Cinematica

Postulados de la relatividad especial Transformacion de Lorentz Geometria del espacio-tiempo Velocidad y aceleracion tetradimencional Tetravector energia-momento

Cinemática relativista Ticse Torres Royer. Davila Aguilar Houston. Tópicos especiales IV:Física de partículas.

8 de septiembre de 2009

Ticse Torres Royer. Davila Aguilar Houston.

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Postulados de la relatividad especial

2

Transformacion de Lorentz

3

Geometria del espacio-tiempo

4

Velocidad y aceleracion tetradimencional

5

Tetravector energia-momento

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Espacio y tiempo en mecánica clásica

Existen sistemas inerciales de referencia, con relación a los cuales la partícula libre (punto material) está en movimiento uniforme y rectilineo (el reposo es un caso particular de semejante movimiento). En cualquier sistema inercial de referencia, el espacio libre de la materia es homogéneo e isotrópo y el tiempo homogéneo. Con iguales condiciones iniciales, todo fenómeno mecánico transcurre de de la misma forma en todos los sistemas inerciales de referencia (principio de relatividad).

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Las interacciones entre cuerpos materiales y las señales que transmiten la información pueden propagarse a velocidad infinita. Las coordenadas y el tiempo en dos sistemas inerciales de referencia están relacionados por las transformaciones de Galileo. En todos los sistemas inerciales el tiempo es igual, o sea, absoluto. La simultaneidad también es absoluta. Transformaciones de galileo ~t ~r = ~r 0 + V t = t0

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Postulados

La física relativista comienza con el enunciado de dos postulados básicos. Postulado 1 Todas las leyes de la física, son idénticas en todos los sistemas de referencia. A diferencia del principio de relatividad galileana, ya no se hace mención única a la mecánica sino a todas las leyes de la física.

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Postulado 2 La velocidad de la luz en el vacío es igual en todos los sistemas de referencia inerciales, no depende del movimiento de la fuente o receptor de la luz. El caracter constante finito constante de la velocidad de la luz implica que las interacciones se transmiten con cierta velocidad y el tiempo y espacio se entremezclan.

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Consideremos dos sitemas inerciales de referncia S y S 0 . Desde el punto A se emiten señales en dos direcciones opuestas entre sí, como la velocidad de propagacion de la señal en ambos sistemas es igual a c, las señales llegaran a los puntos B y C, equidistantes de A, en un mismo instante en el sistema S 0 . Pero no serán simultaneos para el observador situado en el sistema S.

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Transformaciones de Lorentz

Sobre la base de las propiedades del espacio, tiempo y movimiento, necesitamos establecer las formulas que puedan sustituir las transformaciones de Galileo. De la homogeneidad del espacio y tiempo se desprenden que las transformaciones deben ser lineales: x 0 = αx + α0 y + β 0 z + βt t 0 = σx + δt + σ 0 y + δ 0 z

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Formulas relativistas de transformación de las coordenadas y el tiempo. x − Vt x0 = q 2 1 − Vc 2 y0 = y

z0 = z t − Vx/c 2 t0 = q 2 1 − Vc 2

Las tarsformaciones inversas se obtiene sustituyendo V por −V

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Suma de velocidades

Derivando la transformación de Lorentz para las coordenadas espaciales respecto a los tiempos t 0 o t, obtenemos: 0

~u =

~ + ~u − V

1−γ ~ γ V × ~ u 1 − Vc.~ 2

~) (~u × V

En el límite no relativista se recupera la ley de adicion galileana.

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Geometria del espacio-tiempo Transformaciones. Cuadrivectores Trivectores

x 0 = (x − Vt)γ

x 0 = x cos θ + y sen θ

y0 = y

y 0 = y cos θ − x sen θ

z0 = z Vx t 0 = (t − 2 )γ c

z0 = z Transformaciones de rotación en el espacio euclideano.

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Tansformaciones de rotacion en el espacio de Minkowksi

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Espacio de Minkowksi El espacio de Minkowksi es un espacio vectorial cuadrimencional similar a R4 cuyos elementos o puntos se denominan sucesos y tiene la forma x µ = (ct, ~x ). Los vectores cuadrimencionales que se definen en este espacio son denominados cuadrivectores. Se define el intervalo espacio-temporal entre dos sucesos como la cantidad 2 s12 = c 2 (t2 − t1 )2 − (~x2 − ~x1 )2 Elemento de linea. ds 2 = c 2 dt 2 − d~x 2 es invariante bajo las transformaciones de Lorentz.

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Figura: Diagama Espacio-tiempo

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La contracción de las longitudes y la dilatación de los tiempos, típicos efectos relativistas, aparecen ahora como consecuencia de la geometria minkowskiana. La descomposición de un intervalo espacio-temporal en sus proyecciones espacial y temporal sobre los ejes de los diversos sistemas de referencia es la responsable de que las distancias y las duraciones de un mismo proceso resulten diferentes para distintos observadores.

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Tensor métrico De la forma del elemento de linea, que nos indica de alguna forma distancia entre dos sucesos, introducimos el tensor métrico gµν : 

gµν

 1 0 0 0  0 −1 0 0   =  0 0 −1 0  0 0 0 −1

Así podemos escribir el elemento de linea: ds 2 = gµν dx µ dx ν . La existencia de un tensor métrico nos permite identificar vectores covariantes y contravariantes como distintas representaciones de un mismo objeto. Ticse Torres Royer. Davila Aguilar Houston.

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Vector. Componente contra y covariantes Diremos que αµ es un cuadrivector contravariante si se transforma bajo una transformacion de Lorentz como el vector de posición espacio temporal x µ de un suceso. α0µ = Λµν αν Definimos un vector covariante αµ como aquel que se transforma de acuerdo con una transformación de Lorentz inversa. αµ0 = (Λ−1 )νµ αν Un tensor se transforma como vector contravariante o covariante en cada uno de sus indices. Un escalar no se transforma bajo una transformación de Lorentz, es decir, α es un escalar si y solo si α0 = α. Ticse Torres Royer. Davila Aguilar Houston.

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Velocidad y aceleracion tetradimencional

Definimos el Tetravector velocidad como el vector: uµ =

uµ =

dx µ ≡ x˙ µ dτ

c p

1 − u 2 /c 2

,p

~u 1 − u 2 /c 2

de donde obtenemos: uµ u µ = c 2

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El tetravector aceleración se determina mediante las segundas derivadas de las coordenadas según el tiempo propio: wµ =

d 2x µ dτ 2

puede demostrarse que: uµ w µ = 0 es decir, la cuadrivelocidad y cuadriaceleración son perpendiculares entre sí.

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Tetravector energia-momento

La energía dividida por la velocidad de la luz y el impulso tridimencional de la partícula forman el cuadrivector energia-inpulso.   E , ~p pµ = c La primera componente es proporcional a la energia o la masa, que mediría un observador en movimiento relativo con respecto a la masa puntual cuyo vector impetu fuese , p0 = E0 /c. Por ello E0 y m0 se llaman respectivamente energía relativa y masa relativa.

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El cuadrado del módulo del cuadrivector energia-momento sería: (E0 /c)2 − ~p = (mc)2 = (E /c)2 donde ahora E y m son la energía y la masa propias; es decir, las que mediría un observador que se moviese con la partícula.

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Referencias

M. Bredov, V. Rumiantsev, I. Toptiguin. Electrodiámica Clasica,Editorial Mir,pp. 15-50 ,1986 L.D. Landau, E.M. Lifshitz. Teoria clasica de campos,Editorial Mir, 1986 J.D. Jackson. Classical Electrodynamics, Wiley Sons, 1999

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