Boi Duong Toan 8 Cuc Hay

Ngµy

th¸ng

n¨m 2006

Ph©n thøc ®¹i sè tÝnh chÊt C¬ B¶N - RóT GäN - QUI §åNG MÉU THøC A. Môc tiªu:

- HS n¾m v÷ng ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc, c¸ch rót gän ph©n thøc, qui ®ång mÉu thøc nhiÒu ph©n thøc. - RÌn luyÖn cho HS c¸c kÜ n¨ng suy nghÜ, tr×nh bµy c¸c d¹ng to¸n xÐt xem hai ph©n thøc cã b»ng nhau hay kh«ng, rót gän vµ qui ®ång mÉu nhiÒu ph©n thøc. - Gi¸o dôc tÝnh cÈn thËn, tÝnh linh ho¹t, s¸ng t¹o cho HS. B. ChuÈn bÞ:

- GV: + Gi¸o ¸n. + B¶ng phô. - HS: ¤n tËp vÒ ph©n thøc: ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt c¬ b¶n, rót gän, qui ®ång mÉu nhiÒu ph©n thøc. C. tiÕn tr×nh d¹y häc: I. LÝ thuyÕt:

(GV nªu tõng c©u hái, HS lÇn lît tr¶ lêi, HS nhËn xÐt, bæ sung, GV uèn n¾n, cñng cè vµ hÖ thèng l¹i kiÕn thøc) 1. §Þnh nghÜa ph©n thøc ®¹i sè: - H? Nªu ®Þnh nghÜa ph©n thøc ®¹i sè. - Tr¶ lêi: Ph©n thøc ®¹i sè lµ biÓu thøc d¹ng

A ( A, B: §a thøc; B ≠ B

0) A: Tö ( Tö thøc, tö sè); B: MÉu (MÉu thøc, mÉu sè) Mçi ®a thøc lµ mét ph©n thøc cã mÉu sè b»ng 1. 2. TX§ cña ph©n thøc:

- H? TX§ cña ph©n thøc mét biÕn lµ g×? TX§ cña ph©n thøc hai biÕn lµ g×? BiÓu thøc nguyªn x¸c ®Þnh víi nh÷ng gÝa trÞ nµo cña biÕn. - Tr¶ lêi: GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 1

. TX§ cña ph©n thøc mét biÕn lµ tËp hîp c¸c gi¸ trÞ cña biÕn lµm cho MS ≠ 0. A( x, y ) B ( x, y )

. TËp x¸c ®Þnh cña

lµ {(x,y)\ B(x,y) ≠ 0}

. BiÓu thøc nguyªn x¸c ®Þnh víi mäi gÝa trÞ cña biÕn. 3. §Þnh nghÜa hai ph©n thøc b»ng nhau: - H? Nªu ®Þnh nghÜa hai ph©n thøc b»ng nhau. - Tr¶ lêi: Hai ph©n thøc - H?

A B

A C vµ gäi lµ b»ng nhau nÕu A.D = B.C B D

= 0 khi nµo.

- Tr¶ lêi:

A B

A = 0 B ≠ 0

=0⇔

4. gÝa trÞ cña mét ph©n thøc ®¹i sè: - H? gÝa trÞ cña mét ph©n thøc ®¹i sè ®îc x¸c ®Þnh nh thÕ nµo? - Tr¶ lêi: gÝa trÞ cña mét ph©n thøc ®¹i sè cã thÓ ®îc x¸c ®Þnh bëi gÝa trÞ c¸c ch÷ cã mÆt trong ph©n thøc ®ã (khi ®ã viÖc tÝnh sè cña biÓu thøc ®îc ®a vÒ viÖc thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh vÒ sè h÷u tØ), còng cã thÓ ®îc x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc gi÷a c¸c ch÷ cã mÆt trong biÓu thøc( trong trêng hîp nµy ta sö dông phÐp biÕn ®æi ®ång nhÊt ®a vÒ trêng hîp 1.) Chó ý: - CÇn rót gän ph©n thøc (nÕu cã thÓ) tríc khi tÝnh sè trÞ cña nã. - Khi tÝnh sè trÞ cña PT§S biÕt hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c ch÷ cã mÆt ph©n thøc Êy, ta cã thÓ biÕn ®æi thµnh ph©n thøc míi chØ chøa mét ch÷ b»ng ph¬ng ph¸p thÕ. - §Ó so s¸nh sè trÞ cña PT§S hoÆc t×m GTNN, GTLN cña mét PT§S ta thêng quy vÒ viÖc so s¸nh c¸c ph©n thøc cã cïng mÉu hoÆc cïng tö. 5. TÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc ®¹i sè: - H? Nªu tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc ®¹i sè. - Tr¶ lêi: . NÕu nh©n c¶ tö vµ mÉu cña mét ph©n thøc víi cïng mét ®a thøc kh¸c 0 th× ®îc mét ph©n thøc míi b»ng ph©n thøc ®· cho. . NÕu chia c¶ tö vµ mÉu cña mét ph©n thøc cho mét nh©n tö chung cña chóng th× ®îc mét ph©n thøc míi b»ng ph©n thøc ®· cho. GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 2

A B

=

AC BC

=

A: D (C; D: §a thøc; C≠ 0: D lµ nh©n tö chung cña A B:D

vµ B) 6. Quy t¾c ®æi dÊu: - H? Nªu qui t¾c ®æi dÊu. - Tr¶ lêi: NÕu ®æi dÊu c¶ tö vµ mÉu cña mét ph©n thøc th× ta ®îc mét ph©n thøc míi b»ng ph©n thøc ®· cho. A B

=

−A −B

=-

−A B

=-

A −B

.

7 Chó ý: . Mäi ph©n thøc cã hÖ sè h÷u tû ®Òu viÕt ®îc díi d¹ng PT§S cã TT; MT lµ nh÷ng ®a thøc cã hÖ sè nguyªn. . Hai BT§S b»ng nhau trªn tËp S nÕu chóng cã cïng gi¸ trÞ víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn lÊy trªn S. 9. Rót gän PT: a. ®Þnh nghÜa : - H? Rót gän ph©n thøc lµ g×? - Tr¶ lêi: Rót gän ph©n thøc ®¹i sè lµ biÕn ®æi ph©n thøc Êy thµnh ph©n thøc míi ®¬n gi¶n h¬n vµ b»ng ph©n thøc ®ai sè ®· cho. b. Qui t¾c: - H? Nªu qui t¾c rót gän ph©n thøc - Tr¶ lêi:. Ph©n tÝch tö, mÉu thµnh nh©n tö (nÕu cÇn). . Chia tö, mÉu cho nh©n tö chung. 10. Qui ®ång mÉu. a. §Þnh nghÜa: - H? Qui ®ång mÉu thøc nhiÒu ph©n thøc lµ g×? - Tr¶ lêi: Qui ®ång mÉu thøc nhiÒu ph©n thøc lµ biÕn ®æi c¸c ph©n thøc ®ã thµnh c¸c ph©n thøc míi lÇn lît b»ng c¸c ph©n thøc ®· cho vµ cã cïng mÉu thøc. MTC: Lµ tÝch c¸c nh©n tö b»ng sè ë c¸c mÉu thøc cña c¸c ph©n thøc ®· cho (NÕu c¸c nh©n tö b»ng sè ë c¸c mÉu thøc lµ nh÷ng sè nguyªn d¬ng th× nh©n tö b»ng sè ë MTC lµ BCNN cña chóng) GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 3

víi c¸c luü thõa cã m¹t trong c¸c mÉu, mçi luü thõa lÊy sè mò cao nhÊt. b. Qui t¾c: - H? Nªu qui t¾c qui ®ång mÉu thøc nhiÒu ph©n thøc. - Tr¶ lêi: . Ph©n tÝch c¸c mÉu thµnh nh©n tö råi t×m MTC. . T×m nh©n tö phô cña mçi mÉu. . Nh©n c¶ tö vµ mÉu cña mçi ph©n thøc víi nh©n tö phô t¬ng øng. II. Bµi tËp:

(§èi víi mçi bµi tËp, d¹ng míi th× GV ch÷a mÉu, nÕu kh«ng, HS lµm t¹i chç, (nÕu bµi nµo kh«ng cã HS nµo lµm ®îc th× GV gîi ý dÇn cho HS suy nghÜ), HS kh¸c nhËn xÐt, bæ sung, sau ®ã GV ch÷a bµi, chèt c¸ch lµm) Rót gän c¸c ph©n thøc ®¹i sè: a) A =

c) C =

a 40 + a 30 + a 20 + ... + 1 ; a 45 + a 40 + a 35 + ... + 1 1 1 1 (14 + )(3 4 + )...( 29 4 + ) 4 4 4 1 4 1 1 4 4 ( 2 + )( 4 + )...( 30 + ) 4 4 4

10 2 + 112 + 12 2 + 13 2 + 14 2 365

d) D =

b) B =

9 2 + 11 2 + 13 2 + 15 2 148

Híng dÉn

1 a) A = 5 a +1

b) C¸ch 1: V× a4 + 1

1 4

= (a2 +

1 2

1

)2 - a2 = (a2 + a + 2 )( a2 - a + 1

vµ a2 + a + 2 = (a + 1)2 - (a + 1) + 2 1 1 1 1 1 1 (1 + 1 + )(1 − 1 + )(32 + 3 + )(32 − 3 + )...(292 + 29 + )(292 − 29 + ) 2 2 2 2 2 2 →B = 1 1 1 1 1 1 (22 + 2 + )(22 − 2 + )(42 + 4 + )(42 − 4 + )...(302 + 30 + )(30 2 − 30 + ) 2 2 2 2 2 2 1 1 −1 + 2 = 1 = 1 1861 30 2 − 30 + 2 1

1

C¸ch 2: ¸p dông a4 + 1 = [ a (a-1) + 2 ][ a (a+1) + 2 ] GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 4

1 2

)

(2 4 + 4)( 6 4 + 4)...( 58 4 + 4) (4 4 + 4)(8 4 + 4)...( 60 4 + 4)

C¸ch 3: B =

¸p dông n4 + 4 = [ (n -1)2 + 1][ (n +1)2 + 1] T¬ng tù ta cã B1 C= =

1 1 1 (14 + )(3 4 + )...( 99 4 + ) 4 4 4 = 1 1 1 (2 4 + )( 4 4 + )...(100 4 + ) 4 4 4

=

1 20201

(12 − 2) 2 + (12 − 1) 2 + 12 2 + (12 + 1) 2 + (12 + 2) 2 365

2.5.73 5.122 + 10 2.5(2.62 + 1) = = = 2; 5.73 365 5.73

D = 7. Rót gän c¸c ph©n thøc ®¹i sè sau: a. A =

a − 8a + 1 a − a 2 − 2a + 1 4

2

c.

4

C=

b. B =

(14 + 4)(54 + 4)( 9 4 + 4)...( 101 4 + 4) (34 + 4)( 7 4 + 4)(114 + 4)...( 103 4 + 4)

a 2 (b − c ) + b 2 ( c − a ) + c 2 ( a − b ) a 4 (b 2 − c 2 ) + b 4 ( c 2 − a 2 ) + c 4 ( a 2 − b 2 )

d.

D=

199 ... 9 99 ... 95

(TSvµ MS cã n

ch÷ sè 9) HíNG DÉN :

( a + a −1)( a − a −1) a + a −1 a. A = 2 = 2 ( Víi a 2 + a − 1 ≠ 0) 2 ( a + a + 1)( a − a −1) 2

2

2

a + a +1

b. TT = (a - b)(b - c)(c - a) Thay a,b,c bëi a2, b2,c2 ®îc MT = (a2 - b2)( b2 - c2)( c2 - a2) §S:

B=

1 ( a + b)( b + c)( c + a )

a ≠ ± b, b ≠ ± c; c ≠ ± a

c. n4 + 4 = (n2 +2)2 - (2n)2 = [n(n-2) +2][ n(n+2) +2] 1 C= 103.105 + 2

→ §S:

d. C1: Rót gän cho 1 99...9 (n ch÷ sè 9) 1 2(10n − ) 2.10 − 1 2 =1 = C2: D = n +1 10 − 5 10(10n − 1 ) 5 2 n

T×m th¬ng cña phÐp chia A = a + a2 + ... + a100 cho B = 1 1 1 + 2 + .... + 100 a a a

(cã thÓ thay 100 bëi n)

GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 5

A= a

101

.B → A: B = a

HíNG DÉN

101

:

.

* Cho A = 1 + x4+ x8+ .... + x4k; B = 1 + x2+ x4+ .... + x2k. A B

.

HíNG DÉN

:

TÝnh A=

x

4 k −1

−1 ; x −1 4

x

B=

2 k +2

−1 x −1 2

→

A B

=

x

2 k +2

+1 . x +1 2

T×m tËp x¸c ®Þnh vµ t×m gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó mçi BT sau cã gi¸ trÞ b»ng 0: A=

x3 + x 2 − x +1 ; x 2 + 2x − 3

B=

( x + y) ( x + 3) 2 + ( y + 1) 2

;C =

x− y x2 − 4 ; D= 2 ( x − 2) 2 + ( y + 1) 2 x + 3x − 10

Híng dÉn

* T×m tËp x¸c ®Þnh, t×m tËp tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó MT ≠ 0 * T×m gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó BT b»ng 0 ⇔ T×m gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó TT = o   MT ≠ 0

* Cho

4a + b = 0. TÝnh P =

2a − b 2a + b

.

HíNG DÉN :

C¸ch 1: Thay b = - 4a vµo P hoÆc a = C¸ch 2: P =

2a − b 2a + b

=

4a + b − 3b 4a + b + b

=

−3b b

1 4

b

= -3

C¸ch 3: + NÕu b = 0, GT → a = 0 → P kh«ng x¸c ®Þnh. a 2. − 1 −0, 25.2 − 1 b + NÕu b ≠ 0 → P = a = −0, 25.2 + 1 = - 3 2. + 1 b

C¸ch 4: P = C¸ch 5: P =

2a − b + (4a + b) 6a = − 2a 2a + b − (4a + b) 4a − 2b 4a + b − 3b = = 4a + 2b 4a + b + b

=-3 -

3b b

= - 3.

III. Híng dÉn häc ë nhµ:

* Cho: 3a2 + 3b2 = 10ab (b > a > 0) TÝnh P = GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

a −b a +b

Trêng THCS Lª 6

C1: P2 =

a 2 + b 2 − 2ab a 2 + b 2 + 2ab

=

1

3a 2 + 3b 2 − 6ab 3a 2 + 3b 2 + 6ab

=

10 ab − 6ab 10 ab + 6ab

=

1 4

Mµ P < 0

VËy P = - 2 C2: BiÓu thÞ b theo a råi tÝnh P. * Cho

x a

=

y b

z c

=

≠ 0. Rót gän A =

( x 2 + y 2 + z 2 )( a 2 + b 2 + c 2 ) ( ax + by + cz ) 2

( Cã thÓ më réng biÓu thøc ®èi víi nhiÒu tØ sè b»ng nhau) Híng dÉn:

C1: §Æt

x a

=

y b

=

z c

= k → x = ak; y = bk; z = ck thay vµo → A = 1

C2: GT→ xb = ya; yc = zb thay vµo → ®¸p sè. x

y

C3: TT = ( ax. a + yb. b + cz. C4: GT →

z c

)( ax.

a x

+ yb.

b y

+ cz.

c z

)

x2 y 2 z 2 a2 b2 c2 a 2 + b2 + c2 1 x2 + y2 + z 2 = = = = = ax + by + cz = k; = =k ax by cz ax by cz ax + by + cz

Nh©n tõng vÕ hai ®¼ng thøc → * ViÕt A = (x2 - x +1)( x4 - x2 +1) ( x8 - x4 +1) ( x16 - x8 +1) B = (x2 -x +1)(x4 - x2+1)(x8 - x4 +1) ...(x24 - x12 +1) díi d¹ng ph©n thøc mµ tö lµ nh÷ng ®a thøc d¹ng chÝnh t¾c trong ®ã ®a thøc. mÉu bËc 2. Híng dÉn

A=

x 32 + x 16 + 1 x 2 + x +1

* Cho abc=1;

a b c b2 c2 a2 + + = + + b2 c2 a2 a b c

Chøng minh trong a, b, c cã 1 sè b»ng b×nh ph¬ng cña sè cßn l¹i.

 x.y.z = 1 a b c  HíNG DÉN :C¸ch 1: §Æt = x; = y; = z →  1 1 1 → x = 1 hoÆc 2 2 2 b c a  x+ y+ z = + +  xyz

y = 1 hoÆc

z = 1 → ®pcm.

********************************* Ngµy

th¸ng

n¨m 2006

c¸c phÐp tÝnh vÒ ph©n thøc ®¹i sè GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 7

A. Môc tiªu:

- HS n¾m v÷ng c¸c qui t¾c céng, trõ, nh©n, chia ph©n thøc, c¸c tÝnh chÊt cña c¸c phÐp tÝnh trªn ph©n thøc. - RÌn luyÖn cho HS c¸c kÜ n¨ng suy nghÜ, tr×nh bµy, diÔn ®¹t c¸c d¹ng to¸n rót gän biÓu thøc, tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc. - Gi¸o dôc tÝnh cÈn thËn, tÝnh linh ho¹t, s¸ng t¹o cho HS. B. ChuÈn bÞ:

- GV: + Gi¸o ¸n. + B¶ng phô. - HS: ¤n tËp vÒ c¸c phÐp tÝnh trªn ph©n thøc. C. tiÕn tr×nh d¹y häc: I. LÝ thuyÕt:

(GV nªu tõng c©u hái, HS lÇn lît tr¶ lêi, HS nhËn xÐt, bæ sung, GV uèn n¾n, cñng cè vµ hÖ thèng l¹i kiÕn ) 1. Quy t¾c céng ph©n thøc ®¹i sè: - H? Nªu qui t¾c céng hai ph©n thøc. * Tr¶ lêi: .Céng hai ph©n thøc cïng mÉu: Muèn céng hai ph©n thøc cã cïng mÉu thøc, ta céng c¸c tö thøc víi nhau vµ gi÷ nguyªn mÉu thøc: A B A+B + = M M M

→ rót gän

. Céng hai ph©n thøc cã mÉu thøc kh¸c nhau: Muèn céng hai ph©n thøc cã mÉu thøc kh¸c nhau, ta quy ®ång mÉu thøc råi céng c¸c ph©n thøc cã cïng mÉu thøc võa t×m ®îc. 2. TÝnh chÊt cña phÐp céng: - H? Nªu c¸c tÝnh chÊt cña phÐp céng ph©n thøc. * Tr¶ lêi: phÐp céng ph©n thøc cã c¸c tÝnh chÊt sau: . Giao ho¸n. . KÕt hîp. . Céng víi 0. 3. §Þnh nghÜa ph©n thøc ®èi: - H? Nªu ®Þnh nghÜa vÒ ph©n thøc ®èi. * Tr¶ lêi: Hai ph©n thøc ®îc gäi lµ ®èi nhau nÕu tæng cña chóng b»ng 0. 4. Quy t¾c trõ ph©n thøc ®¹i sè: - H? Nªu qui t¾c trõ ph©n thøc. * Tr¶ lêi: Muèn trõ ph©n thøc cho ph©n thøc , ta céng ph©n thøc víi ph©n thøc ®èi cña ph©n thøc :

A C A −C − = +( ) B D B D

5. Quy t¾c nh©n ph©n thøc: GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 8

- H? Nªu qui t¾c nh©n ph©n thøc. * Tr¶ lêi: Muèn nh©n hai ph©n thøc, ta nh©n c¸c tö thøc víi nhau, c¸c mÉu thøc víi nhau. .= 6. TÝnh chÊt phÐp nh©n: - H? Nªu c¸c tÝnh chÊt cña phÐp nh©n ph©n thøc. * Tr¶ lêi: PhÐp nh©n c¸c ph©n thøc cã c¸c tÝnh chÊt sau: . Giao ho¸n. . KÕt hîp. . Nh©n víi 1. . Ph©n phèi ®èi víi phÐp céng. 7. §Þnh nghÜa ph©n thøc nghÞch ®¶o: - H? Nªu ®Þnh nghÜa vÒ ph©n thøc nghÞch ®¶o. * Tr¶ lêi: Hai ph©n thøc ®îc gäi lµ nghÞch ®¶o cña nhau nÕu tÝch cña chóng b»ng 1. 8. Quy t¾c chia: - H? Nªu qui t¾c chia ph©n thøc. * Tr¶ lêi: Muèn chia ph©n thøc cho ph©n thøc ta nh©n ph©n thøc víi ph©n thøc nghÞch ®¶o cña : A C A C −1 : = .( ) ( ≠ 0) B D B D

9. ®Þnh nghÜa biÓu thøc h÷u tØ: - H? Nªu ®Þnh nghÜa vÒ biÓu thøc h÷u tØ. * Tr¶ lêi: BiÓu thøc h÷u tØ lµ mét ph©n thøc hoÆc mét d·y c¸c phÐp to¸n céng, trõ, nh©n chia trªn nh÷ng ph©n thøc. 10. Chó ý: Khi lµm tÝnh trªn ph©n thøc, ta chØ viÖc theo c¸c qui t¾c cña c¸c phÐp to¸n mµ kh«ng cÇn quan t©m ®Õn gÝa trÞ cña biÕn. Nhng khi lµm nh÷ng bµi to¸n liªn quan ®Õn gÝa trÞ cña ph©n thøc th× tríc hÕt ph¶i t×m ®iÒu kiÖn cña biÕn ®Ó gÝa trÞ cña ph©n thøc ®îc x¸c ®Þnh. NÕu t¹i gÝa trÞ cña biÕn mµ gÝa trÞ cña mét ph©n thøc ®îc x¸c ®Þnh th× ph©n thøc Êy vµ ph©n thøc rót gän cã cïng gÝa trÞ. II. Bµi tËp:

§èi víi mçi bµi tËp, d¹ng míi th× GV ch÷a mÉu, nÕu kh«ng, HS lµm t¹i chç, (nÕu bµi nµo kh«ng cã HS nµo lµm ®îc th× GV gîi ý dÇn cho HS suy nghÜ), HS kh¸c nhËn xÐt, bæ sung, sau ®ã GV ch÷a bµi, chèt c¸ch lµm.

GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 9

* TÝnh A =

1 1 2a 4a 3 8a 7 + + 2 + + a − b a + b a + b 2 a 4 + b 4 a 8 + b8 HíNG DÉN :

TÝnh tõ tr¸i sang ph¶i: §S:

16 a15 a16 − b16

* TÝnh B=

1 1 1 + + 2 2 2 2 ( m − n)( p − mn − m + np ) (n − p )( m + mp − n − np ) ( p − m)( n + nm − mp − p 2 ) 2

HíNG DÉN

:

p − mn − m + np = (p - m)(m + n + p) 2

2

thay p→ m → n → p ®îc m2 + mp - n2 - np =(m - n)(m + n + p) §S: 0 * Rót gän: C =

1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 a − 4a + 3 a − 8a + 15 a − 12a + 35 a − 16a + 63 2

HíNG DÉN : 1 1 1 1 C= + + + ( a −1)( a − 3) ( a − 3)( a − 5) (a − 5)( a − 7) (a − 7)( a − 9)

=

1 1 1 1 1 1 1 1 1  − + − + − + −   2  a −1 a − 3 a − 3 a − 5 a − 5 a − 7 a − 7 a − 9 

=

1  (a − 9) − (a −1)  4   =   2  ( a −1)( a − 9)  ( a −1)( 9 − a )

3

2n +1

5

* Rót gän: D = (1.2) 2 + (2.3) 2 + ... + [ n(n +1)] 2 h·y chøng minh D < 1 HíNG DÉN : 2k + 1 ( k + 1) 2 − k 2 1 1 = = 2 − 2 2 2 2 k ( k + 1) k ( k + 1) k ( k + 1) 2 1 1 1 1 1 1 1 n(n + 2) → D = 12 − 2 2 + 2 2 − 32 + ... + n 2 − (n + 1) 2 = 1 − (n + 1) 2 = (n + 1) 2

* Rót gän

E=

2 2 2 ( m − n) 2 + ( n − p ) 2 + ( p − m ) 2 + + + m −n n − p p −m ( m − n)( n − p )( p − m) HíNG DÉN :

§Æt m - n = a; n - p = b; p - m = c → a + b + c = 0 E=

2 2 2 a 2 + b 2 + c 2 (a + b + c) 2 + + + = =0 a b c a.b.c a.b.c

* Thùc hiÖn phÐp tÝnh:

G=

HíNG DÉN

x 2 − yz y 2 − xz z 2 − xy + + y +z x+z x+y 1+ 1+ 1+ x y z

:

¸p dông h»ng ®¼ng thøc GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 10

a3 + b3 + c3 - 3a.b.c = (a + b + c)( a2 + b2 + c2 -ac - bc -ac) vµ sö dông phÐp to¸n ho¸n vÞ vßng quanh ®îc G = x2 + y2 + z2 xy - yz - xz 2 4

* TÝnh H = (1 + )(1 +

2 2 2 )(1 + )...( 1 + 2 ) 10 18 n + 3n

HíNG DÉN

:

4 12 20 n + 3n + 2 2.3.3.4...(n + 1)(n + 2) 3(n + 1) H = . . .... 2 = = 6 10 15 n + 3n 1.4.2.5...n(n + 3) (n + 3) 2

* Cho: n −1 n − 2 n − 3 2 1 + + + ... + + 1 2 3 n − 2 n −1 1 1 1 B = + + ... + 2 3 n A=

TÝnh A: B HíNG DÉN

:

n n n n + + + ... + − (n −1) 1 2 3 n −1 n n n = + + ... + = n.B 2 3 n A=

VËy A: B = n * TÝnh

A=

1 1 1993 + +... + 2! 3! 1994 !

HíNG DÉN

C1: C2:

:

1.3 + 2 3 1993 1993 1 (1.3 + 2). 4 + 3 4  + + ... + = +  + ... + = ... =1 − 3! 4! 1994 !  4! 5! 1994 ! 1994 ! 1 1 1 1 1 1 A = − + − +... − =1 − 1! 2! 2! 3! 1994 ! 1994 !

A=

Chøng minh

2m 2 − 5nm − 3n 2 3mn + m 2 m 2 + mp + mn + np + 2 = 2 2 2 6nm − m − 9n m − 9n 3np − m 2 − mp + 3mn HíNG DÉN

BiÕn ®æi VT vµ VP vÒ Rót gän: A =

m +n 3n − m

:

.

1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + 2 a − 3a a + 3a a + 9a + 18 a + 15a + 54 a + 21a + 108 2

Híng dÉn:

GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 11

1 1 1 1 1 + + + + a ( a − 3) a ( a + 3) ( a + 3)( a + 6) ( a + 6)( a + 9) (a + 9)( a +12 ) 1 1 1 1 1 1 1 15 5 = ( − + − +... + − )= = 3 a −3 a a a + 3 a + 9 a +12 3( a − 3)( a +12 ) ( a − 3)( a +12 ) A=

* Chøng minh ∀ n∈N; n > 1; h¬n 1 th×

a1, a2, ...an∈ N kh¸c nhau, lín

1 1 1 1 + 2 + 2 + ... + 2 〈1 2 a1 a2 a3 an

: → ak ≥ k+1 HíNG DÉN

Gi¶ sö 2 ≤ a1 < a2 < ...< an → VT <

* TÝnh

1 1 1 1 1 1 1 + 2 + ... + < + + ... + =1 − <1 2 2 2 3 (n +1) 1.2 2.3 n( n +1) n +1

a ( a + b ) a ( a + c ) b (b + c ) b (b + a ) c ( c + a ) c ( c + b ) + + + a −c + b −c b −a + c −a c −b A = a −b (b − c) 2 (c − a ) 2 ( a − b) 2 1+ 1+ 1+ ( a − b)( a − c) (b − a )(b − c) (c − a )( c − b) b + c − 2a c + a − 2b a + b − 2c B= + + 3 3 3 (b − c) ( a − b)( a − c) (c − a ) (b − c)(b − a ) ( a − b) (c − a )(c − b) + 2 + 2 + 2 3 3 2 3 3 2 3 3 b −c b + bc + c c −a c + ca + a a −b a + ab + b 2 HíNG DÉN

:

¸p dông h»ng ®¼ng thøc a3 +b3 + c3 - 3a.b.c = (a + b + c)( a2 + b2 + c2 - ac - bc - ac) vµ sö dông phÐp to¸n ho¸n vÞ vßng quanh ta ®îc A = B = 2(a+b+c) TÝnh: 1 1 1 )(1 − 2 )...( 1 − 2 ) 2 2 3 n 1 1 1 D = (1 + )(1 + )...( 1 + 2 ) 3 8 n + 2n

C = (1 −

1.3 2.4 (n − 1)( n + 1) n + 1 = a. C = 2 . 2 .... 2 3 n2 2n

b. V×

1+

1 (n +1) 2 = n 2 + 2n n(n + 2)

nªn

HíNG DÉN :

D=

2( n +1) n +2

* Cho 1 1 1 1 + + +... + 1( 2n −1) 3(2n −3) 5( 2n −5) ( 2n −1). 1 1 1 1 B =1 + + +... + 3 5 2n −1 A=

GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 12

TÝnh A: B HíNG DÉN

¸p dông

:

1 1 1 1 = ( + ) k (2n − k ) 2n k 2n − k

    1 1 1 1 A = + + +   +... 1( 2n −1) ( 2n −1). 1 3( 2n −3) ( 2n −3). 3  1 1 1 1 = (1 + +... + + ) 2n 3 2n −3 2n −1 1 = B 2n 1 VËy A: B = 2n

* TÝnh

S = (1 −

1 1 1 )(1 − )...( 1 − ) 1 +2 1 + 2 +3 1 + 2 + 3 +... + n HíNG DÉN :

   1  1 S =(1 − ) 1 − .... (1 +3). 3  3   2  

    1 1 − n( n +1)    2  

2 5 9 n( n + 1) − 2 4 10 18 n 2 + n − 2 = . . ... = . . ... 3 6 10 n(n + 1) 6 12 20 n(n + 1) 1.4 2.5 (n − 1)(n + 2) n + 2 = . ... = 2.3 3.4 n(n + 1) 3n

* Rót gän: 4 4 4 4 An = (1 − )(1 − )(1 − )...( 1 − ) 1 9 25 ( 2n −1) 2

vµ chøng minh b»ng quy n¹p. HíNG DÉN :

2.1 + 1 2.1 − 1 3 4 5 2.2 + 1 = − (1 − ) = − = − 9 3 2.2 − 1 A2 1 5 4 7 2.3 + 1 = − (1 − ) = − = − 25 5 2.3 − 1 A3 3 4 1

3 1

C1: A1= 1 - = − = −

Dù ®o¸n An * C/M:

=−

1−

2n +1 2n −1

1 1 1 1 1 1 1 1 + − +.... + − = + +.... + 2 3 4 2k −1 2k k +1 k + 2 2k HíNG DÉN

:

GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 13

1

1

1

1

1 1 1 + + .... + ) 2 4 2k 1 1 1 1 1 1 =1 + + + +.... + − 2(1 + +.... + ) 2 3 4 2k 2 k 1 1 1 = + +.... + = VP → k +1 k + 2 2k

VT = 1 + 2 + 3 + 4 + .... + 2k

*Cho

S n =1 +

− 2(

1 1 1 + + ... + 2 3 n

Chøng minh: 1 2 n −1 + + ... + ) 2 3 n n −1 n − 2 2 1 nS n = n + + + ... + + 1 2 n − 2 n −1 Sn = n − (

HíNG DÉN

a. C¸ch 1: C¸ch 2: n

b. nS n = ∑ n. k =1

:

1 1 1 1 2 n −1   S n = n + (1 −1) + ( −1)( −1) + ... + ( −1) = n − ( + +... + ) 2 3 n 2 3 n   1 2 n −1 1 2 n −1 S n =1 + (1 − ) + (1 − ) +... + (1 − ) = n − ( + + ... + ) 2 3 n 2 3 n n 1 n.k + k n−k =∑ =∑ + n = VP ( k k k 1

* Chøng minh:

)

1.3! 2.4! n( n + 2)! ( n + 3)! + 2 + ... + = −6 3 3 3n 3n HíNG DÉN

:

C¸ch 1: Dïng quy n¹p n k ( k + 2) (k + 2)!( k + 3 − 3)  ( k + 3)! ( k + 2)! = = ∑ ∑ k k  3k − 3k −1  3 3 k =1 1  n

C¸ch 2: VT = ∑

* Cho ∀n∈N th× hoµn.

A=

1 1 1 + + n n +1 n + 2

lµ sè thËp ph©n v« h¹n tuÇn

HíNG DÉN

A=

3n + 6n + 2 n( n +1)( n + 2) 2

:

cã mÉu chia hÕt cho 3, tö kh«ng chia hÕt cho 3.

* Chøng minh: 1.4+2.7+3.10+ ...+n.(3n+1) = n(n+1)2 HíNG DÉN : Chøng minh quy n¹p. * Cho n∈N ; n ≥ 1. Chøng minh: sè nguyªn.

B=

1 1 1 1 + + + ... + 3 5 7 2n +1

GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

kh«ng lµ

Trêng THCS Lª 14

: Gäi k lµ sè nguyªn lín nhÊt sao cho 3k kh«ng vît qu¸ 2n + 1. Chän mÉu chung lµ 3k . B1(B1 lµ tÝch c¸c sè nguyªn tè kh¸c 3 kh«ng vît qu¸ 2n + 1 ) → chØ cã mét thõa sè phô duy nhÊt cña ph©n thøc HíNG DÉN

1 3k

kh«ng chia hÕt cho 3, cßn mäi thõa sè phô kh¸c ®Òu chia hÕt

cho 3 → Sau khi qua ®ång mÉu ta mÉu chia hÕt cho 3, tö kh«ng chia hÕt cho 3. → B ∉ Z (®pcm). III. Híng dÉn häc ë nhµ: 4 x 2 −1

4 y 2 −1

4 z 2 −1

* Chøng minh biÓu thøc: A = ( x − y )( x − z ) + ( y − z )( y − x) + ( z − x)( z − y ) kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña biÕn. HíNG DÉN :     x2 y2 z2 1 1 1 A = + + − + +   ( x − y )( x − z ) ( y − z )( y − x ) ( z − x )( z − y )  ( x − y )( x − z ) ( y − z )( y − x ) ( z − x )( z − y ) 

= 4 ( ®pcm). ( x − a )( x −b)

( x −b)( x − c)

( x − c)( x − c )

* TÝnh B = (c − a )( c −b) + (a −b)( a − c) + (b − c)( b − a ) HíNG DÉN :

B lµ ®a thøc bËc 2 biÕn x → B -1 lµ ®a thøc bËc 2 biÕn x. Mµ B -1 nhËn x = a; x = b; x = c lµ 3 nghiÖm ph©n biÖt → B -1 lµ ®a thøc 0 → B = 1.

* Cho x.y.z = a. TÝnh

A=

x y az + + xy + x + a yz + y +1 xz + az + a HíNG DÉN

:

Gi¶ thiÕt suy ra: x xy az + + xy + x + a xyz + xy + x xz + az + xyz x xy a = + + =1 xy + x + a a + xy + x x + a + xy A=

* Cho abc=1;

a b c b2 c2 a2 + + = + + b2 c2 a2 a b c

Chøng minh trong a, b, c cã 1 sè b»ng b×nh ph¬ng cña sè cßn l¹i. GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 15

HíNG DÉN

:

 x.y.z = 1 a b c  C¸ch 1: §Æt = x; = y; = z →  111 2 2 2 x + y + z = + + b c a   xyz → x = 1 hoÆc y = 1 hoÆc z = 1 → ®pcm. C¸ch 2: gi¶ thiÕt →(a 2 − c)( b 2 − a)( c 2 − b) = 0 → ®pcm. Ngµy th¸ng :

n¨m 2006

ph¬ng tr×nh ax + b = 0

A. Môc tiªu:

- HS n¾m v÷ng c¸c kh¸i niÖm më ®Çu vÒ ph¬ng tr×nh nh nghiÖm cña ph¬ng tr×nh, gi¶i ph¬ng tr×nh, ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng, phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ph¬ng tr×nh, ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn, c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh a.x + b = 0 - RÌn luyÖn cho HS c¸c kÜ n¨ng suy nghÜ, tr×nh bµy, diÔn ®¹t c¸c d¹ng to¸n nh chøng minh hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng, t×m ®iÒu kiÖn ®Ó hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng, gi¶i ph¬ng tr×nh. - Gi¸o dôc tÝnh cÈn thËn, tÝnh linh ho¹t, s¸ng t¹o cho HS. B. ChuÈn bÞ:

- GV: + Gi¸o ¸n. + B¶ng phô. - HS: ¤n tËp vÒ c¸c kh¸i niÖm më ®Çu vÒ ph¬ng tr×nh nh nghiÖm cña ph¬ng tr×nh, gi¶i ph¬ng tr×nh, ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng, phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ph¬ng tr×nh, ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn, c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh a.x + b = 0 C. tiÕn tr×nh d¹y häc:

(GV nªu tõng c©u hái, HS lÇn lît tr¶ lêi, HS nhËn xÐt, bæ sung, GV uèn n¾n, cñng cè vµ hÖ thèng l¹i kiÕn thøc) I. LÝ thuyÕt:

I.1 Më ®Çu vÒ ph¬ng tr×nh :

1. §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh mét Èn: - H? Nªu ®Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh mét Èn.

GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 16

- Tr¶ lêi: ph¬ng tr×nh mét Èn lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng A(x) = B(x) trong ®ã vÕ tr¸i Ax) vµ vÕ ph¶i B(x) lµ hai biÓu thøc cña cïng mét biÕn x. 2. §Þnh nghÜa nghÞªm cña ph¬ng tr×nh: - H? NghÞªm cña ph¬ng tr×nh lµ g×? - Tr¶ lêi: NghÞªm cña ph¬ng tr×nh lµ gÝa trÞ cña biÕn mµ t¹i ®ã gÝa trÞ cña hai vÕ b»ng nhau. . Chó ý: HÖ thøc x = m (víi m lµ mét sè nµo ®ã) còng lµ mét ph¬ng tr×nh. Ph¬ng tr×nh nµy chØ râ r»ng m lµ nghiÖm duy nhÊt cña nã. - NghÞªm kÐp: Hai nghiÖm b»ng nhau gäi lµ nghiÖm kÐp. - NghiÖm béi k: k nghiÖm b»ng nhau gäi lµ nghiÖm béi k. . Sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: - H? Mét ph¬ng tr×nh cã thÓ cã bao nhiªu nghiÖm. - Tr¶ lêi: Mét ph¬ng tr×nh cã thÓ cã mét nghÞªm, hai nghiÖm, ba nghiÖm,…nhng còng cã thÓ kh«ng cã nghiÖm nµo. Ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nµo gäi lµ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. . TËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: - H? tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ g×. - Tr¶ lêi: TËp hîp tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña mét ph¬ng tr×nh gäi lµ tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®ã vµ thêng kÝ hiÖu bëi S. 3. Gi¶i ph¬ng tr×nh: - H? Gi¶i ph¬ng tr×nh lµ g×? - Tr¶ lêi: Gi¶i ph¬ng tr×nh lµ t×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm (hay t×m tËp nghiÖm) cña ph¬ng tr×nh ®ã. 4. §Þnh nghÜa hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng: - H? Nªu ®Þnh nghÜa hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng. - Tr¶ lêi: hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng lµ hai ph¬ng tr×nh cã cïng tËp nghÞªm. §Ó chØ hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng ta dïng kÝ hiÖu ⇔ 5. §Þnh nghÜa phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ph¬ng tr×nh: - H? Nªu ®Þnh nghÜa phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ph¬ng tr×nh - Tr¶ lêi: PhÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ph¬ng tr×nh lµ phÐp biÕn ®æi tõ mét ph¬ng tr×nh thµnh mét ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi nã. 6. C¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ph¬ng tr×nh: GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 17

a. Qui t¾c chuyÓn vÕ: - H? Nªu qui t¾c chuyÓn vÕ. - Tr¶ lêi: Trong mét ph¬ng tr×nh, ta cã thÓ chuyÓn mét h¹ng tö tõ vÕ nµy sang vÕ kia vµ ®æi dÊu h¹ng tö ®ã. b. Qui t¾c nh©n víi mét sè (qui t¾c nh©n): - H? Nªu qui t¾c nh©n víi mét sè. - Tr¶ lêi: Trong mét ph¬ng tr×nh, ta cã thÓ nh©n c¶ hai vÕ víi cïng mét sè kh¸c 0. .Còng cã thÓ ph¸t biÓu qui t¾c nh©n nh sau: Trong mét ph¬ng tr×nh, ta cã thÓ chia c¶ hai vÕ víi cïng mét sè kh¸c 0. 7. §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh hÖ qu¶: ph¬ng tr×nh (2) gäi lµ hÖ qu¶ cña ph¬ng tr×nh (1) khi mäi nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) ®Òu lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2) 8. §Þnh nghÜa phÐp biÕn ®æi hÖ qu¶ : lµ phÐp biÕn ®æi tõ mét ph¬ng tr×nh thµnh mét ph¬ng tr×nh hÖ qu¶ cña nã. 9. C¸c phÐp biÕn ®æi hÖ qu¶: a. Nh©n c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh víi cïng mét ®a thøc cña Èn ta ®îc ph¬ng tr×nh hÖ qu¶ cña ph¬ng tr×nh ®· cho. b. B×nh ph¬ng (hay n©ng c¶ hai vÕ lªn luü thõa bËc ch½n) ta ®îc ph¬ng tr×nh hÖ qu¶ cña ph¬ng tr×nh ®· cho. I.2. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn a. §Þnh nghÜa: - H? Nªu ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn. - Tr¶ lêi: Ph¬ng tr×nh d¹ng ax + b = 0, víi a vµ b lµ hai sè ®· cho vµ a ≠ 0 gäi lµ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn. b. C¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn: - H? Nªu c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn. - Tr¶ lêi: Tõ mét ph¬ng tr×nh, dïng qui t¾c chuyÓn vÕ hay qui t¾c nh©n, ta lu«n nhËn ®îc mét ph¬ng tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho. . ax + b = 0 ⇔ ax = - b ⇔ x = I.3. C¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh ax + b = 0 - NÕu a = b = 0 th× ph¬ng tr×nh nghÞªm ®óng víi mäi x - NÕu a = 0; b ≠ 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghÞªm. II. Bµi tËp:

GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 18

§èi víi mçi bµi tËp, d¹ng míi th× GV ch÷a mÉu, nÕu kh«ng, HS lµm t¹i chç, (nÕu bµi nµo kh«ng cã HS nµo lµm ®îc th× GV gîi ý dÇn cho HS suy nghÜ), HS kh¸c nhËn xÐt, bæ sung, sau ®ã GV ch÷a bµi, chèt c¸ch lµm.

Chøng minh c¸c ph¬ng tr×nh sau v« nghiÖm 1. 2x + 5 = 2 (x - 1) 2. = 0 3. 3x2 + 2 x + 1 = 0 Híng dÉn: Kh«ng cã gÝa trÞ nµo cña x ®Ó gÝa trÞ cña hai vÕ trong mçi ph¬ng tr×nh b»ng nhau. Chøng minh c¸c ph¬ng tr×nh sau cã v« sè nghiÖm 1. (x + 2)2 = x (x + 4) + 4 2. y2 - 2y = (y - 1)2 - 1 Híng dÉn: Hai vÕ cã gÝa trÞ b»ng nhau t¹i mäi gÝa trÞ cña biÕn. LËp ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ a) 3; b) -5; c) 1/2; d) -1 vµ 3 a) x - 3 = 0 b) x + 5 = 0 c) 2x - 1 = 0 d) (x + 1) (x - 3) = 0

Híng dÉn:

C¸c cÆp ph¬ng tr×nh sau cã t¬ng ®¬ng kh«ng? a) x = 2 vµ x2 = 4 b) 3x2 + 4 = 0 vµ x − 5 = -3 c) x2 + x + = 0 vµ 6x + 3 = 0 d) x + 3 = 0 vµ (x + 3) (x2 + 2) = 0 GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 19

Híng dÉn: a) Kh«ng; b) Cã; c) Cã; d) Cã (Dùa vµo ®Þnh nghÜa hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng) Ph¬ng tr×nh sau lµ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn A. 1 - 2y = 0 B. x2 + x = 0 C. 3x = 0 D. 0x + 0,5 = 0 E. 2x + 5y = 0 F. mx + 4 = 0 C©u nµo ®óng? 1. ChØ cã c©u A lµ ®óng. 2. Kh«ng cã ®¸p ¸n nµo ®óng. 3. A vµ C ®óng. Híng dÉn: C©u 3 ®óng Gi¶i ph¬ng tr×nh: {[(x - 3) - 3] - 3} - 3 = 0(1)

(1)

⇔

Híng dÉn: x = 90 * Gi¶i ph¬ng tr×nh: a2 x + b = a (x + b) (1) Híng dÉn:

(1) ⇔ a (a - 1) x = (a - 1) b • NÕu a = b = 0 hoÆc a = 1 th× ph¬ng tr×nh (1) nghÞªm ®óng víi mäi x • NÕu a = b ≠ 0 th× ph¬ng tr×nh (1) v« nghÞªm • NÕu a ≠ 0; a ≠ 1 th× ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm x = T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh: 5 (m + 3) (x + 1) - 4 (1 + 2x) = 80 (1) cã nghiÖm x = 2 Híng dÉn: GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 20

Thay x = 2 vµo ph¬ng tr×nh ta t×m ®îc m = 2/3 *T×m m, n ®Ó ph¬ng tr×nh: a) 5 (x - 2m) = 12 (1 + mx) (1) b) - = 1 - (2) cã nghiÖm duy nhÊt. Híng dÉn: a) (1) ⇔ (5 - 2m) x = 12 + 10m nªn (1) cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi 5 - 13m 5/12 b) m ≠ 0; n ≠ 0; m ≠ n

≠

0

⇔

m

≠

T×m a ®Ó hai ph¬ng tr×nh sau t¬ng ®¬ng: a) (x + a) (a + 1) + (x - a) (a - 1) = 12 (1) vµ = (2) b) + 1 = a vµ - = 2 Híng dÉn: a) (2) ⇔ x = 1 nªn ®Ó hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng th× ph¬ng tr×nh (1) ph¶icã nghiÖm duy nhÊt lµ x = 1 §Ó x = 1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) th× a = 3. Khi a = 3 th× (1) ⇔ (3 + x) (3 + 1) + (x - 3) (3 - 1) = 12 ph¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm duy nhÊt. VËy, hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng khi vµ chØ khi a = 3 b) §¸p sè: a = 4,5 Gi¶i ph¬ng tr×nh: + = + (1) Híng dÉn: (1) ⇔ ( + 1) + (+ 1) = (+ 1) + (+ 1) ⇔ (x + 2010) (+ - - ) = 0 ⇔ x = - 2010 Gi¶i ph¬ng tr×nh: + + + + 4 = 0(1) Híng dÉn: (1)

⇔

(+ 1) + (+ 1) + (+ 1) + (+ 1) = 0

GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 21

⇔ (416 - x) ⇔ x = 416

(+ + + ) = 0

III. Híng dÉn häc ë nhµ:

Gi¶i ph¬ng tr×nh: - = -

(1)

Híng dÉn: (1)

⇔ ⇔

(+ 1) + ( + 1) - (+ 1) - (+ 1) = 0 x = -110 Gi¶i ph¬ng tr×nh: + = + (1)

(1)

⇔

Híng dÉn: (- 1) + (+ 1) - (- 1) - (+ 1) = 0

⇔

x = 28

************************************** Ngµy TiÕt :

th¸ng

n¨m 2006

ph¬ng tr×nh bËc cao

A. Môc tiªu:

- HS n¾m v÷ng c¸c c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao. - RÌn luyÖn cho HS c¸c kÜ n¨ng suy nghÜ, tr×nh bµy, diÔn ®¹t d¹ng to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao. - Gi¸o dôc tÝnh cÈn thËn, tÝnh linh ho¹t, s¸ng t¹o cho HS. B. ChuÈn bÞ:

- GV: + Gi¸o ¸n. + B¶ng phô. - HS: ¤n tËp vÒ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö, c¸c c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao. C. tiÕn tr×nh d¹y häc: I. LÝ thuyÕt:

(GV nªu tõng c©u hái, HS lÇn lît tr¶ lêi, HS nhËn xÐt, bæ sung, GV uèn n¾n, cñng cè vµ hÖ thèng l¹i kiÕn thøc) - H? C¸c c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao: GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 22

- Tr¶ lêi: . C¸ch 1: §a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch råi gi¶i: A(x) B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoÆc B(x) = 0 . C¸ch 2: §Æt Èn phô. . C¸ch 3: NhËn xÐt gÝa trÞ hai vÕ. II. Bµi tËp:

§èi víi mçi bµi tËp, d¹ng míi th× GV ch÷a mÉu, nÕu kh«ng, HS lµm t¹i chç, (nÕu bµi nµo kh«ng cã HS nµo lµm ®îc th× GV gîi ý dÇn cho HS suy nghÜ), HS kh¸c nhËn xÐt, bæ sung, sau ®ã GV ch÷a bµi, chèt c¸ch lµm.

Gi¶i ph¬ng tr×nh: x (3x - 7) = (1) Híng dÉn: (1) ⇔ x (3x - 7) - (3x - 7) = 0 ⇔ (x - 1) (3x - 7) = 0 S = {1; } Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 - x - 6 = 0 (1) Híng dÉn: (1) ⇔

⇔

(x - 3) (x + 2) = 0

S = {3; -2} Gi¶i ph¬ng tr×nh: 20x2 - 9x + 1 = 0

(1

Híng dÉn: (1) 20x - 5x - 4x + 1 = 0 ⇔ 5x(4x - 1) - (4x - 1) = 0 ⇔ (4x - 1) (5x - 1) = 0 S = {; } ⇔

2

Gi¶i ph¬ng tr×nh: 15x2 +2x - 1 = 0 (1) Híng dÉn: 2 (1) ⇔ 15x + 5x - 3x - 1 = 0 ⇔ 5x(3x + 1) - (3x + 1) = 0 ⇔ (5x - 1) (3x + 1) = 0 S = {; - } GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 23

Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 +x + 1 = 0 (1) Híng dÉn: 2 (1) ⇔ (x + 0,5) + 0,75 = 0 Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 24x -9x2- 18= 0 (1) Híng dÉn: 2 ⇔ (1) 9x - 24x + 18 = 0 ⇔ (3x - 4)2 + 2 = 0 S= ∅ Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x - 3) (x - 5) + 4 = 0 Híng dÉn: 2 ⇔ (1) x - 8x + 19 = 0 ⇔ (x - 4)2 + 3 = 0 NhËn xÐt: GÝa trÞ cña vÕ tr¸i lu«n d¬ng víi mäi x. Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. Gi¶i ph¬ng tr×nh: x (x - 6) + 10= 0 Híng dÉn: 2 ⇔ (1) x - 6x + 9 + 1 = 0 ⇔ (x - 3)2 + 1= 0 Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. *Gi¶i ph¬ng tr×nh: 6ax2 + 4ax - 9x - 6 = 0 (1) Híng dÉn: (1) ⇔ (2ax - 3) (3x + 2) = 0 NÕu a = 0 th× S = {- } NÕu a ≠ 0 th× S = {- ; } Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x2 + x)2 = 12 - 4(x2 + x) (1) Híng dÉn: §Æt x2 + x = y ta ®îc y2 + 4y - 12 = 0 ⇔ y = - 6 hoÆc y = 2 ⇔ x2 + x + 6 = 0 hoÆc x2 + x - 2 = 0 GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 24

Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x2 - 4x)2 + 2(x - 2)2 = 43 (1) Híng dÉn: 2 2 §Æt x - 4x = y ta ®îc y + 2y - 35 = 0 ⇔ y = - 7 hoÆc y = 5 ⇔ x2 - 4x + 7 = 0 hoÆc x2 - 4x - 5 = 0 S = {- 1; 5} *Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x2 - 1)2 = 4x + 1 (1 Híng dÉn: 2 2 2 2 (1) ⇔ (x - 1) + 4x = 4x + 4x + 1 ⇔ (x2 + 1)2 - (2x + 1)2 = 0 ⇔ (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x) = 0 ⇔ x (x - 2) = 0 S = {0; 2} *Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x2 - 4)2= 8x + 1 (1) Híng dÉn: 2 2 2 (1) ⇔ (x - 4) + 16x = 16x2 + 8x + 1 S = {1; 3} *Gi¶i ph¬ng tr×nh: (y2 - 1993)2 - 7972y - 1 = 0 (1) Híng dÉn: (1)

 y = 1994 ⇔   y = 1992

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 = 24x + 32 (1) Híng dÉn: 2 Thªm 4x vµo hai vÕ ta ®îc (x2 + 2)2 = (2x + 6)2 Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. *Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x2 - y)2 = 4xy + 1 (1) Híng dÉn: 2 2 2 2 ⇔ (1) (x - y) + 4x y = 4xy + 1+ 4x2y2 ⇔ (x2 + y2)2 - (2xy + 1)2 = 0 ⇔

x = y +1  x = y −1 

III. Híng dÉn häc ë nhµ:

GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 25

Gi¶i ph¬ng tr×nh: (2x2 + 3x - 1)2 - 5 (2x2 + 3x + 3) + 24 = 0 (1) Híng dÉn: (1)

⇔

y2 - 5y + 4 = 0 (Víi y = 2x2 + 3x - 1) ⇔ y = 1 hoÆc y = 4 ⇔ 2x2 + 3x - 2 = 0 hoÆc 2x2 + 3x - 5 = 0 S = {0,5; 4; 1; - 2,5} Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x2 - 6x + 9)2 - 15 (x2 - 6x + 10) = 1 Híng dÉn: 2 §Æt x - 6x + 9 = y ( y ≥ 0) S = {- 1; 7} * Gi¶i ph¬ng tr×nh: 6x4 + 7x3 - 36 x2 - 7x + 6 = 0 (1) Chia hai vÕ cho x

2 ≠

TiÕt 2 :

Híng dÉn: 0, ®Æt x - = y. (§¸p sè: S = {- 3; - ; ; 2}) Ngµy

th¸ng

n¨m 2006

ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu

A. Môc tiªu:

- HS n¾m v÷ng c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu. - RÌn luyÖn cho HS c¸c kÜ n¨ng suy nghÜ, tr×nh bµy, diÔn ®¹t c¸c d¹ng to¸n gi¶I ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu. - Gi¸o dôc tÝnh cÈn thËn, tÝnh linh ho¹t, s¸ng t¹o cho HS. B. ChuÈn bÞ:

- GV: + Gi¸o ¸n. + B¶ng phô. - HS: ¤n tËp vÒ c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu. C. tiÕn tr×nh d¹y häc: I. LÝ thuyÕt:

(GV nªu tõng c©u hái, HS lÇn lît tr¶ lêi, HS nhËn xÐt, bæ sung, GV uèn n¾n, cñng cè vµ hÖ thèng l¹i kiÕn thøc) GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 26

1. Chó ý khi gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu - H? Khi gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu cÇn chó ý ®iÒu g×? - Tr¶ lêi: Khi gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu cÇn chó ý ®Õn §KX§ 2. §KX§ cña ph¬ng tr×nh: - H? §KX§ cña ph¬ng tr×nh lµ g×? - Tr¶ lêi: §KX§ cña ph¬ng tr×nh lµ gÝa trÞ cña Èn ®Ó tÊt c¶ c¸c mÉu trong ph¬ng tr×nh ®ªu kh¸c 0. 3. C¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu: - H? Nªu c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu. - Tr¶ lêi: C¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu.

Bø¬c 1: T×m §KX§ cña ph¬ng tr×nh. Bíc 2: Qui ®ång mÉu hai vÕ cña ph¬ng tr×nh råi khö mÉu Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh võa nhËn ®îc. Bíc 4: KÕt luËn: Trong c¸c gÝa trÞ cña Èn t×m ®îc ë bíc 3, c¸c gÝa trÞ tho¶ m·n §KX§ chÝnh lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho. II. Bµi tËp: §èi víi mçi bµi tËp, d¹ng míi th× GV ch÷a mÉu, nÕu kh«ng, HS lµm t¹i chç, (nÕu bµi nµo kh«ng cã HS nµo lµm ®îc th× GV gîi ý dÇn cho HS suy nghÜ), HS kh¸c nhËn xÐt, bæ sung, sau ®ã GV ch÷a bµi, chèt c¸ch lµm.

Gi¶i ph¬ng tr×nh: + = (1) Híng dÉn: §KX§: x ≠ 1/5; x ≠ 3/5 Qui ®ång, khö mÉu ta ®îc 3 (3 - 5x) + 2 (5x - 1) = 4 ⇔ x = 3/5 (Kh«ng tho¶ m·n §KX§) S = ∅ Gi¶i ph¬ng tr×nh: += Híng dÉn: GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

(1) Trêng THCS Lª

27

§KX§: x ≠ 1; x (1) ⇔ - = 0

≠

2; x

1 ) x − 4x + 3

≠

3

⇔

(x + 4) (-

⇔

x = 4 (Tho¶ m·n §KX§) (Do -

2

=0

§KX§) S = {- 4}

1 ≠ x − 4x + 3 2

0 víi x tho¶ m·n

Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x - 1) : (+ ) = 0 Híng dÉn: §KX§: x ≠ 2; x ≠ 3; x ≠ 2,5 Qui ®ång, khö mÉu ta ®îc = 0

(1)

x = 1 ⇔  x = 2  x = 3

x = 1 (Tho¶ m·n §KX§) x = 2; 3 (Kh«ng tho¶ m·n §KX§) S = {1} Gi¶i ph¬ng tr×nh: + + = Híng dÉn: §KX§: x ≠ 1; x ≠ 2; x ≠ 3; x ≠ - 6 Qui ®ång, khö mÉu ta ®îc (1) ⇔ + = ⇔ = 5 x − 12 = 0 ⇔  2 2  x + 5x − 6 = x − 5x + 6 ⇔ x = 2,4 hoÆc x =

S = {2,4; 1,2}

(1)

1,2 (Tho¶ m·n §KX§)

*

Gi¶i ph¬ng tr×nh: +++=+++ Híng dÉn: ∉ §KX§: x {0; - 1; - 2; - 3; - 4; - 5; - 6} Qui ®ång, khö mÉu ta ®îc +=+ ⇔ x = - 3,5 (Tho¶ m·n §KX§) GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

(1)

Trêng THCS Lª 28

S = {- 3,5} Gi¶i ph¬ng tr×nh: + + + … + = 3 Híng dÉn:

(1)

§KX§: x ≠ 0 (1) ⇔ [(x - 1) + (x - 2) + … + 1] = 3 ⇔ 0,5 (x - 1) = 3 ⇔ x = 7 (Tho¶ m·n §KX§) S = {7} Gi¶i ph¬ng tr×nh: +=+ Híng dÉn:

(1)

§KX§: x ≠ - 1; x ≠ - 2; x ≠ - 3; x ≠ - 4 (1) ⇔ x + 1 + + x + 4 + = x + 2 + + x + 3 + ⇔ + =+ Qui ®ång, khö mÉu ta ®îc 2x (2x - 5) = 0 m·n §KX§) S = {0; - 2,5}

x = 0 ⇔   x = −2,5

(Tho¶

III. Híng dÉn häc ë nhµ:

*

Gi¶i ph¬ng tr×nh: + = + Híng dÉn:

(1)

§KX§: x ∈ R MTC: x4 + 4 = (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2) (1) ⇔ 2 + = 2 + Qui ®ång, khö mÉu ta ®îc x4 = ⇔ x = ± 0,5 (Tho¶ m·n §KX§) Gi¶i ph¬ng tr×nh: - = + (1) Híng dÉn: §KX§: x ∈ R (1) ⇔ 3 + - = + GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 29

⇔

(1 - ) + (1 - ) + (1 - ) + = 0 S = {± } *

Gi¶i ph¬ng tr×nh: - = (1) Híng dÉn:

§KX§: x ∈ R MTC: x (x2 + x + 1) (x2 + - x + 1) = (x4 + x2 + 1) x x = 1,5 (Tho¶ m·n §KX§) ***************************** Ngµy

th¸ng

n¨m 2006

TiÕt : gi¶I bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh A. Môc tiªu:

- HS n¾m v÷ng c¸c bíc gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh. - RÌn luyÖn cho HS c¸c kÜ n¨ng suy nghÜ, tr×nh bµy, diÔn ®¹t d¹ng to¸n gi¶i b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh. - Gi¸o dôc tÝnh cÈn thËn, tÝnh linh ho¹t, s¸ng t¹o cho HS. B. ChuÈn bÞ:

- GV: + Gi¸o ¸n. + B¶ng phô. - HS: ¤n tËp vÒ gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh. C. tiÕn tr×nh d¹y häc: I. LÝ thuyÕt:

(GV nªu tõng c©u hái, HS lÇn lît tr¶ lêi, HS nhËn xÐt, bæ sung, GV uèn n¾n, cñng cè vµ hÖ thèng l¹i kiÕn thøc) * C¸c bíc gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh. - H? Nªu c¸c bíc gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh. - Tr¶ lêi: Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh. . Chän Èn vµ ®Æt ®iÒu kiÖn thÝch hîp cho Èn . BiÓu diÔn c¸c ®¹i lîng cha biÕt qua Èn vµ c¸c ®¹i lîng ®· biÕt. . LËp ph¬ng tr×nh biÓu thÞ mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng. Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh. GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 30

Bíc 3: Tr¶ lêi (KiÓm tra xem trong c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh, nghiÖm nµo tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña Èn, nghiÖm nµo kh«ng, råi kªt luËn). * Chó ý: - H? Khi gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh cÇn chó ý nh÷ng g×? - Tr¶ lêi: * Chän Èn lµ kh©u mÊu chèt trong bíc lËp ph¬ng tr×nh, bíc nµy cã nhiÒu khã kh¨n, cÇn thùc hiÖn nh sau: - §äc ®Ò, tãm t¾t ®Ò, nh÷ng sè liÖu nµo ®· biÕt, nh÷ng sè liÖu nµo cha biÕt. - Cã thÓ chän bÊt k× sè liÖu cha biÕt nµo lµm Èn còng ®îc, th«ng thêng c¨n cø vµo ®iÒu ®ßi hái cña bµi to¸n ®Ó chän Èn, chó ý chän Èn ®Ó ®îc c¸ch gi¶i ®¬n gi¶n nhÊt. - Chó ý x¸c ®Þnh ®¬n vÞ, ®iÒu kiÖn cho Èn. * C¸c sè liÖu biÓu thÞ theo Èn ph¶i cã ®¬n vÞ * §Ó biÓu thÞ c¸c sè liÖu cha biÕt qua Èn vµ lËp ph¬ng tr×nh cÇn n¾m ®îc c¸c c«ng thøc - Trong chuyÓn ®éng: S = vt - To¸n vÒ nhiÖt lîng: m kgníc gi¶m t0 c to¶ ra nhiÖt lîng Q = mt kcal Q to¶ = Q thu - To¸n vÒ nång ®é: mg chÊt tan trong M g dung dÞch th× nång ®é phÇn tr¨m lµ 100m/M - To¸n vÒ ®æi míi kÕ ho¹ch: S¶n lîng = n¨ng suÊt . thêi gian - To¸n qui vÒ ®¬n vÞ * §Ó gi¶i bµi to¸n bËc nhÊt, ph¶i phiªn dÞch tõ ng«n ng÷ th«ng th¬ng sang ng«n ng÷ d¹i sè, tøc lµ ph¶i biÓu thÞ c¸c ®¹i lîng trong bµi to¸n theo Èn vµ c¸c ®¹i lîng ®· biÕt råi lËp ph¬ng tr×nh biÓu thÞ sù t¬ng quan gi÷a c¸c ®¹i lîng. II. Bµi tËp:

§èi víi mçi bµi tËp, d¹ng míi th× GV ch÷a mÉu, nÕu kh«ng, HS lµm t¹i chç, (nÕu bµi nµo kh«ng cã HS nµo lµm ®îc th× GV gîi ý dÇn cho HS suy nghÜ), HS kh¸c nhËn xÐt, bæ sung, sau ®ã GV ch÷a bµi, chèt c¸ch lµm. . Cho sè tù nhiªn cã 5 ch÷ sè, nÕu viÕt thªm ch÷ sè 1 vµo sau sè ®ã ta ®îc sè A cã 6 ch÷ sè. NÕu viÕt thªm ch÷ sè 1 vµo tríc sè ®ã ta ®îc sè B cã 6 ch÷ sè. BiÕt A = 3B. T×m sè ®· cho. Híng dÉn: Gäi sè ph¶i` t×m lµ x = abcde GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 31

Theo bµi ra ta cã: abcde1 = 3 . 1abcde ⇔ 10x + 1 = 3. (100000 + x) ⇔ x = 42 857 . T×m 5 sè nguyªn liªn tiÕp biÕt tæng c¸c b×nh ph¬ng cña 3 sè nhá b»ng tæng c¸c b×nh ph¬ng cña 2 sè lín. Híng dÉn: Gäi 5 sè nguyªn ph¶i t×m lµ x - 2; x - 1; x; x + 1; x + 2 Ph¬ng tr×nh: (x - 2)2 + (x - 1)2 + x2 = (x + 1)2 + (x + 2)2 ⇔ x = 0 hoÆc x = 12 VËy 5 sè ph¶i t×m lµ (- 2; - 1; 0; 1; 2) hoÆc (10; 11; 12; 13; 14) . Tæng 4 sè b»ng 45. NÕu lÊy sè thø nhÊt céng víi 2; sè thø hai trõ ®i 2; sè thø ba nh©n víi 2; sè thø ba chia cho 2 th× ®îc 4 kÕt qu¶ bµng nhau. T×m 4 sè ban ®Çu. Híng dÉn: Gäi kÕt qu¶ cña 4 phÐp tÝnh lµ x Ph¬ng tr×nh: (x - 2) + (x + 2) + 2x + = 45 ⇔x = 6 Tr¶ lêi: Bèn sè ban ®Çu lµ 8; 12; 5; 20. *. T×m mét sè biÕt r»ng nÕu bá ®i ch÷ sè ®Çu tiªn th× sè ®ã gi¶m 58 lÇn. Híng dÉn: n-1 GØa sö A = a . 10 + B vµ A = 58 B ⇒

57B = a . 10n - 1 V« lÝ v× VT: 19; VP kh«ng chia hÕt cho 19.

Tr¶ lêi: Kh«ng tån t¹i sè tho¶ m·n bµi to¸n. *. T×m sè cã hai ch÷ sè nÕu chia sè ®ã cho tæng c¸c ch÷ sè cña nã th× ®îc th¬ng b¨ng nöa tæng c¸c ch÷ sè cña nã. Híng dÉn: Gäi sè ph¶i t×m lµ xy Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: (10x + y) : (x + y) = (x + y) : 3 ⇒ 3 (10x + y) = (x + y)2 ( x + y ) 2 = 26( Loi )  ⇒ (x + y ): 3 ⇒ ( x + y ) 2 = 81 ( x + y ) 2 = 144 

Tr¶ lêi: Sè ph¶i t×m lµ 27; 48. GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 32

*. T×m sè cã hai ch÷ sè biÕt sè ®ã lµ béi cña tÝch c¸c ch÷ sè cña nã. Híng dÉn: Gäi sè cÇn t×m lµ xy Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: xy = kxy ⇔ 10x = y (kx - 1) ⇒ y = 10x : (kx - 1) Mµ (x; kx - 1) = 1 nªn 10 M(kx - 1) ⇒ kx - 1 ∈ {1; 2; 5; 10} ⇒ xy ∈ {15; 12; 24; 36; 11} . Mét ngêi ®i bé tõ nhµ ®Õn ga. Trong 12 phót ®Çu, ngêi ®ã ®i ®îc 700 mvµ thÊy nÕu nh vËy sÏ ®Õn ga chËm 40 phót. V× thÕ, trªn qu·ng ®êng cßn l¹i, ngêi ®ã ®· ®i víi vËn tèc 5 km/h. Do ®ã ®Õn ga sím 5 phót. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ nhµ ®Õn ga. Híng dÉn: Gäi qu·ng ®êng cßn l¹i lµ x km §K: x > 0 VËn tèc ngêi ®ã ®i trªn 700 m = 0,7 km ®o¹n ®êng ®Çu trong thêi gian 12 phót = 0,2 giê lµ 0,7 : 0,2 = 3,5 (km/h) Do ®æi vËn tèc, thêi gian ®i hÕt Ýt h¬n thêi gian dù ®Þnh lµ 40 + 5 = 45 phót = h. Ph¬ng tr×nh:

x -= 3,5

⇔ x = 8,75 (Tho¶ m·n §K cña Èn)

Tr¶ lêi: Kho¶ng c¸ch tõ nhµ ®Õn ga lµ 8,75 + 0,7 = 9,45(km) . Mét « t« ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 60 km/h vµ trë vÒ tõ B ®Õn A víi vËn tèc 40 km/h. TÝnh vËn tèc trung b×nh cña « t«. Híng dÉn: Gäi vËn tèc trung b×nh trªn ®o¹n ®êng AC lµ x km/h, qu·ng ®êng AB lµ S km (§K: 24 < x < 27) Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: = + ⇔ x = 48 (Tho¶ m·n §K cña Èn) Tr¶ lêi: VËn tèc trung b×nh cña « t« lµ 48 km/h. . Mét chuyÓn ®éng tõ A, qua B, ®Õn C biÕt vËn tèc chuyÓn ®éng trªn ®o¹n ®êng AB lµ 24 km/h, vËn tèc chuyÓn ®éng trªn ®o¹n ®êng BC lµ 32 km/h, vËn tèc chuyÓn ®éng trung GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 33

b×nh trªn ®o¹n AC lµ 27 km/h, hiÖu ®é dµi hai ®o¹n ®êng AB vµ BC lµ 6 km. TÝnh qu·ng ®êng AB. Híng dÉn: Gäi lµ qu·ng ®êng AB lµ x km (§K: > 6) Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: + = ⇔ x = 30 (Tho¶ m·n §K cña Èn) Tr¶ lêi: Qu·ng ®êng AB lµ 30 km. . Mét ngêi ®i tõ A ®Õn B mÊt 2 giê, khi trë vÒ mÊt 3 giê. Ngµy h«m sau ngêi ®ã l¹i ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc b»ng vËn tèc trung b×nh cña h«m ®Çu, sau khi ®i ®îc 2 giê cßn c¸ch B 4 km. TÝnh qu·ng ®êng AB. Híng dÉn: Gäi qu·ng ®êng AB lµ x km(§K: x > 4). Ta cã vËn tèc trung b×nh cña h«m ®Çu lµ km/h. Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: 2. + 4 = x ⇔ x = 20 (Tho¶ m·n §K cña Èn) Tr¶ lêi: Qu·ng ®êng AB lµ 20 km. . Mét ngêi ®i xe m¸y tõ A ®Õn B víi vËn tèc 40 km/h. §i ®îc 15 phót ngêi ®ã gÆp mét « t« ®i tõ B ®Õn víi vËn tèc 50 km/h. ¤ t« ®Õn A nghØ 15 phót råi trë vÒ B vµ gÆp ngêi ®i xe m¸y c¸ch B 20 km. TÝnh qu·ng ®êng AB. Híng dÉn: Gäi C; D lÇn lît n¬i hai xe gÆp nhau lÇn 1 vµ lÇn 2. Gäi qu·ng ®êng CD lµ x km (§K: x > 0) Qu·ng ®êng AC dµi 40 . 15/60 = 10 km Thêi gian xe m¸y ®i tõ C ®Õn D lµ x/ 40 km/h A C D B Trong thêi gian nµy, « t« ®I c¸c qu·ng ®êng CA, AD vµ nghØ 15 phót. Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: = + ⇔ x = 130 (Tho¶ m·n §K cña Èn) Tr¶ lêi: Qu·ng ®êng AB dµi 10 + 130 + 20 = 160 km. . Mét xe ®¹p, mét xe m¸y, mét « t« khëi hµnh lÇn lît tõ 6h, 7h, 8h víi vËn tèc lÇn lît lµ 10 km/h, 30 km/h, 40 km/h. Hái ®Õn mÊy giê th× « t« c¸ch ®Òu xe ®¹p vµ xe m¸y. Híng dÉn: GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 34

C¸ch 1: Gäi thêi gian kÓ tõ lóc 8 h ®Õn lóc « t« c¸ch ®Òu xe ®¹p vµ xe m¸y lµ x h (§K: x > 0) Khi ®ã xe ®¹p ®· ®i ®îc 20 + 10x (km) xe m¸y ®· ®i ®îc 30 + 30x (km), « t« ®· ®i ®îc 40 x (km) Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: 40 x = (10x + 20 + 30x + 30) ⇔ x = 1,25 (Tho¶ m·n §K cña Èn) Tr¶ lêi: Thêi ®iÓm mµ « t« c¸ch ®Òu xe ®¹p vµ xe m¸y lµ 8 + 1,25 = 9,25h = 9h15'. C¸ch 2: Gäi thêi ®iÓm cÇn t×m lµ x. . A vµ B dù ®Þnh ®Õn nhµ nhau ch¬i, A ®i lóc 3h kÐm 15'víi vËn tèc 4 km/h, B ®I lóc 3 h víi vËn tèc 3 km/h, hai ngêi gÆp nhau vµ cïng ®Õn nhµ B. Khi trë vÒ nhµ, A thÊy qu·ng ®êng m×nh ®i gÊp 4 lÇn qu·ng ®êng B ®i. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai nhµ. Híng dÉn: Gäi qu·ng ®êng AB lµ x km (§K: x > 0) ⇒ A ®I ®îc 2x km, B ®i ®îc km. §Õn lóc gÆp nhau, A ®i ®îc km, B ®i ®îc km trong thêi gian lÇn lît lµ h, h Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: - = ⇔ x = 2,4 (Tho¶ m·n §K cña Èn) Tr¶ lêi: Kho¶ng c¸ch gi÷a hai nhµ lµ 2,4 km. . Mét chiÕc m« t« vµ mét chiÕc « t« ®i tõ A ®Õn B, m« t« ®i víi vËn tèc 62 km/h, « t« ®i víi vËn tèc 55 km/h. §Ó hai xe cïng ®Õn ®Ých mét lóc, ngêi ta ®· tÝnh to¸n cho « t« ch¹y tríc mét thêi gian, nhng v× lÝ do ®Æc biÖt, khi ch¹y ®îc 2/3 qu·ng ®êng AB xe « t« buéc ph¶i ch¹y víi vËn tèc 27,5 km/h. V× vËy khi cßn c¸ch B 124 km th× m« t« ®· ®uæi kÞp « t«. TÝnh qu·ng ®êng AB. Híng dÉn: Gäi qu·ng ®êng AB lµ x km lµ x (§K: x > 124) Thêi gian m« t« dù ®Þnh ®i lµ h, thêi gian « t« dù ®Þnh ®I lµ h. Thêi gian « t« dù ®Þnh ®i tríc lµ - (h) Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: + - = + ⇔ x = 514 (Tho¶ m·n §K cña Èn) Tr¶ lêi: Qu·ng ®êng AB lµ 514 km. . Mét « t« dù ®Þnh ®i qu·ng ®êng AB dµi 60 km trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh. ¤ t« ®i nöa qu·ng ®êng víi vËn tèc h¬n vËn tèc dù ®Þnh 10 km/h vµ ®I nöa qu·ng ®êng sau GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 35

víi vËn tèc kÐm vËn tèc dù ®Þnh 6 km/h. BiÕt « t« ®Õn ®óng thêi gian ®· ®Þnh. TÝnh thêi gian « t« dù ®Þnh ®i. Híng dÉn: Gäi vËn tèc o t« dù ®Þnh ®i lµ x km/h (§K: x > 6) Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: + = ⇔ x = 30 (Tho¶ m·n §K cña Èn) Thêi gian « t« dù ®Þnh ®i lµ 60 : 30 = 2 (h) Tr¶ lêi: Thêi gian « t« dù ®Þnh ®i lµ 2 (h) III. Híng dÉn häc ë nhµ:

. Hai tay ®ua ch¹y víi vËn tèc kh«ng ®æi trªn vßng trßn cña mét ®êng ®ua. Khi hä ch¹y ngîc chiÒu nhau th× cø sau 10 gi©y hä l¹i gÆp nhau mét lÇn, khi hä ch¹y cïng chiÒu th× cø sau 170 gi©y hä l¹i gÆp nhau mét lÇn. TÝnh vËn tèc cña mçi ngêi biÕt chiÒu dµi ®êng ch¹y lµ 170m. Híng dÉn: Gäi vËn tèc ngêi ch¹y chËm lµ x (m/s) (§K: x > 0) Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: 17. (170 - 10x - 10x) = 170 ⇔ x = 8 (Tho¶ m·n §K cña Èn) Tr¶ lêi: VËn tèc cña ngêi ch¹y chËm vµ vËn tèc cña ngêi ch¹y nhanh lÇn lît lµ 8m/s, 9m/s. . Mét chiÕc thuyÒn xu«i mét ®o¹n s«ng hÕt 5 giê vµ ngîc dßng trªn ®o¹n s«ng Êy hÕt 7 giê. Hái mét c¸nh bÌo tr«i trªn ®o¹n s«ng Êy mÊt bao l©u. Híng dÉn: Gäi thêi gian c¸nh bÌo tr«i trªn ®o¹n s«ng Êy lµ x h (§K: x > 5) Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: = ( - ): 2 ⇔ x = 35 (Tho¶ m·n §K cña Èn) Tr¶ lêi: C¸nh bÌo tr«i trªn ®o¹n s«ng Êy mÊt 35 giê. *. Mét ngêi ®i tõ A ®Õn B råi quay vÒ A mÊt 3h 41'. §o¹n dêng AB gåm mét ®o¹n lªn dèc, mét ®o¹n ®êng b»ng vµ mét ®o¹n xuèng dèc. BiÕt AB = 9km, vËn tèc lªn dèc lµ 4km/h, vËn tèc xuèng dèc lµ 6km/h vµ vËn tèc trªn do¹n ®êng b»ng lµ 5km/h. Hái ®o¹n ®êng b»ng dµi bao nhiªu? Híng dÉn: Gäi chiÒu dµi ®o¹n ®êng b»ng lµ x km (§K: 0 < x < 9) Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: ++ = 3 ⇔ x = 4 (Tho¶ m·n §K cña Èn) GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 36

Tr¶ lêi: §o¹n ®êng AB dµi 4km. Ngµy

th¸ng

n¨m 2006

BÊt ph¬ng tr×nh mét Èn A. Môc tiªu:

- HS n¾m v÷ng c¸ch gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh d¹ng ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0, bÊt ph¬ng tr×nh bËc cao, bÊt ph¬ng tr×nh cã thÓ ®a vÒ bÊt ph¬ng tr×nh th¬ng. - RÌn luyÖn cho HS c¸c kÜ n¨ng suy nghÜ, tr×nh bµy, diÔn ®¹t c¸c d¹ng to¸n gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh, t×m ®iÒu kiÖn ®Ó hai bÊt ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng. - Gi¸o dôc tÝnh cÈn thËn, tÝnh linh ho¹t, s¸ng t¹o cho HS. B. ChuÈn bÞ:

- GV: + Gi¸o ¸n. + B¶ng phô. - HS: ¤n tËp vÒ c¸ch gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh d¹ng ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0, bÊt ph¬ng tr×nh bËc cao, bÊt ph¬ng tr×nh cã thÓ ®a vÒ bÊt ph¬ng tr×nh th¬ng. C. tiÕn tr×nh d¹y häc:

(GV nªu tõng c©u hái, HS lÇn lît tr¶ lêi, HS nhËn xÐt, bæ sung, GV uèn n¾n, cñng cè vµ hÖ thèng l¹i kiÕn thøc) I.1. BÊt ph¬ng tr×nh mét Èn 1.TËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh TËp hîp tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña mét bÊt ph¬ng tr×nh ®îc gäi lµ tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh. 2. BÊt ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng: Hai bÊt ph¬ng tr×nh cã cïng mét tËp nghiÖm gäi lµ hai bÊt ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng (kÝ hiÖu " ⇔ ") I.2. BÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn. 1. §Þnh nghÜa: BÊt ph¬ng tr×nh d¹ng ax + b < 0 (hoÆc ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0) trong ®ã a vµ b lµ hai sè ®· cho, a ≠ 0, ®îc gäi lµ bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn. 2. Hai qui t¾c biÕn ®æi bÊt ph¬ng tr×nh a. Qui t¾c chuyÓn vÕ: Khi chuyÓn mét h¹ng tö cña bÊt ph¬ng tr×nh tõ vÕ nµy sang vÕ kia ta ph¶i ®æi dÊu h¹ng tö ®ã. b. Qui t¾c nh©n víi mét sè: Khi nh©n hai vÕ cña bÊt ph¬ng tr×nh víi cïng mét sè kh¸c 0, ta ph¶i: - Gi÷ nguyªn chiÒu bÊt ph¬ng tr×nh nÕu sè ®ã d¬ng. I. LÝ thuyÕt:

GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 37

- §æi chiÒu bÊt ph¬ng tr×nh nÕu sè ®ã ©m. I.3. bÊt ph¬ng tr×nh tÝch, bÊt ph¬ng tr×nh th¬ng L©p b¶ng, xÐtdÊu, I.4.Ph¬ng tr×nh chøa dÊu gÝa trÞ tuyÖt ®èi. 1. §Þnh nghÜa gÝa trÞ tuyÖt ®èi: a = a nÕu a ≥ 0 a = - a nÕu a < 0

2. C¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh chøa dÊu gÝa trÞ tuyÖt ®èi: C¸ch 1: XÐt kho¶ng. C¸ch 2: BiÕn ®æi t¬ng ®¬ng. f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = ± g ( x)  g ( x) ≥ 0 f ( x) = g ( x ) ⇔   f ( x ) = ± g ( x)

C¸ch 3: nhËn xÐt gÝa trÞ hai vÕ II. Bµi tËp:

§èi víi mçi bµi tËp, d¹ng míi th× GV ch÷a mÉu, nÕu kh«ng, HS lµm t¹i chç, (nÕu bµi nµo kh«ng cã HS nµo lµm ®îc th× GV gîi ý dÇn cho HS suy nghÜ), HS kh¸c nhËn xÐt, bæ sung, sau ®ã GV ch÷a bµi, chèt c¸ch lµm. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh

x−a x−b x−c 1 1 1 + + > 2( + + ) (abc > 0) (1) bc ac ab a b c

híng dÉn: 1 1 1 a b c 1 1 1 + + + 2( + + ) (1) ⇔ x ( + + ) > ab ac bc bc ac ab a b c 2 a+b+c (a + b + c) ⇔ x> abc abc ⇔ x (a + b + c)> (a + b + c)2 (Do abc > 0 )

_ NÕu a + b + c > 0 th× x > a + b + c _ NÕu a + b + c = 0 th× bÊt ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. _ NÕu a + b + c < 0 th× x < a + b + c. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh

2x 1 4x −1 a − 2 xa − < 2 + a − a + 1 2a + 2 2a − 2a + 2 1 + a 3 2

(1)

híng dÉn: Xo¸ ë hai vÕ. - NÕu > 0 ⇔ a < -1 hoÆc a > 0 th× x < 0,25a - NÕu - 1 < a < 0 th× x > 0,25a. GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 38

Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh x + < - (a - 2)x (1) híng dÉn: (1) ⇔ (a - 2)x + x < - (Kh«ng nªn nh©n hai vÕ víi a v× nh thÕ ph¶I xÐt hai trêng hîp) ⇔ (a - 1)x < - NÕu a > 1 th× x < - NÕu a < 1; a ≠ 0 th× x > - NÕu a = 1 th× (1) ⇔ 0x < 2. Ph¬ng tr×nh nghiÖm ®óng víi mäi x. T×m a ®Ó hai bÊt ph¬ng tr×nh (a - 1)x - a + 3 > 0 (1) vµ (a + 1)x - a + 2 > 0 (2) t¬ng ®¬ng. híng dÉn: Gi¶i (1); (2). XÐt c¸c trêng hîp a = ± 1; a2 - 1 < 0 (Lo¹i) Trêng hîp (a - 1) (a + 1) > 0: ®Ó S1 = S2 th× = ⇔ a = 5 (Thuéc kho¶ng ®ang xÐt) T×m m ®Ó hai bÊt ph¬ng tr×nh sau chØ cã mét nhiÖm chung: m(x - 2) + 4 ≤ x (1) m (x - 1) ≥ x - 2 (2) híng dÉn: Gi¶i (1) vµ (2) ta cã m = 2 T×m a ®Ó ph¬ng tr×nh 4 - a =

2 cã nghiÖm d¬ng. (1) x +1

híng dÉn: §KX§: x ≠ - 1 Víi x ≠ - 1 th× (1) ⇔ (4 - a)x = a - 2 cã nghiÖm x = khi a §Ó (1) cã nghiÖm d¬ng th× (a - 2) (4 - a) > 0 ⇔2 < a < 4

≠4

Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh (x2 + 4x + 10)2 - 7(x2 + 4x + 11) + 7 <0 (1) híng dÉn: 2 §Æt x + 4x + 10 = y (y > 0) ta cã (1) ⇔ y2 - 7y < 0 ⇔ 0 < y < 7 ⇔ x2 + 4x + 10 < 7 ⇔ - 3 < x < - 1 Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh >

(1)

GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 39

híng dÉn: §a vÒ bÊt ph¬ng tr×nh th¬ng råi lËp b¶ng xÐt dÊu (1) ⇔ x < - 0,25 hoÆc 0,3 < x < 2/3 Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh

x2 - 4x + 4 < 25 híng dÉn: ⇔ C¸ch 1: (1) (x + 3) (x - 7) < 0 ⇔ -3<x<7 C¸ch 2: (1) ⇔ x − 2 < 5

(1)

Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh

(1)

+>+ híng dÉn: ⇔ (1) (+ 1) + (+ 1) > (+ 1) + (+ 1) ⇔ (x + 91) (+ - - ) > 0 ⇔ x < - 91 III. Híng dÉn häc ë nhµ:

Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh 35 - 2x2 - 3x > 0 híng dÉn: (1) ⇔ (x + 5) (7 - 2x) > 0 ⇔ - 5 < x < 3,5.

(1)

Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh <

(1)

híng dÉn: §a vÒ bÊt ph¬ng tr×nh th¬ng råi lËp b¶ng xÐt dÊu. (1) ⇔ x < - 4 hoÆc x > 2. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh 4x2 - 2 (2x + 1) + 5 < 0 híng dÉn: 2 (1) ⇔ (2x - 1) + 2 < 0 BÊt ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.

(1)

Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh x2 + y2 + z2 ≤ xy + 3y + 2z - 4 (1) híng dÉn: 2 (1) ⇔ (x - 0,5y) + 3 (0,5y - 1)2 + (z - 1)2 ≤ 0 (2) Do: + (x - 0,5y)2 ≥ 0 víi mäi x,y. + 3 (0,5y - 1)2 ≥ 0 víi mäi y. + (z - 1)2 ≥ 0 víi mäi z. Nªn vÕ tr¸i cña bÊt ph¬ng tr×nh (2) kh«ng ©m víi mäi x, y, z. BÊt ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm (x; y; x) = (1; 2; 1). *********************************** GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 40

Ngµy

th¸ng

n¨m 2006

ph¬ng tr×nh chøa dÊu gÝa trÞ tuyÖt ®èi A. Môc tiªu:

- HS n¾m v÷ng c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh chøa dÊu gÝa trÞ tuyÖt ®èi. - RÌn luyÖn cho HS c¸c kÜ n¨ng suy nghÜ, tr×nh bµy, diÔn ®¹t c¸c d¹ng to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh chøa dÊu gÝa trÞ tuyÖt ®èi. - Gi¸o dôc tÝnh cÈn thËn, tÝnh linh ho¹t, s¸ng t¹o cho HS. B. ChuÈn bÞ:

- GV: + Gi¸o ¸n. + B¶ng phô. - HS: ¤n tËp vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh chøa dÊu gÝa trÞ tuyÖt ®èi. C. tiÕn tr×nh d¹y häc: I. LÝ thuyÕt:

(GV nªu tõng c©u hái, HS lÇn lît tr¶ lêi, HS nhËn xÐt, bæ sung, GV uèn n¾n, cñng cè vµ hÖ thèng l¹i kiÕn thøc) 1. §Þnh nghÜa gÝa trÞ tuyÖt ®èi: - H? Nªu ®Þnh nghÜa gÝa trÞ tuyÖt ®èi. - Tr¶ lêi: a = a nÕu a ≥ 0 a = - a nÕu a < 0. 2. §Þnh lÝ vÒ dÊu cña nhÞ thøc bËc nhÊt: NhÞ thøc bËc nhÊt ax + b (a NhÞ thøc bËc nhÊt ax + b (a

≠ ≠

0) cïng dÊu víi a khi x > - b/a. 0) kh¸c dÊu víi a khi x < - b/a.

3. TÝnh chÊt gÝa trÞ tuyÖt ®èi: - H? Nªu c¸c tÝnh chÊt cña gÝa trÞ tuyÖt ®èi. - Tr¶ lêi: A + B ≤ A + B . DÊu "=" x¶y ra khi AB ≥ 0. A − B ≤ A − B . DÊu "=" x¶y ra khi AB ≥ 0. AB = A B A A = B B A ≥ 0 víi mäi A. DÊu "=" x¶y ra khi A = 0. A ≥ A víi mäi A. DÊu "=" x¶y ra khi A ≥ 0.

GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 41

A ≥ - A víi mäi A. DÊu "=" x¶y ra khi A ≤ 0.

4. C¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh chøa dÊu gÝa trÞ tuyÖt ®èi: - H? Nªu c¸c c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh chøa dÊu gÝa trÞ tuyÖt ®èi. - Tr¶ lêi: . C¸ch 1: XÐt kho¶ng. . C¸ch 2: BiÕn ®æi t¬ng ®¬ng. f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = ± g ( x)  g ( x) ≥ 0 f ( x) = g ( x ) ⇔   f ( x ) = ± g ( x)

. C¸ch 3: nhËn xÐt gÝa trÞ hai vÕ. II. Bµi tËp:

§èi víi mçi bµi tËp, d¹ng míi th× GV ch÷a mÉu, nÕu kh«ng, HS lµm t¹i chç, (nÕu bµi nµo kh«ng cã HS nµo lµm ®îc th× GV gîi ý dÇn cho HS suy nghÜ), HS kh¸c nhËn xÐt, bæ sung, sau ®ã GV ch÷a bµi, chèt c¸ch lµm. Gi¶i ph¬ng tr×nh: x − 3 + x + 2 = 7

(1)

Híng dÉn:

XÐt ba kho¶ng: x < - 2; - 2 ≤ x < 3; x ≥ 3 S = {- 3; 4}.

Gi¶i ph¬ng tr×nh: x − 2 + x − 8 = 6

(1)

Híng dÉn:

C¸ch 1: XÐt kho¶ng. C¸ch 2: Sö dông tÝnh chÊt gÝa trÞ tuyÖt ®èi. S = {x\ 2 ≤ x ≤ 8}. 2 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh: x − x + 1 + x − x − 2 = 3

(1)

Híng dÉn:

C¸ch 1: XÐt kho¶ng. C¸ch 2: Sö dông tÝnh chÊt gÝa trÞ tuyÖt ®èi. S = {x\ - 1 ≤ x ≤ 2}. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 5 x + 2 + 5 x − 4 = 4

(1)

Híng dÉn:

C¸ch 1: XÐt kho¶ng. C¸ch 2: Sö dông tÝnh chÊt gÝa trÞ tuyÖt ®èi. GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 42

S = ∅. Gi¶i ph¬ng tr×nh: x − 3 − x = 7 C¸ch 1: XÐt kho¶ng. C¸ch 2: (1) ⇔ x − 3 = x + 7 ⇔

(1)

Híng dÉn:

x − 3 = x + 7 x − 3 = −x − 7 

S = {-2}.

2 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh: x − 5 x + 5 = −2 x + 10 x − 1

Gi¶i t¬ng tù bµi trªn. S = {2; 3}.

(1)

Híng dÉn:

3 2 3 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh: x − x − x − 2 = 2 x + 2 x + x − 2

(1)

Híng dÉn:

XÐt kho¶ng, lu ý x − x − x − 2 = (x - 2) (x2 + x + 1) S = {1}. 3

2

Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + 3 = 5 − x

(1)

Híng dÉn:

C¸ch 1: XÐt kho¶ng. C¸ch 2: B×nh ph¬ng hai vÕ. C¸ch 3: BiÕn ®æi t¬ng ®¬ng S = {1}.

Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1 − 2 y = y + 1

(1)

Híng dÉn:

C¸ch 1: XÐt kho¶ng. C¸ch 2: B×nh ph¬ng hai vÕ. C¸ch 3: biÕn ®æi t¬ng ®¬ng S = {0; 2}.

Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + 1 − x = x + x − 3

(1)

Híng dÉn:

XÐt c¸c kho¶ng: x < 0; 0 ≤ x < 1; 1 ≤ x < 3; x ≥ 3. S = {-1; 2}. GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 43

Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + 1 − x + 3 x − 1 − 2 x − 2 = x + 2

(1)

Híng dÉn:

XÐt c¸c kho¶ng: x < - 1; - 1 ≤ x < 0; 0 ≤ x < 1; 1 ≤ x < 2; x ≥ 2. S = {-2; x ≥ 2}. Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + 2 − 3 = 1

(1)

Híng dÉn:  x + 2 −3 =1

C¸ch 1: (1) ⇔ 

 x + 2 − 3 = −1

C¸ch 2: XÐt kho¶ng S = {- 6; - 4; 0; 2} Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + 1 − 2 = 3

(1)

Híng dÉn:

Gi¶i t¬ng tù bµi trªn. S = {- 6; 4}.

Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + 1 = x( x + 1)

(1)

Híng dÉn:  x = −1

(1) ⇔ x + 1 ( x − 1) = 0 ⇔  x = 1 S = { ± 1}.

Gi¶i ph¬ng tr×nh: y ( y − 1) = y Gi¶i t¬ng tù bµi trªn. S = {0; 2}.

(1)

Híng dÉn:

2 Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + 2 x + 2 + x − 1 = 0

VT > 0 víi mäi x. S = ∅.

(1)

Híng dÉn:

2 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh: x − 8 x + 16 x = 0

Híng dÉn:

(1)

Hai sè h¹ng ë vËn tèc ®Òu kh«ng ©m víi mäi x. GV: Lª ThÞ HuyÒn Trêng THCS Lª Th¸nh T«ng 44

S = {0}. Gi¶i ph¬ng tr×nh: x = m

(1)

Híng dÉn: C¸ch 1: XÐt kho¶ng. C¸ch 2: Ph¬ng ph¸p ®å thÞ. C¸ch 3: BiÕn ®æi t¬ng ®¬ng. III. Híng dÉn häc ë nhµ

* Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + a 2 − x − 2a = 3a

(1)

Híng dÉn: + NÕu a = 0 th× (1) ⇔ 2 x − x = 0 ⇔ x = 0 + NÕu a < 0 th× - a > 2a. XÐt c¸c kho¶ng: x < 2a; 2a ≤ x < -a; x ≥ - a Ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm lµ x = - a. + NÕu a > 0 th× - a < 2a. XÐt c¸c kho¶ng: x < - a; - a ≤ x < 2a; x ≥ 2a. Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ x = - 7a; a. * Gi¶i ph¬ng tr×nh: x +

2a a + x

=

x

a2 x

(1)

Híng dÉn:

§KX§: x ≠ 0. Qui ®ång, khö mÉu ta ®îc(1) ⇔

{x

2

+ 2 a + x = a2

 x 2 + 2a ( x + a ) − a 2 = 0 ⇔ ⇔ x = - a (a ≠ 0) + Víi x ≥ - a th× (1)   x ≠ 0  x = −a ( Loai )  x 2 − 2a ( x + a ) − a 2 = 0 ⇔ + Víi x < - a th× (1) ⇔   x ≠ 0  x = 3a ( Voia < 0 )

Tãm l¹i: - NÕu a = 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. - NÕu a > 0 th× x = - a. - NÕu a < 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = - a; x = 3a. * Gi¶i ph¬ng tr×nh:

( a+b ) ba − x + x −

2

2

= x−

a 2 + b2 2

(1)

Híng dÉn: GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 45

a 2 + b2 §K: x 2 2 2 2 a +b  a+b  ≥ Mµ  ≥ ab nªn víi ®iÒu kiÖn trªn ta cã 2  2  ≥

2

2

a+b a 2 + b2 a 2 + b2  a+b ⇔ (1) ⇔ x - ab + x -  = x x = +ab    2 2  2   2  2

a 2 + b2 a 2 + b2  a+b ⇔ ⇔ a= ≥ gÝa trÞ nµy tho¶ m·n §K trªn   +ab 2 2  2 

b. VËy, Víi a ≠ b th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. Víi a = b th× S = {ab = a2 = b2}.

GV: Lª ThÞ HuyÒn Th¸nh T«ng

Trêng THCS Lª 46