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Sistemas Mecânicos I

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5. CAPITULO 5 - MOLAS 5.1. Considerações Gerais 5.1.1. Definição Molas são elementos de máquinas utilizados para: -

Absorver energia. Ex.: molas de suspensão de veículos.

-

Reservatório de energia. Ex.: molas espirais de relógios.

-

Exercer forças. Ex.: molas helicoidais das superfícies de atrito das embreagens.

-

Amortecer vibrações. Ex.: molas maciças de poliuretano de comportas.

5.1.2. Classificação a) Quanto à forma -

Molas de arame: são as molas helicoidais construídas com arames de seção circular, quadrada e retangular.

-

Molas planas: os tipos mais comuns são: o molas de suspensão ou balestra o molas espirais o molas em lâminas o molas cônicas o molas de disco, prato ou Belleville

-

Molas maciças: são molas normalmente de seção cilíndrica, confeccionadas em poliuretano.

b)

Quanto à função

-

tração: helicoidais

-

compressão: helicoidais, cônicas, Belleville e maciças

-

flexão: em lâminas e suspensão

-

torção: helicoidais, espirais e maciças.

5.2. Tensões em Molas Helicoidais de Tração e Compressão 5.2.1. Características Molas Helicoidais de Tração e Compressão são aquelas que oferecem uma resistência a um esforço de tração e compressão respectivamente. Ex.: molas das superfícies de atrito das embreagens, molas de interruptores, etc.

- 185 -

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5.2.2. Carregamento Genérico A figura (5.1) mostra-nos uma mola helicoidal de compressão com arame circular, carregada por uma força axial. x.y y

Figura (5.1) onde: F

=> Força axial [kgf ]

D

=> Diâmetro médio da mola [cm]

d

= > Diâmetro do arame [cm]

λ

=> Ângulo de inclinação da espira [°]

p

=> Passo [cm]

L

=> Comprimento da mola livre [cm]

H

=> Comprimento da mola comprimida [cm]

y

=> Deflexão [cm]

x⋅ y

=> Percentagem da Deflexão para que as espiras não se toquem [cm]

A figura (5.2) mostra-nos a mola acima em uma espira qualquer, sendo que o efeito causado pela parte retirada será substituído pelas forças internas atuantes.

Figura (5.2) - 186 -

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5.2.3. Tensão Transversal de Cisalhamento devido ao Esforço Cortante Da equação (1.22)

τm =

Q F => Q = F => τ m = A A

onde: A=

π ⋅d2 4

substituindo, tem-se:

τm =

4⋅F π ⋅d2

Na realidade tem-se ainda uma tensão de cisalhamento máxima τ máx =

3 ⋅τ m , 2

porém para o presente capítulo, esta tensão será desprezada porque a parcela, devido ao esforço cortante, é pequena na composição das tensões e principalmente porque toda a teoria do cálculo de Molas desenvolvido por “Wahl” é realizado tomando-se a tensão média. - Distribuição da Tensão Transversal de Cisalhamento devido ao Esforço Cortante

τm Figura (5.3) 5.2.4. Tensão Transversal de Torção Da equação (1.28)

τt =

Mt ⋅ r It

onde: D Mt = F ⋅ 2

It =

π ⋅d4 32

r=

d 2

- 187 -

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substituindo, tem-se:

τt =

8⋅ F ⋅ D π ⋅d3

- Distribuição da Tensão de Torção

τt Figura (5.4) 5.2.5. Tensão Transversal Resultante Da equação (1.35)

τ Re = τ m + τ t então:

τ=

[kgf

4⋅F 8⋅ F ⋅ D + 2 π ⋅d π ⋅d3

cm 2

]

(5.1)

- Distribuição da Tensão Transversal Resultante

τ Figura (5.5) A equação (5.1) pode ser escrita em função de um fator que substitua a parte devido à Tensão de Cisalhamento devido ao Esforço Cortante.

- 188 -

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Fazendo-se: C=

onde:

D d

[sem unidade]

(5.2)

C => índice de curvatura da mola D => diâmetro mola d => diâmetro do arame

É importante salientar ainda que o valor de C deve situar-se entre 5 e 12, e nunca ser inferior a 3. Deve-se ainda utilizar valores idênticos de C para aplicações similares de molas. Aplicação

C

Molas de uso industrial

8 à 10

Molas de válvulas e embreagens Tabela (5.0)

5

Multiplicando-se a equação (5.1) por C tem-se: 4⋅ F ⋅C 8⋅ F ⋅ D⋅C + π ⋅d2 π ⋅d3

τ ⋅C =

substituindo a equação (5.2) somente na Tensão Transversal de Cisalhamento devido ao Esforço Cortante, tem-se:

τ ⋅C =

4⋅ F ⋅ D 8⋅ F ⋅ D ⋅C + π ⋅d3 π ⋅d3

τ ⋅C =

8⋅ F ⋅ D ⋅ (0,5 + C ) π ⋅d3

Isolando-se a Tensão Transversal Resultante, tem-se:

τ=

8⋅ F ⋅ D 0,5 ⋅ (1 + ) 3 C π ⋅d

Definindo-se: ks = 1 +

0,5 C

[sem unidade]

(5.3)

Substituindo, tem-se:

τ = ks ⋅

[kgf

8⋅ F ⋅ D π ⋅d3 - 189 -

cm 2

]

(5.4)

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onde: ks => Fator Multiplicador devido ao Esforço Cortante

5.2.6. Tensões Finais Se fizermos uma análise detalhada das tensões atuantes, notaremos que existe nas molas outras tensões: -

Tensão de Normal de Compressão: aparece devido à componente de “F” segundo o plano médio da espira, esta tensão cresce na proporção em que o ângulo de inclinação da espira aumenta.

-

Tensão Normal de Flexão devido à Força “ F ”. Wahl estudou profundamente as molas e apresentou a equação (5.4) majorada por um outro fator que foi chamado de fator de correção de Wahl “kw”; este fator leva em consideração o efeito da tensão devido ao esforço cortante, bem como, o efeito devido à curvatura do arame, pois a teoria da torção simples para as vigas retilíneas não se aplica com exatidão para uma viga curva, como é a espira da mola.

τ w = kw ⋅

[kgf

8⋅ F ⋅ D π ⋅d3

cm 2

]

(5.5)

onde: kw =

4 ⋅ C − 1 0,615 + 4⋅C − 4 C

[sem unidade]

(5.6)

[sem unidade]

(5.7)

Fator de Correção de Wahl kw = ks ⋅ km

então km =

kw ks

onde: k w => fator de curvatura de Wahl ou fator de correção de Wahl k s => fator multiplicador devido ao esforço cortante k m => fator de redução devido à fadiga

Em nosso curso utilizaremos sempre a equação (5.4) tanto para solicitações estáticas como para dinâmicas, entretanto, quando uma mola estiver sujeita à solicitações dinâmicas (fadiga), faz-se uma redução na tensão limite de resistência à fadiga utilizando-se o fator de redução devido à fadiga “km”. - 190 -

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- Distribuição Final da Tensão Transversal (considerando o efeito da curvatura)

τw Figura (5.6) 5.2.7. Ângulo de Inclinação da Espira O ângulo de inclinação da espira é calculado pela expressão abaixo:

λ = arctg

p π ⋅D

[°]

(5.8)

Para tornar mínimo o efeito da inclinação da espira, o máximo ângulo de inclinação da espira ou o ângulo de inclinação da espira admissível deve ser:

λ ≤ 12°

(5.8.a)

- 191 -

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5.3. Tensões em Molas Helicoidais de Torção 5.3.1. Características Molas Helicoidais de Torção são aquelas que oferecem uma resistência a um momento que tende desenrolá-las. Ex.: molas de portas de fornos, motor de partida de veículos, etc. 5.3.2. Carregamento Genérico A figura (5.7) mostra-nos uma mola helicoidal de torção com arame circular solicitada por uma força tangencial.

Figura (5.7) onde: F

=> Força Tangencial [kgf ]

R

=> Distância entre o Ponto de Aplicação da Força e o Centro da Mola [cm]

5.3.3. Tensão Normal de Flexão Da equação (1.18)

σf =±

Mf Wf

onde: Mf = F ⋅ R Wf =

π ⋅d3 32

substituindo, tem-se:

σf =

[kgf

32 ⋅ F ⋅ R π ⋅d3

- 192 -

cm 2

]

(5.9)

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5.3.4. Tensões Normais Finais Wahl apresentou a equação (5.9) majorada pelos fatores “kx” para a Tensão Normal Final na borda interna e “ky” para a Tensão Normal Final na borda externa, então:

σ f = kx ⋅

32 ⋅ F ⋅ R π ⋅d3

[kgf

cm 2

]

(5.10)

σ f = ky ⋅

32 ⋅ F ⋅ R π ⋅d3

[kgf

cm 2

]

(5.11)

onde:

kx =

4 ⋅ C2 − C −1 4 ⋅ C ⋅ (C − 1)

[sem unidade]

(5.12)

kY =

4 ⋅ C2 + C −1 4 ⋅ C ⋅ (C + 1)

[sem unidade]

(5.13)

Neste caso, os fatores “kx” e “ky” são fatores de concentração de tensões e no dimensionamento deve-se utilizar as equações (5.10) e (5.11) e não usar “kx” e “ky” como fatores de redução devido à fadiga. 5.4. Deflexão em Molas Helicoidais de Tração e Compressão 5.4.1. Carregamento Genérico Considerando um trecho de comprimento infinitesimal “dx” do arame de diâmetro “d” e chamando este segmento de AB, após a deformação este segmento sofrerá uma rotação e se deslocará para a posição AC.

Figura (5.8)

- 193 -

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5.4.2. Cálculo da Deflexão Da equação (1.8)

τ t = G ⋅γ onde:

τt =

do item (5.2.4)

8⋅ F ⋅ D π ⋅d3

substituindo e isolando a deformação angular, tem-se:

γ=

8⋅ F ⋅ D π ⋅d3 ⋅G

(a)

da Figura (5.8), tem-se: dϕ =

γ ⋅ dx d

=

2

2 ⋅ γ ⋅ dx d

(b)

substituindo (a) em (b), tem-se: dϕ =

16 ⋅ F ⋅ D ⋅ dx π ⋅d4 ⋅G

(c)

Como desejamos determinar ϕ , devemos executar uma integração de dϕ para o comprimento total do arame. c = π ⋅ D ⋅ Na

(d)

onde:

c => comprimento total do arame D => diâmetro médio da mola Na => número de espiras ativas

então

ϕ=

c 0

dϕ ⋅ dx =

π . D ⋅ Na 0

16 ⋅ F ⋅ D 16 ⋅ F ⋅ D 2 ⋅ Na ⋅ dx = π ⋅d4 ⋅G d4 ⋅G

(e)

A deformação angular expressa em radianos multiplicada pelo raio médio da espira dará a deflexão axial da mola. y =ϕ ⋅

D 2 y=

8 ⋅ F ⋅ D 3 ⋅ Na d4 ⋅G

[cm] - 194 -

(5.14)

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onde: y => deflexão da mola F => força axial [kgf ] d => diâmetro do arame [cm]

[

G => módulo de elasticidade transversal kgf cm 2

]

5.4.3. Cálculo da Constante de Mola ou Constante de Rigidez Do item (4.6.1), equação (c) k=

F y

substituindo a equação (5.14) na equação acima, tem-se: d 4 ⋅G k= 8 ⋅ D 3 ⋅ Na

[kgf

cm]

(5.15)

onde: k => Constante da mola ou Constante de Rigidez

5.5. Deflexão de Molas Helicoidais de Torção 5.5.1. Cálculo da Deflexão Seguindo o critério semelhante ao adotado para o item (5.4), tem-se a deflexão angular:

θ=

64 ⋅ F ⋅ R ⋅ D ⋅ Na d4 ⋅E

[radianos]

(5.16)

onde:

θ => deflexão angular da mola F => força tangencial [kgf ] R => distância entre o centro da mola e o ponto de aplicação da força [cm] D => diâmetro médio da mola [cm] N => número de espiras ativas [sem unidade] d => diâmetro do arame [cm]

[

E => módulo de elasticidade do aço kgf cm 2

- 195 -

]

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5.5.2. Cálculo da Constante da Mola ou Constante de Rigidez

k=

d4 ⋅E 10,2 ⋅ D ⋅ Na

[kgf

cm]

(5.17)

onde: k => Constante da mola ou Constante de Rigidez

5.6. Extremidade das Molas Helicoidais As molas devem ser projetadas de tal modo que as suas extremidades possam transferir a carga externa para o seu corpo. O projeto da extremidade depende exclusivamente da função da mola. 5.6.1. Molas de Tração

Figura (5.9) Devido à curvatura dos ganchos aparece um forte fator de concentração de tensões, que deve ser levado em consideração no projeto; ele á calculado pela expressão: kr =

rm ri

(5.18)

5.6.2. Molas de Compressão

Figura (5.10) - 196 -

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O tipo de extremidade está intimamente ligado ao número de espiras e comprimento da mola. A tabela a seguir, mostra a influência das extremidades no comprimento e no número de espiras. Tipo de extremidade

Comprimento [cm]

Espiras Inativas Ni

Totais Nt

Livre L

Comprimida H

Comentários

Em ponta

0

Na

p ⋅ Na + d

d ⋅ ( Na + 1)

Desempenho: ruim (evitar) deve-se usar sempre C>9

Em ponta esmerilhada

0

Na

p ⋅ Na

d ⋅ Na

Desempenho: satisfatório

Em esquadro

2

Na + 2

p ⋅ Na + 3 ⋅ d

d ⋅ ( Na + 3)

Desempenho: bom deve-se usar sempre C>9

Em esquadro esmerilhado

2

Na + 2

p ⋅ Na + 2 ⋅ d

d ⋅ ( Na + 2)

Desempenho: excelente

Tabela (5.1) Observação: a) O comprimento livre real da mola deve ser acrescido de no mínimo X = 15% da deflexão máxima para garantir que as espiras não se toquem completamente, então o comprimento mínimo real da mola livre é:

[cm]

Lmin = H + (1 + X ) ⋅ y

(5.19)

b) O passo de uma mola helicoidal de compressão é calculado pela expressão abaixo: p=d +

y y +X⋅ Na Na

[cm]

(5.20)

onde: p => passo da mola y => deflexão da mola [cm] Na => número de espiras ativas da mola [sem unidade] X

=> percentagem na deflexão para que as espiras não se toquem (ver

observação a) - 197 -

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5.6.3. Molas de Torção

Figura (5.11) 5.7. Materiais e Tensões Admissíveis para Molas 5.7.1. Considerações Gerais Os materiais utilizados na fabricação de molas possuem alto teor de carbono (mais de 0,5%C) e devem ser tratados termicamente exceto se C<4 ou d>6mm. Normalmente as molas cujo diâmetro de arame vai até 12,7mm são enroladas à frio e as com diâmetro de arame maior que 12,7mm são enroladas à quente. Quando o arame tratado termicamente é enrolado à frio, deve-se fazer um alívio de tensões após o enrolamento, através de um aquecimento em forno. 5.7.2. Materiais e Tensões Limite de Ruptura A Tensão Limite de Ruptura à tração dos aços utilizados na fabricação de molas varia consideravelmente com o diâmetro do arame, portanto para um mesmo material teríamos diversos valores da Tensão Limite de Ruptura. Para podermos ter todos os valores, teríamos que publicar diversas folhas com os dados. Para evitar isto, plotou-se um gráfico de eixos log-log da Tensão Limite de Ruptura por diâmetro do arame e escreveu-se a equação da reta que passa pelos diversos pontos em termos dos logaritmos da Tensão Limite de Ruptura e dos diâmetros dos arames; aplicando as propriedades logarítmicas à equação da reta e simplificando-a, tem-se:

- 198 -

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σr =

[kgf

z dm

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cm 2

]

(5.21)

onde: z => constante linear da reta, ligada diretamente à ruptura

m => coeficiente angular da reta d => diâmetro do arame [mm]

A tabela a seguir, mostra-nos os materiais mais empregados na fabricação de molas, suas normas, faixa de diâmetro, temperatura e característica de utilização, bem como as incógnitas que aparecem na equação (5.21). Constante Z

Faixa de Diâmetros

Faixa de Temperatura °C

Expoente m

0,130 à 3,175

0 à 120

0,146

3,175 à 12,7

0 à 180

0,186

0,794 à 12,7

0 à 120

0,192

17845

Baixo

Aço cromo vanádio SAE 6150 ASTM 231

0,794 à 12,7

0 à 220

0,167

20395

Alto

Aço cromo silício SAE 9254

0,794 à 12,7

0 à 250

0,112

20395

Alto

Material Norma Corda de piano SAE 1095 ASTM A228 Aço temperado em óleo SAE 1065 ASTM 229 Aço trabalhado à frio SAE 1066 ASTM 227

Tabela (5.2)

- 199 -

Custo

Características de utilização

22130

Alto

- Indicado para sua faixa de diâmetro. - Ideal para fadiga

19170

Médio

[kgf

cm

2

]

- Não usar em solicitações com choque. - Uso geral - Não oferece garantia de vida, deflexão e precisão - Ideal para altas tensões - Ideal para fadiga, durabilidade e choque - Ideal para altas tensões - Ideal para choque e vida longa

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5.7.3. Tensões Admissíveis As Tensões Admissíveis nas molas são calculadas pelas mesmas equações estudadas no Capítulo 1, ou seja:

σ = σ = τ =

σr S

σE S

σ 3

[kgf

cm 2

]

(1.1)

[kgf

cm 2

]

(1.2)

[kgf

cm 2

]

(1.3)

Como desconhecemos as Tensões Limites de Escoamento, recomendamos a utilização da equação (1.1). Caso o Coeficiente de Segurança seja fornecido em função da Tensão Limite de Escoamento a equação abaixo fornece uma aproximação bem próxima da realidade para a maioria dos aços descritos na tabela (5.2).

[kgf

σ E = 0,75 ⋅ σ R

cm 2

]

(5.22)

e, como estamos utilizando aproximações, neste caso recomendamos a utilização de coeficientes de segurança relativamente altos, principalmente para molas de tração. 5.7.4. Padronização do Diâmetro do Arame Os diâmetros padronizados de arame estão relacionados nas tabelas a seguir. 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,25 0,28 0,32 0,36 0,45 0,50 0,56 0,63 0,70 0,80 0,90 1,00 1,25 1,40 1,60 1,80 2,00 2,25 2,50 2,80 3,20 3,60 4,00 4,50 5,00 5,60 6,30 7,00 8,00 9,00 12,50 14,00 16,00 Tabela (5.3) – Diâmetros de arames de molas padronizadas em milímetros

- 200 -

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Número

Diâmetro (pol.)

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Número

Diâmetro (pol.)

000

0,3626

15

0,0720

00

0,3310

16

0,0625

0

0,3065

17

0,0540

1

0,2830

18

0,0475

2

0,2625

19

0,0410

3

0,2437

20

0,0348

4

0,2253

21

0,0317

5

0,2070

22

0,0286

6

0,1920

23

0,0256

7

0,1770

24

0,0230

8

0,1620

25

0,0234

9

0,1483

26

0,0181

10

0,1350

27

0,0173

11

0,1205

28

0,0162

12

0,1055

29

0,0150

13

0,0915

30

0,0140

14 0,0800 Tabela (5.4) – Diâmetros de arames de molas padronizadas em polegadas

- 201 -

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5.8. Flambagem de Molas Helicoidais de Compressão As molas helicoidais de compressão não estão sujeitas à flambagem lateral sempre que seu comprimento livre for menor ou igual a quatro vezes o seu diâmetro médio, então: L≤ 4⋅D

[sem unidade]

(5.23)

No entanto as molas helicoidais de compressão estão sujeitas à flambagem lateral sempre que seu comprimento livre for maior que quatro vezes o seu diâmetro médio, então: L > 4⋅D

[sem unidade]

(5.24)

Se a relação acima for satisfeita, há necessidade de se calcular o comprimento crítico de flambagem da mola, que é determinado partindo-se da Equação de Euler e que devidamente ajustada para as molas fica: - Molas, cujas extremidades ficam paralelas durante a compressão: Lcrit = 2 ⋅ y + 5,56 ⋅

D2 y

[cm]

(5.25)

- Molas, cujas extremidades podem inclinar-se durante a compressão: Lcrit = y + 2,78 ⋅

D2 y

[cm]

(5.26)

[sem unidade]

(5.27)

Novamente se: L ≤ Lcrit

A mola não flambará, mas muitas vezes necessitamos de uma mola com comprimento superior ao comprimento crítico de flambagem “ Lcrit ” e nesses casos, a solução seria guiar as molas. Este guiamento poderá ser feito internamente através de uma barra redonda ou externamente através de um tubo.

- 202 -

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5.9. Variação do Diâmetro Externo das Molas Helicoidais Quando uma mola helicoidal é comprimida, ocorre um aumento em seu diâmetro externo, isto pode causar problemas principalmente quando se trata de molas guiadas externamente por tubos, pois o arame da mola pode tocar a parede interna do tubo. O diâmetro externo máximo da mola totalmente comprimida é calculado pela equação:

DE

(C + 1) ⋅ = τt

0,81 ⋅ Fmax ⋅ y max ⋅ G Na ⋅ d ⋅ C

1

2

[cm]

(5.28)

onde:

DE

=> diâmetro externo máximo da mola comprimida

Fmax

=> força axial de compressão para mola fechada [kgf ]

[kgf ]

FMAX = ⋅(1 + X ) ⋅ F C

τt =

(5.28A)

=> índice de curvatura da mola [equação (5.2)] 8 ⋅ Fmax ⋅ D

π ⋅d

3

[

ver item (5.2.4) => Tensão Transversal de Torção kgf cm 2

]

y max = L − H => Deflexão máxima da mola [cm]

[

G

=> módulo de elasticidade transversal kgf cm 2

Na

=> número de espiras ativas

d

=> diâmetro do arame [cm]

5.10.

]

Ondulação e Vibração nas Molas Helicoidais

5.10.1.

Ondulação

Ondulação é o fenômeno que ocorre nas molas quando uma carga é aplicada rapidamente sobre a mola. Quando ocorre a ondulação há o surgimento de uma tensão adicional devido ao fato da propagação da “onda” através da mola, aumentando a deflexão entre espiras vizinhas.

- 203 -

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A tensão, devido à ondulação independente das dimensões da mola, é calculada pela equação:

τO = v ⋅

2⋅ ρ ⋅G g

[kgf

cm 2

]

(5.29)

onde:

τ O => tensão transversal adicional devida à ondulação v => velocidade de carregamento [cm s ]

ρ => densidade do material da mola [kgf cm 3 ]

[

G => módulo de elasticidade transversal kgf cm 2

[

g => aceleração da gravidade cm s

2

]

]

Para as molas de aço, tem-se:

ρ = 0,00785 kfg cm 3 G = 800.000 kgf cm 2

e para a Aceleração da Gravidade, tem-se: g = 980 cm s 2

Substituindo na equação (5.29), tem-se:

[kgf

τ O = 3,58 ⋅ v 5.10.2.

cm 2

]

(5.30)

Vibração

Muitas vezes utilizamos molas em aplicações com movimento repetitivo muito rápido entre espiras, como por exemplo as molas das válvulas de admissão de motores. Nesses casos,o engenheiro de projetos deve verificar se as dimensões da mola não criarão uma freqüência natural de vibração próxima da freqüência de aplicação da força; se isso ocorrer, a mola entrará em ressonância e, como ela é praticamente livre de amortecimento, as tensões internas seriam altíssimas.

- 204 -

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A freqüência natural de vibração é dada pela equação: f =

1 4⋅t

[Hz ]

(5.31)

onde: f => freqüência natural de vibração t => tempo de propagação da onda no comprimento ativo da mola t=

La vO

[s]

(5.32)

onde: La = π ⋅ D ⋅ Na => comprimento ativo do arame na mola [cm] d G⋅g vO = ⋅ D 2⋅ ρ

1

2

=> velocidade de propagação da onda [cm s ]

substituindo os valores para molas de Aço ρ = 0,00785 kfg cm 3 , G = 800.000 kgf cm 2 e da aceleração da gravidade g = 980 cm s 2 na equação acima, e substituindo os valores de La e v 0 na expressão (5.32), tem-se: D 2 ⋅ Na t= 71130 ⋅ d

[s]

(5.33)

Para evitar a vibração da mola, a freqüência induzida pela força de operação da mola “fi” deve ser no mínimo 15 vezes menor que a freqüência natural da mola “f” calculada pela equação (5.31). Então: fi =

f 15

[Hz ]

- 205 -

(5.34)

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5.11.

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Carregamento Excêntrico

As molas devem ser, sempre que possível, carregadas através de seu eixo. Sempre que isto não acontece, há redução na carga útil, devido à excentricidade do carregamento. A carga excêntrica é calculada pela equação: FE =

F⋅D 2⋅e + D

[kgf ]

(5.35)

onde:

FE

=> carga axial excêntrica

F

=> carga axial real [kgf ]

e

=> valor da excentricidade [cm]

D

=> diâmetro médio da mola [cm]

Figura (5.12) 5.12.

Fadiga em Molas Helicoidais

5.12.1.

Considerações Gerais

A maioria das molas estão sujeitas a cargas dinâmicas, algumas dessas molas devem ser dimensionadas para uma vida finita, outras porém, para uma vida infinita.

- 206 -

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Exemplo: -

molas de interruptores elétricos, que estão sujeitas a alguns milhares de ciclos, devem por isso ser dimensionadas para uma vida finita.

-

Molas de válvulas de automóveis, que estão sujeitas a milhões de ciclos, devem por isso ser dimensionadas para uma vida infinita.

As molas submetidas à ação de fadiga, podem ser analisadas pelos métodos descritos no Capítulo 2, exceto o fator prático de concentração de tensões “kh” que para as molas será substituído pelo Fator de Redução de Fadiga “ km ”, que já foi estudado no item (5.2) e é calculado como sendo: km =

kw ks

[sem unidade]

(5.7)

onde: kw =

4 ⋅ C − 1 0,615 + 4⋅C − 4 C

ks = 1+

0,5 C

=> fator de curvatura de Wahl, ver equação (5.6)

=> fator multiplicador devido ao esforço cortante, ver equação (5.3)

Estudos recentes comprovaram que a sensibilidade ao entalhe “q" para as molas é maior que se esperava que fosse e, como os materiais utilizados na fabricação de molas possuem altas durezas conforme pode se observar através da Figura (2.5-B), deve-se adotar sempre o valor da sensibilidade ao entalhe igual à unidade. q =1

[sem unidade]

então neste caso, o fator km = kh . Então o fator modificador de concentração de tensões para molas “ke” usa-se a mesma equação utilizada no Capítulo 2, ou seja: ke =

1 kh

ke =

1 km

[sem unidade]

(2.15)

ficará sendo: [sem unidade]

- 207 -

(5.36)

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5.12.2.

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Tensões Flutuantes

As molas nunca são utilizadas simultaneamente como molas de tração e compressão, ou seja, as tensões nunca serão do tipo Tensão Alternada, os tipos de tensão flutuantes mais comuns nas molas são as do tipo Tensão Variada, cujo diagrama Tensão x Tempo é mostrado na Figura (2.7-A), onde a tensão mínima ocorre quando a mola é montada com um pré-carregamento. Situação pior ocorre quando não há pré-carregamento, ou seja, a tensão mínima é zero e neste caso, a tensão passa a ser do tipo Tensão Intermitente, cujo diagrama Tensão x Tempo é mostrado na Figura (2.7-B). Então: Fa =

F max − F min 2

[kgf ]

(5.37)

Fm =

F max + F min 2

[kgf ]

(5.38)

e as componentes da tensão são: -

Amplitude da tensão de torção

τ a = ks ⋅ -

[kgf

cm 2

]

(5.39)

[kgf

cm 2

]

(5.40)

[kgf

cm 2

]

(5.41)

Tensão Média de Torção

τ m = ks ⋅ -

8 ⋅ Fa ⋅ D π ⋅d3

8 ⋅ Fm ⋅ D π ⋅d3

Tensão Máxima de Torção

τ max = τ m + τ a

Como foi explicado no item (2.8.3), do Capítulo 2, não é necessário traçar-se o Diagrama de Fadiga para Torção, basta que se verifiquem as duas condições a seguir:

- 208 -

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1ª Condição: Falha por Fadiga

τa =

τa =

[kgf

cm 2

]

(2.29)

[kgf

cm 2

]

(2.30)

=τ

[kgf

cm 2

]

(2.31)

=τ

[kgf

cm 2

]

(2.32)

LIM τ FAD

S

τ FAD S

2ª Condição: Falha Estática

τ MAX = τ m + τ a ≤ τ MAX = τ m + τ a ≤

5.12.3.

τE S

τR S

Tensão Limite de Fadiga para Molas

Como já vimos, as tensões atuantes nas molas são Tensões Transversais de Cisalhamento devido ao esforço cortante e ao momento torçor, portanto, tem-se que determinar uma Tensão Limite de Fadiga por Torção. F.P. Zimmerli foi quem melhor estudou este assunto e determinou para surpresa geral, que: -

as dimensões

-

o material

-

a resistência à tração

não possuem efeito sobre a Tensão Limite de resistência à fadiga por torção para uma vida infinita das molas de até 10mm de diâmetro do arame. Zimmerli sugere os seguintes valores para a Tensão Limite de resistência à fadiga por torção, para molas de aço com materiais corda-de-piano, aço temperado em óleo, aço cromo-vanádio e aço cromo-silício. - τ ' LIM FAD = 3.160 kgf cm => Para molas não endurecidas superficialmente 2

- τ ' LIM FAD = 4.740 kgf cm => Para molas endurecidas superficialmente por jato de areia 2

Os valores acima já estão corrigidos para os seguintes fatores: - fator de superfície

“ ka ”

- fator de tamanho

“ kb ”

- 209 -

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E devem ser corrigidos ainda para os fatores: - fator de confiabilidade

“ kc ”

(ver item (2.6.3))

- fator de temperatura

“ kd ” (ver item (2.6.4))

- fator modificador de concentração de tensões - fator de efeitos diversos “ kf ”

“ ke ”

(ver item (2.6.5))

(ver item (2.6.6))

Então, a Tensão Limite de fadiga da mola será:

[kgf

LIM τ FAD = kc ⋅ kd ⋅ ke ⋅ kf ⋅ τ ' LIM FAD

cm 2

]

(5.42)

Quando a mola for dimensionada para uma vida finita é necessário se conhecer as Tensões Limite de Escoamento e de Ruptura por Torção. Do item (2.8.3), do Capítulo 2, tem-se:

τE =

τR =

σE 3

σR 3

[kgf

cm 2

]

(2.20)

[kgf

cm 2

]

(2.21)

Quanto às demais equações utilizadas no dimensionamento de uma mola para uma vida finita, as mesmas são idênticas às estudadas no item (2.5) adaptadas apenas para tensões transversais de cisalhamento. Equação da linha τ − n (Tensão cisalhante – ciclos)

[kgf

log τ FAD = −m ⋅ log n + b

cm 2

]

(5.43)

Equação para o cálculo dos coeficientes da equação (5.41)

m=

0,9 ⋅ τ 1 ⋅ log LIM R 3 τ FAD

b = log

(0,9 ⋅ τ R )2 LIM τ FAD

[sem unidade]

(5.44)

[sem unidade]

(5.45)

- 210 -

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Equação para o cálculo do limite de resistência à fadiga por torção para uma vida finita

τ FAD =

[kgf

10 b nm

cm 2

]

(5.46)

E, finalmente a equação para o cálculo do número de ciclos n=

10

b

τ FAD

m 1

[ciclos]

m

- 211 -

(5.47)

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5.13.

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Roteiros para dimensionamento de Molas

5.13.1. Roteiro para dimensionamento de Molas sem Fadiga – Capítulo 5

a) Cálculo do Índice de Curvatura, ou Diâmetro Médio da Mola ou Diâmetro do Arame C=

D d

D =C⋅d

ou

ou

d=

D C

escolher “d” padronizado nas tabelas (5.3) / (5.4) => 3 ≤ C ≤ 12 - recomendável => C = 8 à 10 - para molas industriais => C = 5 - para molas de válvulas e embreagens b) Cálculo do Coeficiente Multiplicador do Esforço Cortante 0,5 ks = 1+ C c) Cálculo da Tensão Resultante 8⋅ F ⋅ D τ = ks ⋅ π ⋅d3 d) Escolha do material (ver tabela (5.2)) e) Cálculo do Coeficiente Linear e Angular da Reta “Z” e “m” (ver tabela (5.2)) f) Cálculo da Tensão Limite de Ruptura z σ R = m (“d” em mm) d g) Cálculo da Tensão Limite de Escoamento σ E = 0,75 ⋅ σ R (somente se “S" for em relação à σ E ) h) Cálculo da Tensão Limite Normal

σ =

σR

σ =

ou

S

σE S

i) Cálculo da Tensão Admissível Transversal

τ =

σ 3

j) Verificação => Se

{ττ

≤ τ OK > τ reprojetar e/ou alterar material

k) Cálculo da Deflexão por Espira Ativa y 8 ⋅ F ⋅ D3 = Na d4 ⋅G

l) Cálculo do Passo p=d +

y y +X⋅ Na Na - 212 -

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m) Cálculo do Comprimento da Mola Livre ou o Número de Espiras Ativas Ver fórmulas em função das extremidades – tabela (5.1) n) Cálculo do Número de Espiras Totais Nt = Na + Ni (para valores de Ni - ver tabela (5.1))

o) Cálculo da Deflexão y=

8 ⋅ F ⋅ D 3 ⋅ Na d4 ⋅G

p) Cálculo do Comprimento de Mola Comprimida Ver fórmulas em função das extremidades – tabela (5.1) q) Cálculo do ângulo de Inclinação da Espira

λ = arctg

p π ⋅D

r) Verificação => Se

12° OK { λλ ≤> λλ =reprojetar

s) Cálculo do Comprimento Mínimo da Mola Livre

Lmin = H + (1 + X ) ⋅ y t) 1ª Verificação da Flambagem => Se

{

L ≤ 4 ⋅ D OK (não flamba) => vai para (w) L > 4 ⋅ D (pode flambar)

u) Cálculo do Comprimento Crítico de Flambagem Extremidades ficam paralelas => Lcrit = 2 ⋅ y + 5,56 ⋅

D2 = y + 2,78 ⋅ y

Extremidades podem inclinar-se => Lcrit v) 2ª Verificação da Flambagem => Se

{

D2 y

L ≤ Lcrit OK (não flamba) L > Lcrit (flamba : reprojetar ou guiar a mola)

w) Cálculo da Constante de Rigidez da Mola d 4 ⋅G k= 8 ⋅ D 3 ⋅ Na x) Cálculo da Força Máxima da Mola Fmax = (1 + X ) ⋅ F

ou

Fmax =

y max ⋅ d 4 ⋅ G 8 ⋅ D 3 ⋅ Na

y) Cálculo do Diâmetro Externo Variado Para mola guiada externamente y max = L − H = (1 + X ) ⋅ y

e DE =

(C + 1)

τT

0,81 ⋅ Fmax ⋅ y max ⋅ G ⋅ Na ⋅ d ⋅ C

- 213 -

1

2

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z) Cálculo da Tensão Resultante Máxima 8 ⋅ Fmax ⋅ D τ max = k S ⋅ π ⋅d3 τ max ≤ τ OK Verificação => Se τ max > τ reprojetar

{

- 214 -

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5.13.2. Roteiro para dimensionamento de Molas com Fadiga – Capítulo 5

a) Cálculo do Índice de Curvatura, ou Diâmetro Médio da Mola ou Diâmetro do Arame D D C= d= ou D =C⋅d ou d C escolher “d” padronizado nas tabelas (5.3) / (5.4) => 3 ≤ C ≤ 12 - recomendável => C = 8 à 10 - para molas industriais => C = 5 - para molas de válvulas e embreagens b) Cálculo do Coeficiente Multiplicador do Esforço Cortante 0,5 ks = 1+ C c) Cálculo da Amplitude da Força F − Fmin Fa = max 2 d) Cálculo da Força Média F + Fmin Fm = max 2 e) Cálculo da Amplitude da Tensão 8 ⋅ Fa ⋅ D τ a = ks ⋅ π ⋅d3 f) Cálculo da Tensão Média 8 ⋅ Fm ⋅ D τ m = ks ⋅ π ⋅d3 g) Cálculo da Tensão Máxima τ max = τ m + τ a h) Cálculo da Tensão Limite de Fadiga 3160 kgf cm 2 Molas não endurecidas superficialmente LIM τ ' FAD = 4740 kgf cm 2 Molas endurecidas superficialmente

{

i.1) Cálculo dos Fatores de Confiabilidade e Efeitos Diversos kc = kf = 1 i.2) Cálculo do Fator de Temperatura kd = 1 para T ≤ 70°C ou kd =

344,4 273,3 + T

i.3) Cálculo do Fator de Correção de Wahl 4 ⋅ C − 1 0,615 kw = + 4⋅C − 4 C i.4) Cálculo do Fator de Redução devido à Fadiga kw km = ks

- 215 -

para T > 71°C

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i.5) Cálculo do Fator Modificador de Concentração de Tensões 1 ke = km i.6) Cálculo da Tensão Limite de Ruptura LIM τ FAD = kc ⋅ kd ⋅ ke ⋅ kf ⋅ τ ' LIM FAD (vida infinita) j.1) Escolha do material (ver tabela (5.2)) j.2) Cálculo do Coeficiente Linear e Angular da Reta “Z” e “m” (ver tabela (5.2)) j.3) Cálculo da Tensão Limite de Ruptura z σ R = m (“d” em mm) d k.1) Cálculo da Tensão Limite de Escoamento σ E = 0,75 ⋅ σ R (somente se “S" for em relação à σ E ) k.2) Cálculo da Tensão Admissível Normal

σ =

σR

σ =

ou

S

σE S

k.3) Cálculo da Tensão Admissível Transversal

σ

τ =

3

k.4) Verificação => Se

{ττ

max

≤ τ OK

max

> τ reprojetar e/ou alterar material

k.5) Cálculo da Tensão Limite de Ruptura à Torção

τR =

σR 3

k.6) Cálculo do Coeficiente Angular da Equação τ − n

m=

0,9 ⋅ τ 1 ⋅ log LIM R 3 τ FAD

k.7) Cálculo do Coeficiente Linear da Equação τ − n b = log

(0,9 ⋅ τ R )2 LIM τ FAD

k.8) Cálculo da Tensão à Fadiga para Vida Finita

τ FAD

10 b = m (vida finita) n

- 216 -

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l) Cálculo dos Coeficientes de Segurança => Estático

S = τ E τ max ou S = τ R τ max

LIM => Vida Infinita S = τ FAD τA

=> Vida Finita

S = τ FAD τ A

m) Cálculo da Deflexão por Espira Ativa y 8 ⋅ F ⋅ D3 = Na d4 ⋅G

n) Cálculo do Passo p=d +

y y +X⋅ Na Na

o) Cálculo do Comprimento da Mola Livre ou o Número de Espiras Ativas Ver fórmulas em função das extremidades – tabela (5.1) p) Cálculo do Número de Espiras Totais Nt = Na + Ni (para valores de Ni - ver tabela (5.1))

q) Cálculo da Deflexão y=

8 ⋅ F ⋅ D 3 ⋅ Na d4 ⋅G

r) Cálculo do Comprimento de Mola Comprimida Ver fórmulas em função das extremidades – tabela (5.1) s.1) Cálculo do ângulo de Inclinação da Espira

λ = arctg

p π ⋅D

s.2) Verificação => Se

12° OK { λλ ≤> λλ =reprojetar

t.1) Cálculo do Comprimento Mínimo da Mola Livre

Lmin = H + (1 + X ) ⋅ y t.2) 1ª Verificação da Flambagem => Se

{

L ≤ 4 ⋅ D OK (não flamba) => vai para (v.1) L > 4 ⋅ D (pode flambar)

u.1) Cálculo do Comprimento Crítico de Flambagem Extremidades ficam paralelas => Lcrit = 2 ⋅ y + 5,56 ⋅ Extremidades podem inclinar-se => Lcrit

D2 y

D2 = y + 2,78 ⋅ y

- 217 -

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u.2) 2ª Verificação da Flambagem => Se

{

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L ≤ Lcrit OK (não flamba) L > Lcrit (flamba : reprojetar ou guiar a mola)

v.1) Cálculo da Constante de Rigidez da Mola F − Fmin F d4 ⋅G F F k= = = max = min = max 3 ∆y 8 ⋅ D ⋅ Na y y max y min v.2) Cálculo da Força Máxima da Mola y ⋅d4 ⋅G Fmax = (1 + X ) ⋅ F = max 3 8 ⋅ D ⋅ Na w) Cálculo do Diâmetro Externo Variado Para mola guiada externamente y max = L − H = (1 + X ) ⋅ y

DE =

e

(C + 1)

τT

0,81 ⋅ Fmax ⋅ y max ⋅ G ⋅ Na ⋅ d ⋅ C

x) Cálculo da Tensão Resultante Máxima 8 ⋅ Fmax ⋅ D τ max = k S ⋅ π ⋅d3 τ max ≤ τ OK Verificação => Se τ max > τ reprojetar

{

y) Cálculo do Tempo para Propagação da Onda D 2 ⋅ Na t= 71130 ⋅ d z.1) Cálculo da Freqüência Natural 1 f = 4⋅t fi ≤ f 15 OK!!! z.2) Verificação da Freqüência => Se fi > f 15 (reprojetar)

{

- 218 -

1

2

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5.14.

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EXERCÍCIOS

5.14.1 Projetar uma mola helicoidal de compressão em aço para utilização em uma máquina industrial, para suportar uma carga F=38kgf, sendo que o seu diâmetro médio por razões construtivas deverá ser D=5cm e seu comprimento livre deverá ser aproximadamente L=23,0cm, com extremidade em esquadro esmerilhada, compressão com extremidades paralelas, material: SAE1065, e com folga para que as espiras não se toquem X=15%. Adotar coeficiente de segurança S=2,5 em relação à tensão de escoamento. Resolução: a) Cálculo do diâmetro do arame (d ) D Da equação (5.2): d = C Da tabela (5.0): Mola industrial => 8 ≤ C ≤ 10 , então: 5 para C = 8 => d = => d = 0,625cm 8 5 para C = 10 => d = => d = 0,50cm 10 b) Cálculo do coeficiente multiplicador do esforço cortante (ks ) 0,5 Da equação (5.3): ks = 1+ C 0,5 para d = 0,625cm => ks = 1 + => ks = 1,0625 8 0,5 para d = 0,50cm => ks = 1 + => ks = 1,050 10 c) Cálculo da Tensão Resultante (τ ) 8⋅ F ⋅ D Da equação (5.4): τ = ks ⋅ π ⋅d3

8 ⋅ 38 ⋅ 5 2 => τ = 2106 kgf cm 3 π ⋅ 0,625 8 ⋅ 38 ⋅ 5 2 para d = 0,50cm => τ = 1,050 ⋅ => τ = 4064 kgf cm 3 π ⋅ 0,5

para d = 0,625cm => τ = 1,0625 ⋅

d) Escolha do material (ver tabela (5.2)) Deve-se escolher o material em função de: ∴

Faixa de “d” Faixa de “temperatura” Características Custo SAE1065 - 219 -

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e) Cálculo do coeficiente linear (Z ) e angular da reta (m ) Da tabela (5.2):

Z = 19170 m = 0,186

f) Cálculo da Tensão Limite de Ruptura (σ R ) z Da equação (5.21): σ R = m (“d” em mm) d 19170 => σ R = 13633 kgf cm 2 0 ,186 6,25 19170 para d = 0,50cm => σ R = => σ R = 14211 kgf cm 2 0 ,186 5,0

para d = 0,625cm => σ R =

g) Cálculo da Tensão Limite de Escoamento (σ E ) Da equação (5.22): σ E = 0,75 ⋅ σ R (somente se “S" for em relação à σ E ) para d = 0,625cm => σ E = 0,75 ⋅ 13633 => σ E = 10225 kgf cm 2 para d = 0,50cm => σ E = 0,75 ⋅ 14211 => σ E = 10658 kgf cm 2 h) Cálculo da Tensão Admissível Normal (σ ) Da equação (1.2):

σ =

σE S

10225 => σ = 4090 kgf cm 2 2,5 10658 para d = 0,50cm => σ = => σ = 4263 kgf cm 2 2,5

para d = 0,625cm => σ =

i) Cálculo da Tensão Admissível Transversal (τ ) Da equação (1.3):

τ =

σ 3

para d = 0,625cm => τ = para d = 0,50cm => τ =

- 220 -

4090

3 4263 3

= 2361 kgf cm 2

= 2461 kgf cm 2

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j) Verificação para d = 0,625cm => τ = 2106 kgf cm 2 ≤ τ = 2361 kgf cm 2 => OK para d = 0,50cm => τ = 4064 kgf cm 2 > τ = 2461 kgf cm 2 => Não é possível escolha do “d” padronizado => conforme tabela (5.3) => d = 0,63cm recalculando para d = 0,63cm , tem-se: j.a) C =

D 5 => C = => C = 7,94 d 0,63

0,5 0,5 => ks = 1 + => ks = 1,063 C 7,94 8⋅ F ⋅ D 8 ⋅ 38 ⋅ 5 2 j.c) τ = ks ⋅ => τ = 1,063 ⋅ => τ = 2057 kgf cm 3 3 π ⋅d π ⋅ 0,63

j.b) ks = 1 +

j.d) Material SAE1065 j.e) Da tabela (5.2) => Z = 19170 e m = 0,186 z 19170 => σ R = => σ R = 13613 kgf cm 2 m 0 ,186 d 6,3

j.f) σ R =

j.g) σ E = 0,75 ⋅ σ R => σ E = 0,75 ⋅ 13613 => σ E = 10210 kgf cm 2 j.h) σ =

j.i) τ =

σE S

σ 3

=> σ =

=> τ =

10210 => σ = 4084 kgf cm 2 2,5

4084 3

= 2358 kgf cm 2

j.j) Verificação => τ = 2057 kgf cm 2 ≤ τ = 2358 kgf cm 2 => OK !!! k) Cálculo da Deflexão por espira ativa ( y Na ) Da equação (5.14): y 8 ⋅ F ⋅ D3 y y 8 ⋅ 38 ⋅ 5 3 = => = => = 0,3015 cm espira ativa 4 4 Na Na 0,63 ⋅ 800000 Na d ⋅G

l) Cálculo do Passo ( p ) Da equação (5.20): p=d +

y y +X⋅ => p = 0,63 + 0,3015 + 0,15 ⋅ 0,3015 => p = 0,97676cm Na Na - 221 -

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m) Cálculo do número de espiras ativas ( Na ) -

extremidade em esquadro esmerilhada

-

tabela (5.1) =>

L = p ⋅ Na + 2 ⋅ d Na =

L −2⋅d 23 − 2 ⋅ 0,63 => Na = => Na = 22,25 espiras p 0,97676

n) Cálculo do número de espiras totais ( Nt ) -

extremidade em esquadro esmerilhada

-

tabela (5.1) =>

Nt = Na + 2 Nt = Na + 2 => Nt = 22 + 2 => Nt = 24 espiras

o) Cálculo da Deflexão ( y ) Da equação (5.14):

y=

8 ⋅ F ⋅ D 3 ⋅ Na 8 ⋅ 38 ⋅ 5 3 ⋅ 22 = => y => y = 6,63cm d4 ⋅G 0,63 4 ⋅ 800000

p) Cálculo do comprimento da mola fechada (H ) -

extremidade em esquadro esmerilhada

-

tabela (5.1) =>

H = d ⋅ ( Na + 2) H = d ⋅ ( Na + 2) => H = 0,63 ⋅ (22 + 2) => H = 15,12cm

q) Cálculo do ângulo de inclinação da espira (λ ) Da equação (5.8):

λ = arctg

p 0,97676 => λ = arctg => λ = 3,56° π ⋅D π ⋅5

r) Verificação (λ ≤ λ ) Da equação (5.8A):

λ = 3,56º ≤ λ = 12° => OK !!!

s) Cálculo do comprimento mínimo (Lmin ) Da equação (5.19):

Lmin = H + (1 + X ) ⋅ y => Lmin = 15,12 + (1 + 0,15) ⋅ 6,63 => Lmin = 22,75cm ou Da equação (5.1): L = p ⋅ Na + 2 ⋅ d => L = 0,97676 ⋅ 22 + 2 ⋅ 0,63 => L = 22,75cm - 222 -

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t) 1ª Verificação da flambagem Da equação (5.23) ou (5.24): Se

{

L ≤ 4 ⋅ D OK (não flamba) L > 4 ⋅ D (pode flambar)

L = 22,75cm > 4.D => L = 22,75cm > 4.5 => L = 22,75cm > 20cm => pode flambar

u) Cálculo do comprimento crítico de flambagem (Lcrit ) Como as extremidades ficam paralelas Da equação (5.25): Lcrit

D2 52 = 2 ⋅ y + 5,56 ⋅ => Lcrit = 2 ⋅ 6,63 + 5,56 ⋅ => Lcrit = 34,2cm 6,63 y

v) 2ª Verificação da flambagem Da equação (5.27): L ≤ Lcrit OK (não flamba) Se L > Lcrit (flamba : reprojetar ou guiar a mola) L = 22,75cm ≤ Lcrit = 34,2cm => OK !!!

{

w) Cálculo da constante de rigidez da mola (k ) Da equação (5.17):

k=

0,63 4 ⋅ 800000 d 4 ⋅G => k = => k = 5,73 kgf cm 8 ⋅ 53 ⋅ 22 8 ⋅ D 3 ⋅ Na

x) Força máxima na mola (Fmax ) Da equação (5.28A): Fmax = (1 + X ) ⋅ F => Fmax = (1 + 0,15) ⋅ 38 => Fmax = 43,7 kgf z) Cálculo da Tensão Resultante Máxima (τ max ) Da equação (5.4):

τ max = k S ⋅

8 ⋅ Fmax ⋅ D

π ⋅d

3

=> τ max = 1,063 ⋅

8 ⋅ 43,7 ⋅ 5 => τ max = 2365 kgf cm 2 3 π ⋅ 0,63

Verificação Se

{ττ

max

≤ τ OK

max

> τ reprojetar

τ max = 2365 kgf cm 2 ≤ τ = 2358 kgf cm 2 => OK !!! (pois a diferença é muito pequena).

- 223 -

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5.14.2 Projetar uma mola helicoidal de compressão com os seguintes dados: -

Material: Corda de piano SAE1095

-

Diâmetro do arame: d=3,06mm

-

Diâmetro médio da mola: D=30mm

-

Comprimento livre: L=85mm

-

Número de espiras ativas: Na=15 espiras

-

Tipo de extremidades: esquadro esmerilhada

-

Mola não endurecida superficialmente

-

Força mínima: 4kgf

-

Força máxima: 10kgf

-

Temperatura: 80°C

Pede-se: -

Qual o coeficiente de segurança estático?

-

Qual o coeficiente de segurança para vida infinita?

-

Qual o coeficiente de segurança para vida finita? (n=40.000 ciclos)

-

Qual a freqüência natural da mola?

-

Qual a freqüência induzida pela força?

a) Cálculo do Índice de Curvatura (C ) Da equação (5.2):

C=

D 3 = => C = 9,8 d 0,306

b) Cálculo do Coeficiente Multiplicador do Esforço Cortante (ks ) 0,5 0,5 Da equação (5.3): ks = 1 + = 1+ => ks = 1,051 C 9,8 c) Cálculo da Amplitude da Força (Fa ) Da equação (5.37):

Fa =

Fmax − Fmin 10 − 4 => Fa = 3kgf = 2 2

Fm =

Fmax + Fmin 10 + 4 = 2 2

d) Cálculo da Força Média (Fm ) Da equação (5.38):

=> Fm = 7 kgf

e) Cálculo da Amplitude da Tensão (τ a ) Da equação (5.39):

τ a = ks ⋅

8 ⋅ Fa ⋅ D 8⋅3⋅3 = 1,051 ⋅ => τ a = 841 kgf cm 2 3 π ⋅d π ⋅ 0,306 3 - 224 -

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f) Cálculo da Tensão Média (τ m ) Da equação (5.40):

τ m = ks ⋅

8 ⋅ Fm ⋅ D 8⋅7⋅3 = 1,051 ⋅ => τ m = 1961 kgf cm 2 3 3 π ⋅d π ⋅ 0,306

g) Cálculo da Tensão Máxima (τ max ) Da equação (5.41):

τ max = τ m + τ a = 1961 + 841 => τ max = 2802 kgf cm 2

(

h) Cálculo da Tensão Limite de Fadiga (Zimmerli) τ ' LIM FAD LIM 2 Do item (5.12.3): τ ' FAD = 3160 kgf cm

)

i.1) Cálculo dos Fatores de Confiabilidade (kc ) e Efeitos Diversos (kf ) kc = kf = 1 i.2) Cálculo do Fator de Temperatura (kd ) 344,4 344,4 kd = = => kd = 0,975 Da equação (2.13): 273,3 + T 273,3 + 80 i.3) Cálculo do Fator de Correção de Wahl (kw) 4 ⋅ C − 1 0,615 4 ⋅ 9,8 − 1 0,615 Da equação (5.6): kw = + = + => kw = 1,148 4⋅C − 4 C 4 ⋅ 9,8 − 4 9,8 i.4) Cálculo do Fator de Redução devido à Fadiga (km ) kw 1,148 Da equação (5.7): km = = => km = 1,092 ks 1,051 i.5) Cálculo do Fator Modificador de Concentração de Tensões (ke ) 1 1 Da equação (5.36): ke = = => ke = 0,916 km 1,092

(

LIM i.6) Cálculo da Tensão Limite de Fadiga para Vida Infinita τ FAD

)

Da equação (5.42): LIM LIM 2 τ FAD = kc ⋅ kd ⋅ ke ⋅ kf ⋅ τ ' LIM FAD = 1 ⋅ 0,975 ⋅ 0,916 ⋅ 1 ⋅ 3160 => τ FAD = 2822 kgf cm j.1) Escolha do material (ver tabela (5.2)) Deve-se escolher o material em função de: - Faixa de “d” - Faixa de “temperatura” - Características - Custo ∴ SAE1095 - 225 -

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j.2) Cálculo do Coeficiente Linear (Z ) e Angular da Reta (m ) Pela tabela (5.2), Z = 22130 kgf cm 2 e m = 0,146 j.3) Cálculo da Tensão Limite de Ruptura (σ R ) z 22130 Da equação (5.21): σR = m = => σ R = 18796 kgf cm 2 d 3,06 0,146 k.1) Cálculo da Tensão Limite de Escoamento (σ E ) Da equação (5.22): σ E = 0,75 ⋅ σ R = 0,75 ⋅18796 => σ E = 14097 kgf cm 2 k.5a) Cálculo da Tensão Limite de Ruptura à Torção (τ R ) Da equação (1.3):

τR =

σR 3

=

18796 => τ R = 10852 kgf cm 2 3

k.5b) Cálculo da Tensão Limite de Escoamento à Torção (τ E ) Da equação (1.3):

τE =

σE 3

=

14097 => τ E = 8139 kgf cm 2 3

k.6) Cálculo do Coeficiente Angular da Equação τ − n (m ) Da equação (5.44):

0,9 ⋅ τ 1 1 0,9 ⋅ 10852 m = ⋅ log LIM R = ⋅ log => m = 0,180 3 3 2822 τ FAD

k.7) Cálculo do Coeficiente Linear da Equação τ − n (b ) Da equação (5.45):

b = log

(0,9 ⋅ τ R )2 LIM τ FAD

= log

(0,9 ⋅10852)2 2822

=> b = 4,529

k.8) Cálculo da Tensão à Fadiga para Vida Finita (τ FAD ) Da equação (5.46):

τ FAD =

10 b 10 4,529 = => τ FAD = 5033 kgf cm 2 m 0 ,180 n 40000

l.1) Cálculo do Coeficiente de Segurança Estático (S est ) Da equação (2.31):

S est =

τE 8139 = => Sest = 2,9 τ max 2802

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l.2) Cálculo do Coeficiente de Segurança para Vida Infinita (S vida infinita ) Da equação (2.29):

S vida infinita =

LIM τ FAD 2822 = => S vida infinita = 3,4 τa 841

l.3) Cálculo do Coeficiente de Segurança para Vida Finita (S vida finita ) Da equação (2.30):

S vida finita =

τ FAD 5033 = => S vida finita = 6,0 τa 841

y) Cálculo do Tempo para Propagação da Onda (t ) Da equação (5.33):

D 2 ⋅ Na 32 ⋅15 t= = => t = 0,0062 seg 71130 ⋅ d 71130 ⋅ 0,306

z.1) Cálculo da Freqüência Natural ( f ) 1 1 => f = 40 Hz f = = Da equação (5.31): 4 ⋅ t 4 ⋅ 0,0062 z.2) Cálculo da Máxima Freqüência Induzida pela Força ( fi ) 1 1 Da equação (5.34): fi = ⋅ f = ⋅ 40 => fi = 2,6 Hz 15 15

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