Chapitre 8 - Sollicitations Simples

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CHAPITRE : X LES SOLLICITATIONS SIMPLES 1- Définition d’une contrainte : Contrainte de tension

σ =

en traction simple σ =

F S

dF dS

avec : σ : contrainte normale [MPa] F : effort normale [N] S : aire de la section droite [mm2] Dans le système international : 1 Pascal = 1 Newton / 1 m2

∑ dF = F

1 MPa = 106 Pa

s

1 GPa = 109 Pa

2- Définition d’une déformation :

Axes Allongement Déformation

X u εx

Y v εy

Z w εz

déformation :

u dx v εy = dy w εz = dz

εx =

coefficient de poisson ν :

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ν =

ε

y

ε

z

=

−

ε ε

x z

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3- TRACTION SIMPLE 3.1.Définition : Une poutre est sollicitée à l’extension (la traction) simple lorsqu’elle est soumise à deux forces directement opposées qui tendent à l’allonger.

Hypothèses : solide idéal, matériau homogène isotrope, poutre rectiligne de section constante.

r r F et F ' : actions extérieurs appliquées sur la poutre AB.

3.2. Etude des déformations :

D B

C

A

Nous limitons notre étude de la traction à la zone AB : zone des déformations élastiques. A-B : domaine de déformation élastique ; B-C : palier de plasticité ; C-D : domaine de déformation plastique ; D : point de rupture.

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3.3 Limite Conventionnelle d’élasticité Re 0,2 (MPa) Variante de Re, elle tient compte des imprécisions de la mesure, c’est-à-dire des imperfections de la droite AB et des appareils de mesure. Pour la mesure de Re on tolère un légère déformation permanente de 0,2 % (A% =0,2).

3.4. déformation dans le domaine élastique d’une poutre :

σ = E . εx = E

∆l l0

Nous constatons que la déformation εx est proportionnel à la contrainte σ . E : module d’élasticité longitudinale ou module d’Young.

3.5. déformation transversale :

ε y = −ν ε x ν : coefficient de poisson selon les matériaux 0,1 ≤ ν ≤ 0,5 (pour l’acier ν=0,3) r εy : contrainte selon (o, y ).

3.6. Condition de résistance :

σ

Max

≤ σ pe ou

F S

≤ σ pe ou

σ pe =

σe s

σpe : résistance pratique à la traction avec s : coefficient de sécurité. Dr. S. HAMZA

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3.7. Condition de déformation :

F .l0

∆l ≤ ∆llim

ou

E. S

≤ ∆llim

∆llim : limite d’allongement. 3.8. coefficient de concentration de contrainte de traction :

σ

Max

= kt σ

nom

1 p kt p 3

kt : est fonction de la forme de la pièce pour un filetage iso ( kt = 2.5 )

4. COMPRESSION SIMPLE définition : Une poutre est sollicitée à la compression simple lorsqu’elle est soumise à deux forces directement opposées à deux forces directement opposées et qui tendent à la raccourcir.

5. FLEXION SIMPLE 5.1. définition : une poutre est sollicité à la flexion plane simple lorsqu’elle est soumise à des r r forces situées dans son plan de symétrie ( G, x , y ) ou réparties symétriquement par rapport r à ce plan. Ces forces sont perpendiculaire à l’axe (G, x ) et peuvent être soit concentrées soit réparties suivant une loi déterminée.

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En un point quelconque M, de la section droite (S), on a :

mf

σM =

Gz

I Gz

. y

m f Gz : moment de flexion selon (G, yr ) dans S. IGz : moment quadratique de la section droite S à (G,

r z ).

5.2. Moment quadratique d’une section circulaire

I Gz

π d4 = 64

5.3. Moment quadratique d’une section rectangulaire

I Gz =

b h3 12

5.4. Condition de résistance

σ

Max

≤ σ pe ou

σ pe =

σe s

σpe : résistance pratique à la traction avec s : coefficient de sécurité.

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6. CISAILLEMENT SIMPLE 6.1. Définition : Une poutre est sollicitée au cisaillement simple lorsqu’elle est soumise à deux forces directement opposées à la ligne moyenne, et qui tendent à la cisailler.

6.2. contrainte dans une section droite (uniformément réparties)

τ moy =

T S

T : effort tranchant S : section 6.3. Glissement relatif

γ =

∆y ∆x

∆y : glissement transversal entre deux sections (S) et (S0) ∆x : distance entre deux section

τ moy = G . γ . = G .

Loi de Hooke :

∆y ∆x

G : module d’élasticité transversal de Colomb [MPa] ( acier G= 80 000 MPa) 6.4. Condition de résistance

R pg =

Reg s

Rpg : résistance pratique au glissement Reg : résistance élastique au glissement s : coefficient de sécurité La condition de résistance sera :

τ moy ≤ R pg

T ou

S

≤ R pg

Reg = f Re

(f = 05 pour l’acier doux ; f=0,7 pour l’acier mi dur et f= 0,8 pour l’acier durs)

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7. TORSION SIMPLE 7.1. Définition : une poutre est sollicité à la torsion simple lorsqu’elle est soumise, à ses deux extrémités à deux couples apposés de moments

mt portés par l’axe.

La poutre est supposée cylindrique de section circulaire constante.

r df =τ dS

τ : est la contrainte tangentielle au point M. 7.2. Relation contrainte- déformation

τ = G .ρ . θ G : module d’élasticité transversal τ : est maximale lorsque ρ = R θ : angle unitaire de torsion 7.3. Relation couple de torsion –contrainte

mt = G. θ . I0 τ Max =

r . mt I0

I0 : moment quadratique 7.4. Condition de résistance

τ Max ≤ τ p

τp : étant la contrainte tangentielle pratique Dr. S. HAMZA

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8. MATAGE définition : une solide 1 est sollicité au matage par un solide 2 si la pression superficielle sur la surface de liaison 1-2 entraîne une déformation permanente de cette dernière.

Avant matage

après matage

écrasement latéral des clavettes

Avant matage

après matage

gonflement des extrémités d’arbres

Condition de non matage

papp ≤ padm papp : pression appliquée padm : pression admissible

papp =

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dN 2 / 1 ds

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