la siguiente manera:

Si a un semiconductor intrínseco se le agrega una cantidad ND de impurezas donadoras por metro cúbico, y una cantidad NA de impurezas aceptadoras por metro cúbico se debe cumplir:

Resistividad de los semiconductores Variación de la resistividad del Si con la temperatura. Se muestran los casos del Si puro y dopado con Boro, para dos concentraciones. Las escalas son logarítmicas. Recordar que el punto de fusión del Si es de 1687 K ( 1960 oC ).

NIVEL DE FERMI Nivel de energía de un estado ficticio donde los electrones no interactúan entre si, y que sirve de referencia. La probabilidad de ocupación del nivel de Fermi es igual a 0.5.El nombre es en honor a Enrico Fermi

El semiconductor intrínseco en equilibrio térmico

El semiconductor tipo n. En equilibrio térmico

El semiconductor tipo p, en equilibrio térmico.

EFECTO HALL El efecto Hall consiste en la aparición de un campo eléctrico en un conductor cuando es atravesado por un campo magnético. A este campo eléctrico se le llama campo Hall. Llamado efecto Hall en honor a su descubridor Edwin Duntey Hall