Tai Lieu Boi Duong Hinh Hoc 8

Phßng gi¸o dôc & ®µo t¹o quÕ s¬n

Tµi liÖu båi dìng m«n h×nh häc 8 ( Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái )

Lu hµnh néi bé Kính Thầy giáo, Cô giáo giảng dạy bộ môn Toán cấp THCS trong toàn huyện !

Nhằm giúp qúy Thầy giáo, cô giáo có một tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh năng khiếu bộ môn toán của cấp Trung học cơ sở phù hợp, bộ phận chuyên môn Phòng GD&ĐT Quế Sơn trên cơ sở tham khảo ý kiến của các thầy cô giáo có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy bộ môn, biên soạn bộ tài liệu “ Tài

1

liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Bộ môn Toán - Cấp THCS”. “Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Hình Học 8 “ là tập tài liệu trong bộ tài liệu nói trãn.

Để có thể sử dụng bồi dưỡng ở cấp trường, tài liệu không chia thành các chuyên đề mà được phân bố theo chương trình của sách giáo khoa . Tuy vậy, để khỏi manh mún, các nội dung được trình bày theo chủ đề kiến thức chứ không theo từng bài . Nội dung hình học 8 được tài liệu phân thành sáu chủ đề sau : I. Tứ giác, hình thang. II. Hình bình hành . III. Hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông . IV. Đối xứng trục, đối xứng tâm . V. Định lý Thalet và tam giác đồng dạng . VI. Hệ thức lượng trong tam giác - Định lý Pitago. Với mỗi chủ đề kiến thức bài tập được phân thành sáu loại cơ bản : 1. Bài tập về vị trí tương đối của điểm, đường thẳng . - Chứng minh thẳng hàng . - Chứng minh song song, vuông góc . . . - Chứng minh đồng quy. 2. Bài tập về chứng minh bằng nhau . - Chứng minh sự bằng nhau của góc, đoạn thẳng . - Chứng minh một tam giác là cân, đều. Một tứ giác là hình thang cân ,hình bình hành, hình thoi, hình vuông . . . . 3. Bài tập tính toán . - Tính số đo góc, độ dài đoạn thẳng, các bài toán về diện tích . 4. Bài tập về quỹ tích , dựng hình . 5. Bài toán cực trị hình học . - Bài toán về bất đẳng thức, Xác định hình hình học để một đại lượng nào đó đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất . 6. Các bài toán tổng hợp . Có lẽ tập tài liệu chưa đáp ứng một cách đầy đủ những yêu cầu của quí thầy giáo, cô giáo. Bộ phận chuyên môn Phòng GD&ĐT Quế Sơn rất mong nhận được những ý kiến đóng góp chân thành để có thể sửa chữa bổ sung những gì còn thiếu sót. Hy vọng tập tài liệu giúp ích phần nào đó trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn Toán của quý thầy cô. Bộ phận chuyên môn THCS.

I. Tø gi¸c, h×nh thang : 1. Bµi tËp vÒ vÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®iÓm, ®êng th¼ng . Bµi to¸n 1a : Cho h×nh thang ABCD (AB//CD) trong ®ã ®¸y CD b»ng tæng hai c¹nh bªn BC vµ AD . Hai ®êng ph©n gi¸c cña hai gãc A ,B c¾t nhau t¹i K. Chøng minh C,D,K th¼ng hµng . 2

A

B

D

K

C

HD :

Gäi K lµ giao ®iÓm cña ph©n gi¸c gãc A víi DC .DÔ dµng chøng minh ®îc DAK c©n t¹i D. Tõ AD + BC = DC => CK = CB => CBK = CKB => CKB = KBA  BK lµ ph©n gi¸c cña gãc B .  §pcm. TIP : Bµi nµy cã thÓ c/m theo híng : - Gäi K lµ giao ®iÓm cña hai ph©n gi¸c c¸c gãc A vµ B . C/m KC + KD = DC => K thuéc DC => ®pcm . Bµi to¸n 1b : Cho tø gi¸c ABCD. Gäi A’B’C’D’ theo thø tù lµ träng t©m cña c¸c tam gi¸c BCD, ACD, ABD, ABC . Chøng minh r»ng c¸c ®êng th¼ng AA’, BB’, CC’,DD’ ®ång quy . B E

A

I

F

A’

C J

D HD : Gäi E,F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AC, BD ; I lµ trung ®iÓm cña EF ; J lµ trung ®iÓm cña A’C . - Tam gi¸c CAA’ cã EJ lµ ®êng trung b×nh nªn EJ//AA’. - Tam gi¸c FEJ cã AA’ qua trung ®iÓm A’ cña FJ vµ // víi EJ nªn AA’ qua trung ®iÓm I cña FE. - Hoµn toµn t¬ng tù chøng minh ®îc BB’, CC’,DD’ qua I - C¸c ®êng th¼ng trªn ®ång quy t¹i I . 2. Bµi tËp vÒ chøng minh b»ng nhau . Bµi to¸n 2a :

3

Cho tam gi¸c ABC trong ®ã AB < AC. Gäi H lµ ch©n ®êng cao kÎ tõ ®Ønh A. M,N,P lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB,AC,BC . Chøng minh r»ng tø gi¸c NMPH lµ h×nh thang c©n . HD : - MNHP lµ h×nh thang - MP = AC/2 ( §êng TB ) - HN = AC/2 ( §êng TT )  ®pcm

A N

M B

H

P

C

Bµi to¸n 2b : Cho tø gi¸c ABCD cã AD=BC. M,N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB vµ DC. §êng th¼ng AD c¾t ®êng th¼ng MN t¹i E. §êng th¼ng BC c¾t ®êng th¼ng MN t¹i F. Chøng minh AEM = BFM . E F A

M

B

I N

D

C

HD :

- Gäi I lµ trung ®iÓm cña BD. - Chøng minh tam gi¸c IMN c©n t¹i I ( IM = IN = AD/2=BC/2). - IM // DE vµ IN //CF  ®pcm . 3. Bµi tËp tÝnh to¸n . Bµi to¸n 3a : Cho tø gi¸c låi ABCD, hai c¹nh AD vµ BC kÐo dµi c¾t nhau t¹i E. Hai c¹nh AB vµ DC kÐo dµi c¾t nhau t¹i M. Hai ph©n gi¸c cña hai gãc CED vµ BMC c¾t nhau t¹i K . TÝnh gãc EKM theo c¸c gãc trong cña tø gi¸c . M A D K B

C 4

E

HD :

Trong tam gi¸c MKE ®îc MKE = 1800 - (KMD +KED+DME+DEM) DME+DEM = 1800 - D . KMD = (1800 - C - B)/2 KED = (1800 -A-B)/2 Thay vµo ta ®îc : MKE = 1800 -((1800-C-B +1800-A-B )/2 +1800-D) = (3600 -3600 +A+C+2B - 3600 +2D)/2 = (A+B+C+D+B+D-3600)/2= (B+D)/2 Bµi to¸n 3b : Cho h×nh thang ABCD. M,N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña hai ®¸y AD vµ BC. O lµ ®iÓm thuéc MN. Qua O kÎ ®êng th¼ng song song víi ®¸y h×nh thang . §êng th¼ng nµy c¾t AB,CD lÇn lît t¹i E,F. Chøng minh r»ng OE=OF . B E A

N O

C H

F

I M

D

HD : Chøng minh SBNMA = SNCDM (Do cã tæng hai ®¸y vµ chiÒu cao b»ng nhau ). Chøng minh SBEN=SNFC vµ SEAM = SFMD ®Ó ®îc SEMN =SFMN Tõ ®ã cã EH = FI ( víi EH, FI lÇn lît lµ hai ®êng cao cña hai tam gi¸c  OE =OF 4. Bµi tËp vÒ quü tÝch , dùng h×nh . Bµi to¸n 4a : Cho tø gi¸c låi ABCD . H·y dùng ®êng th¼ng qua ®Ønh A chia tø gi¸c thµnh hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng nhau . A

B I

D

M 5

C

E

Ph©n tÝch : Gi¶ sö AM lµ ®êng th¼ng cÇn dùng . LÊy ®iÓm E ®èi xøng víi D qua M. AE c¾t BC t¹i I . Cã : SADM = SABCM = SAME => SABI = SCEI  SABC = SEBC => BE// AC. C¸ch dùng : - Dùng ®êng chÐo AC. - Tõ B dùng ®êng th¼ng song song víi AC c¾t AC t¹i E. - LÊy M lµ trung ®iÓm cña DE. - AM lµ ®êng th¼ng cÇn dùng . TIP : Thùc chÊt cña phÐp dùng trªn lµ biÕn ®æi h×nh thang vÒ mét tam gi¸c t¬ng ®¬ng ( cã diÖn tÝch b»ng diÖn tÝch h×nh thang ). §Ó chuyÓn bµi to¸n vÒ bµi tËp dùng trung tuyÕn cña tam gi¸c . Sau ®©y lµ bµi tËp ¸p dông viÖc biÕn ®æi trªn . Bµi to¸n 4b : Cho tø gi¸c ABCD . I lµ ®iÓm bÊt kú cña AB . Qua I h·y dùng ®êng th¼ng chia tø gi¸c lµm hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng nhau . B A

I

F C

J E

D

Ph©n tÝch : Gi¶ sö ®· dùng ®îc IJ . Sö dông ph¬ng ph¸p biÕn ®æi vÒ tam gi¸c t¬ng ®¬ng .Ta cã c¸c bíc ph©n tÝch : X¸c ®Þnh ®iÓm F trªn tia DC sao cho SIJCB = SIJF . Lóc ®ã SBIC = SFIC .Suy ra BF//IC . X¸c ®Þnh ®iÓm E trªn tia CD sao cho SIJAD = SIJE . Lóc ®ã SAID = SEID .Suy ra AE//ID . Râ rµng J lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng EF . C¸ch dùng : - Qua A dùng ®êng th¼ng song song víi ID c¾t DC t¹i E. Qua B dùng ®êng th¼ng song song víi IC c¾t DC t¹i F. - Dùng J lµ trung ®iÓm cña EF . IJ lµ ®êng th¼ng cÇn dùng . 5. Bµi to¸n cùc trÞ h×nh häc .

6

Bµi to¸n 5a : Cho tø gi¸c låi ABCD . T×m ®iÓm M trong tø gi¸c ®ã sao cho MA + MB + MC +MD ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt . Gi¶i : C¸ch 1: Gäi O lµ giao ®iÓm hai ®êng chÐo . M ≡ O th× MA +MB +MC+MD ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt . ThËt vËy, M ≡ O ta cã : MA +MB +MC +MD = OA + OB + OC + OD = AC + BD . Víi M bÊt kú trong tø gi¸c ta cã : MA +MC ≥ AC MB + MD ≥ BD  MA +MB +MC +MD ≥ AC + BD.  MA +MB +MC +MD nhá nhÊt lóc M ≡ O D C¸ch 2 : Víi ba ®iÓm M; A; C ta cã : MA +MC ≥ AC . C DÊu “ =” x¶y ra lóc M∈[AC] M O Víi ba ®iÓm M; B; D cã MB + MD ≥ BD . DÊu “=” x¶y ra lóc M ∈ [BD]  MA + MB +MC +MD ≥ AC + BD A B DÊu “=” x¶y ra lóc M∈[AC] vµ M∈[BD]  M ≡ O ( Víi O lµ giao ®iÓm hai ®êng chÐo ) . Bµi to¸n 5b : Chøng minh r»ng ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh ®èi diÖn cña mét tø gi¸c låi kh«ng lín h¬n nöa tæng hai c¹nh cßn l¹i . Gi¶i : Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC ta cã : C MI = BC / 2 B IN = AD / 2 I  MI + IN = ( BC +AD)/ 2 M N L¹i cã víi ba ®iÓm M,I,N th× MI + IN ≥ MN  MN ≤ (BC + AD) / 2 =>®pcm . A II. H×nh b×nh hµnh : 1. C¸c bµi to¸n vÒ vÞ trÝ t¬ng ®èi : Bµi to¸n 1a :

7

D

Cho tam gi¸c ABC . O lµ mét ®iÓm thuéc miÒn trong cña tam gi¸c . Gäi D,E,F lÇn lît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB,BC,CA vµ L,M,N lÇn lîc lµ trung ®iÓm cña OA,OB,OC . Chøng minh EL, FM, DN ®ång quy . Gi¶i : Dùa vµo tÝnh chÊt cña ®êng trung b×nh chøng minh c¸c tø gi¸c LFEM , NEDL lµ h×nh b×nh hµnh . D  ®pcm

A L

F

O B

N

M

E

C

Bµi to¸n 1b : Chøng minh r»ng : trong mét tam gi¸c ba ®êng cao ®ång quy . A

M

B

N

C

H P

HD : - DÔ dµng chøng minh ba ®êng trung trùc trong mét tam gi¸c ®ång quy b»ng c¸ch dùa vµo tÝnh chÊt ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng . - Tõ ba ®Ønh cña tam gi¸c ABC ®ùng c¸c ®êng th¼ng song song víi c¹nh ®èi diÖn . C¸c ®êng th¼ng nµy ®«i mét c¾t nhau t¹i MNP . - C¸c tø gi¸c BCNA vµ BCAM lµ c¸c h×nh b×nh hµnh nªn HA lµ ®êng trung trùc cña MN . - Tam gi¸c MNP nhËn c¸c ®êng cao cña tam gi¸c ABC lµm c¸c ®êng trung trùc . - C¸c ®êng trung trùc cña tam gi¸c MNP ®ång quy hay c¸c ®êng cao cña tam gi¸c ABC ®ång quy .

8

2. C¸c bµi to¸n chøng minh sù b»ng nhau : Bµi to¸n 2a: Cho tø gi¸c ABCD. E,F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, CD. M,N,P,Q lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AF, CE, BF, DE. Chøng minh r»ng MN = PQ . HD :

C N P

B

M

E

F

Q D

A

Chøng minh tø gi¸c MNPQ cã hai ®êng chÐo giao nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng ( ChÝnh lµ trung ®iÓm cña EF ).

Bµi to¸n 2b : Cho tø gi¸c ABCD .Gäi E lµ trung ®iÓm cña AD, F lµ trung ®iÓm cña BC ; G lµ ®Ønh thø t cña h×nh b×nh hµnh CADG ; H lµ ®Ønh thø t cña h×nh b×nh hµnh CABH . a. Chøng minh BD // GH . G b. Chøng minh HD = 2EF . D

C

I

E

J

H

F

A

B HD : a. BDGH lµ h×nh b×nh hµnh do BH vµ DG cïng song song vµ b»ng AC =>®pcm .

9

b. Gäi I,J lÇn lît lµ trung ®iÓm cña CD vµ CH . Chøng minh EIJF lµ h×nh b×nh hµnh => ®pcm. 3. C¸c bµi tËp tÝnh to¸n : Bµi to¸n 3a : Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã ADC = 750 vµ O lµ giao ®IÓm hai ®êng chÐo . Tõ D h¹ DE vµ DF lÇn lît vu«ng gãc víi AB vµ BC . (E thuéc AB, F thuéc BC ) . TÝnh gãc EOF . A

E

B O C

D F

Cã O lµ trung ®iÓm cña DB . Tõ ®ã cã ®îc OE =OD=OB=OF (Quan hÖ trung tuyÕn ,c¹nh huyÒn ). EOD = 2EBO ( V× ∆EOB c©n t¹i O ). DOF = 2FBO ( V× ∆FOB c©n t¹i O ) Céng hai ®¼ng thøc trªn ®Ó ®îc : EOF = 2( EBO + OBF ) = EBF . Do EBF = ADC nªn EOF = 2ADC = 2.750 = 1500 .

Bµi to¸n 3b : Cho tam gi¸c ®Òu ABC. Mét ®êng th¼ng song song víi BC c¾t AB,AC lÇn lît t¹i D vµ E . Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ADE, I lµ trung ®iÓm cña CD. TÝnh sè ®o c¸c gãc cña tam gi¸c GIB . A D

G

K

E I C 10

B HD : Qua C kÎ ®êng th¼ng song song víi AB , ®êng nµy c¾t DE t¹i K. - Tø gi¸c DBCK lµ h×nh b×nh hµnh nªn BK c¾t DC t¹i trung ®iÓm I cña DC . - Chøng minh hai tam gi¸c DBG vµ EKG b»ng nhau . - Tõ ®ã cã ®îc GIB =900 vµ BGI = BGK/2 = DGE/2 - Cã DGE = 1200 ( Do ADE ®Òu ) nªn BGI = 600 vµ GBI = 300 . 4. C¸c bµi to¸n quü tÝch, dùng h×nh Bµi to¸n 4a : Cho tam gi¸c c©n ABC (AB=AC). Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm D, trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm E sao cho DA=CE. T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña DE khi D di ®éng trªn c¹nh AB . A E I D B

C

Bµi to¸n 4b : Cho gãc nhän xAy vµ O lµ ®iÓm thuéc miÒn trong cña gãc . Dùng trªn Ax ®iÓm M vµ trªn Ay ®iÓm N ®Ó : a. O lµ trung ®iÓm cña MN . b. OM =2ON. x Gi¶i : M O’ O

A N

y

a. C1 :( Dùa vµo kiÕn thøc vÒ h×nh b×nh hµnh ) Ph©n tÝch : Gäi O’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua O . Khi O lµ trung ®iÓm cña MN th× tø gi¸c AMO’N lµ h×nh b×nh hµnh . C¸ch dùng :

11

- Dùng O’ ®èi xøng víi A qua O. - Dùng ®êng th¼ng qua O’ song song víi Ay c¾t Ax t¹i M - Dùng ®êng th¼ng qua O’ song song víi Ax c¾t Ay t¹i N C2 :( Dùa vµo kiÕn thøc vÒ ®êng trung b×nh ) Ph©n tÝch : Khi O lµ trung ®iÓm cña MN th× ®êng th¼ng qua O song song víi Ay sÏ c¾t Ax t¹i trung ®iÓm cña AN . C¸ch dùng : - Dùng ®êng th¼ng qua O song song víi Ay c¾t Ax t¹i O1 . Trªn tia Ax dùng M sao cho O1 lµ trung ®iÓm cña AM. - T¬ng tù trong c¸ch dùng N . b. M

(x)

D O

A N

N1 (y)

HD : Xem O lµ träng t©m cña tam gi¸c => x¸c ®Þnh ®îc D lµ ch©n ®êng trung tuyÕn xuÊt ph¸t tõ A => Quy vÒ bµi to¸n 3a ®Ó gi¶i . 5. C¸c bµi to¸n cùc trÞ : Bµi to¸n 5a : Cho tam gi¸c ABC cã AM lµ ®êng trung tuyÕn . Chøng minh r»ng : AB + AC ≥ 2AM . Gi¶i : LÊy A1 lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua M ta cã : A ABA1C lµ h×nh b×nh hµnh .  BA1 = AC vµ AA1 = 2AM  AB +AC = AB + BA1 . B C L¹i cã : AB + BA1 > AA1 M  AB + AC > AA1 =2AM => ®pcm A1

12

Bµi to¸n 5b : Chøng minh r»ng, trong mét tam gi¸c trung tuyÕn øng víi c¹nh nhá h¬n th× lín h¬n . A M

N

B

I

H

C

D

KÎ ND //MC (D∈BC) ; NI //AB (I∈BC) DÔ dµng chøng minh ®îc : MC = ND. MN = BI =CD . Gi¶ sö AB NI HI HB < HD  NB < ND => NB < MC . Bµi to¸n 5c : Mét con kªnh cã hai bê song song. P,Q lµ hai ®iÓm cè ®Þnh n»m ë hai phÝa con kªnh. X¸c ®Þnh cÇu MN vu«ng gãc víi kªnh ®Ó ®o¹n ®êng ®i tõ P ®Õn Q nhá nhÊt . Q N

P’

M

P

HD : Dùng h×nh b×nh hµnh NMPP’ ta ®îc : PM + MN + NQ = PP’ + P’N + NQ Do PP’ = const . §Ó PM + MN + NQ nhá nhÊt th× P’N +NQ nhá nhÊt .  P’,N,Q th¼ng hµng .  DÔ dµng suy ra c¸ch dùng .

13

II . H×nh ch÷ nhËt, h×nh thoi , h×nh vu«ng : 1. Bµi tËp vÒ vÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®iÓm, ®êng th¼ng . Bµi to¸n 1a : Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD . KÎ BH vu«ng gãc víi AC. Gäi M lµ trung ®iÓm cña AH, K lµ trung ®iÓm cña CD. Chøng minh BM vu«ng gãc víi MK . C B I K

H A

M

D

HD : - KÎ MI // AB ( I thuéc BH ) - Chøng minh ICKM lµ h×nh b×nh hµnh => IC//MK - Chøng minh I lµ trùc t©m cña tam gi¸c CBM => CI vu«ng gãc víi BM  MK vu«ng gãc víi BM. Bµi to¸n 1b : Cho tam gi¸c ABC cã AD lµ ®êng cao . VÒ phÝa ngoµi cña tam gi¸c dùng c¸c h×nh vu«ng ABEF vµ ACGH . Chøng minh r»ng AD,BG,CE ®ång quy . I H

F A

E B

14

D

G

C HD: Dùng h×nh b×nh hµnh FAHI .Chøng minh hai tam gi¸c ABC vµ HIA b»ng nhau ®Ó ®îc : IAH = BCA . IA = BC Tõ IAH = BCA chøng minh IAD th¼ng hµng .Hay ID lµ ®êng cao cña tam gi¸c IBC . Tõ IA = BC cïng víi IAH = BCA chøng minh hai tam gi¸c IAC vµ BCG b»ng nhau . §îc CBG = AIC cïng víi IA vu«ng gãc víi BC ®îc BG vu«ng gãc víi IC T¬ng tù chøng minh ®îc CE vu«ng gãc víi IB .  ®pcm ( TÝnh chÊt ba ®êng cao trong tam gi¸c ) 2. Bµi tËp vÒ chøng minh b»ng nhau . Bµi to¸n 2a : Cho h×nh vu«ng ABCD . Gäi M,N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB,AD . BN, CM c¾t nhau t¹i P. Chøng minh r»ng DP =AB . M A B N

I

P

D

C

HD : Gäi I lµ giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng BN vµ CD . DÔ dµng chøng minh ®îc IC = 2AB. Hai tam gi¸c MCB vµ NBA b»ng nhau ®ång thêi AB vu«ng gãc víi BC nªn CM vu«ng gãc víi NB . Tam gi¸c vu«ng PIC cã PD lµ trung tuyÕn nªn PD = IC/2 = AB ( ®pcm ) Bµi to¸n 2b: Cho h×nh vu«ng ABCD . VÒ phÝa trong cña h×nh vu«ng dùng tam gi¸c c©n FAB (FA=FB) sao cho FAB = 150 . Chøng minh tam gi¸c FDC lµ tam gi¸c ®Òu . D C

HD : C1 :

Dùng vÒ phÝa ngoµi cña tam gi¸c tam gi¸c ®Òu ABF’. C¸c tam gi¸c FAF’ vµ FBF’ b»ng nhau tõ ®ã chøng minh ®îc tam gi¸c FAF’ c©n t¹i F’ (Hai gãc ®¸y A b»ng 750 ) => FF’ = F’A = AB.

15

I

F J

B

Tø gi¸c ADFF’ cã DA song song vµ b»ng FF’ nªn nã lµ h×nh b×nh hµnh .  DF = F’A = AB T¬ng tù còng cã CF = F’B = AB F’  Tam gi¸c FDC ®Òu C2 : Dùng I phÝa trong tam gi¸c sao cho IBC =ICB =150 . CI c¾t FB t¹i J. Cã : BI = BF (Do c¸ch dùng ) vµ FBI = 900 -(150 +150 ) = 0 60 . nªn tam gi¸c FBI ®Òu . IJB = 150 + 150 = 300 nªn CJ lµ trung trùc cña FB => CF = CB. T¬ng tù ta còng cã DF = DA =>®pcm . 3. Bµi tËp tÝnh to¸n . Bµi to¸n 3a : Cho h×nh vu«ng ABCD . E lµ ®iÓm bÊt kú trªn AB. Ph©n gi¸c cña gãc CDE c¾t BC t¹i K . Chøng minh r»ng CK + EA = DE Gi¶i : B

K

C

E’

E D

A

HD : Trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm E’ sao cho CE’ = AE . Chøng minh ®îc hai tam gi¸c ADE vµ CDE’ b»ng nhau ®Ó ®îc : - DE’ = DE (1) - EDA = E’DC (2) Cã DK lµ ph©n gi¸c gãc EDC vµ (2) . Chøng minh ®îc KDE’ = KDA L¹i cã : KDA = E’KD  Tam gi¸c E’DK c©n t¹i E’  E’D = E’K  DE = E’K = AE + KC ®pcm ) Bµi to¸n 3b :

16

Cho h×nh vu«ng ABCD . LÊy c¸c ®iÓm E,F thø tù thuéc c¸c c¹nh AD,AB sao cho AE=AF . Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn BE . TÝnh gãc CHF B F A

O H

E D

K

C

HD : Gäi K lµ giao ®iÓm cña AH víi DC . O lµ giao ®iÓm cña BK vµ FC . - Chøng minh ®îc FBCK lµ h×nh ch÷ nhËt . - Tam gi¸c vu«ng BHK cã HO lµ trung tuyÕn nªn HO = BK/2 = FC/2 - Tam gi¸c FHC cã trung tuyÕn HO b»ng nöa FC nªn nã vu«ng t¹i H. Hay gãc FHC = 900 . 4. Bµi tËp vÒ quü tÝch , dùng h×nh . Bµi tËp 4a : Dùng h×nh vu«ng ABCD biÕt t©m O cña h×nh vu«ng, ®iÓm M thuéc c¹nh AD vµ ®iÓm N thuéc c¹nh BC .

A M N’

E

B N

O M’

D F

C

HD : Ph©n tÝch : Gi¶ sö h×nh ®· dùng ®îc ta cã : - §iÓm ®èi xøng cña M qua O thuéc c¹nh BC (M’) . - §iÓm ®èi xøng cña N qua O thuéc c¹nh AD (N’). - §êng th¼ng qua O vu«ng gãc víi MM’ c¾t AB ë E vµ DC ë F. DÔ dµng chøng minh ®îc OE =OF =OM C¸ch dùng :

17

- Dùng M’ ®èi xøng víi M qua O . - Dùng N’ ®èi xøng víi N qua O . - Dùng ®êng th¼ng d vu«ng gãc víi MM’ . Trªn d lÊy E,F sao cho OE=OF= OM . - Dùng c¸c ®êng th¼ng MN’, NM’ - Qua E dùng ®êng th¼ng vu«ng gãc víi MN’ c¾t MN’ t¹i A vµ NM’ t¹i B - Qua F dùng ®êng th¼ng vu«ng gãc víi MN’ c¾t MN’ t¹i D, vµ NM’ t¹i C - ABCD lµ h×nh vu«ng cÇn dùng . ....... TIP : Thay ®æi viÖc cho c¸c ®iÓm M,N ta cã nhiÒu bµi tËp xung quanh bµi tËp nµy . Bµi to¸n 4b : Cho ®o¹n th¼ng AB vµ mét ®iÓm C trªn ®o¹n th¼ng ®ã .Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê AB dùng c¸c h×nh vu«ng ACDE vµ CBGH . C¸c h×nh vu«ng nµy cã t©m lÇn lît lµ O1,O2 . T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña O1O2 khi C ch¹y trªn AB . HD :

E

D

H¹ O1M,IJ,O2N vu«ng G gãc víi AB I H O1 O1MNO2 lµ h×nh thang cã IJ lµ ®êng O2 trung b×nh nªn IJ = (O1M +O2N)/2 = (AC + CB)/ 4 =const A M J C NB  I di chuyÓn trªn phÇn ®êng th¼ng song song víi AB c¸ch AB mét ®o¹n b»ng AB/4. Bµi to¸n cùc trÞ h×nh häc . Bµi to¸n 5a : Cho h×nh vu«ng ABCD Tø gi¸c MNPQ néi tiÕp h×nh vu«ng (cã bèn ®Ønh n»m trªn bèn c¹nh cña h×nh vu«ng). T×m ®iÒu kiÖn cña tø gi¸c MNPQ ®Ó nã cã chu vi nhá nhÊt . Gi¶i : B N C Gäi E,F,G lÇn lît lµ trung ®iÓm cña MN; NQ; PQ ta cã : MN = 2BE. E F NP = 2GF. G P QM = 2EF M QP = 2GD

18

A Q D  MN + NP +PQ+QM = 2(BE +EF+FG+GD) ≥ 2BD DÊu “ =” x¶y ra lóc E,F,G ∈ BD . E ∈ BD => MN//AC => ∆MBN vu«ng c©n t¹i B G∈ BD => PQ//AC => ∆PDQ vu«ng c©n t¹i D Tõ (1) vµ F∈ BD => NM =PQ Tø gi¸c MNPQ tho¶ ba ®iÒu kiÖn trªn th× cã(1) chu vi nhá nhÊt . Bµi to¸n 5b : Cho tam gi¸c vu«ng t¹i A. M lµ ®iÓm bÊt kú thuéc BC . D,E lÇn lît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M lªn AB, AC . X¸c ®Þnh M ®Ó DE nhá nhÊt, lín nhÊt . A Gi¶i : Tø gi¸c ADME lµ h×nh ch÷ nhËt . DE = AM . D E  B M C a. §Ó DE nhá nhÊt th× AM vu«ng gãc víi BC . b. §Ó DE lín nhÊt NÕu AB >AC th× M ≡ B NÕu AC >AB th× M ≡ C NÕu AB =AC th× M ≡ B hoÆc M ≡ C . Bµi to¸n 5c : Cho h×nh vu«ng ABCD ; M lµ ®iÓm bÊt kú trªn c¹nh AB . §êng vu«ng gãc víi CM t¹i C c¾t ®êng th¼ng AB t¹i K . T×m vÝ trÝ cña M ®Ó ®o¹n MK cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . Gi¶i : Gäi I lµ trung ®iÓm cña MKA M B I K MK = 2CI (quan hÖ trung tuyÕn c¹nh huyÒn ) D C §Ó MK nhá nhÊt => CI nhá nhÊt => I ≡ B . Lóc ®ã CI võa lµ trung tuyÕn võa lµ ®êng cao => MCK vu«ng c©n .  MCB = 450 => M ≡ A . Bµi to¸n 5d : Cho ®o¹n th¼ng AB = a. C lµ ®iÓm bÊt kú trªn AB . VÏ c¸c h×nh vu«ng ACDE; CBFG . X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm C ®Ó tæng diÖn tÝch hai h×nh vu«ng trªn ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt .

19

G Gi¶i : §Æt AC = x => CB = a-x . SACDE + SCBFG = x2 + (a-x)2 = 2(x -a/2)2 + a2/2 ≥ a2/2 DÊu “=” x¶y ra lóc x =a/2 .  C lµ trung ®iÓm cña AB

F

E A

D C

B

6. C¸c bµi to¸n tæng hîp Bµi to¸n 1b : Cho tam gi¸c ABC . VÒ phÝa ngoµi cña tam gi¸c dùng c¸c h×nh vu«ng ABGH , ACEF vµ BCIJ. Gäi O 1,O2, O3 lÇn lît lµ t©m c¸c h×nh vu«ng . M lµ trung ®iÓm cña BC, D lµ trung ®iÓm cña HF. a. Chøng minh O1MO2 lµ tam gi¸c vu«ng c©n . b. Tø gi¸c DO1MO2 lµ h×nh vu«ng . c. Chøng minh HF = 2AM . d. Chøng minh AD vu«ng gãc víi BC vµ AM vu«ng gãc víi HF e. Chøng minh O1O2 = AO3 . P D

H

F

Q A O1

O2

K

G B

E C

NM O3 A’

J

I

HD : a. Chøng minh hai tam gi¸c HAC vµ BAC b»ng nhau ®Ó ®îc : - HC = BF -AHC = ABF cïng víi AH vu«ng gãc víi AB ®îc HC vu«ng gãc víi BF . 20

O1M vµ O2M lÇn lît lµ hai ®êng trung b×nh cña hai tam gi¸c BHC vµ BCF nªn : - O1M song song vµ b»ng nöa HC; O2M song song vµ b»ng nöa BF KÕt hîp c¸c kÕt luËn trªn ®Ó ®îc ®iÒu cÇn chøng minh . b. Tø gi¸c DO1MO2 lµ h×nh vu«ng . T¬ng tù ta chøng minh ®îc O1DO2 lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i D tõ ®ã suy ra ®pcm. c. Gäi A’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua M .Ta chøng minh ®îc BA’ song song vµ b»ng AC => BA’ vu«ng gãc vµ b»ng AF . L¹i cã BA vu«ng gãc vµ b»ng AH nªn hai tam gi¸c HAF vµ ABA’ b»ng nhau => HF = AA’ = 2AM. d. H¹ HP vµ FQ vu«ng gãc víi ®êng cao tõ AN cña tam gi¸c ABC. -Chøng minh hai tam gi¸c HQA vµ ANB b»ng nhau => HQ=AN -Chøng minh hai tam gi¸c FPA vµ ANC b»ng nhau => FP=AN  HQ = FP Tõ ®ã chøng minh HQFP lµ h×nh b×nh hµnh => AN qua trung ®iÓm D cña HF. Víi tam gi¸c AHF ta cã ®iÒu ngîc l¹i AM vu«ng gãc víi HF . e. Gäi K lµ trung ®iÓm cña AC ta cã : KA = O2K O 1K = O 3K O1KO2 = AKO3  Hai tam gi¸c O1KO3 , O3KA b»ng nhau  §pcm III . §èi xøng trôc vµ ®èi xøng t©m : 1. Bµi tËp vÒ vÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®iÓm, ®êng th¼ng . Bµi to¸n 1a : Cho tam gi¸c nhän ABC cã AH lµ ®êng cao . Gäi E,F lÇn lît lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua c¸c c¹nh AB,AC . Gäi M,N lÇn lît lµ giao ®iÓm cña EF víi AB,AC. Chøng minh r»ng MC ⊥ AB vµ NB ⊥ AC . Gi¶i : F A N Tam gi¸c MNH cã AM,AN lµ ph©n gi¸c ngoµi cña hai gãc M,N nªn AH lµ M ph©n gi¸c cña gãc MNH E Do CH ⊥ AH nªn CH lµ ph©n gi¸c B ngoµi cña gãc MNH. H C Tam gi¸c MNH cã CN,CH lµ ph©n gi¸c ngoµi cña hai gãc N,H nªn CM lµ ph©n gi¸c trong cña gãc HMN .  CM ⊥ MB ( V× MB lµ ph©n gi¸c ngoµi cña HMN ) .Hay CM ⊥ AB . T¬ng tù chøng minh ®îc NB ⊥ AC

21

Bµi to¸n 1b : Cho tam gi¸c ABC vµ P lµ ®iÓm bÊt kú . Gäi M,N,Q lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB,AC,BC . Gäi A’,B’,C’ lÇn lît lµ ®iÓm ®èi xøng cña P qua Q,N,M . Chøng minh AA’,BB’,CC’ ®ång quy . Gi¶i : A C’

B’

P B

C

Chøng minh ABA’B’ lµ h×nh b×nh hµnhA’: C¸c ®o¹n th¼ng AB’ vµ BA’ cïng song song vµ b»ng PC . T¬ng tù chøng minh ®îc C’ACA’ lµ h×nh b×nh hµnh  ®pcm 2. Bµi tËp vÒ chøng minh b»ng nhau . Bµi to¸n 2a : Cho gãc nhän xOy cã Ot lµ tia ph©n gi¸c . M lµ ®iÓm thuéc miÒn trong cña gãc . M1, M2 lÇn lît lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua Ox vµ Oy . a. Chøng minh O thuéc ®êng trung trùc cña M1M2 . b. Gäi Oz lµ tia thuéc ®êng trung trùc M1,M2 .Chøng minh r»ng x MOx nhËn Ot lµm ph©n gi¸c . M 1

Gi¶i : a. M1O = MO M2O =MO  M 1O = M 2O  O thuéc ®êng trung trùc cñaO®o¹n th¼ng M1M2 b. Cã zOM2 = zOM1 = xOy  zoy + yOM2 = zOy + yOM = xOy  zOy + zOy + xOM = xOy  zOy = Mox  MOt = tOz ( Do xOt = tOy )  Ot lµ tia ph©n gi¸c cña gãc MOz . 4. Bµi tËp vÒ quü tÝch , dùng h×nh . Bµi to¸n 4a :

22

M

t z y

M2

Mét con kªnh cã hai bê song song. P,Q lµ hai ®iÓm cè ®Þnh n»m ë hai phÝa con kªnh. X¸c ®Þnh cÇu MN vu«ng gãc víi kªnh ®Ó ®o¹n ®êng ®i tõ P ®Õn N b»ng ®o¹n ®êng tõ Q ®Õn M (N n»m bê kªnh phÝa P vµ M n»m bê kªnh phÝa Q) . Q d M N

P’

P HD : PT : - Gi¶ sö dùng ®îc P . Gäi P’ lµ ®Ønh thø t cña h×nh b×nh hµnh PNMP’ .Lóc ®ã PN = P’M => P’M=MQ => M thuéc trung trùc cña P’Q . CD : -Dùng P’ sao cho PP’ vu«ng gãc víi bê kªnh vµ chiÒu dµi cña PP’ b»ng chiÒu réng cña bê kªnh . - Dùng trung trùc (d) cña P’Q . d c¾t bê kªnh phÝa Q t¹i M . Tõ ®ã dùng N . Bµi to¸n 4b : Dùng tø gi¸c ABCD biÕt DA=AB=BC vµ biÕt ba trung ®iÓm E,F,G cña DA,AB, BC. (d1) (d2) A

F

B G

E

HD :

C

D

A n»m trªn ®êng trung trùc cña EF .B n»m trªn ®êng trung trùc cña FG . CÇn x¸c ®Þnh AB lÇn lît trªn hai ®êng nµy ®Ó AB nhËn F lµm trung ®iÓm . Bµi to¸n ®îc quy vÒ bµi to¸n 3a . Bµi to¸n 4c : Cho tam gi¸c ABC , P lµ ®iÓm n»m trong tam gi¸c . Dùng M trªn AB, N trªn AC ®Ó tam gi¸c MPN c©n t¹i P vµ MN // BC . A HD : Gi¶ sö h×nh dùng ®îc , lóc ®ã M ®èi xøng víi N qua trôc lµ ®êng th¼ng (d) qua P vu«ng gãc víi MN . Do MN//BC nªn (d) vu«ng gãc

23

M

N

víi BC . P §êng th¼ng ®èi xøng víi ®êng C B th¼ng AB qua trôc (d) c¾t ®êng th¼ng AC t¹i N . Nªn cã c¸ch dùng : - Dùng (d) qua P vµ vu«ng gãc víi BC . - Dùng ®êng th¼ng ®èi xøng víi ®êng th¼ng AB qua trôc (d) ,®êng th¼ng nµy c¸t ®êng th¼ng AC t¹i N . - Dùng M ®èi xøng víi N qua (d) - Tam gi¸c PMN lµ tam gi¸c cÇn dùng . 5. Bµi to¸n cùc trÞ h×nh häc . Bµi to¸n 5a : ( Bµi to¸n con chim ) Trong mÆt ph¼ng P cho ®êng th¼ng d hai ®iÓm A,B n»m cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê . X¸c ®Þnh trªn d ®iÓm M sao cho MA + MB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt . Gi¶i : a. Trêng hîp A,B n»m ë mét nöa mÆt ph¼ng : B Gäi A1 lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua trôc (d) A MA +MB = MA1 + MB ≥ A1B . DÊu “ =” x¶y ra lóc M∈[A1B]. (d)  M lµ giao ®iÓm cña A1B vµ d . M TIP : Thay ®æi vÞ trÝ t¬ng ®èi cña A,B so víi d ta ®îc mét sè bµi to¸n kh¸c cÇn gi¶i quyÕt A1 Bµi to¸n 5b : Cho hai ®iÓm cè ®Þnh A,B cïng n»m trªn mÆt ph¼ng bê d. T×m trªn d hai ®iÓm M,N sao cho : - MN = l cho tríc . - Tø gi¸c BNMA cã chu vi nhá nhÊt . B’ B A

M A’

Bµi to¸n 5c :

24

d N

Cho gãc nhän xOy vµ mét ®iÓm M thuéc miÒn trong cña gãc. X¸c ®Þnh trªn Ox ®iÓm A vµ trªn Oy ®iÓm B sao cho tam gi¸c MAB cã chu vi nhá nhÊt . Gi¶i : M1 Gäi M1, M2 lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña M qua trôc Ox; Oy . A M MA + AB +BM = M1A +AB +BM2 ≤ M1M2 DÊu “=” x·y ra khi A,B ∈ M1M2 . O  A lµ giao ®iÓm cña M1M2 víi Ox. B B lµ giao ®iÓm cña M1M2 víi Oy M2 TIP: B»ng c¸ch rµng buéc thªm c¸c ®iÒu kiÖn cña ®iÓm M : M ch¹y trªn mét ®o¹n th¼ng; ch¹y trªn mét ®êng trßn n»m trong gãc xOy ;Tæng OA + OB kh«ng ®æi; Thay ®æi gãc xOy; Thay ®æi ®¹i lîng cÇn tÝnh cùc trÞ . . . . chóng ta sÏ ®îc hµng lo¹t c¸c bµi to¸n kh¸c . Bµi to¸n 5d : Cho gãc nhän xOy vµ hai ®iÓm AB thuéc miÒn trong cña gãc ®ã . T×m c¸c ®iÓm C,D lÇn lîc thuéc Ox vµ Oy sao cho ®êng gÊp khóc ACDBA cã ®é dµi nhá nhÊt . Gi¶i : LÊy A1 ®èi xøng víi A qua Ox; B1 ®èi xøng víi B qua Oy. Do AB cè ®Þnh nªn ®êng gÊp khóc ACBD cã ®é dµi nhá nhÊt lóc AC + CD + DB nhá nhÊt . Cã AC +CD +DB = A1C + CD +DB1 ≥ A1A2 . DÊu ”=” x¶y ra lóc C,D ∈[A1B1].  C lµ giao ®iÓm cña A1B1 víi Ox vµ D lµ giao ®iÓm cña A1B1 víi Oy B1 D

B

O

A C A1

Bµi to¸n 5e : Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän. M lµ ®iÓm thuéc c¹nh BC. I,J lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña M xuèng hai c¹nh AB, AC .M1, M2

25

lÇn lît lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua AB,AC . E,F lÇn lît lµ giao ®iÓm cña M1M2 víi AB,AC . X¸c ®Þnh M a. §Ó IJ nhá nhÊt; lín nhÊt . b. §Ó tam gi¸c MEF cã chu vi nhá nhÊt . A M2 Gi¶i : F M1 E J I B M C a.

2IJ = M1M2 . AM1 =AM=AM2 . M1AM2 =2BAC = CONST. IJ min (max) <=> M1M2 min (max) <=> AM1 min (max) <=> AM min (max) . AM nhá nhÊt khi AM ⊥ BC . AM lín nhÊt khi AM = Max(AB,AC ) b. Chu vi tam gi¸c MEF = MF + ME +EF = M1M2 .  §Ó chu vi tam gi¸c MEF nhá nhÊt th× M lµ ch©n ®êng cao tõ A xuèng BC. theo bµi to¸n 1a th× E,F còng lµ ch©n cña hai ®êng cao cßn l¹i V. §Þnh lý Thalet 1. Bµi tËp vÒ vÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®iÓm, ®êng th¼ng . Bµi to¸n 1a : Cho tø gi¸c låi ABCD . KÎ hai ®êng th¼ng song song víi AC . §êng th¼ng thø nhÊt c¾t c¸c c¹nh BA,BC lÇn lît t¹i G vµ H. §êng th¼ng thø hai lÇn lît c¾t c¸c c¹nh DA,DC lÇn lît t¹i E vµ F .Chøng minh r»ng GE,HF,BD ®ång quy . I Gi¶i :

Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD . M,N lÇn lît lµ giao ®iÓm cña GH vµ EFE víi BD . A AC ) Ta cã : EN =FN ( Do EF// AO OC EN OA = G  FN OC T¬ng tù ta còng cã :

D N O M B

GM OA = GH OC GM HM 26

F

H

C



EN FN

=

 §pcm ( Do EF // GH ) theo ®Þnh lý ®¶o Bµi to¸n 1b : ( Tæng qu¸t bµi to¸n 1a/ II) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD . Gäi H lµ ch©n ®êng vu«ng gãc BM BH tõ A xuèng BD . M,N theo thø tù lµ c¸c ®iÓm vµ CD sao cho : = CN CD BH . Chøng minh r»ng AM vu«ng gãc víi MN D

A

HD : - Chøng minh hai tam gi¸c vu«ng N M H ABH vµ ACD ®ång d¹ng . -Sö dông gt : BM = CN BH CD B C ®Ó chøng minh hai tam gi¸c ABM vµ ACN ®ång d¹ng ®Ó ®îc : AM = AN AB AC Vµ BAM = CAN => MAN = BAC .  Hai tam gi¸c MAN vµ BAC ®ång d¹ng  AMN = ABC = 900 ( ®pcm ) 2. Bµi tËp vÒ chøng minh b»ng nhau . Bµi to¸n 2a : Cho h×nh thang ABCD (AB // CD ). Hai ®êng chÐo AC vµ BD c¾t nhau t¹i I . Qua I kÎ ®êng th¼ng song song víi hai ®¸y c¾t AD t¹i E vµ c¾t BC t¹i F . 1 a. Chøng minh :1 = 1 + IF AB CD b. Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña EF. Gi¶i : IF = FC Cã : AB BC IF = BF CD BC

A E

B I

D Céng hai ®¼ng thøc trªn ta ®îc : BF + FC IF + IF =1 = BC AB CD  §pcm .

27

F C

1 1 1 b. Hoµn toµn t¬ng tù ta còng cã = : + IE AB CD  IF = EF  §pcm . Bµi to¸n 2b : Cho h×nh thang c©n ABCD (AD//BC ) . Gäi M,N lµ trung ®iÓm cña BC vµ AD . Trªn tia ®èi cña tia AB lÊy ®iÓm P bÊt kú . PN c¾t BD t¹i Q. Chøng minh MN lµ tia ph©n gi¸c cña gãc PMQ . P

HD : A

I

N K

D

Q

C M B P Gäi I,K,P lÇn lît lµ giao ®iÓm cña AD víi PM , AD víi MQ, PQ víi BC . - DÔ dµng chøng minh ®îc MN vu«ng gãc víi AD . - Cã : IN/MP = IA/BM = AN/BP NK/MP = KD/BM = ND/BP Do AN =ND nªn ®îc : IN/MP = NK/MP => IN=NK Tam gi¸c IMK cã MN võa lµ trung tuyÕn võa lµ ®êng cao nªn nã lµ ph©n gi¸c ( ®pcm ) 3. Bµi tËp tÝnh to¸n . Bµi to¸n 3a : Cho h×nh thang ABCD (AB//CD ) .I lµ giao ®iÓm cña AC víi BD . Gäi S1, S2 lÇn lît lµ diÖn tÝch c¸c tam gi¸c IAB vµ IAD . TÝnh diÖn tÝch h×nh thang theo S1, S2 . Gi¶i : SIBC = S2 . B A Gäi S3 lµ diÖn tÝch tam gi¸c S1 IDC . Ta cã : S 2 S3 = ID2 I S1 IB2 S3 S2 = ID D C S1 IB .

28

S3 = S2 2 S1 S12  . =S3 S=2 S1

2

(S1+S2 S 2  . SABCD = S1 + 2S22 + = 2 S1 ) S1 Bµi to¸n 3b : Cho tam gi¸c ABC cã ¢ = 2 B . Cho AB = c ,AC =b . TÝnh BC 2 theo b,c . A

B

I

C

Gäi AI lµ ph©n gi¸c cña tam gi¸c . Ta cã : IC/IB = AC/AB  IC = IB . AC/AB (1) L¹i cã hai tam gi¸c ABC vµ IAC ®ång d¹ng nªn : IC/AC = AC/BC  IC = AC2/BC (2) Tõ (1) vµ (2) ta ®îc IB = AC.AB/BC Cã BC = IB +IC = (AC2 + AC.AB ) /BC  BC2 = AC( AC + AB )  BC2 = b(b+c )

4. Bµi tËp vÒ quü tÝch , dùng h×nh . Bµi to¸n 4b : Cho tam gi¸c ABC. I lµ ®iÓm n»m trong tam gi¸c . M lµ ®iÓm thay ®æi trªn c¹nh BC . C¸c ®êng th¼ng qua M song song víi BI vµ CI theo thø tù c¾t AC vµ AB t¹i N vµ P . Dùng h×nh b×nh hµnh MNQP. T×m tËp hîp ®iÓm Q . Gi¶i : Gäi K lµ giao ®iÓm CI víi AB ; H lµ giao ®iÓm cña BI vµ AC .

29

Qua N kÎ ®êng th¼ng song song víi KC c¾t KH t¹i Q. Qua P kÎ ®êng th¼ng song song víi HB A c¾t KH t¹i Q’ . QH NM M Ta cã : = = QK NC B H Q Q’H M = PB= Q’K PK B K N M P . I QH = Q’H . C B M Q’K  Q ≡QK Q’ Theo c¸ch vÏ vµ kÕt qu¶ trªn ta ®îc QMNP lµ h×nh b×nh hµnh . Q ∈ KH .Hay tËp hîp c¸c ®iÓm Q lµ ®o¹n KH . §¶o : T¬ng tù phÇn thuËn víi ®iÓm xuÊt ph¸t lµ Q ∈ KH .Chøng minh M thuéc BC . Bµi to¸n 4b : Cho gãc xOy vµ mét ®êng th¼ng d bÊt kú c¾t hai c¹nh cña gãc . T×m ®o¹n th¼ng AB (A ∈ Oy; B∈ Ox ) sao cho AB vu«ng gãc víi d vµ cã trung ®iÓm I n»m trªn d . Gi¶i : (d) Gi¶ sö ®· dùng ®îc AB . A F Gäi E lµ giao ®iÓm cña d víi Ox Tõ E kÎ ®êng th¼ng song song M M I víi AB c¾t OI t¹i M, c¾t Oy t¹i F Ta cã : EF vu«ng gãc víi d. E ME = MF . B C¸ch dùng : Qua E dùng d’ vu«ng gãc víi d c¾t Oy t¹i F . Dùng trung ®iÓm M cña EF. Dùng I lµ giao ®iÓm cña OM víi d. Qua I dùng ®êng th¼ng vu«ng gãc víi d c¾t Ox t¹i B vµ c¾t Oy t¹i A . AB lµ ®o¹n th¼ng cÇn dùng . 5. Bµi to¸n cùc trÞ h×nh häc . Bµi to¸n 5a : Cho gãc nhän xOy vµ ®iÓm M thuéc miÒn trong cña gãc . H·y dùng qua M mét c¸t tuyÕn c¾t hai c¹nh cña gãc xOy t¹i A vµ B sao cho

30

1 + 1 . MA MB Gi¶i :

®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt

N VÏ : MN // Oy ON // AB P MN c¾t Ox t¹i P . KÎ PQ //AB (Q ∈OM) 1 + 1 O = 1 + 1= 1 Q MA MB MA PQ ON 1 + 1 . lín nhÊt th× PQ nhá nhÊt . §Ó MA MB

A M B

Do OM, P cè ®Þnh nªn PQ nhá nhÊt khi PQ ⊥ OM . Lóc ®ã AB ⊥ OM Bµi to¸n 5b : Cho gãc nhän xOy . M lµ ®iÓm thuéc miÒn trong cña gãc . §êng th¼ng d quay xung quanh M c¾t Ox, Oy theo thø tù t¹i A,B . T×m vÞ trÝ cña d sao cho OA+OB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt .

A X O

M Y B

HD :

OA + OB = OX +OY + XA + YB Do OX + OY kh«ng ®æi nªn OA +OB nhá nhÊt khi XA + YB nhá nhÊt . L¹i cã : hai tam gi¸c AXM vµ YMB ®ång d¹ng nªn : XA = XM. YM YB    

XA.YB = YM .XM = const XA + YB nhá nhÊt khi XA = YB hai tam gi¸c AXM vµ YMB b»ng nhau M lµ trung ®iÓm cña AB . Dùng A,B nh bµi 4b/II

31

6. Bµi to¸n tæng hîp . Bµi to¸n 6a : Cho tam gi¸c ABC cã G lµ träng t©m . M lµ ®iÓm bÊt kú trong tam gi¸c . Gäi A1, B1, C1 lÇn lît lµ giao ®iÓm cña AM víi BC; BM víi AC; CM víi AB .§êng th¼ng GM c¾t AB,AC,BC lÇn lît ë C2 , B2 , A2 . MA 1

AA1 1 MC a. Chøng minh : + MB+ =1 BB11 MA MB1 MC b. Chøng minh : 1 + + CC1 =3 GA1 GB1 1 GC 1 c. Chøng minh : + 1= GA2 GB2 GC2 Gi¶i :

A

C2 G

M

B2

C B M 1 A1 A2 D a. MA1/AA1 = MM1/AD = SMBC /SABC . T¬ng tù cã MB1/BB1 = SMAC/SABC MC1/CC1 = SMAB/SABC . Céng c¸c ®¼ng thøc trªn ta ®îc : MA1/AA1 + MB1/BB1 +MC1/CC1 = (SMBC +SMAC +SMAB)/SABC = 1 (®pcm ) b. Qua G kÎ ®êng th¼ng song song víi AA1 c¾t BC t¹i M2 . Cã GM2/ AA1 = 1/3 => AA1 =3GM2 . MA2/GA2 = MA1/GM2 = 3MA1/AA1 . T¬ng tù ta còng cã MB2/GB2 = 3MB1/BB1. MC2/GC2 = 3MC1/CC1 Céng c¸c ®¼ng thøc trªn ta ®îc : MA2/GA2 +MB2/GB2 +MC2/GC2 = 3( MA1/AA1 + MB1/BB1 +MC1/CC1) = 3 ( Theo c©u a ) A c. Qua G kÎ c¸c ®êng th¼ng song song víi BC,AC. C¸c ®êng th¼ng G2 nµy c¾t AB lÇn lît ë G1,G2 . DÔ dµng cã AG2 = G1B = AB/3 C2 G B2 AG2 =G2G1 = G1B = AB/3 G1 A2 GC2/GA2 = C2G1/G1B = 3C2G1/AB C B 32

GC2/GB2 =C2G2/G2A = 3G2C2/AB Céng hai ®¼ng thøc trªn ta ®îc : GC2/GA2 + GC2/GB2 = 3(C2G1 + G2C2)/AB = 3 G1G2/AB = 1 Chia hai vÕ cho GC2 ta ®îc : 1/GC2 = 1/GA2 + 1/GB2 . ( ®pcm) Bµi to¸n 6b : Cho tam gi¸c ABC . I lµ mét ®iÓm trong tam gi¸c . IA, IB, IC theo thø tù c¾t BC, CA , AB t¹i M, N, P . NP c¾t BC t¹i R IA a. Chøng minh : = NA + PA IM NC PB MB . NC . b. Chøng minh r»ng : MC NA RB . NC . c. Chøng minh r»ng RC: NA MB = RB d. Chøng minh r»ng : MC RC

PA PB =1 ( §Þnh lý Cª va ) PA PB =1 ( §Þnh lý Mª nª lauyut ) .

A

E

Gi¶i :

P

Q Qua A kÎ ®ëng th¼ng song song R víi BC c¾t BN t¹i E vµ c¾t CP t¹i F . NA = AE NC BC Cã :

B

b. Cã : MB = AE NC = ; BC MC AF NA AF

PA ;= AE PB BC Nh©n c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn vÕ theo vÕ ta ®îc : NC PA AE . . = NA PB AF

BC AF . AE BC

c. KÎ BQ//AC (Q thuéc RN )

33

N I

PA = AF PB BC NA + PA AE + AF EF = IA . = = NC BC BC BC BC IM

MB . MC

F

= 1.

M

C

Cã :

RB = BQ ; PA = AN ; NC = NA NA RC CN PB BQ NA

Nh©n c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn vÕ theo vÕ ta ®îc : RB . RC

PA NC BQ . . = PB NA CN

AN NC . BQ NA

= 1.

d. Tõ b vµ c dÔ dµng suy ra ®pcm. VI. hÖ thøc lîng trong tam gi¸c - ®Þnh lý pitago . 1. HÖ thøc lîng trong tam gi¸c thêng Bµi to¸n 1a : Chøng minh r»ng trong mét tam gi¸c b×nh ph¬ng c¹nh ®èi diÖn gãc nhän b»ng tæng b×nh ph¬ng hai c¹nh kia trõ ®i hai lÇn tÝch cña mét trong hai c¹nh Êy víi h×nh chiÕu cña c¹nh cßn l¹i trªn nã . Chøng minh : Gi¶ sö A lµ gãc nhän . Gäi AH lµ h×nh chiÕu cña c¹nh AC trªn c¹nh AB . CÇn chøng minh : BC2 = AB2 + AC2 - 2AB.AH - Tam gi¸c vu«ng CHB cã : BC2 = CH2 + HB2 (1) - Tam gi¸c vu«ng CHA cã : B CH2 = AC2 - HA2 (2) - Do gãc A nhän nªn H n»m gi÷a AB , cã : HB = AB-HA  HB2 = AB2 + HA2 - 2AB.HA (3) Thay (2) vµ (3) vµo (1) ®îc ®pcm

A H

C

Bµi to¸n 1b : Chøng minh r»ng trong mét tam gi¸c b×nh ph¬ng c¹nh ®èi diÖn gãc tï b»ng tæng b×nh ph¬ng hai c¹nh kia céng ®i hai lÇn tÝch cña mét trong hai c¹nh Êy víi h×nh chiÕu cña c¹nh cßn l¹i trªn nã . Chøng minh : Hoµn toµn gièng bµi to¸n 1a víi chó ý : H Do gãc A tï nªn A n»m gi÷a BH Cã A HB = AB + HA  HB2 = AB2 + HA2 + 2AB.HA B C 34

Bµi to¸n 1c (§Þnh lý vÒ ®êng trung tuyÕn Cho tam gi¸c ABC cã AM lµ trung tuyÕn Chøng minh hÖ thøc : AB2 + AC2 = 2AM2 + BC2/2 Chøng minh : Gi¶ sö : AMB < 900 => AMC > 900 . Tam gi¸c MAB cã : AB2 = MB2 +MA2 -2BM.MH (1) Tam gi¸c MAC cã : B AC2 = MC2 + MA2 - 2MC.MH (2) Céng (1) vµ (2) víi chó ý MB =MC =BC/2 ta ®îc

): , AH lµ ®êng cao. A

H

C

M

®pcm .

2. Bµi tËp chøng minh ®ång quy, vu«ng gãc : Bµi to¸n 2a : a. Chøng minh r»ng tæng c¸c b×nh ph¬ng c¸c kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm bÊt kú trong mÆt ph¼ng ®Õn hai ®Ønh ®èi diÖn cña h×nh ch÷ nhËt b»ng nhau . b. Trªn c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC vÒ phÝa ngoµi ngêi ta dùng c¸c h×nh ch÷ nhËt ABB1A1 ; BCC1B2; CAA2C2 . Chøng minh r»ng c¸c ®êng trung trùc cña c¸c ®o¹n A1A2; B1B2; C1C2 ®ång quy . Chøng minh : a. CÇn chøng minh hÖ thøc : PA2 + PC2 = PB2 + PD2 . A Gäi O lµ giao ®iÓm AC vµ BD ,cã : PO lµ trung tuyÕn cña c¸c tam gi¸c PAC, PDB . - Tam gi¸c PDB cã : PD2 + PB2 = 2OP2 + BD2/2 - Tam gi¸c PAC cã : PA2 + PC2 = 2OP2 + AC2/2 D

P B

O C

- Do AC = BD nªn PA2 + PC2 = PB2 + PD2 . b. Chøng minh : Gäi P lµ giao ®iÓm hai trung trùc cña c¸c ®o¹n B1B2 vµ A1A2 . B1 PB2= PB1 ; PA1 = PA2 .

A1

B2

B

C1

P 35 A A2

C2

C

- XÐt ®iÓm P vµ h×nh ch÷ nhËt BCC1B2 cã : PC12 = PC2 + PB22 -PB2 = PC2 + PB12 -PB2 (1) - XÐt ®iÓm P vµ h×nh ch÷ nhËt ACC2A2 cã : PC22 = PC2 + PA22 -PA2 = PC2 + PA12 -PA2 (2) Trõ (1) cho (2) ®îc : PC12 - PC22 = PB12 + PA2 - PB2 - PA12 = 0 ( Do quan hÖ ®iÓm P víi HCN ABB1A1 )  PC1 = PC2 => P thuéc trung trùc cña C1C2 => ®pcm 3 .Bµi tËp tÝnh to¸n : Bµi to¸n 3a : Cho h×nh vu«ng cã c¹nh a . Qua t©m h×nh vu«ng vÏ mét ®êng th¼ng (d) tuú ý . Chøng minh r»ng tæng c¸c b×nh ph¬ng c¸c kho¶ng c¸ch tõ bèn ®Ønh h×nh vu«ng ®Õn ®êng th¼ng (d) kh«ng ®æi . A

D1

D

B C1

A1 O

B1

C

DÔ dµng chøng minh ®îc c¸c tam gi¸c AA1O, CC1O, OB1B, OD1D b»ng nhau, tam gi¸c OAD vu«ng c©n t¹i O . Tõ ®ã cã : DD12 + BB12 = 2OA12 . AA12 + CC12 = 2AA12 .  DD12 + BB12 +AA12 + CC12 = 2(OA12 +AA12) = 2AO2 = AD2 = a2 =const Bµi tËp 3b :

36

Chøng minh r»ng: Trong mét h×nh thang ,tæng c¸c b×nh ph¬ng hai ®êng chÐo b»ng tæng c¸c b×nh ph¬ng hai c¹nh bªn céng hai lÇn tÝch hai c¹nh ®¸y . A

D

B

E

F

C

H¹ AE, BF vu«ng gãc víi DC (E,F thuéc DC ). ¸p dông ®Þnh lý Pitago cho - Tam gi¸c vu«ng EAC cã : AC2 = AE2 + EC2 =AE2 +EF2 +FC2 +2EF.FC . - Tam gi¸c vu«ng AED cã AE2 = AD2 - DE2 . §îc : AC2 = AD2 - DE2 + EF2 +FC2 -2EF.FC . (1) - Tam gi¸c vu«ng BFD cã :BD2 = BF2 + FD2 =BF2 +EF2 +DE2 +2EF.DE . - Tam gi¸c vu«ng AED cã BF2 = BC2 - FC2 . §îc : BD2 = BC2 - FC2 + EF2 +DE2 -2EF.DE . (2) Céng (1) vµ ( 2) ®îc : AC2 + BD2 = AD2 +BC2 +2EF2 + 2EF.FC+2EF.DE = AD2 +BC2 +2EF(EF +FC+DE ) =AD2 +BC2 +2EF.DC =AD2 +BC2 +2AB.DC ( ®pcm) 2. Bµi to¸n cùc trÞ h×nh häc . Bµi to¸n 2a : Cho hai ®êng th¼ng a,b song song víi nhau c¸ch nhau mét kho¶ng 2k cho tríc. I lµ ®iÓm c¸ch ®Òu hai ®êng th¼ng trªn ; Hai c¹nh cña mét gãc vu«ng cã ®Ønh I lÇn lît c¾t a t¹i A vµ c¾t b t¹i B . X¸c ®Þnh gãc vu«ng ( vÞ trÝ c¸c tia IA; IB) ®Ó tam gi¸c IAB cã diÖn tÝch nhá nhÊt . D x A Gi¶i : Cã : ID = IC = k. §Æt: AD = x . CB = y . I Cã :

C y B

37

SIAB

= SABCD -(SIAD+ SICB) . = (x +y)k - (x+y)k/2 = (x + y)k/2 . XÐt hai tam gi¸c ®ång d¹ng : IAD vµ BIC ®îc : AD/IC = ID/BC => AD.BC = ID.IC = k2 = const  x.y = const. §Ó SIAB nhá nhÊt => x + y nhá nhÊt => x = y => ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt. TÝnh x,y : Cã x2 +k2 + y2 + k2 = 2x2 + 2k2 = IA2 +IB2 = AB2 = 4k2.  x2 = k2 => x = k (do x>0). Bµi to¸n 2b : Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A .X¸c ®Þnh ®iÓm M trong tam gi¸c sao cho tæng c¸c b×nh ph¬ng c¸c kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn ba c¹nh cña tam gi¸c ®at gi¸ trÞ nhá nhÊt . A E

F

I

B ) (1)

ME2 + MF2 +MG2

M

H

G

C

= AM2 + MG2 (AEMF lµ h×nh ch÷ nhËt = AI2 +IM2 + MG2 (AIM vu«ng t¹i I ) ≥ AI2 + IH2 ( DÊu ‘=’ x¶y ra khi M thuéc AH )

L¹i cã : AI2 + IH2 = AH2 - 2AI.IH . Do AH kh«ng ®æi nªn ME2 + MF2 +MG2 nhá nhÊt khi AI.IH lín nhÊt . Vµ cã AI +IH = AH =const nªn AI.IH lín nhÊt lóc AI=IH=AH/2 . (2) KÕt hîp (1) vµ (2) ®îc M lµ trung ®iÓm cña AH th× tæng c¸c b×nh ph¬ng c¸c kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn ba c¹nh cña tam gi¸c nhá nhÊt .

38