Cap 6. Flujo Cuasi-unidimensional.pdf

U N E X P O

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA SECCIÓN DE TERMOFLUIDOS DINAMICA DE GASES

DINAMICA DE GASES (322678)

Profesor: LUIS M. BUSTAMANTE

Puerto Ordaz. 2013.

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

CAPITULO VI FLUJO CUASI UNIDIMENSIONAL. 6.1 6.2 6.3

Flujo Cuasi-Unidimensional. Ecuaciones. Relación de Área-Velocidad. Flujo Isentrópico de un Gas Calóricamente Perfecto a través de una Sección Variable. 6.4 Flujo a través de una Tobera Convergente. 6.5 Flujo a través de una Tobera ConvergenteDivergente. 6.6 Flujo de Vapor a través de una Tobera. 6.7 Difusores. 6.8 Rendimiento y Coeficientes para Toberas y Difusores. 6.9 Resumen de ecuaciones. 6.10 Aplicaciones. 6.11 Problemas. 6.12 Bibliografía.

U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

2

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

CAPITULO VI FLUJO CUASI UNIDIMENSIONAL 6.1.- FLUJO CUASI-UNIDIMENSIONAL. ECUACIONES. En el capítulo 2 se trató el tema del flujo unidimensional, el cual consistió en el estudio de las variaciones de las propiedades de un campo de flujo ante la presencia de alguna perturbación estando la sección constante.

y

A  x  p  x 

  x 

x T  x  V  x  z FIGURA 6.1.- Flujo Cuasi Unidimensional

En el presente capítulo la restricción de la sección constante será sustituida por la consideración de la existencia de una sección variable a lo largo de la coordenada x , según se muestra en la figura 6.1. Se continúa considerando que las propiedades son uniformes en cada sección transversal de flujo y que son función de la coordenada x , de tal forma que cuando se cumpla A  Ax  , p  px  ,    x  , T  T x  y V  V x  y el campo de flujo es permanente se está en la presencia de un flujo cuasiunidimensional. Sin embargo, hay que señalar que el flujo es en realidad tridimensional cuando la sección varía, pero se considera que las variaciones de las propiedades en las otras coordenadas son despreciables y para los fines de este curso, considerar un flujo cuasi-unidimensional resulta suficiente para los cálculos de ingeniería. Las ecuaciones que gobiernan el flujo cuasi-unidimensional se derivan de las ecuaciones básicas ya estudiadas aplicadas a un volumen de control de sección variable. La ecuación de continuidad queda como

1V1 A1  2V2 A2

U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

(6.1)

3

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

En la ecuación (6.1) el término 1V1 A1 es el resultado de la integral sobre la sección transversal 1, y el término  2V2 A2 es el resultado de la integral sobre la sección transversal 2; la integral sobre la sección entre 1 y 2 es cero, ya que la superficie de control es un tubo de corriente y el vector velocidad, orientado a lo largo de la superficie hace que el producto escalar VdA sea nulo a lo largo de la sección. La ecuación de la cantidad de momento lineal queda como p1 A1   V A  2 1 1 1

A2

 pdA  p A 2

2

  2V22 A2

(6.2)

A1

nótese que la ecuación (6.2) no es estrictamente una ecuación algebraica ya que el término de la integral representa la fuerza de presión sobre las caras de la superficie de control entre las secciones 1 y 2. La ecuación de la energía, asumiendo un flujo adiabático y sin fuerzas de masa, se deduce como sigue

  V2  V2    p1V1 A1  p2V2 A2   1  e1  1  V1 A1    2  e2  2 V2 A2 2  2    reagrupando términos

  V2  V2  p1V1 A1  1V1 A1  e1  1   p2V2 A2   2V2 A2  e2  2  2  2   

(6.3)

dividiendo la ecuación (6.3) por la ecuación (6.1) V12 p2 V22  e1    e2  1 2 2 2 p2

recordando que h  e  p

(6.4)

 , la ecuación (6.4) queda V12 V22 h1   h2  2 2

(6.5)

La ecuación (6.5) es la ecuación de la energía para un flujo cuasi-unidimensional, permanente y adiabático, y por lo tanto también se cumple que ho  const U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

(6.6) 4

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

Las ecuaciones diferenciales para un flujo cuasi-unidimensional, continuidad, cantidad de momento lineal y de energía son las siguientes. Para la ecuación de continuidad se tiene que

VA  const y por lo tanto

d VA  0

(6.7)

Para obtener la ecuación diferencial de la cantidad de momento lineal, se aplica la ecuación (6.2) a un volumen de control infinitesimal como el indicado en la figura 6.2, donde la longitud en la dirección x es dx :

p

p  dp

A

A  dA

V

V  dV



  d dx

FIGURA 6.2.- Volumen de Control Infinitesimal Variable.

pA  V 2 A  pdA   p  dp  A  dA    d V  dV   A  dA 2

despreciando los términos de segundo orden Adp  AV 2d  V 2dA  2 VAdV  0

(6.8)

por otro lado, si la ecuación (6.7) se multiplica por V y se deriva, se tiene que

V 2dA  VAdV  AV 2d  0 restando la ecuación anterior a la ecuación (6.8) se obtiene

dp   VdV

(6.9)

La ecuación (6.9) es la, ya conocida, Ecuación de Euler. Finalmente la ecuación diferencial de la energía se obtiene diferenciando la ecuación (6.5), es decir U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

5

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

dh VdV  0

(6.10)

6.2.- RELACION DE AREA-VELOCIDAD. Como ya se señaló, el área se convierte en otra variable y por lo tanto se hace necesario, así como se realizó con las demás variables, determinar de qué forma el cambio de sección influye en el comportamiento del número de Mach. Para lo anterior considérese la ecuación diferencial de continuidad de la siguiente forma d

 Para eliminar el término d



dV dA  0 V A

(6.11)

 , considérese la ecuación (6.9) dp





dp d  VdV d 

(6.12)

Se insiste en que el flujo es considerado como adiabático y sin fricción, no hay mecanismos de disipación como la fricción, conducción térmica o difusión actuando sobre el campo de flujo, es decir, el flujo es isentrópico. Por lo tanto, para algún cambio de presión, dp , existirá su correspondiente cambio isentrópico de la densidad, d y, por lo tanto, se puede escribir la relación

dp  p      a2 d    S

(6.13)

Combinando la ecuación (6.12) y la (6.13),

a2

d



 VdV

o d





VdV V 2 dV dV    M 2 2 2 a aV V

(6.14)

sustituyendo la ecuación (6.14) en la (6.11),

U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

6

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.





dA dV  M2  1 A V

(6.15)

La ecuación (6.15) es de una importancia vital para conocer el comportamiento del número de Mach al variar la sección. Se denomina relación área-velocidad y ofrece el siguiente análisis: 1. Para M  0 , se cumple la relación AV  const , la cual representa la ecuación de continuidad para un flujo incompresible estático. 2. Para 0  M  1, (flujo subsónico), un aumento de la velocidad, (el término dV es positivo), está asociado con una disminución del área, (el término dA es negativo), y viceversa. 3. Para M  1, (flujo supersónico), un incremento de la velocidad esta asociado a un incremento del área, y viceversa. 4. Para M  1, (flujo sónico), la relación dA  0 la cual, matemáticamente, A corresponde a un máximo o un mínimo en la distribución del área. La visualización de los puntos antes descritos están señalados en la figura 6.3 y una asociación física lógica de los mismos se indica en la figura 6.4.

a  Flujo

Flujo Subsonico

Flujo Supersónico

dA  0

dA  0

dV  0

dV  0

dA  0

dA  0

dV  0

dV  0

M  0

M  1

b  Flujo

FIGURA 6.3 (a) Ducto Divergente. (b) Ducto Convergente. La figura 6.4 indica claramente que para una sección convergente y flujo subsónico la velocidad se ira incrementando a medida que el flujo se desplace hasta llegar a un área mínima en donde el número de Mach es sónico y continuará aumentando la velocidad, hasta una condición supersónica, si después de esa sección mínima la sección es divergente. U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

7

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

De igual manera, para una sección convergente y flujo supersónico la velocidad se ira disminuyendo a medida que el flujo se desplace hasta llegar a un área mínima en donde el número de Mach es sónico y continuará disminuyendo la velocidad, hasta una condición subsónica, si después de esa sección mínima la sección es divergente. De tal forma y en función del punto 4, la sección debe ser la mínima y ésta mínima área se le denomina garganta.

M 1

M 1

M  1 V en aumento

M 1

M  1 V en aumento M  1

a 

b 

FIGURA 6.4 Comportamiento como: (a) tobera; (b) difusor.

Siendo el campo de flujo, a través del conducto convergente divergente, isentrópico, el comportamiento de las propiedades corresponderá al estudiado en el capítulo 4, tomando como marco de referencia el número de Mach. En base a esto se puede construir la tabla 6.1, en donde se señala como las propiedades varían a través de un ducto convergente divergente.

Conducto

Propiedad

M<1

M>1

Convergente

Velocidad (V)

Aumenta

Disminuye

Convergente

Entalpía (h)

Disminuye

Aumenta

Convergente

Presión (p)

Disminuye

Aumenta

Convergente

Densidad (ρ)

Disminuye

Aumenta

Convergente

El ducto actúa como

Tobera

Difusor

Divergente

Velocidad (V)

Disminuye

Aumenta

Divergente

Entalpía (h)

Aumenta

Disminuye

Divergente

Presión (p)

Aumenta

Disminuye

Divergente

Densidad (ρ)

Aumenta

Disminuye

Divergente

El conducto actúa como

Difusor

Tobera

Tabla 6.1 Efectos del cambio de área en el flujo compresible isentrópico

U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

8

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

6.3.- FLUJO ISENTRÓPICO DE UN GAS CALÓRICAMENTE PERFECTO A TRAVÉS DE UNA SECCIÓN VARIABLE. Considérese un ducto como el indicado en la figura 6.5. En la garganta el flujo es sónico, como ya se sabe, es condición característica y por lo tanto la sección de la garganta se denominará A ; para otra sección cualquiera el área local, el número de mach y la velocidad son A , M , y V respectivamente.

A M  1

A

V   a

M V

FIGURA 6.5.- Geometría para la derivación de la relación Área-Número de Mach. Aplicando la ecuación (6.1) entre las secciones 1 y 2, se tiene que la ecuación de continuidad es,

1V1 A1  2V2 A2 para un gas calóricamente perfecto, se tiene



p RT

y V  Ma  M kRT

Al sustituir estas ecuaciones en la ecuación de continuidad, se tiene

k  p1 A1M1   R  T1 

k  p2 A2M 2  R  T2 

Cancelando k y R y despejando la relación de áreas

U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

9

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

1

A2 M1  p2   T2       A1 M 2  p1   T1 

1

2

(6.16)

Para un flujo isentrópico se pueden sustituir las ecuaciones (2.25) y (2.27) para las relaciones de temperatura y presión, y se obtiene

1  k  1  M 2  2  2  A2 M1      A1 M 2 1  k  1  M 2  2  1   

 k 1     2  k 1 

(6.17)

La ecuación anterior permite el cálculo de cualquier número de Mach si se conocen las variables faltantes correspondientes. Sin embargo es práctico tener la relación de áreas en función de variables ya conocidas. La elección evidente es el área correspondiente a un número de Mach igual a la unidad. Aplicando la ecuación de continuidad entre la garganta ( A ) y 2, se tiene

 V  A  VA

(6.18)

como V   a , la ecuación anterior se convierte en A   a   o a   A  V o  V

(6.19)

donde  o es la densidad de estancamiento. Recordando la ecuación (2.17),

o  k 1 2   1  M    2 

1

k 1

y aplicando la condición sónica, se tiene

o  k  1      2 

1

 k 1

(6.20)

de igual manera, reorganizando la ecuación (2.23),

k 1 2 2 M V  2 2   M  k 1 2 a  1 M 2 U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

(6.21)

10

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

elevando al cuadrado la ecuación (6.16) y sustituyendo las ecuaciones (6.17), (6.20) y (6.21) en ella, se tiene que   A         A   O  2

2

 A  2       A   k  1

2

 k 1 

2

 O      

2

k 1 2  M  1  2  

 a    V  2

2

    

1  2  k  1 2   A M     2 1  M  k  1 2 A   2

k 1 2  M  2  k 1 2  M  2 

k 1  1 

k 1

k 1

(6.22)

La ecuación (6.22) es denominada Relación Área-Mach. Igual resultado se obtiene si en la ecuación (6.17) se fija M1  1 y A1  A . Se deja al estudiante su desarrollo. En el anexo A, se incluyen valores de A  para k  1.4 . A El graficar la ecuación (6.22), (figura 6.6a), proporciona información interesante. En esta oportunidad se grafico para diferentes k y se observa lo siguiente: 1. La relación A

2. 3.

4.

5.

es mayor o igual a la unidad a medida que el número de Mach A aumenta. Es igual a la unidad para un M  1. Esto refleja que el número de Mach sólo puede llegar al valor de la unidad en el área mínima o garganta. Si el número de Mach es conocido, existe una sola relación de áreas correspondiente. Si el número de Mach inicial ( M1 ) es menor que la unidad y el número de Mach final deseado ( M 2 ) es mayor que la unidad, entre los planos 1 y 2 debe ocurrir un área mínima exactamente igual a A , de otra manera, el flujo no puede pasar a través de M  1. Para una determinada relación A  , existen dos números de Mach A correspondientes. Determinar cual número de Mach corresponde a dicha relación dependerá de los datos adicionales relacionados con el área en cuestión. Se construirán toberas más grandes en la medida en que el gas tenga un k menor.

Es obvio el tener en cuenta que si el campo de flujo está en condición supersónica, una onda de choque normal se puede generar. El cálculo del caudal másico se puede establecer en base a la ecuación de caudal másico ya estudiada en el curso de Mecánica de Fluidos, es decir U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

11

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

  VA m

(6.23)

si el campo de flujo es de un gas calóricamente perfecto, se tiene



p RT

y V  Ma  M kRT

y sustituyendo en la ecuación (6.23) m 

k  pAM    R T 

(6.24)

Nótese que las ecuaciones (6.23) y (6.24) permiten calcular el caudal másico en función de las propiedades estáticas. Si se sustituyen las ecuaciones ya conocidas   k 1 2  p  po 1   M    2  

k

k 1

y

  k 1 2  T  To 1   M    2  

1

se obtiene el caudal másico en función de las condiciones de estancamiento:

 p A m  k  o  RT o 

   k 1 2  M 1   M    2   

  k 1

2  k 1

(6.25)

De la ecuación (6.25) se puede obtener una relación adimensional del caudal másico en función del número de Mach y k , es decir:

m RTo p0 A

  k 1 2   k M 1   M    2  

  k 1

2  k 1

U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

(6.26)

12

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

La gráfica de la ecuación (6.26) se muestra en la figura 6.6d. Se supone que pO y TO permanecen constantes y fue realizada para diferentes valores de k. De la misma se desprenden las siguientes conclusiones: 1. Siempre existe un máximo de caudal másico para M  1 2. Para un área específica existirá un caudal másico específico. Ninguna otra área permitirá pasar ese caudal. 3. Para un ducto convergente-divergente particular, con una geometría y área mínima fija, puede dejar pasar solamente un cierto caudal másico máximo y ocurre cuando el número de Mach es la unidad en el área mínima. Una vez logrado lo anterior, no es posible incrementar el caudal másico. Esta condición se conoce como condición de estrangulamiento. 4. Es posible variar al caudal másico máximo, variando las condiciones de estancamiento. 5. Se podrá circular un mayor caudal en la medida en que el k del gas sea mayor. Fijando el número de Mach a la unidad ( M  1) y A  A , en la ecuación (6.25), se obtiene

p A m  o RTo

 2  k   k  1

k 1

2  k 1

(6.27)

La ecuación (6.27) permite calcular el caudal máximo conocidas las variables pO , TO , A , R , k y A . 6.4.- FLUJO A TRAVES DE UNA TOBERA CONVERGENTE. Considérese la figura 6.6, la cual muestra una tobera convergente por la cual circula gas desde un tanque grande, que está en condición de estancamiento constante, hacia una región donde la presión , pB , es variable. Esta presión variable se le denominará contrapresión. El área, la presión y el número de Mach a la salida son Asal , psal y M sal respectivamente. Es de suponer que en la medida en que la contrapresión disminuya, en relación a p o , el caudal, a través de la tobera, aumentará. Igualmente se supondrá que no existe fricción ni transferencia de calor o trabajo.

U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

13

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

Si la contrapresión va progresivamente disminuyendo, en relación con la presión de estancamiento, se generará un caudal a través de la tobera. La figura 6.6b indica el comportamiento de la relación de presión de salida de la tobera con la presión de estancamiento y la longitud de la misma. La figura 6.6c enseña el comportamiento de la presión de salida de la tobera y la contrapresión. La figura 6.6d indica el comportamiento del caudal másico adimensional con relación a la contrapresión. A medida que la contrapresión disminuye se estarán creando los estados a , b , c , etc. Este comportamiento lleva al siguiente análisis. 1. Estado a . La contrapresión es igual a la presión de estancamiento. La presión en el plano de salida de la tobera, y en toda su extensión, es la misma presión de contrapresión y no hay caudal másico a través de la tobera. La presión es uniforme y el número de Mach es cero en toda la tobera. 2. Estado b . La contrapresión es un poco menor a la presión de estancamiento y se producirá un caudal másico. El número de Mach aumenta hacia la salida de la tobera y la presión disminuye. A la salida de la tobera existirá un número de Mach máximo y la presión mínima. La presión a la salida de la tobera se iguala a la contrapresión.

a 

1

po To

p po

M sal

x

f e  

pB

Asal p sal

p po

a)

pB po

c)

p po

a b c d

p po

1

m RTo po Asal

e f

M sal  1

b)

d

b c

f e  

d c   b 

x d)

pB po

a  1

FIGURA 6.6.-Comportamiento de una tobera convergente a varias relaciones de presión.

U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

14

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

3. Estado c . La contrapresión es un poco menor a la contrapresión del estado b y el comportamiento del caudal másico, número de Mach y presión a la salida son similares al caso b . Solo se diferencia en que el caudal másico aumentó. 4. Estado d . La contrapresión ha llegado a un valor tal que obliga al número de Mach llegar al valor de la unidad a la salida de la tobera. La presión a la salida, al igual que la contrapresión, es ahora presión característica, ( p  ). 5. Estado e . La contrapresión es menor al valor de la presión característica. El número de Mach a la salida no aumenta sobre el valor de la unidad; la presión a la salida no disminuye por debajo de la presión característica y el caudal másico no puede aumentar del valor logrado para cuando el número de Mach llegó a la unidad a la salida de la tobera. La presión de salida y la contrapresión no son las mismas. Las propiedades del campo de flujo, luego de salir de la tobera, se ajustan en función de la contrapresión y el campo de flujo es multidimensional. 6. Estado f . Es muy similar al estado anterior. El disminuir más la contrapresión no hará que el caudal másico aumente. De la experiencia anterior se pueden hacer diversas observaciones, en relación con el flujo, en una tobera solo convergente, estas son: 1. Siendo la tobera solo convergente, el flujo no puede pasar a través de un M  1 . 2. El flujo, a todo lo largo de la tobera, estará en régimen subsónico. Solo a la salida de la misma pudiera llegar a régimen sónico. En otras palabras, el campo de flujo no podrá ser supersónico en la tobera, no se generarán ondas de choque y será siempre un campo de flujo isentrópico en toda la tobera. 3. El número de Mach máximo a alcanzar en la tobera es de 1.0 y ocurrirá en el plano de la salida de la tobera que es, además, el área mínima. 4. Existirá un caudal másico máximo que está determinado por las constantes del gas, ( k y R ), los valores constantes de las propiedades de estancamiento y del área de salida de la tobera. 5. El caudal másico máximo se logra para cuando sea M  1 a la salida de la tobera y permanecerá constante aun con la disminución de la contrapresión.  pB 6. El flujo en la tobera estará no estrangulado para cuando y p po po estrangulado para

pB

 p

. po po 7. Para una tobera solo convergente, la ocurrencia del flujo estrangulado no depende de la geometría de la misma. 8. La presión, a lo largo de la tobera, siempre irá en disminución a medida que la contrapresión está disminuyendo. 9. La presión, a la salida de la tobera, siempre se iguala a la presión de contrapresión, hasta que se llegue a un M  1 a la salida de la tobera. Al ser M  1, a la salida de la tobera, la presión de salida es la presión característica y aunque la contrapresión disminuya, la presión de salida permanecerá constante. U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

15

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

10. Las propiedades del campo de flujo, luego de salir de la tobera y con presión característica, se ajustarán aguas abajo de la salida dependiendo de la contrapresión menor a la presión característica. 6.5.- FLUJO A TRAVES DE UNA TOBERA CONVERGENTE-DIVERGENTE. Considérese la figura 6.7a la cual muestra una tobera convergente-divergente por la cual circula gas desde un tanque grande, que está en condición de estancamiento constante, hacia una región donde la presión, pB , es variable. Esta presión variable se le denominará, igualmente, contrapresión. El área, la presión y el número de Mach a la salida son Asal , psal y M sal respectivamente. Es de suponer, al igual que en el caso de una tobera solo convergente, que en la medida en que la contrapresión disminuya, en relación a pO , el caudal a través de la tobera aumentará. Igualmente se supondrá que no existe fricción ni transferencia de calor o trabajo.

Onda de

po

A

To

choque

p1 p 2  

x

M1 M 2

psal po

pB

c

 M sal p sal

j

Asal

p  po M 1

M 1

e d g f 

g  i   h

a)

p po

a b  

c)

a b c d e f g

m RTo po Asal

j h g e d  i  f   c 

1 pB po

b

h

M 1

b)

i

j

x



a

d)

FIGURA 6.7.- Comportamiento de una tobera convergente-divergente a varias relaciones de presión. Al igual que en la experiencia de la tobera solo convergente, si la contrapresión va progresivamente disminuyendo, en relación con la presión de estancamiento, se generará un caudal a través de la tobera.

U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

16

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

La figura 6.7b indica el comportamiento de la relación de presión de salida de la tobera con la presión de estancamiento y la longitud de la tobera. La figura 6.7c muestra el comportamiento de la presión de salida de la tobera y la contrapresión. La figura 6.7d señala el comportamiento del caudal másico adimensional con la contrapresión. A medida que la contrapresión va disminuyendo se estarán creando los estados a , b , c , etc. El análisis de este comportamiento es el siguiente: 1. Estado a . La contrapresión es igual a la presión de estancamiento. La presión en el plano de salida de la tobera, y en toda su extensión, es la misma presión de contrapresión y no hay caudal másico a través de la tobera. La presión es uniforme y el número de Mach es cero en toda la tobera. 2. Estado b . La contrapresión es un poco menor a la presión de estancamiento y se producirá un caudal másico. En la zona convergente de la tobera el campo de flujo se acelera y la presión disminuye hasta llegar a la garganta. En la zona divergente de la tobera el flujo se desacelera y la presión aumenta. El régimen, en toda la tobera es subsónico y obviamente no se producirá una onda de choque. La presión a la salida de la tobera se iguala a la contrapresión. 3. Estado c . La contrapresión es un poco menor a la contrapresión del estado b y el comportamiento del caudal másico, número de Mach y presión a la salida son similares al caso b . Solo se diferencia en que el caudal másico aumentó. 4. Estado d . La contrapresión ha llegado a un valor tal que obliga al número de Mach llegar al valor de la unidad en la garganta. En la zona convergente el flujo se acelera y la presión disminuye y en la zona divergente el flujo se desacelera y la presión aumenta. La presión y el área en la garganta es ahora la presión característica, ( p  ) y el área característica, ( A ). La presión a la salida no es la presión característica, y toma el valor de la contrapresión y el régimen no llega a ser supersónico en ningún punto de la tobera. 5. Estado e . La contrapresión es menor que la contrapresión del caso d . En la zona convergente el flujo se acelera y la presión disminuye y en la zona divergente el flujo se desacelera y la presión aumenta. El número de Mach en la garganta no aumenta del valor de la unidad, pero si aumenta lo suficiente como para llegar a régimen supersónico en la zona divergente de la tobera. La presión y el área en la garganta continúan siendo la presión característica, ( p  ) y el área característica, ( A ). El caudal másico no puede aumentar del valor logrado para cuando el número de Mach llegó a la unidad en la garganta de la tobera. La aceleración del campo de flujo es tal que se genera una onda de choque. Después de la onda de choque el flujo es subsónico y sale con M SAL  1. La presión a la salida se iguala a la contrapresión. 6. Estado f . La contrapresión es menor a la presión del estado e . El comportamiento del campo de flujo es idéntico al caso anterior, solo que la onda de choque se desplaza hacia la salida de la tobera.

U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

17

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

7. Estado g . La contrapresión es menor a la presión del estado f . El comportamiento del campo de flujo es idéntico al caso anterior, solo que la onda de choque se ha desplazado exactamente hasta la salida. Al producirse la onda de choque a la salida de la zona divergente la presión salta hasta igualarse con la contrapresión. 8. Estado h . La contrapresión es menor a la presión del estado g . El comportamiento del campo de flujo es idéntico al caso anterior, solo que la onda de choque se desplaza hacia el exterior del ducto y se convierte en un flujo multidimensional. La presión a la salida es diferente de la contrapresión. Las propiedades del campo de flujo se ajustan, después de salir del ducto, y en función de la contrapresión. 9. Estado i . La contrapresión es menor a la presión del estado h . El comportamiento del campo de flujo es idéntico al caso anterior, solo que la presión a la salida del la zona divergente, finalmente se iguala a la contrapresión. No existe ajuste de presión en el campo de flujo que sale, no se afecta el flujo másico y no se genera onda de choque. 10. Estado j . La contrapresión es menor a la presión del estado i . El comportamiento del campo de flujo es idéntico al caso h y se requieren ajustes de la presión externos de expansión y no se ve afectado el caudal másico. De la experiencia anterior se pueden hacer diversas observaciones, en relación con el flujo en un ducto convergente-divergente, estas son: 1. Siendo el ducto convergente-divergente, el flujo puede pasar a través de un M  1 . 2. El flujo puede mantener un régimen subsónico a todo lo largo del ducto convergente-divergente y en esa condición el máximo número de Mach tendrá un valor de 1.0 en la garganta. 3. En la zona convergente el flujo se acelera y la presión disminuye, hasta llegar a la garganta. En la zona divergente el flujo se desacelera y la presión aumenta. El número de Mach es máximo y la presión es mínima en la garganta. La presión mínima que se logra en la garganta es la presión característica, ( p  ). La presión a la salida se iguala a la contrapresión. 4. El flujo puede ser totalmente isentrópico en todo lo largo del ducto convergentedivergente. 5. En la zona divergente puede seguirse acelerando el flujo hasta llegar a flujo supersónico. 6. De ser el flujo supersónico, en la zona divergente, puede generarse una onda de choque. La salida del campo de flujo es en régimen subsónico y la presión a la salida se iguala a la contrapresión. 7. Dependiendo de las condiciones de la contrapresión, la onda de choque puede desplazarse en todo lo largo del ducto convergente-divergente. Si la onda de choque se presenta exactamente en la salida del ducto, la presión a la salida cambia bruscamente al valor de la contrapresión.

U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

18

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

8. Dependiendo de las condiciones de la contrapresión, el flujo puede acelerarse continuamente en todo lo largo del ducto convergente-divergente hasta cambiar del régimen subsónico al supersónico y sin que se produzca alguna onda de choque. En esta condición el ducto convergente-divergente será considerado como una tobera convergente-divergente. 9. Siendo el flujo subsónico y sin que se halla presentado una onda de choque, el caudal másico aumenta hasta un máximo el cual se cumple para cuando se presenta el M  1 en la garganta. Una vez logrado lo anterior el caudal másico no aumentará por ninguna razón, ni aún presentándose una onda de choque. Solo podrá variarse si las condiciones iniciales de estancamiento o las dimensiones de la garganta o las constantes del gas varían. 10. El flujo, antes y después de una onda de choque es isentrópico. Las observaciones anteriores llevan a determinar que en un ducto convergentedivergente existen, por lo menos, cuatro comportamientos del flujo: 1. Comportamiento Vénturi. Son los casos señalados desde el a hasta el d . El campo de flujo es subsónico e isentrópico a todo lo largo del ducto. En la zona convergente el flujo se acelera y la presión disminuye y en la zona divergente el flujo se desacelera y la presión aumenta. El número de Mach máximo y la presión mínima ocurren en la garganta. El valor máximo a lograr por el número de Mach es 1.0. El número de Mach a la salida se le denomina solución subsónica isentrópica. El caudal másico aumenta progresivamente a medida que la contrapresión disminuye. 2. Comportamiento de Choque. Son los casos señalados desde el d hasta el g . El campo de flujo es subsónico en la zona convergente hasta llegar a sónico en la garganta. En la zona divergente continúa acelerándose hasta generarse una onda de choque, dependiendo de la contrapresión. Después de la onda de choque el flujo es subsónico hasta la salida del ducto. El caudal másico ha llegado a su máximo valor y no aumentará. El ducto está estrangulado. 3. Comportamiento sobre expandido. Son los casos señalados desde el g hasta el i . El flujo se está acelerando a lo largo de todo el ducto. En la garganta es sónico y a la salida es supersónico. El número de Mach a la salida se le denomina solución supersónica isentrópica El ducto se comporta totalmente como una tobera. La presión del campo de flujo aumenta hasta la contrapresión, aguas abajo de la salida de la tobera. Se crean ondas de choque oblicuas a la salida del ducto, (en capítulo posterior se analizarán las ondas de choque oblicuas). 4. Comportamiento subexpandido. Son los casos desde el i hasta el j . Es un comportamiento muy similar al anterior, a excepción de que los ajustes de presión externos son en forma de ondas de expansión, (en capítulo posterior se analizarán las ondas de expansión) en lugar de ondas compresivas. Siendo el flujo a través de ducto convergente divergente isentrópico, el comportamiento de las variables termodinámicas y mecánicas es el indicado en las siguientes graficas: U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

19

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

Comportamiento del radio de una tobera en funcion de su longitud 0.35 0.33 0.31

Radio (m)

0.29 0.27 0.25 0.23 0.21 0.19 0.17 0.15 -0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

Longitud (m )

Comportamiento de la relacion A/A* en funcion de la longitud de una tobera. 4 3.5 3

A/A*

2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

Longitid (m )

U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

20

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

Comportamiento del Numero Mach en funcion de la longitud de la tobera para una entrada subsonica 3.00 2.50

M

2.00 1.50 1.00 0.50

-0.5

-0.3

0.00 -0.1

0.1

0.3

0.5

Longitud (m )

T/To y p/po

Comportamiento de T/To y p/po a lo largo de una Tobera para una entrada subsonica

-0.5

-0.3

1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 -0.1

T/To p/po

0.1

0.3

0.5

Longitud de la tobera (m )

U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

21

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

Comportamiento del Numero de Mach a lo largo de una tobera con entrada supersonica 3.00 2.50

M

2.00 1.50 1.00 0.50

-0.5

-0.3

0.00 -0.1

0.1

0.3

0.5

Longitud (m )

Com portam iento de T/To y p/po a lo largo de una tobera con entrada supersonica. 1.20 T/to p/po

1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 -0.5

-0.3

0.00 -0.1

0.1

0.3

0.5

Longitud (m ) T/To

p/po

U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

22

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

Distribucion de la relacion A/A* para un Mach diferente a la unidad en la garganta 6.00 5.00

A/A*

4.00 3.00 2.00 1.00

-0.5

0.00 -0.1

-0.3

0.1

0.3

0.5

Longitud (m )

Distribucion del Num ero de Mach a lo largo de un conducto con area m inim a

3.00 2.50

M

2.00 1.50 1.00 0.50

-0.5

-0.3

0.00 -0.1

0.1

0.3

0.5

Longitud (m ) M entrada subsonica M para un valor de 0,48 en la garganta M (entrada supersonica)

U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

23

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

Distribucion de la relacion T/To a lo largo de un ducto con area m inim a 1.10 1.00

T/To

0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 -0.5

-0.3

0.30 -0.1

0.1

0.3

0.5

Longitud (m ) T/To (entrada supersonica) T/To (entrada subsonica) T/To con M 0,48 en la garganta.

Distribucion de p/po a lo largo de un ducto con seccion m inim a. 1.20 1.00 p/po

0.80 0.60 0.40 0.20

-0.5

-0.3

0.00 -0.1

0.1

0.3

0.5

Longitud (m ) p/po para una entrada supersonica p/po para una entrada subsonica p/po para una entrada para M =0,48 en la garganta.

U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

24

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

6.6.- FLUJO DE VAPOR A TRAVES DE UNA TOBERA. Hasta los momentos no se ha considerado el vapor como sustancia específica de estudio. Los principios que se han estudiado, con relación al flujo isentrópico de un gas calóricamente perfecto, igual se pueden aplicar al flujo isentrópico de un vapor, sin embargo, como el vapor desvía su comportamiento al de un gas calóricamente perfecto, se debe hacer uso de las tablas adecuadas de las propiedades termodinámicas y de tomar en cuenta la posibilidad de que se presente una condensación. Es decir, se debe de tratar que el flujo del vapor sea isentrópico y sin condensación a través de una tobera. Dependiendo del valor de k , por ejemplo para el vapor del agua se puede considerar como k =1.3, se determina la relación de presión característica, por la relación ya conocida p  2    p  k  1

k

k 1

 0.545

Conociendo la relación de presión característica, se calcula el área de la garganta de la tobera para un caudal másico dado y el área de salida de la misma puede ser calculada de manera semejante. 6.7.- DIFUSORES. Un difusor recibe un fluido a una alta velocidad, por lo general supersónica, y lo expulsa a una presión mayor y velocidad menor; es lo inverso del proceso que ocurre en las toberas, ver la figura 6.8. El fluido entra en el estado termodinámico 1 con una energía cinética,

h Temperatura de Estancamiento (To)

Estado Isentrópico Presión Isentrópica de de Estancamiento. Estancamiento (po) Estado Real Estancamiento.

O

2

V12 2g

h1

de

Presión Real (p) Estado Real.

1

s FIGURA 6.8.- Comportamiento de un Difusor.

U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

25

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

2

K1  V1

2g

e isentrópicamente llega al estado de estancamiento, 2

hO  h1  V1

2g

debido al roce, el punto final de estancamiento real es 2’ a una presión p2  pb , h2'  hb haya o no roce. Sin embargo, el proceso ideal para llevar el fluido a la presión real de estancamiento p2 es 1-2. 3SO

T3O h3O

T, h

p3S 3S h3S

p3 ’ p’’3

3’ 3

(V22 – V23)/2

El caso de la difusión ideal o compresión isentrópica incompleta hasta una velocidad final V3 < V2 y completa hasta V3 = 0 (estancamiento), ya fueron estudiadas en el curso de Termodinámica y los capítulos iniciales de Dinámica de Gases.

(V23)/2

Rendimiento de un difusor.

’’

T3 h3

p2

2

(V 2)/2

La difusión real, tanto subsónica como sobre todo la supersónica (V1 > a), siempre va acompañada 2 de pérdidas, que podrían ser muy elevadas. El objeto s del diseño de un buen difusor es conseguir la máxima FIGURA 6.9.Diagrama presión para una misma energía cinética termodinámico del aire para el transformada en entalpía en el difusor. La figura 6.9 y proceso de difusión incompleta. 6.10 representa el diagrama termodinámico del aire para la difusión incompleta y completa respectivamente que tiene lugar desde un estado inicial 2 (por ejemplo a la salida del impulsor de un p3S p’3 TC) hasta un estado final 3. La energía cinética T, p’’ 3’o h V22  V32 3so T3o transformada en entalpía en el difusor es en la h3o 3’’o 2 2 V figura 6.9 (velocidad final V3 ≠ 0) y 2 en la figura 6.10 2 (velocidad final V3 = 0). En ambas figuras 2 representa el p2 estado inicial, caracterizado por una presión p2 y una entalpía h2. 2

Difusión incompleta La compresión ideal es isentrópica hasta el punto 3s. En la compresión real aumenta la entropía y el punto

T2 h2

s FIGURA 6.10.- Diagrama termodinámico del aire para el proceso de difusión completa.

U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

26

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

final es 3’, o bien si aumentan la irreversibilidades del proceso (peor rendimiento del difusor) hasta 3’’. El incremento de entalpía en los tres casos es el mismo, siendo en virtud del primer principio:

h3  h2 

V32  V22 2

en la difusión real la presión alcanzada es inferior a la p3S correspondiente a una compresión isentrópica, o sea, p3’ < p3 (o p3’’ < p3’ < p3S ). Rendimiento de la difusión incompleta. 1ª definición. Supongamos que la presión real a la salida del difusor es p3’, y comparece el incremento de entalpía real h3’ – h2 = h3S – h2 con el teórico, o sea, con el que hubiera bastado para alcanzar la misma presión final si la transformación hubiera sido isentrópica. El rendimiento del difusor ηd se expresará así: para el cálculo con tablas o diagrama termodinámicos

d 

h3' S  h2 h3S  h2

(6.28)

para cálculo aproximado por fórmulas





T3'S

1 cp T  T2 T2 d    cp T3S  T2  T3S  1 T2 ' 3S

k 1 k

p   p  1 1 d   k 1  p3 s  k  1  p1   ' 3

(6.29)

(6.30)

2ª definición Como el efecto pretendido en un difusor es un aumento de presión se prefiere muchas veces a la anterior definición, la siguiente definición de rendimiento de difusor como relación entre el incremento de presión real y el ideal para un mismo aumento de entalpía:

U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

27

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

d 

p3  p2 p3s  p2

Difusión completa (fig 6.10) La compresión ideal es isentrópica hasta el punto 3so, o bien si aumentan las irreversibilidades del proceso (peor rendimiento del difusor), hasta el punto 3’’ o. el incremento de entalpía en los tres casos es el mismo, siendo en virtud del primer principio:

h3o  h2 

V22 2

en la difusión real la presión alcanzada p3’o o p3’’o es tanto menor cuando mayor haya sido el aumento de entropía. Rendimiento de la difusión completa Se utiliza la segunda definición anterior

dc 

p3o  p2 p3o  p2

(6.31)

El Difusor Supersónico. Los difusores supersónicos son de elevada aplicación en los aviones de reacción supersónica. La experiencia a demostrado que el tránsito de una corriente subsónica a una supersónica, como el que tiene lugar en una tobera Laval, se realiza suavemente, variando las propiedades del fluido de una manera continua. Lo contrario sucede en el tránsito de una corriente supersónica o subsónica, como el que tiene lugar en un difusor. Este transito siempre es brusco. Si por la forma del conducto la corriente no cambia sensiblemente de dirección, se producirá un choque normal. Este es el caso del tubo cilíndrico por el que pasa una corriente supersónica que se va decelerando, produciéndose un choque en el paso brusco del número de Mach de supersónico a subsónico, actuando el cilindro como difusor. En todo difusor supersónico-subsónico, o conducto convergente-divergente, si la presión final es superior a la presión característica p* se producirá un choque en la garganta. A través de la onda hay una discontinuidad en la presión y en la velocidad; pero no en la temperatura de estancamiento, que permanece constante antes y después de la onda, como ya se analizo.

U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

28

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

Como ya se estudio, la onda de choque va acompañada de grandes pérdidas de presión. El proyecto de un difusor supersónico exige el conocimiento de estas pérdidas para reducirlas a un mínimo. Las ecuaciones que permiten el cálculo de las variaciones de las propiedades, generadas por una onda de choque, ya fueron estudiadas. Aunque teóricamente la onda de choque normal podría darse, como se ha estudiado, en un conducto de sección constante, en el caso real, a causa de los efectos de la capa límite, que no se han tenido en cuenta, el choque oscila axialmente en el conducto, (choque unidimensional). Para que el choque sea estable es menester que haya una discontinuidad o cambio de sección en el conducto. El choque normal puede darse a la entrada o en interior de un difusor en vuelo supersónico y puede ocurrir también en compresores de gran velocidad. El difusor supersónico ha de ser diseñado como tal, es decir, se ha de tener en cuenta, en el diseño, el aumento considerable de las pérdidas y disminución del rendimiento, que se origina al producirse las ondas de choque. Si el difusor se diseña sin tener esto en cuenta, o sea, si se diseña como difusor subsónico, pero se utiliza Entrada difusor 1

0

1

0 V> a

V< a

1 p

1 p

PO

pO

p

T

TO

T TO T

V

V V

FIGURA 6.11.- Difusor subsónico

V

a

FIGURA 6.12.- Difusor supersónico

U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

29

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

como difusor supersónico, a la entrada se origina una onda de choque, o sea, una discontinuidad en las propiedades del fluido. En la figura 6.11 se representa un difusor de entrada subsónica en la admisión de aire del compresor de un turborreactor, con las curvas de variación de p; po; T; To y V en la admisión hasta la entrada de la primera corona móvil; y en la figura 6.12, se representa el mismo difusor, pero para una corriente supersónica. Si el número de Mach es pequeño (de 1 a 1,5 aproximadamente), las pérdidas por el choque serán pequeñas, y pueden aún utilizarse difusores subsónicos. A mayores velocidades de vuelo estas pérdidas aumentan rápidamente con perjuicio de la economía del motor. Si el motor está destinado a velocidades de vuelo supersónicas conviene emplear difusor supersónico. Este se configura de manera que se provoca en la admisión un sistema de ondas de choque bidimensionales, en las cuales los parámetros del aire experimentan menor discontinuidad, y las pérdidas son menores. Con el número de ondas de choque en dos dimensiones disminuyen las pérdidas; de esta manera, el tránsito de corriente supersónica a subsónica se realiza con menos pérdidas. En los turborreactores, pulsorreactores y estatorreactores la eficiencia del difusor de entrada puede valorarse mediante el llamado coeficiente de caída de presión total σo del difusor. Cuando mayor sea σo tanto mayor será la presión lograda a la salida del difusor. Si designamos con el subíndice 1 la salida del difusor, con el subíndice 0 la presión de la corriente imperturbada, y con el subíndice O los parámetros de estancamiento, el coeficiente σo se define así:

o 

p1o p0o

(6.32)

Para M = 3 el valor aproximado de este coeficiente es: - con un difusor normal - 1 onda de choque bidimensional y 1 normal - 2 ondas de choque bidimensional y 1 normal - 3 ondas de choque bidimensional y 1 normal

σo = 0,328 σo = 0,600 σo = 0,760 σo = 0,870

En la actualidad, por ejemplo, con M = 2,2 pueden alcanzarse valores de σo = 0,90 y aún mayores. En la figura 6.13 se muestran los tres tipos de difusores supersónicos. a) Difusor con compresión exterior. Consta de carcasa exterior y cuerpo central con cono escalonado. El sistema de ondas bidimensionales se establece delante del plano de entrada. b) Difusor con compresión interior. Las ondas se crean en el interior del difusor. c) Difusor con compresión interior y exterior. U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

30

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

a) a)

b)

b)

c) FIGURA 6.14.- Difusores Isentrópicos: a)de compresión interior; b) de compresión exterior. FIGURA 6.13.- Tipos de difusores supersónicos: a) con compresión exterior; b) con compresión interior; c) con compresión mixta.

La figura 6.14 representa respectivamente difusores de compresión interior y exterior, en los cuales la forma del difusor es tal que el número de saltos se multiplica de tal manera que teóricamente se obtiene una compresión continua (isentrópica): he allí el nombre que reciben este tipo de difusores. Su rendimiento es altamente elevado. Los alabes fijos y móviles de un TC (o en general de las TMG) actúan como difusores; en contraposición a los de las TT (o en general de las TMM) que actúan como toberas. La utilización de coronas supersónicas en los TC permite obtener grandes elevaciones de presión por escalonamiento, con la ventaja muy estimable en aeronáutica de reducción de peso de la máquina. Par comprender la importancia y significado del compresor supersónico basta ver que con un número de Mach M = 2, y difusión completa (estancamiento) se consigue una relación de compresión isentrópica de 7,72, mientras que con M = 0,85 sólo se llega a 1,62. Del compresor supersónico se tratara en la asignatura de Turbomáquinas. U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

31

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

6.8.- RENDIMIENTO Y COEFICIENTES PARA TOBERAS Y DIFUSORES. El rendimiento de una tobera, T , se define por la relación de la energía cinética real por unidad de masa a la descarga de la tobera, entre la energía cinética ideal por unidad de masa, medida cada una a partir del mismo estado inicial y a la misma presión final. En otras palabras

T 

Energía cinética real a la salida de la tobera Energía cinética teórica a la salida considerando flujo

(6.33)

isentrópic o y la misma presión de salida

El rendimiento puede también establecerse en términos de las propiedades termodinámicas. En un diagrama h  s , ver figura 6.15, el estado o , representa el estado de estancamiento del campo de flujo al entrar a la tobera; el estado 2, representa el estado real a la salida de la tobera; y el estado s , representa el estado que se obtendría con la misma presión de salida, si el flujo hubiera sido reversible y adiabático; por lo tanto, en términos de dichos estados, el rendimiento queda como:

T 

ho  h2 ho  h1

(6.34)

El rendimiento de las toberas es generalmente del orden del 90 al 99 por ciento y las de gran tamaño son, por lo general, más eficientes que las pequeñas.

ho h

V22 2g

po

2 p1

1 s

FIGURA 6.15 Diagrama entalpía  entropía que muestra los efectos de la irreversibilidad en una tobera. El perfil interno de una tobera constituye un parámetro importante en el diseño y el estudio detallado de este tema se tratará en el capítulo once. U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

32

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

El coeficiente de velocidad, CV , de una tobera se expresa como: CV 

Velocidad real a la salida de la tobera Velocidad teórica sup oniendo flujo isentrópic o, con igual

(6.35)

presión a la salida de la tobera

En otras palabras, el coeficiente de velocidad, es igual a la raíz cuadrada del rendimiento de la tobera:

CV  T

(6.36)

El coeficiente de descarga de una tobera se expresa de la siguiente manera CD 

Flujo real en masa Flujo teórico en masa, si el flujo fuera isentrópic o

(6.37)

El flujo teórico en masa, bajo condiciones isentrópicas, se calcula considerando la contrapresión real sin obstrucción en la tobera; si la tobera trabaja obstruida, (existe onda de choque o fricción), se deberá calcular considerando condiciones de flujo isentrópico y velocidad sónica en la sección de área mínima de la tobera. El comportamiento de un difusor esta en función de su rendimiento, el cual se puede determinar con la ayuda de un diagrama h  s como el mostrado en la figura 6.16. Los estados 1 y 01 son el estado real y de estancamiento respectivamente del campo de flujo que entra al difusor; los estados 2 y 02 son el estado real y de estancamiento respectivamente del campo de fluido que sale del difusor; el estado 3, no se logra en el difusor, representa el estado que tiene la misma entropía que el estado inicial a la misma presión del estado isentrópico de estancamiento que sale del difusor. De esta manera el rendimiento de un difusor,  D , se expresa como

D 

hs 2 1

V

2 gc



h3  h1 h h  3 1 ho1  h1 ho 2  h1

(6.38)

Si se supone un gas calóricamente perfecto con calor específico constante, lo anterior se reduce a T3  T1  T 1 T3  T1 T1 (6.39) D   V12 To 2  T1 2 g c cP U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

33

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

po1 01

po 2

p2

02

h 3

2

V 22

hs

p1

2g

1 s FIGURA 6.16 Diagrama entalpía  entropía que muestra el ren dim iento de un difusor .

recordando

cP 

kR k 1

T1 

a12 kgR

V12  M12a12 T3  po 2  T1  p1

 po 2     p1 

k 1 k

p    o1   p1 

k 1 k

p  x o 2   po1 

  

k 1

k 1 k

k

 k  1 2  po 2   1  M1  2   po1 

k 1 k

y combinándolas con la ecuación (6.34), se logra

U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

34

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

 k 1

 po 2  k   1 p1   D  k 1 2 M1 2  k  1 2  po 2  M 1  1  2   p01  D  k 1 2 M1 2

(6.40)

 k 1 k

1 (6.41)

6.9.- RESUMEN DE ECUACIONES. dp   VdV (6.9)

1V1 A1  2V2 A2 (6.1) p1 A1   V A  2 1 1 1

A2

 pdA  p A 2

2

dh VdV  0 (6.10)

  V A2 2 2 2

A1

d

(6.2)



  V2  V2  p1V1 A1  1V1 A1  e1  1   p2V2 A2   2V2 A2  e2  2  2  2   

dp

(6.3) p2

1

 e1 

h1 



V12 p2 V2   e2  2 2 2 2 (6.4)

V12 V2  h2  2 2 2 (6.5)

hO  const (6.6)

d VA  0 (6.7)





dV dA  0 V A (6.11)

dp d  VdV d  (6.12)

dp  p      a 2 d    S (6.13) d

VdV V 2 dV dV   2   2  M 2  a aV V (6.14)





dA dV  M2  1 A V (6.15)

Adp  AV 2d  V 2dA  2 VAdV  0 (6.8) U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

35

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

A2 M1  p2     A1 M 2  p1  (6.16)

1

 T2     T1 

1

 p A m  k  o  RT o 

2

   k 1 2  M 1   M    2    (6.25)

k 1

1  k  1  M 2  2k 1 2  2  A2 M1      A1 M 2 1  k  1  M 2  2  1    (6.17)

m RTo po A

  k 1 2   k M 1   M    2   (6.26)

m 

 V  A  VA (6.18) A   a    o a     V o  V A (6.19)

o  k  1      2 

1

p o A

 2  k  RTo  k 1 (6.27)

k 1

  k 1

  k 1

2  k 1

2  k 1

2  k 1

h3' S  h2 h3S  h2 (6.28)

d 

 k 1

d 

(6.20)

k 1 2 M V  2 2  M    k 1 2 a  1 M 2 (6.21)



T3'S



1 cp T  T2 T2   cp T3S  T2  T3S  1 T2 (6.29) ' 3S

2

1  2  k  1 2   A M     2 1  M  k  1 2 A   (6.22) 2

  VA m (6.23)

m 

k  pAM    R T  (6.24)

k 1

k 1

k 1

 p3'  k  p  1 1 d   k 1  p3s  k  1  p1   (6.30)

dc 

p3'o  p2

p3o  p2 (6.31)

p1o pOo (6.32)

o 

U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

2

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

T 

Energía cinética real a la salida de la tobera Energía cinética teórica a la salida considerando flujo isentrópic o y la misma presión de salida

(6.33)

ho  h2 ho  h1 (6.34)

T 

CV 

Velocidad real a la salida de la tobera Velocidad teórica sup oniendo flujo isentrópic o, con igual presión a la salida de la tobera

D 

T3  T1  T

T3  T1  To 2  T1

T1 V12 2 g c cP

1

(6.39)  k 1

 po 2  k   1 p1   D  k 1 2 M1 2 (6.40)

(6.35)

CV  T (6.36) CD 

Flujo real en masa Flujo teórico en masa, si el flujo fuera isentrópic o

 k  1 2  po 2  M 1  1  2   p01  D  k 1 2 M1 2 (6.41)

 k 1 k

1

(6.37)

D 

hS 2 1

V

2 gc



h3  h1 h h  3 1 ho1  h1 ho 2  h1

(6.38)

U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniería Mecánica. Sección de Termofluidos. Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases.

3

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

6.10.- APLICACIONES Nº 1.- Circula aire a través de una tobera convergente-divergente que tiene una relación de áreas de salida a la de garganta de 3,67. El aire entra con una presión de estancamiento absoluta y temperatura de estancamiento de 692 kPa y de 366,3 K, respectivamente. El área de la garganta es 6.45 cm2. Determine: 1) El flujo de masa para una contra presión, a la salida de la tobera, de 354 kPa. 2) La temperatura estática y la velocidad estática a la salida de la tobera de existir una onda de choque normal para M = 2,23 y a una contra presión a la salida, de la misma, de 354 kPa. 3) El flujo de masa para una contrapresión de 681,21 kPa. 4) El flujo de masa, en la tubería, para un número de Mach supersónico a la salida de de la tobera. 5) Determine la eficiencia; el coeficiente de velocidad y el coeficiente de descarga de la tobera para una presión, a la salida de la tobera convergente-divergente, de 681,21 kPa. Solución.

4.Esquema

1.- Leer. 2.- Datos: To = 366,3 K;; Tducto = 287 K; A/A* = 3,67; po = 692 kPa; A* = 6,45 cm2 = 6,45x10-4 m2; k = 1,4. R = 286,8 J/kgm K. 3.- Pregunta: 1) El flujo de masa para una contra presión, a la salida de la tobera, de 354 kPa. 2) La temperatura estática y la velocidad estática a la salida de la tobera de existir una onda de choque normal para M = 2,23 y a una contra presión a la salida, de la misma, de 354 kPa. 3) El flujo de masa para una contrapresión de 681,21 kPa. 4) El flujo de masa, en la tubería, para un número de Mach supersónico a la salida de de la tobera. 5) Determine la eficiencia; el coeficiente de velocidad y el coeficiente de descarga de la tobera para una presión, a la salida de la tobera convergente-divergente, de 681,21 kPa.

pe

To=366,,3 K Po=692kP a

Choque Normal

x y M<1 M=1

M>1

5.- Hipótesis. Flujo adiabático. Gas calóricamente perfecto. 6.- Leyes y ecuaciones. Tablas de Flujo isentrópico. Tablas de choque normal. . p u a  kRT ;   ; m  Au ; M  ; RT a k 1

p A* k  2  2k 1 m o (1);   RTo  k  1  *

UNEXPO. Dpto. Ingeniería Mecánica. . Sección de Termofluidos. Semestre 2010-II Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

 k  1 2 1  M1 T2 2    (2) ; T1  k  1 2 1  M 2  2 

T 

ho1  he ; ho1  hS

CV  T ; CD 

flujo de masa real . flujo de masa a tobera estrangulada

7.- Desarrollo.

2) La temperatura estática y la velocidad estática a la salida de la tobera de existir una onda de choque normal para M  2,23 y a una contra presión a la salida, de la misma, de 354 kPa Para una solución supersónica, a la relación de áreas señaladas; se tiene un de M = 2,85 y de las tablas de flujo isentrópico:

1) El flujo de masa para una contra presión, a la salida de la tobera, de 354 kPa. Es necesario conocer si la tobera está estrangulada para esa presión de salida de 352 kPa. Para Asalida/A* = 3,67 y para solución subsónica se tiene:

p  0,03415 po T  0,38102 To Entonces: ps  0,03415x692  23,63kPa

p  0,98228  po

Ts  0,38102 x366,6  139,68K

psalida  0,98228 x692  679,74kPa

Esta presión es mayor a 354 kPa , por lo tanto la tobera está estrangulada. Utilizando la ecuación (1)

T2 T1

k 1

p A* k m o RTo *

 2  2k 1     k  1 1, 4 1

692000 x6,45 x10 4 1,4  2  21, 4 1 m     286,8 x366,6  1,4  1  *

m

Utilizando la ecuación (2) se tiene:

0,53x1000 0,833  0,94kg/s 324,25 *

m  0,94kg/s

T2 T1

 k  1  2 1  M1 2      k  1  2 1  M 2  2   1,4  1  2,232 1   1,99  2     0,76 2,62  1,4  1 2 1   2,85  2 

T1 

T2 139,68   183,79 K 0,76 0,76

Para M1  2,23, y para una onda de choque, se tiene:

UNEXPO. Dpto. Ingeniería Mecánica. . Sección de Termofluidos. Semestre 2010-II Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

M2  0,54310

usalida  Mx kxRxTsalida  usalida  0,52 x 1,4 x286,8 x349,21  194,75m/s

T2  1,8835 T1 po2  0,61453 po1 Por lo tanto:

T2  T1x1,8835  183,79 x1,8835  345,17K po 2  po1x0,61453  692 x0,61453  425,25kPa

por lo tanto: p 354   0,83244 po 425,25

Tsalida  349,21K usalida  194,75m/s

3) El flujo de masa para contrapresión de 681,21 kPa.

Para una contra presión de 681,21 kPa > 679,74 kPa y por lo tanto no se encuentra la tobera estrangulada, entonces: p/po = 681,21/692 = 0,99441 p 681,21   0,99441 po 692 de las tablas de flujo isentrópico y para la relación anterior:

de las tablas de flujo isentrópico:

M  0,15

M  0,52 0,5431

T  0,99552 To T/T0 = 0,99552

De nuevo utilizando la ecuación (2)  k  1 2 1  M1 T2 2     T1  k  1 2 1  M 2  2   1,4  1  0,54312 1   T2 1,06  2     1,01 T1 1,05  1,4  1  2 1   0,52   2  Tsalida  T1x1,01  345,75x1,01  349,21K

una

Entonces: T  To x0,99552  366,3x0,99552  364,66K

Entonces:

m  xuxA 

p xMx kRT xA  RT

UNEXPO. Dpto. Ingeniería Mecánica. . Sección de Termofluidos. Semestre 2010-II Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

m 

681210 x0,15x 1,4 x286,8x364,66 x6,45x10 4 x2,09  286,8x364,66

m  6,51x0,15x382,78x6,4510 4 x2,09  0,50 kg

m  0,50 kg

T2  366,3  0,99441

0, 29

s

366,3  0,99838  365,71K

 366,3  365,71    100   366,3  364,33 

T  

 0,59    100  0,30  100  29,95  1,97 

T  

s

4) El flujo de masa, en la tubería, para un número de Mach supersónico a la salida de de la tobera. A la salida de la tobera y con un número de Mach supersónico ya existe flujo máximo en la tobera, por lo tanto, el flujo máximo en la tubería debe ser:

CV  T  29,95  5,47 CD 

0,50  0,53 0,94

RESULTADOS *

1)

m  0,94kg/s

2)

Tsalida  349,21K

*

m  0,94kg/s

5) Determine la eficiencia; el coeficiente de velocidad y el coeficiente de descarga de la tobera para una presión, a la salida de la tobera convergentedivergente, de 681,21 kPa. De los cálculos anteriores se tiene: To1  366,3K

usalida  194,75m/s

3)

m  0,50 kg

s

4) A la salida de la tobera y con un número de Mach supersónico ya existe flujo máximo en la tobera, por lo tanto, el flujo máximo en la tubería debe ser:

Te  364,33K

*

m  0,94kg/s

Flujo de masa (para P =681,21 kPa) = 0,50 kg/s Flujo de masa (a tobera estrangulada) = 0,94 kg/s k

 p  p2  T2  k 1      T2  T1  p1  T1  p  o1 

k 1 k

5)

T  29,95 CV  5,47

CD  0,53

UNEXPO. Dpto. Ingeniería Mecánica. . Sección de Termofluidos. Semestre 2010-II Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

Nº 2.- Una tobera convergente-divergente tiene una relación de áreas de la salida a la garganta, de 2. Entra aire a esta tobera, con una presión de estancamiento absoluta de 691372,35 Pa y temperatura de estancamiento de 93,4 ºC. El área de la garganta es 6.45 cm2. Determine: 1) El flujo de masa, la presión a la salida, la temperatura a la salida, el número de Mach a la salida y la velocidad a la salida, bajo las siguientes condiciones: a) velocidad sónica en la garganta y la sección divergente actuando como tobera; y b) velocidad sónica en la garganta y la sección divergente actuando como difusor. 2) La presión y temperatura local o estática y la temperatura de estancamiento, inmediatamente flujo abajo del plano de salida de la tobera si existiese una condición de choque normal en el plano de salida de la tobera. Solución



1.- Leer.

p RT

.

m  Au u M  a

2.- Datos: A/A* = 2; po = 691372,35 Pa; To = 93,4 ºC = 366,6 K; A* = 6,45 cm2 = 6,45x10-4 m2; k = 1,4. R = 286,8 J/kgm K

k 1

po A* k  2  2k 1 m (1)   RTo  k  1  *

3.- Pregunta. 1) El flujo de masa, la presión a la salida, la temperatura a la salida, el número de Mach a la salida y la velocidad a la salida, bajo las siguientes condiciones: a) velocidad sónica en la garganta y la sección divergente actuando como tobera; y b) velocidad sónica en la garganta y la sección divergente actuando como difusor. 2) La presión y temperatura local o estática y la temperatura de estancamiento, inmediatamente flujo abajo del plano de salida de la tobera si existiese una condición de choque normal en el plano de salida de la tobera.

7.- Desarrollo. Parte 1.- De la tabla de flujo isentrópico, vemos que hay dos números de Mach para A/A* = 2; uno de ellos, es mayor que la unidad y el otro, menor que la unidad. Cuando la sección divergente actúa como tobera supersónica, nos corresponde usar M > 1 y cuando la sección divergente actúa como difusor, nos corresponde usar M < 1, entonces se tiene: A/A*

5.- Hipótesis. Flujo isentrópico en toda la tobera. 6.- Leyes y ecuaciones. Tablas de Flujo isentrópico. Tablas de choque normal.

a  kRT

M

pe/po

Te/To

2

2,197 0,0939 0,5089

2

0,306 0,9371 0,9816 Para M  2,197  punto M  1

UNEXPO. Dpto. Ingeniería Mecánica. . Sección de Termofluidos. Semestre 2010-II Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

pe  0,939 x691,37235  64,91986kPa Te  0,5089 x366,6  186,56K

ae  1,4 x287 x186,56

1

2

 273,79 m

ue  2,197 x273,79  601,52 m

s

pe

Te

ue

Flujo

2,197

64919,86

186,56 601,52

0,9336

0,306

647885,03 359,85 116,36

0,9336

s El flujo de masa ya esta estrangulado para ambos casos. Basta con calcularlo para un solo caso.

s

m  utilizando la ecuación 1  0,9336 kgm m  0,94 kgm

Me

s

 O pOTO 

64919,86  286,8  186,56  601,52  2  6,45 x10 4 m  0,9415 kgm  0,94 kgm s s m

Para M  0,306  punto M  1 :



Parte 2.- De la tabla de choque normal y para M1  2,197 , se tiene: M1

M2

`p2/p1

T2/T1

po2/po1

2,197

0,548

5,46

1,854

0,631

Por lo tanto

p2  5,46 x649,1986  354,46244kPa

Pe  0,9371x691,37235  647,88503kPa

T2  1,854 x186,56  345,88K

Te  0,9816 x366,6  359,85K

po 2  0,631x691,37235  436,25595kPa

ae  1,4 x287 x359,85

1

2

 380,25 m

Resultados:

s Parte 1 a y 1 b

ue  0,306 x380,25  116,36 m

s

Parte 2

p2  354,46244kPa T2  345,88K po 2  436,25595kPa

UNEXPO. Dpto. Ingeniería Mecánica. . Sección de Termofluidos. Semestre 2010-II Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

6.10.- PROBLEMAS PROPUESTOS Nota: Para todos los problemas indique, en una curva T-s; las condiciones termodinámicas y mecánicas de los mismos, así como el comportamiento de la presión a lo largo de la tobera... 6.1.- Un gas ideal, con k =1,4, fluye isentrópicamente a través p = 207 kPa(abs) A2 1 de la tobera convergente ρ1 =1.3 kg/m3 u2 mostrada en la figura la cual u1 = 47,2 m/s 2 p2 = 125 kPa (abs) descarga dentro de un gran A1 = 0,1 m ducto donde la presión es p2 = 125 kPa (abs). El gas NO es aire y se desconoce la constante del gas R. el flujo es estable y uniforme en todas las secciones transversales. Determine al área de salida de la tobera; A2, y la velocidad de salida, u2. 6.2.- Considere el principio de un túnel de viento supersónico, como se t muestra. El área de la garganta de la tobera es de 1,25 pies2, y el número de Mach de diseño de la sección de prueba es 2,50. Cuando el túnel arranca, una onda de choque normal permanece en la divergencia de la tobera donde el área es 3,05 pies2. Las condiciones de 1 temperatura y presión de estancamiento aguas arriba son 1080 R y 115 psia Tobera respectivamente. Determine el área mínima posible de la garganta del difusor en este instante. Calcule el aumento de entropía a lo largo de la onda de choque.

Onda de choque

d

2 Sección de prueba

Difusor

6.3.- Debido a la fricción, el desempeño real de una tobera difiere un poco del calculado utilizando las relaciones de flujo isentrópicas. En ambos casos, es razonable considerar el flujo adiabático. La eficiencia de la tobera; η se define como la razón entre la energía cinética real de salida y la energía cinética de salida que se obtendría en una tobera sin fricción que se expandiera el gas a la misma presión final. Deduzca una expresión para la eficiencia de la tobera en términos de la temperatura de estancamiento y las temperaturas real e ideal en el plano de salida de la tobera. Suponga en ambos casos que el flujo dentro de la garganta de la tobera es isentrópico y que el flujo de salida es supersónico. Considere una tobera diseñada para producir un número de Mach de 2,2 para flujo isentrópico de aire. Evalúe el número de Mach real del plano de salida para 0,8 < η < 1,0.

UNEXPO. Dpto. Ingeniería Mecánica. . Sección de Termofluidos. Semestre 2010-II Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

6.4.- Fluye aire, a través de una tobera convergente-divergente de área 5 cm2 y de un tanque muy largo, a la atmósfera. Calcule el flujo de masa a la salida si la presión atmosférica es a) 100 kPa; b) 60 kPa; y c) 30 kPa. La temperatura y presión de estancamiento en el tanque es 100 ºC y 150 kPa respectivamente. 6.5.- Fluye aire a través de una tobera convergente-divergente entre dos tanques reservorios grandes, tal y como se enseña en la figura. Un manómetro de mercurio indica una altura h de 15 cm. Determine: a) la presión del tanque aguas abajo, b) Existe una onda de choque en el flujo?

A = 10 cm2 A = 30 cm2

100 ºC 300 kPa

h

Mercurio

6.6.- Una tobera convergente-divergente tiene una relación de áreas de salida a la de garganta de 2,09. Entra aire a esta, con una presión de estancamiento absoluta de 692 kPa y temperatura de estancamiento de 93,4 ºC. El área de la garganta es 6.45 cm2. Determine: 1) el flujo de masa para una contra presión a la salida de 354 kPa; 2) la temperatura estática y la velocidad estática a la salida de existir una onda de choque normal para M = 2,23 y a una contra presión a la salida de 354 kPa; y 3) El flujo de masa para una contrapresión de 650 kPa. 6.7. En una tobera se expande vapor a una presión de 1 MPa y a una temperatura de 400 ºC, hasta una presión de 200 kPa. La eficiencia de la tobera es 90% y el flujo másico es de 10 kg/s. Determine el área de salida de la tobera y la velocidad de salida. 6.8.- Aire al nivel del mar y en condiciones estándar esta siendo succionado hacia un tanque de vacío a través de una tobera, tal y como se indica en la figura. Una onda de choque normal ocurre en un punto en donde la sección es de 2 cm2. Determine: a) la presión dentro del tanque; y b) el flujo de masa.

A = 1 cm2 Aire al nivel del mar

A = 3 cm2 Tanque al vacío

A = 2 cm2

6.9.- Considere una tobera convergente-divergente con una sección de salida y garganta de 0,5 m2 y 0,25 m2, respectivamente. La presión de entrada al reservorio es de 1 atm y la presión estática a la salida es de 0,6 atm. Para esta relación de presión, el flujo será supersónico en una porción de la tobera, terminando con una onda de choque dentro de la tobera. Calcule la relación de área local al área de la garganta en la zona de choque normal dentro de la tobera. 6.10.- Considérese el flujo de helio a través de una tobera convergente-divergente de un túnel. La presión y temperatura es estancamiento a la entrada de la tobera son 8 kg/cm2 y 70 ºC, respectivamente. En una sección después de la garganta, la presión es de 550 kPa y el área transversal es de 0,002 m2. Determine la temperatura, el número UNEXPO. Dpto. Ingeniería Mecánica. . Sección de Termofluidos. Semestre 2010-II Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

de Mach y la presión de estancamiento en esta sección, así como también el caudal de masa a través de la tobera. 6.11.- En una boquilla convergente-divergente fluye aire y ocurre una onda de choque normal en un lugar donde la presión absoluta es 90 kPa. Las condiciones del tanque son T = 60 ºC y p = 201.3 kPa (abs). ¿Cuál es la pérdida en presión de estancamiento a través de la onda de choque?¿En que sentido es esto una “pérdida”? 6.12.- Un cohete se desplaza con una onda de choque normal localizada (permanece estacionaria). Las condiciones estacionarias son T o = 2760 ºC y po = 1345 kPa (abs). El área de la garganta es de 0,2 m2, el área de salida es de 0,3 m3 y la onda de choque esta localizada en la zona divergente del cohete en una sección de 0,25 m2. Determine la presión a la salida del cohete. Considere k = 1,4 y R = 355 N.m/(kg)(k). 6.13.- Fluye aire a través de una ducto convergente-divergente cuya área de garganta es 32 cm2. En algún lugar de la zona convergente la sección es de 18 cm2; M = 2,5; p = 40 kPa (abs); y T = 30 ºC. En algún lugar de de la zona divergente existe una sección de 32 cm2. Si se produce una onda de choque en la garganta; determine: a) el flujo de masa; b) el número de Mach en la sección de 32 cm2; y c) la presión de estancamiento en la sección de 32 cm2. 6.14.- Se realizan dos perforaciones idénticas, en una misma superficie, pero poseen orientación opuesta. La sección menor es de 0,2 cm2 y la mayor es de 0,3 cm2. Fluye aire desde donde existen condiciones de p = 150 kPa (abs) y T = 20 ºC, hacia donde p = 100 kPa. Determine el flujo de masa para cada perforación y explique el porque son diferentes. 6.15.- Una tobera convergente-divergente tiene una relación de áreas de salida a la garganta, de 2. Entra aire a esta, con una presión de estancamiento absoluta de 691372,35 Pa y temperatura de estancamiento de 93,4 ºC. El área de la garganta es 6.45 cm2. Determine: 1) El flujo de masa; la presión, temperatura, el número de Mach y la velocidad a la salida, bajo las siguientes condiciones: a) velocidad sónica en la garganta y la sección divergente actuando como tobera; y b) velocidad sónica en la garganta y la sección divergente actuando como difusor. 2) La presión y temperatura local o estática y la temperatura de estancamiento, inmediatamente después del plano de salida de la tobera si existiese una condición de choque normal en el plano de salida de la tobera. 3) El flujo de masa para una contrapresión de 650000 Pa; 4) De existir la posibilidad de una onda de choque normal para M = 1,85; determine: a) Área donde ocurre esa onda de choque; b) Presión; temperatura y número de Mach a la salida. 6.16.- Vapor a la presión y temperatura de estancamiento de 800 kPa y 350 ºC, se expande en una tobera hasta 200 kPa. Determine el área de la garganta y el área de salida que se requiere para un flujo de 3 kg/s. Suponga flujo isentrópico y un valor de k = 1,3.

UNEXPO. Dpto. Ingeniería Mecánica. . Sección de Termofluidos. Semestre 2010-II Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

6.17.- En una tobera se expande vapor a una presión de 1 MPa y a una temperatura de 400 ºC, hasta una presión de 200 kPa. La eficiencia de la tobera es 90% y el flujo másico es de 10 kg/s. Determine el área de salida de la tobera y la velocidad de salida. 6.18.- Por una tobera convergente-divergente fluye vapor a 800 kPa y 350 ºC que tiene un área de garganta de 350 mm2. La presión en el plano de salida es de 150 kPa y la velocidad de salida es 800 m/s. El flujo desde la entrada a la tobera hasta la garganta es isentrópico. Determine el área de salida de la tobera. 6.12.- BIBLIOGRAFÍA.                 

Anderson, J. D. (1990). Modern Compressible Flow With Historical Perspective. 2da. Edición McGraw Hill. Inc. Bustamante, L. M. (1999). La Dinámica del Flujo Compresible. Volumen I. UNEXPO. Bustamante, L. M. (2009). La Dinámica del Flujo Compresible. Volumen II. UNEXPO. Bustamante, L. M. (1999). Problemas de Dinámica de Gases. UNEXPO. Bustamante, L. M. (1999). Dinámica de Gases. Apéndice. UNEXPO. Bolinaga J. (1992). Mecánica elemental de los fluidos. Fundación Polar UCAB. Encyclopedia and Compressible Flows. (1989). Volumen 8. Aerodynamics and Compressible Flows. Fox, Robert y McDonald, Alan (1991). Introducción a la Mecánica de los Fluidos. Iberoamericana S.A. Jones, J. B.; Dugan, R. E. (1997). Ingeniería Termodinámica. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. Primera Edición. México. Lames, Irwinig. (1995). La Mecánica de Fluidos. McGraw-HILL. Middleman Stanley.- (1998). An Introduction to Fluid Dynamics. John Wiley & Sons, Inc. Munson, B. R. ((1998). Fundamentals of Fluid Mechanics. New York. John Wiley & Sons, Inc. Third Edition. P. Gerhart, R. Gross y J.Hochstein (1995). Fundamentos de Mecánicas de Fluidos. Addison Wesley. Rotty R. (1968). Introducción a la Dinámica de Gases. Centro Regional de Ayuda Técnica. Agenda para el Desarrollo Internacional. México. Shapiro A. H. (1953). The Dynamics and Thermodynamics of Compressible Fluid Flow. Vol. I/II. Ronald Press. New York. Streeter V. L. y Wylie E. B. (1990). Mecánica de Fluidos. Wylen, Van y Sonntag. (1997). Fundamentos de Termodinámica. Limusa. Vigésima segunda Reimpresión.

UNEXPO. Dpto. Ingeniería Mecánica. . Sección de Termofluidos. Semestre 2010-II Flujo Cuasi Unidimensional. Dinámica de Gases