Chapitre 3

Chapitre 3 : diviseurs d’un nombre et simplification de fractions Pour chaque séance, une banque d’exercices supplémentaires est prête pour les élèves rapides. Compétences de 3ème travaillées et institutionnalisées

• Nombres premiers entre eux • PGCD de deux nombres • Fractions irréductibles

Items de la grille de référence travaillés

le socle

N29 Savoir déterminer si deux entiers sont premiers entre eux. N 30 Savoir qu’une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. N31 Savoir simplifier une fraction pour la rendre irréductible.

Dans le cadre du socle, la simplification d’une fraction n’est exigible que dans des cas simples

Séance 1 : diviseurs d’un nombre entier Classe traditionnelle

Objectifs de la séance : Savoir déterminer si un nombre a est un diviseur d’un nombre b ; Savoir déterminer la liste des diviseurs d’un nombre entier ; Savoir déterminer la liste des diviseurs communs à deux et déterminer le plus que de ces diviseurs communs. Compétences travaillées : • •

Savoir utiliser les critères de divisibilité ; Savoir effectuer une division euclidienne ;

Activité 2 p 52 :

A : Liste de diviseurs 1) a) 20 = 1 × 20 20 = 2 × 10 20 = 4 × 5 b) 1 et 20, 2 et 10, 4 et 5 sont des diviseurs du nombre 20. c) 2 + 0 = 2. Donc, 20 n’est pas divisible par 3. On sait déjà que 5 est un diviseur de 20. d) La liste des diviseurs de 20 est 1, 2, 4, 5, 10 et 20. 2) Les diviseurs de 90 sont : 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 et 90. B : Nombres premiers a) Les diviseurs de 11 sont 1 et 11. Donc, 11 est un nombre premier. b) Les diviseurs de 4 sont 1, 2 et 4. Donc, 4 n’est pas un nombre premier. c) Les diviseurs de 2 sont 1 et 2. Donc, 2 est un nombre premier.

d) Les diviseurs de 34 sont 1, 2, 17 et 34. Donc, 34 n’est pas un nombre premier. e) Le nombre 1 admet un seul diviseur : 1. Donc, 1 n’est pas un nombre premier. f) Le nombre 0 admet tous les nombres sauf 0 pour diviseur. Donc, 0 n’est pas un nombre premier. A retenir : IDiviseurs et multiples : a- Définitions : Soit a, b et n trois nombres entiers naturels non nuls tel que n = a × b. • Les nombres a et b s’appellent des diviseurs de n. • Le nombre n s’appelle un multiple de a et de b. Exemple : On a 45 = 9 × 5 donc 9 et 5 sont des diviseurs de 45 et 45 est un multiple de 9 et 5. Remarque : lire les critères de divisibilité par 55. b- Nombres premiers : Définition : Un nombre premier est un nombre qui exactement deux diviseurs positifs. Exemple : 23 est un nombre premier car 23 n’a que deux diviseurs 1 et 23. 12 n’est pas un nombre premier, il est divisible par 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12. Activité 3 p 52 :

A : Notion de PGCD 1) a) Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8,12 et 24. Les diviseurs de 30 sont : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30. Les diviseurs de 35 sont : 1, 5, 7 et 35. b) Les diviseurs communs à 24 et 30 sont 1, 2, 3 et 6. Le plus grand est 6. c) Les diviseurs communs à 30 et 35 sont 1 et 5. Le plus grand est 5. d) Les diviseurs communs à 24 et 35 sont : 1. Le plus grand est 1. 2) Tout nombre entier est divisible par 1.

Donc, deux nombres entiers ont au moins le nombre 1 comme diviseur commun. 3) « PGCD (24 ; 30) = 6 ; PGCD (30 ; 35) = 5 ; PGCD (24 ; 35) = 1. » B : Propriétés du PGCD a) Les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs communs à b et a. Donc, PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a). b) Le plus grand des diviseurs de a est a. Donc, PGCD (a ; a) = a c) Si b est un diviseur de a, alors b est un diviseur commun à a et b et c’est le plus grand. Donc, PGCD (a ; b) = b. A retenir c- Diviseurs communs :

Définition : Les entiers naturels qui divisent à la fois deux entiers naturels a et b s’appellent les diviseurs communs à a et à b. Le plus grand diviseur commun : Le nombre qui est le Plus Grand Commun Diviseur de deux entiers naturels a et b s’appelle le PGCD de a et b. On note ce nombre PGCD (a ;b). Exemple : Déterminer le PGCD des nombres 12 et 54. Liste des diviseurs de 12 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12. Liste des diviseurs de 54 : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 ; 27 ; 54. Les diviseurs communs à 12 et 54 sont 1 ; 2 ; 3 et 6. Le PGCD de 54 et 12 est 6. Applications : Exercice 33 et 34 à la maison p 60 : Objectif : savoir déterminer la liste des diviseurs d’un nombre et le PGCD de deux nombres. 33 a) Les diviseurs de 15 sont : 1, 3, 5, 15. Les diviseurs de 25 sont : 1, 5, 25. PGCD (15 ; 25) = 5. b) Les diviseurs de 42 sont : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. Les diviseurs de 35 sont : 1, 5, 7, 35. PGCD (42 ; 35) = 7. c) Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Les diviseurs de 55 sont : 1, 5, 11, 55. PGCD (12 ; 55) = 1. 34 a) PGCD (5 ; 10) = 5. b) PGCD (150 ; 75) = 75. c) PGCD (71 ; 355) = 71. Séance 2 : séance d’exercice Classe traditionnelle

Objectifs de la séance : Savoir déterminer si un nombre a est un diviseur d’un nombre b ; Savoir déterminer la liste des diviseurs d’un nombre entier ; Savoir déterminer la liste des diviseurs communs à deux et déterminer le plus que de ces diviseurs communs. Compétences travaillées : • •

Savoir utiliser les critères de divisibilité ; Savoir effectuer une division euclidienne ;

Exercices 57 et 58 p 62 : Objectifs : connaître et savoir utiliser les critères de divisibilité.

Exercices 60 p 62 : Objectif : savoir dresser la liste des diviseurs d’un nombre. 60a) Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12. b) Les diviseurs de 11 sont : 1, 11. c) Les diviseurs de 31 sont : 1, 31. d) Les diviseurs de 49 sont : 1, 7, 49. e) Les diviseurs de 51 sont : 1, 3, 17, 51. Exercice 77 p 63 : Objectif : savoir dresser la liste des diviseurs de deux nombres et déterminer leur PGCD. 1) a) Les diviseurs de 42 sont : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. Les diviseurs de 56 sont : 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56. Les diviseurs communs à 42 et 56 sont : 1, 2, 7, 14. b) Le nombre entouré est 14. c) Les diviseurs de 14 sont : 1, 2, 7, 14. On remarque que les diviseurs du PGCD de 42 et 56 sont les diviseurs communs à 42 et 56. 2) a) Les diviseurs de 90 sont : 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. Les diviseurs de 72 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. Les diviseurs communs à 90 et 72 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18. b) Le nombre entouré est 18. c) Les diviseurs de 18 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18. On remarque que les diviseurs du PGCD de 90 et 72 sont les diviseurs communs à 90 et 72. Exercice 41 p 60 : Objectif : savoir identifier un problème relevant d’un calcul de PGCD. 1) On place n carrés de côté c sur la longueur. Donc, 935 = n × c. On place p carrés de côté c sur la largeur. Donc, 385 = p × c. c est donc un diviseur commun à 935 et 385. 2) a) Pour utiliser le moins de carrés possibles, le nombre c doit être le plus grand possible. c est donc le plus grand des diviseurs communs à 935 et 385, c’est-à-dire leur PGCD. b) c = PGCD (935 ; 385) = 55. c) 17 × 7 = 119. Il faudra 119 carrés de moquette. A la maison exercice 65 p 62 et 74 p 63 : Objectif : • Savoir déterminer si un nombre est premier.

•

savoir dresser la liste des diviseurs de deux nombres et déterminer leur PGCD.

65a) 357 est divisible par 3 (3 + 5 + 7 = 15). Donc, 357 n’est pas un nombre premier. b) 301 = 7 × 43. Donc, 301 n’est pas un nombre premier. c) Les diviseurs de 139 sont 1 et 139. Donc, 139 est un nombre premier. d) 143 = 11 × 13. Donc, 143 n’est pas un nombre premier. 74a) Les diviseurs de 15 sont : 1, 3, 5, 15. Les diviseurs de 18 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18. Les diviseurs communs à 15 et 18 sont : 1, 3. b) Les diviseurs de 25 sont : 1, 5, 25. Les diviseurs de 30 sont : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Les diviseurs communs à 25 et 30 sont : 1, 5. c) Les diviseurs de 26 sont : 1, 2, 13, 26. Les diviseurs de 28 sont : 1, 2, 4, 7, 14, 28. Les diviseurs communs à 26 et 28 sont : 1, 2. Séance 3 : l’algorithme des différences. Classe traditionnelle

Objectifs de la séance : Savoir que si un nombre divise a et b alors il divise a-b (a>b) et réciproquement ; Connaître et savoir appliquer l’algorithme des différences. Compétences travaillées : •

Savoir utiliser ses connaissances pour démontrer une propriété.

Activité 4 p 53 : Les élèves risquent de ne pas se lancer facilement dans l’activité.

A : Propriétés 1) a) d divise a et b. Donc, il existe deux entiers n et n’ tels que a = n × d et b = n’ × d. On a alors : a - b = n × d - n’ × d = (n - n’) × d. Donc, d divise a - b. On peut donc affirmer que d divise b et a - b. b) d divise b et a - b. Donc, il existe deux entiers n et n’ tels que a - b = n × d et b = n’ × d. On a alors : a = a - b - b = n × d - n’ × d = (n - n’) × d. Donc, d divise a. On peut donc affirmer que d divise a et b. 2) Les diviseurs communs à a et b sont les mêmes que les diviseurs communs à b et a - b. 3) On en déduit que PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a - b). B : Algorithme des soustractions successives 145 - 87 = 58, d’où PGCD (145 ; 87) = PGCD (87 ; 58) ;

87 - 58 = 29, d’où PGCD (87 ; 58) = PGCD (58 ; 29) ; 58 - 29 = 29, d’où PGCD (58 ; 29) = PGCD (29 ; 29). Or, PGCD (29 ; 29) = 29. Donc, PGCD (145 ; 87) = 29. A retenir : IIMéthodes de calcul du PGCD de deux nombres : a- Propriétés : a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs.  PGCD(a ;a) = a ;  PGCD(b ;a) = PGCD(a ;b) ;  Si b est un diviseur de a, alors PGCD(a ;b) = b. b- Algorithme des différences : Propriété : a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs avec a>b. PGCD(a ;b) = PGCD(b ; a-b). Méthode et exemple : Déterminer le PGCD de 84 et 36 : On utilise l’algorithme des différences a 84 48 36 24 12

b 36 36 12 12 12

a-b 48 12 24 12 0

La dernière différence non nulle est 12. On a PGCD(84 ;36) = 12 Applications : Exercice 37 p 60 avec l’algorithme des différences : Objectif : savoir utiliser l’algorithme des différences pour calculer le PGCD de deux nombres. a b a-b 145 116 29 116 29 87 87 29 58 58 29 29 29 29 0 29 0 29

a

b 425 289

a-b 136 289 136 153

153 136 119 102 85 68 51 34 17 a

136 17 17 17 17 17 17 17 17 b

121 85 49 36 23 13 10 7 4 3 2 1 a 274 137

a-b 85 36 36 13 13 10 3 3 3 1 1 1

b

17 119 102 85 68 51 34 17 0

36 49 13 23 10 3 7 4 1 2 1 0

a-b 137 137 137 0

Exercice 42 p 60 : Objectif : savoir identifier un problème relevant d’un calcul de PGCD. 1) 388 291 97 291 97 194 194 97 97 97 97 0 Donc, PGCD (291 ; 388) = 97. Le fabriquant pourra réaliser 97 lots. 2) Chaque lot contient 4 stylos bleus et 3 stylos noirs.

Séance 4 : l’algorithme d’Euclide Classe traditionnelle

Objectifs de la séance : Savoir que si un nombre divise a et b alors il divise le reste de la division euclidienne de a par b (a>b). Connaître et savoir appliquer l’algorithme des différences. Connaître et savoir appliquer l’algorithme d’Euclide. Compétences travaillées : •

Savoir utiliser ses connaissances pour démontrer une propriété.

Activité 5 p 53 :

A retenir : Suite du IIc- Propriété : a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs tels que a>b. PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r) où r est le reste de la division euclidienne de a par b. Exemple : PGCD(36 ;16) = 4 36 = 16 × 2 + 4 4 est aussi le PGCD de 16 et de 4. d- L’algorithme d’Euclide. a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs tels que a>b.

a et b sont deux nombres entiers avec a >b

Effectuer la division euclidienne de a par b. Remplacer a par b et b par r

Le reste est-il nul ? non

(c'est à dire a est-il multiple de b ?)

oui

PGCD(a;b) = b Exemple : Déterminons PGCD(252,360) - on divise le plus grand par le plus petit : 360 252 108

1

- on divise le diviseur précédent par le reste précédent 252 108 36

2

- on divise le diviseur précédent par le reste précédent 108 36 0

3

- le reste est nul, on arrête. PGCD(252 , 360) = 36 (dernier reste non nul) Application : Exercices 38 et 39 (à la maison) p 60 : Objectif : savoir utiliser l’algorithme d’Euclide pour calculer un PGCD.

Séance 5 : pourquoi « algorithme » et comparaison des méthodes. Salle informatique

Objectifs de la séance : Savoir que si un nombre divise a et b alors il divise a-b (a>b) et réciproquement ; Savoir que si un nombre divise a et b alors il divise le reste de la division euclidienne de a par b (a>b). Connaître et savoir appliquer l’algorithme des différences. Connaître et savoir appliquer l’algorithme d’Euclide. Compétences travaillées : •

Savoir utiliser un tableur et analyser les résultats fournis par celui-ci. Fiche de travaux pratiques assistés par ordinateur : (B2i). Calcul du PGCD de deux nombres entiers positifs.

Par deux, un élève écrivant les réponses aux questions sur une copie et l’autre manipulant l’ordinateur (en inversant les rôle après l’activité II-). I-

Algorithme ? Pourquoi les méthodes pour trouver un PGCD vues dans les activités précédentes sont-elles appelées algorithmes ?

II-

L’algorithme des différences : Je vous rappelle que dans un tableur, toute formule commence par « = ». La fonction MAX(x ;y) donne la plus grande valeur entre x et y, tandis que la fonction MIN(x ; y) donne la plus petite valeur entre x et y. On se propose pour PGCD de 493 et de 377 à différences. abcd-

Recopiez la feuille de calcul ci-contre : Quelle formule doit-on écrire dans la cellule D3 ? Dans quelle colonne va-t-on utiliser la fonction MAX ? la fonction MIN ? Quelles formules doit-on écrire dans les cellules B4, C4 et D4.

commencer de calculer le l’aide de l’algorithme des

Appelez-moi lorsque vous avez répondu à ces trois questions. Quel est le PGCD de 493 et 377 ? III-

L’algorithme d’Euclide : La fonction MOD(x ;y) donne le reste de la division euclidienne de x par y. On se propose pour commencer de calculer le PGCD de 493 et de 377 à l’aide de l’algorithme d’Euclide. a- Prendre une nouvelle feuille de calcul puis reprendre l’étape a- de la partie II- en remplaçant « algorithme des différences » par « algorithme d’Euclide » et « Différence » par « Reste ». b- Quelle formule doit-on écrire dans la cellule D3 ? c- Quels sont les deux nombres de la ligne 3 qu’il faut reporter sur la ligne 4 ? d- Quelles formules doit-on inscrire dans les cellules B4, C4 et D4. e- « Tirer » la ligne 4 vers le bas. Quand doit-on s’arrêter ? f- Retrouve t-on le résultat obtenu au II- ? en combien d’étapes ? Compléter

IV-

Nombre d’étapes A. A. Euclide Différences

PGCD(31 929;15 047) = .................... PGCD(1939;1945) = .................... Comparaison des algorithmes.

Tester avec d’autres nombres, quel semble être l’algorithme le plus efficace. A la maison : Exercice 94 p 64 : Objectif : savoir identifier un problème relevant d’un calcul de PGCD et savoir calculer un PGCD.

Séance 6 : nombres premiers entre eux et simplification de fractions. (seuls les cas simples sont exigible dans le socle commun) Classe traditionnelle

Objectifs de la séance : Connaître et savoir appliquer l’algorithme des différences. Connaître et savoir appliquer l’algorithme d’Euclide. N29 Savoir déterminer si deux entiers sont premiers entre eux. N 30 Savoir qu’une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. N31 Savoir simplifier une fraction pour la rendre irréductible. Compétences travaillées :

Savoir réinvestir ses connaissances. A retenir : IIILes nombres premiers entre eux : a- Définition : On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Exemple : Tous les diviseurs de 10 sont : 1, 2, 5, 10 Tous les diviseurs de 7 sont : 1, 7 donc PGCD(10,7) = 1 On dit que 10 et 7 sont premiers entre eux. Activité en classe à l’oral principalement : a- Que signifie simplifier une fraction ? b- Simplifiez la fraction1612. On pourra mettre en évidence la décomposition en produit de facteurs premiers. c- Simplifiez la fraction 624412348. Le but ici est de revenir à la recherche d’un nombre divisant à la fois 6244 et 12348, il faut essayer de trouver le plus grand nombre possible donc le PGCD. A retenir : b- Simplification de fraction : a- Définition : Lorsqu’une fraction ne peut plus être simplifiée on dit qu’elle est irréductible. C’est le cas lorsqu’on ne peut pas trouver un nombre autre que 1 qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur. b- Propriété : Si le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont premiers entre eux, alors cette fraction est irréductible. Exemple : Les fractions

et

10 7

sont-elles irréductibles ? Dans le cas contraire, les rendre

252 360

irréductible. 1) PGCD(10,7) = 1 donc est irréductible. 2) PGCD(252,360) = 36 donc n’est pas irréductible (= ) c- Méthode : Pour simplifier une fraction, il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Exemple : PGCD(252,360) = 36 donc = = Applications : Exercices 44 et 51 p 61 : Exercice 43 et 53 à la maison :

Séance 7 : bilan. Classe traditionnelle

Objectifs de la séance : Tous les objectifs du chapitre. Exercices 96 à 100 p 64.