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UNIDAD III: Distribuciones de Probabilidad para Variables Discretas  Distribución Binomial

 Distribución Hipergeométrica  Distribución de Poisson

 Aproximación de la Distribución de Poisson a la Binomial



Distribución binomial: la variable aleatoria X que es igual al número de

ensayos que producen un éxito tiene una distribución binomial con parámetros p y n. La función de masa de probabilidad de X es: F(x)=

0.1,…,n

pprobabilidad de éxito ; Media: = E(x)=np Varianza: 2 = V(x)=np(1-p) Propiedades de una distribución binomial 1- Los ensayos son independientes 2- Cada ensayo produce únicamente dos resultados posibles 3- La probabilidad de un éxito en cada ensayo, denotada como p, permanece constante

Distribución hipergeométrica En esta distribución al igual que en la distribución binomial en cada ensayo hay tan solo dos posibles resultados: éxito o fracaso. Pero se diferencia de la distribución binomial en que los distintos ensayos son dependientes y su función de masa de probabilidad es:

F(x)=

Kobjetos clasificados como éxitos, Ntotal de objetos (N-K)objetos clasificados como fracasos ntamaño de muestra seleccionada al azar (sin reemplazo)

Si X es una variable aleatoria hipergeométrica con parámetros N,K y n, la media y la varianza de X son:  = E(x) = np y 2 = V(x) = np(1-p)

,

donde p= K/N

Distribución de Poisson Esta distribución se emplea para determinar la probabilidad de que un evento X ocurra en un intervalo dado, bien sea de tiempo, área o longitud. Sea X una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores 0, 1,2,…, tal que la función de probabilidad de X esté dada por

F(x) = P(X=x) =

para X= 0, 1,2,…

 es una constante positiva y es igual a n.P  = E(x) = nP, por

lo que =

E(x)==nP y 2 = V(x) =  Propiedades 1- El numero de resultados que ocurren en un intervalo o región especifica es independiente del numero que ocurre en cualquier otro intervalo o región del espacio disjunto. 2- La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región y no depende del número de resultados que ocurren fuera de este intervalo o región. La probabilidad de que ocurra mas de un resultado en tal intervalo corto o que caiga en tal región pequeña es insignificante.

Aproximación de la distribución de Poisson a la binomial. Algunas veces se puede, cuando se hace complejo un cálculo de distribución binomial, se puede emplear una aproximación de la distribución de Poisson a la binomial, pero debe cumplir con ciertas condiciones: A n20

nP5

P0.05

P0.1

Distribución binomial

f(x)=

B ó

n100 P0.05

Distribución poisson

F(x)=

Aproximación poisson a la binomial F(x)=

Ejercicios:

1- Una maquina elabora una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas solo haya una defectuosa.

2- Cada muestra de aire tiene 10% de probabilidades de contener una molécula rara particular. Suponga que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la molécula rara a) Encuentre la probabilidad de que en las siguientes 18 muestras, exactamente 2 contengan la molécula rara b) Determine la probabilidad de que a lo máximo 4 muestras contengan la molécula c) Determine el número esperado de moléculas raras en un lote de 15 muestras, su varianza y desviación típica.

Ejercicios: 3- La producción de un día de 50 piezas manufacturadas contiene 5 piezas que no cumplen con los requerimientos del cliente. Se seleccionan 2 piezas al azar y sin reemplazo de la producción de un día. Determine la función de masa de probabilidad para el caso de salir piezas que no cumplen. 4- Un lote contiene 35 piezas de un proveedor de tubería local y 70 unidades de un proveedor de tubería del estado vecino. Si se seleccionan 4 piezas al azar y sin reemplazo, a- ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local? b- ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del proveedor local? c- Determine el número de piezas esperadas del proveedor local, varianza y desviación.

Ejercicios:

5- Se presentan imperfecciones aleatoriamente a lo largo de un alambre delgado de cobre. Suponga que el número de imperfecciones sigue una distribución de Poisson con una media de 2.3 imperfecciones por mm, Determine: A-. La probabilidad de exactamente 2 imperfecciones en 1mm de alambre: B-. Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5mm de alambre: C-. Determine la probabilidad de al menos una imperfección en 2mm alambre: 6- En una ciudad específica el 6% de todos los conductores obtienen al menos un boleto de estacionamiento por año. Empléese la aproximación de Poisson a la binomial para determinar la probabilidad de que entre 80 conductores (escogidos aleatoriamente en esa ciudad), •4 obtengan al menos un boleto de estacionamiento en un año cualquiera •Al menos 3 obtengan como mínimo un boleto de estacionamiento en un año cualquiera • 3, 4,5 ó 6 de ellas obtengan al menos un boleto de estacionamiento.