Chapitre 3

Rafael Teixeira Pinto

Cour de Mathématique

6 Eco-Fl

Chapitre 3 – Calcul différentiel, primitive et intégrale Primitive d’une fonction Soit une fonction f défini sur un intervalle I Une primitive de f sur cet intervalle I est une fonction F définie et dérivable sur I telle que:

F’(x) = f(x) sur I

Recherche d’une primitive x2 car (x2)’ = 2x

2x



∫2x dx = x2 + c 3x2 + 4x



x3 + 2x2 + c car (x3+2x2)’ = 3x2+4x

∫3x2+4x dx = x3+2x2+c cos x



sin x + c car (sin x)’ = cos x

∫cos x dx = sin x 1/x



lnx + c car (lnx)’ = 1/x ∫1/x dx = lnx

Formules de:

Dérivation

Primitivation

(k)’

0

(x)’

1

n

∫0 dx ∫1 dx n-1

(x )’

k

n.x

x+c n+1

∫xn dx

(x )/(n+1) + c -1

(lnx)’

1/x

∫1/x dx = ∫x dx

lnx + c

(ex)’

ex

∫ex dx

ex + c

(ax)’

ax . lna

∫ax dx

ax /lna + c

(sin x)’

cos x

∫cos x dx

sin x + c

(cos x)’

- sin x

∫sin x dx

- cos x +c

(tan x)’

1/cos2x

∫1/cos2x dx

tan x + c

! si n ≠-1

Exercices pg 183 n°5

Intégrale d’une somme 

(x4/4 – x3/3)’ = x3 - x2 ∫ x3 - x2 dx = x4/4 – x3/3 +c



(x4/4) – (x3/3)’ = x3 - x2

Institut Saint-Boniface-Parnasse

2008-2009

Rafael Teixeira Pinto

Cour de Mathématique

6 Eco-Fl

∫ x3 dx - ∫ x2 dx = x4/4 – x3/3 +c ∫ (f(x) +g(x))’ dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx Intégrale d’un multiple 

(7x4/4)’ = 7x3 ∫ 7x3 dx = 7x4/4



7/4 (x4)’ = 7x3 7 ∫ x3 = 7x4/4 ∫ k . f(x)’ = k . ∫ f(x) dx

Intégrale par substitution 

(1/5 . (x2 + 3)5)’

= 1/5 . 5 (x2 + 3)4 . 2x = 2x (x2 + 3)4

∫ (2x . (x2 + 3)4) dx = (x2 + 3)4+1/4+1 = (x2 + 3)5/5



((3x2 + 1)3/3)’ = 3/3 (3x2 + 1)2 . 6x = 6x . (3x2 + 1)2 ∫ 6x . (3x2 + 1)2 dx = (3x2 + 1)2+1/2+1 = (3x2 + 1)3/3 ∫ u’ . un = un+1/n+1 Exercices pg 184 n°6

Intégrale par partie (f . g)’ = f ’ . g + f . g’ ⇒ ∫ (f . g)’ = ∫ f ’. g + ∫ f . g’ <=> f . g = ∫ f ’. g + ∫ f . g’ <=> ∫ f . g’ = f . g - ∫ f ’. g Exemple: ∫ x . sinx dx

∫ f . g’ Institut Saint-Boniface-Parnasse

f(x) = x

f ’(x) = 1

g’(x) = sinx

g(x) = -cosx

= f . g – ∫ f ’. g

→ application de la formule 2008-2009

Rafael Teixeira Pinto

Cour de Mathématique

∫ x . sinx

= x . -cosx – ∫1-cosx

∫ x . sinx

= -x.cosx – ∫cosx

∫ x . sinx

= -x.cox – sinx +c

6 Eco-Fl

→ réponse finale

Exercices pg 185 n°7

Institut Saint-Boniface-Parnasse

2008-2009