Boi Duong 8

trêng THCS lª th¸nh t«ng

gi¸o ¸n båi dìng

§¹i sè 8 cCh¬ng III : ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn

Gi¸o viªn: Lª ThÞ HuyÒn

N¨m häc: 2006 - 2007 ph¬ng tr×nh ax + b = 0 A. KiÕn thøc cÇn nhí:

I. Më ®Çu vÒ ph¬ng tr×nh : 1. §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh mét Èn: Lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng A(x) = B(x) trong ®ã vÕ tr¸i Ax) vµ vÕ ph¶i B(x) lµ hai biÓu thøc cña cïng mét biÕn x. 2. §Þnh nghÜa nghÞªm cña ph¬ng tr×nh: NghÞªm cña ph¬ng tr×nh lµ gÝa trÞ cña biÕn mµ t¹i ®ã gÝa trÞ cña hai vÕ b»ng nhau. . Chó ý: HÖ thøc x = m (víi m lµ mét sè nµo ®ã) còng lµ mét ph¬ng tr×nh. Ph¬ng tr×nh nµy chØ râ r»ng m lµ nghiÖm duy nhÊt cña nã. - NghÞªm kÐp: Hai nghiÖm b»ng nhau gäi lµ nghiÖm kÐp. - NghiÖm béi k: k nghiÖm b»ng nhau gäi lµ nghiÖm béi k. Sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: Mét ph¬ng tr×nh cã thÓ cã mét nghÞªm, hai nghiÖm, ba nghiÖm,…nhng còng cã thÓ kh«ng cã nghiÖm nµo. Ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nµo gäi lµ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. - TËp hîp tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña mét ph¬ng tr×nh gäi lµ tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®ã vµ thêng kÝ hiÖu bëi S. 3. Gi¶i ph¬ng tr×nh lµ t×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm (hay t×m tËp nghiÖm) cña ph¬ng tr×nh ®ã. 4. §Þnh nghÜa hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng: Lµ hai ph¬ng tr×nh cã cïng tËp nghÞªm. §Ó chØ hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng ta dïng kÝ hiÖu ⇔ 5. §Þnh nghÜa phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ph¬ng tr×nh: Lµ phÐp biÕn ®æi tõ mét ph¬ng tr×nh thµnh mét ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi nã. 6. C¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ph¬ng tr×nh: a. Qui t¾c chuyÓn vÕ: Trong mét ph¬ng tr×nh, ta cã thÓ chuyÓn mét h¹ng tö tõ vÕ nµy sang vÕ kia vµ ®æi dÊu h¹ng tö ®ã. GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

2

Trêng THCS

b. Qui t¾c nh©n víi mét sè(qui t¾c nh©n): Trong mét ph¬ng tr×nh, ta cã thÓ nh©n c¶ hai vÕ víi cïng mét sè kh¸c 0. .Còng cã thÓ ph¸t biÓu qui t¾c nh©n nh sau: Trong mét ph¬ng tr×nh, ta cã thÓ chia c¶ hai vÕ víi cïng mét sè kh¸c 0. 7. §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh hÖ qu¶: ph¬ng tr×nh (2) gäi lµ hÖ qu¶ cña ph¬ng tr×nh (1) khi mäi nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) ®Òu lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2) 8. §Þnh nghÜa phÐp biÕn ®æi hÖ qu¶ : lµ phÐp biÕn ®æi tõ mét ph¬ng tr×nh thµnh mét ph¬ng tr×nh hÖ qu¶ cña nã. 9. C¸c phÐp biÕn ®æi hÖ qu¶: a. Nh©n c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh víi cïng mét ®a thøc cña Èn ta ®îc ph¬ng tr×nh hÖ qu¶ cña ph¬ng tr×nh ®· cho. b. B×nh ph¬ng (hay n©ng c¶ hai vÕ lªn luü thõa bËc ch½n) ta ®îc ph¬ng tr×nh hÖ qu¶ cña ph¬ng tr×nh ®· cho. II. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn a. §Þnh nghÜa: Ph¬ng tr×nh d¹ng ax + b = 0, víi a vµ b lµ hai sè ®· cho vµ a ≠ 0 gäi lµ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn. b. C¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn: . Tõ mét ph¬ng tr×nh, dïng qui t¾c chuyÓn vÕ hay qui t¾c nh©n, ta lu«n nhËn ®îc mét ph¬ng tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho. . ax + b = 0 ⇔ ax = - b ⇔ x = III. C¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh ax + b = 0 - NÕu a = b = 0 th× ph¬ng tr×nh nghÞªm ®óng víi mäi x - NÕu a = 0; b ≠ 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghÞªm. B. bµi tËp Chøng minh c¸c ph¬ng tr×nh sau v« nghiÖm: 1. 2x + 5 = 2 (x - 1) 2. = 0 3. 3x2 + 2 x + 1 = 0 GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

3

Trêng THCS

Híng dÉn: Kh«ng cã gÝa trÞ nµo cña x ®Ó gÝa trÞ cña hai vÕ trong mçi ph¬ng tr×nh b»ng nhau. Chøng minh c¸c ph¬ng tr×nh sau cã v« sè nghiÖm 1. (x + 2)2 = x (x + 4) + 4 2. y2 - 2y = (y - 1)2 - 1 Híng dÉn: Hai vÕ cã gÝa trÞ b»ng nhau t¹i mäi gÝa trÞ cña biÕn. LËp ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ a) 3; b) -5; c) 1/2; d) -1 vµ 3 a) x - 3 = 0 b) x + 5 = 0 c) 2x - 1 = 0 d) (x + 1) (x - 3) = 0

Híng dÉn:

C¸c cÆp ph¬ng tr×nh sau cã t¬ng ®¬ng kh«ng? a) x = 2 vµ x2 = 4 b) 3x2 + 4 = 0 vµ x − 5 = -3 c) x2 + x + = 0 vµ 6x + 3 = 0 d) x + 3 = 0 vµ (x + 3) (x2 + 2) = 0

Híng dÉn: a) Kh«ng; b) Cã; c) Cã; d) Cã (Dùa vµo ®Þnh nghÜa hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng)

GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

4

Trêng THCS

Ph¬ng tr×nh sau lµ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn A. 1 - 2y = 0 B. x2 + x = 0 C. 3x = 0 D. 0x + 0,5 = 0 E. 2x + 5y = 0 F. mx + 4 = 0 C©u nµo ®óng? 1. ChØ cã c©u A lµ ®óng. 2. Kh«ng cã ®¸p ¸n nµo ®óng. 3. A vµ C ®óng.

Híng dÉn: C©u 3 ®óng Gi¶i ph¬ng tr×nh: {[(x - 3) - 3] - 3} - 3 = 0(1)

(1)

⇔

Híng dÉn: x = 90 *Gi¶i ph¬ng tr×nh: a2 x + b = a (x + b) (1) Híng dÉn:

(1) ⇔ a (a - 1) x = (a - 1) b • NÕu a = b = 0 hoÆc a = 1 th× ph¬ng tr×nh (1) nghÞªm ®óng víi mäi x • NÕu a = b ≠ 0 th× ph¬ng tr×nh (1) v« nghÞªm • NÕu a ≠ 0; a ≠ 1 th× ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm x = T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh: 5 (m + 3) (x + 1) - 4 (1 + 2x) = 80 (1) cã nghiÖm x = 2 Híng dÉn: Thay x = 2 vµo ph¬ng tr×nh ta t×m ®îc m = 2/3 GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

5

Trêng THCS

*T×m m, n ®Ó ph¬ng tr×nh: a) 5 (x - 2m) = 12 (1 + mx) (1) b) - = 1 - (2) cã nghiÖm duy nhÊt. Híng dÉn: a) (1) ⇔ (5 - 2m) x = 12 + 10m nªn (1) cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi 5 - 13m 5/12 b) m ≠ 0; n ≠ 0; m ≠ n

≠

0

⇔

m

≠

T×m a ®Ó hai ph¬ng tr×nh sau t¬ng ®¬ng: a) (x + a) (a + 1) + (x - a) (a - 1) = 12 (1) vµ = (2) b) + 1 = a vµ - = 2 Híng dÉn: a) (2) ⇔ x = 1 nªn ®Ó hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng th× ph¬ng tr×nh (1) ph¶icã nghiÖm duy nhÊt lµ x = 1 §Ó x = 1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) th× a = 3. Khi a = 3 th× (1) ⇔ (3 + x) (3 + 1) + (x - 3) (3 - 1) = 12 ph¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm duy nhÊt. VËy, hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng khi vµ chØ khi a = 3 b) §¸p sè: a = 4,5 Gi¶i ph¬ng tr×nh: + = + (1) Híng dÉn: (1) ⇔ ( + 1) + (+ 1) = (+ 1) + (+ 1) ⇔ (x + 2010) (+ - - ) = 0 ⇔ x = - 2010 Gi¶i ph¬ng tr×nh: + + + + 4 = 0(1) Híng dÉn: GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

6

Trêng THCS

(1)

⇔ (+ 1) + (+ 1) + (+ 1) + ⇔ (416 - x) (+ + + ) = 0 ⇔ x = 416

(+ 1) = 0

Gi¶i ph¬ng tr×nh: - = -

(1)

Híng dÉn: (1)

⇔ ⇔ ⇔

(+ 1) + ( + 1) - (+ 1) - (+ 1) = 0 (x + 110) (+ - - ) = 0 x = -110 Gi¶i ph¬ng tr×nh: + = + (1) Híng dÉn:

(1)

⇔ ⇔ ⇔

(- 1) + (+ 1) - (- 1) - (+ 1) = 0 (x - 28) (+ - -) = 0 x = 28 Gi¶i ph¬ng tr×nh: - = - (1)

Híng dÉn: (1) ⇔ (- 1) - (- 1) - (- 1) + (-1) ⇔ (x - 14) (- - + ) = 0 ⇔ x = 14 Gi¶i ph¬ng tr×nh: + = +

(1)

Híng dÉn: - (- 1)

(1) ⇔ (+ 1) + (- 1) - (+ 1) ⇔ + --= 0 ⇔ (x + 15) (+- - ) = 0 ⇔ x = -15

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: + + = 18 (1) GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

7

Trêng THCS

Híng dÉn:

(1) ⇔ (- 7) + (- 6) + (- 5) ⇔ (x - 107) (+ + ) = 0 ⇔ x = 107 *

Gi¶i ph¬ng tr×nh: + + + = 10 (1)

*

Híng dÉn: (1) (- 1) + (- 2) + (- 3) + (- 4) ⇔ (x - 258) (+ + + ) = 0 ⇔ x = 258 Gi¶i ph¬ng tr×nh: + + ++= 0 (1) ⇔

Híng dÉn: (1)

⇔ ⇔ ⇔

(+ 1) + (+1) + (+1) + (+ 1) + (- 4) = 0 (x + 329) (++ + + ) = 0 x = -329 Gi¶i ph¬ng tr×nh: + + = 3 (1) (a; b; c

≠

0)

Híng dÉn:

Víi a; b; c kh¸c 0 ta cã (1) ⇔ ( - 1) + (- 1) + (- 1) = 0 ⇔ (x

- a - b - c) ( + + ) = 0 • NÕu + + = 0 ( hay ab + ac + bc = 0) th× ph¬ng tr×nh (1) nghÞªm ®óng víi mäi x • NÕu + + ≠ 0 ( hay ab + ac + bc ≠ 0) th× ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm x = a + b + c *

Gi¶i ph¬ng tr×nh: + + = 2 (+ + )(1) (Víi a; b; c ≠ 0) Híng dÉn: (1) ⇔ (-- ) + (--) + (--) = 0 ⇔ (x - a - b - c) (+ + ) = 0 • NÕu + + = 0 (hay a + b + c = 0) th× ph¬ng tr×nh (1) nghÞªm ®óng víi mäi x • NÕu + + ≠ 0 (hay a + b + c ≠ 0) th× ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm lµ x = a + b + c GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

8

Trêng THCS

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: + + + = 1 (1) Víi abc ≠ 0; a + b + c ≠ 0 Híng dÉn: (1) ⇔ (+ 1) + (+1) + (+ 1) - 4 (1 - ) ⇔ (a + b + c - x) (+ + - ) = 0 • NÕu + + = th× ph¬ng tr×nh (1) nghÞªm ®óng víi mäi x • NÕu + + = th× ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm lµ

x=a+b+c

*

Gi¶i ph¬ng tr×nh: + + = a + b + c (1) Híng dÉn:

Víi ®iÒu kiÖn a; b; c ®«i mét kh«ng ®èi nhau ta cã: (1) ⇔ (- c) + (- b) + (- a) = 0 ⇔ (x - ab - ac - bc) ( + + ) = 0 • NÕu + + = 0 th× ph¬ng tr×nh (1) nghÞªm ®óng víi mäi x • NÕu + + ≠ 0 th× ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm x = ab + ac + bc *

Gi¶i ph¬ng tr×nh: + + = 6 - (1) Híng dÉn:

(1)

⇔

(- 1) + (- 1) + (- 1)

=3⇔ (a + b + c - 3x) (+ + - ) = 0 • NÕu + + = th× ph¬ng tr×nh (1) nghÞªm ®óng víi mäi x • NÕu + + ≠ th× ph¬ng tr×nh (1) cã nghÞªm x = Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh: + = 1

(1)

Híng dÉn: GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

9

Trêng THCS

§K: a; b; c ®«i mét kh¸c nhau (1) ⇔ (x - c) [+ ] = 1 ⇔ (x - c) = 1 ⇔ (x - c) [(a2 - b2) - x (a - b) - c (a - b)] = (a - b) (b - c) (c - a) ⇔ (x - c) (a + b - x - c) = (b - c) (a - c) ⇔ (x - a) (x - b) = 0 S = {a; b}

Ph¬ng tr×nh bËc cao A. KiÕn thøc cÇn nhí:

C¸c c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao: - C¸ch 1: §a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch råi gi¶i: A(x) B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoÆc B(x) = 0 - C¸ch 2: §Æt Èn phô. - C¸ch 3: NhËn xÐt gÝa trÞ hai vÕ. B. BµI TËP

Gi¶i ph¬ng tr×nh: x (3x - 7) = (1) Híng dÉn: (1) ⇔ x (3x - 7) - (3x - 7) = 0 ⇔ (x - 1) (3x - 7) = 0 S = {1; } Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 - x - 6 = 0 (1) Híng dÉn: (1) ⇔ (x - 3) (x + 2) = 0 S = {3; -2} GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

10

Trêng THCS

Gi¶i ph¬ng tr×nh: 20x2 - 9x + 1 = 0

(1)

Híng dÉn: (1) ⇔ 20x - 5x - 4x + 1 = 0 ⇔ 5x(4x - 1) - (4x - 1) = 0 ⇔ (4x - 1) (5x - 1) = 0 S = {; } 2

Gi¶i ph¬ng tr×nh: 15x2 +2x - 1 = 0 (1) Híng dÉn: (1) ⇔ 15x + 5x - 3x - 1 = 0 ⇔ 5x(3x + 1) - (3x + 1) = 0 ⇔ (5x - 1) (3x + 1) = 0 S = {; - } 2

Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 +x + 1 = 0 (1) Híng dÉn: (1) + 0,5) + 0,75 = 0 Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. ⇔ (x

2

Gi¶i ph¬ng tr×nh: 24x -9x2- 18= 0 (1) (1)

⇔ 9x

Híng dÉn:

- 24x + 18 = 0 ⇔ (3x - 4)2 + 2 = 0 S= ∅ 2

Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x - 3) (x - 5) + 4 = 0 (1)

⇔

Híng dÉn: x - 8x + 19 = 0 2

GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

11

Trêng THCS

⇔ (x

- 4)2 + 3 = 0 Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. Gi¶i ph¬ng tr×nh: x (x - 6) + 10= 0 Híng dÉn:

⇔

(1) x - 6x + 9 + 1 = 0 ⇔ (x - 3)2 + 1= 0 Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. 2

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: 6ax2 + 4ax - 9x - 6 = 0 (1) Híng dÉn: (1) ⇔ (2ax - 3) (3x + 2) = 0 NÕu a = 0 th× S = {- } NÕu a ≠ 0 th× S = {- ; } Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x2 + x)2 = 12 - 4(x2 + x) (1) Híng dÉn: §Æt x2 + x = y ta ®îc y2 + 4y - 12 = 0 ⇔ y = - 6 hoÆc y = 2 ⇔ x2 + x + 6 = 0 hoÆc x2 + x - 2 = 0 Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x2 - 4x)2 + 2(x - 2)2 = 43 (1) Híng dÉn: §Æt x - 4x = y ta ®îc y + 2y - 35 = 0 ⇔ y = - 7 hoÆc y = 5 ⇔ x2 - 4x + 7 = 0 hoÆc x2 - 4x - 5 = 0 2

GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

2

12

Trêng THCS

S = {- 1; 5} *Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x2 - 1)2 = 4x + 1 (1) Híng dÉn: (1) (x - 1) + 4x = 4x + 4x + 1 2 ⇔ (x + 1)2 - (2x + 1)2 = 0 ⇔ (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x) = 0 ⇔ x (x - 2) = 0 S = {0; 2} ⇔

2

2

2

2

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x2 - 4)2= 8x + 1 (1) Híng dÉn: (1) ⇔ (x2 - 4)2 + 16x2 = 16x2 + 8x + 1 S = {1; 3} *Gi¶i ph¬ng tr×nh: (y2 - 1993)2 - 7972y - 1 = 0 (1) Híng dÉn: (1)

 y = 1994 ⇔   y = 1992

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 = 24x + 32 (1) Híng dÉn: Thªm 4x2 vµo hai vÕ ta ®îc (x2 + 2)2 = (2x + 6)2 Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. *Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x2 - y)2 = 4xy + 1 (1) GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

13

Trêng THCS

Híng dÉn: (1) ⇔ ⇔

⇔

(x2 - y)2 + 4x2y2 = 4xy + 1+ 4x2y2 (x2 + y2)2 - (2xy + 1)2 = 0 x = y +1  x = y −1 

Gi¶i ph¬ng tr×nh: (2x2 + 3x - 1)2 - 5 (2x2 + 3x + 3) + 24 = 0 (1) Híng dÉn: (1)

⇔

y2 - 5y + 4 = 0 (Víi y = 2x2 + 3x - 1) ⇔ y = 1 hoÆc y = 4 ⇔ 2x2 + 3x - 2 = 0 hoÆc 2x2 + 3x - 5 = 0 S = {0,5; 4; 1; - 2,5} Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x2 - 6x + 9)2 - 15 (x2 - 6x + 10) = 1 §Æt x - 6x + 9 = y ( y S = {- 1; 7} 2

≥

Híng dÉn: 0)

Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x2 - 4x)2 + 2(x - 2)2 = 43 §Æt x - 4x + 4 = y (y S = {-1; 5} 2

≥

Híng dÉn: 0)

Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 + 5x2 + 3x - 9 = 0 (1) Híng dÉn: GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

14

Trêng THCS

(1)

⇔

x3 - x2 + 6x2 - 6x + 9x - 9 = 0 ⇔ x2(x - 1) + 6x(x - 1) + 9(x - 1) = 0 ⇔ (x - 1) (x + 3)2 = 0 S = {1; -3} Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0 (1) Híng dÉn: (1) ⇔ (x + 1) (2x + 1) (x + 2) = 0 S = {-1; -2; - 0,5} Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 - 5x2 + 8x - 4 = 0 (1) ⇔ (x

(1) - 1) (x - 2) = 0 S = {1; 2}

Híng dÉn:

2

Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 -2x2 - x + 2= 0 (1) Híng dÉn: (x - 1) (x + 1) (x - 2) = 0 S = { ± 1; 2} Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 + x2 + x + 1 = 0 (1) Híng dÉn: C¸ch 1: (1) ⇔ (x + 1) (x2 + 1) = 0 ⇔ x = -1 C¸ch 2: Do 1 ∉ S nªn (1) ⇔ (x - 1) (x3 + x2 + x + 1) = 0 ⇔ x4 - 1 = 0 ⇔x = ±1 Mµ 1 ∉ S nªn S = {1} GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

15

Trêng THCS

* Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x3 - 5x2 + 8x - 3 = 0 (1) Híng dÉn: (1) ⇔ (2x - 1) (x2 - 2x + 3) = 0 S = {0,5} * Gi¶i ph¬ng tr×nh: 4x3 + 28x2 - 9x - 63 = 0 (1) Híng dÉn: (1) ⇔ (x + 7(2x + 3) (2x - 3) = 0 S = {- 7; - 1,5; 1,5} *Gi¶i ph¬ng tr×nh: 8x3 = (4x + 1)3 - (2x + 1)3 (1) Híng dÉn: ¸p dông c¸c h»ng ®¼ng thøc (a - b)3 - (a3 - b3) = 3ab (a - b) (a +b)3 - (a3 +b3) = 3ab (a + b) ta cã (1) ⇔ 3 (4x + 1)(2x + 1) (-2x) = 0 S = {0; - 0,5; - 0,25 Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x + 1)3 + (x - 2)3 = (2x - 1)3 (1) Híng dÉn: C¸ch 1: ¸pdông h»ng ®¼ng thøc (a +b)3 - (a3 +b3) = 3ab (a + b) víi a = x + 1; b = x - 2 C¸ch 2: Sö dông tÝnh chÊt: NÕu a + b + c = 0 th× a3 + b3 + c3 = 3abc S = {- 1; 2; 1/2} GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

16

Trêng THCS

Gi¶i ph¬ng tr×nh: 125x3 - (2x + 1)3 - (3x - 1)3 = 0 (1) Híng dÉn:

S = {0; ; - }

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: [3 (x + 1) - 2 (x + 3)]3 + [2 (x + 3) - x + 5)]3 + [x - 5 - 3 (x + 1)]3 = 0 (1) Híng dÉn: Sö dông tÝnh chÊt: NÕu a + b + c = 0 th× a3 + b3 + c3 = 3abc S = {- 11; - 4; 3} *Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x - 3)3 + (x + 1)3 = 8 (x - 1)3 (1) Híng dÉn: C¸ch 1: Sö dông c«ng thøc: (b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3 = 3 (a - b) (b - c) (c - a) ta ®îc ph¬ng tr×nh: 3 (x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0 C¸ch 2: Sö dông c«ng thøc: (a + b)3 - a3 - b3 = 3ba (a + b) víi a = x - 3; b = x + 1 S = {- 1; 1; 3} *Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x2 + 3x - 4)3 + (2x2 - 5x + 3)3 = (3x2 - 2x - 1)3 (1) Híng dÉn: Ta cã: a + b = (a + b) ⇔ 3ba (a + b) = 0 nªn (1) cã S = {1; - 4; ; 3

3

3

* Gi¶i ph¬ng tr×nh: 9ax3 - 18x2 - 4ax + 8 = 0 (1) Híng dÉn: NÕu a = 0 th× S = { ± 2/3} NÕu a ≠ 0 th× S = { ± 2/3; 2/a} GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

17

Trêng THCS

Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 - (m2 - m + 7)x - 3 (m2 - m - 2) = 0 (1) biÕt 1 lµ mét nghiÖm cña (1) Híng dÉn: Thay x = 1 vµo (1) ta cã m2 - m = 0 (1) ⇔ x3 - 7x + 6 = 0 ⇔ x = 1; 2; - 3 *Gi¶i ph¬ng tr×nh: x - (2m + 1)x + (m2 + m - 1)x2 + (2m + 1)x - m(m + 1)= 0 (1) 4

3

Híng dÉn: (1) (x - 1) (x + 1) [x + (2m + 1)x + m(m + 1)] = 0 S = {1; -1; m; m + 1} ⇔

2

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x - abc = 0 3

(1)

Híng dÉn: Ta thÊy a lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh, mµ vai trß cña a; b; c lµ nh nhau vµ ph¬ng tr×nh (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc 3 nªn S = {a; b; c} *Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x2 + x + 1)2 = 3 (x4 + x2 + 1)

(1)

Híng dÉn: (1) ⇔ (x + x + 1) - 3 (x + x + 1) (x2 - x + 1) = 0 ⇔ (x2 + x + 1) (x - 1)2 = 0 S = {1} 2

2

2

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: x5 = x4 + x3 + x2 + x + 2 (1) Híng dÉn: 5 4 C¸ch 1: (1) ⇔ (x - 1) - (x + x3 + x2 + x + 1) = 0 ⇔ (x - 2) (x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

18

Trêng THCS

Mµ 2(x4 + x3 + x2 + x + 1) = (x2+ x)2 + (x + 1)2 + x4 + 1 > 0 víi mäi x hoÆc x4 + x3 + x2 + x + 1 = (x2 + )2 + + (+ 1)2 > 0 hoÆc x4 + x3 + x2 + x + 1 = (x + 1)2 (x2- x + 1) + x2 > 0 víi mäi x hoÆc x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 VËy, S = {2}

x ≠ 1 ⇔  5 (Lo¹i) x = 1

Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 - 7x2 + 12 = 0 (1) Híng dÉn: §Æt x2 = y ta cã (1) ⇔ y2 - 7y + 12 = 0 ⇔ y = 3 hoÆc y = 4 S = { ± 2; ± } Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 - 10x2 + 17 = 0 (1) Híng dÉn: C¸ch 1: §Æt x2 = y ta cã (1) v« nghiÖm C¸ch 2: (1) ⇔ (x2 - 1)2 + (x2 - 4) = 0 Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 - 11x2+ 30 = 0 (1) C¸ch 1: §Æt x = y

Híng dÉn:

2

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 + 2x3 + 4x2 + 2x + 1 = 0 (1) Híng dÉn: C¸ch 1: (1) ⇔ (x + 1) (x + 1)2 + 2x2 = 0 C¸ch 2: (1) ⇔ (x2 + x)2 + (x + 1)2 + 2x2 = 0 2

GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

19

Trêng THCS

Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. *Gi¶i ph¬ng tr×nh: 9x2 + 29y2 + 30xy + 2 = 6 (x + 5y 4) (1) Híng dÉn: (1) ⇔ (3x + 5y - 1) + (2y - 5)2 = 0 2

3x + 5 y = 1 ⇔ 2 y = 5

S = {(; - )} *Gi¶i ph¬ng tr×nh: 5x2 + 10y2 - 6xy - 4x - 2y + 3 = 0 (1) Híng dÉn: (1) ⇔ (x - 3y) + (2x - 1) + (y - 1)2 + 1 = 0 Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. 2

2

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: 4x2 + 9y2 +16xy +14x -76y + 59= 0 (1) Híng dÉn: *Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 + 26y2 - 10xy + 14x - 76y + 59 = 0 (1) Híng dÉn: (1) ⇔ (x - 5y + 7) + (y - 3)2 + 1 = 0 Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. 2

*Gi¶i ph¬ng tr×nh:4x2 + 9y2 + 16z2- 6y + 3 - 4x - 8z = 0 (1) (1)

⇔

Híng dÉn: (x - 5y + 7) + (y - 3)2 + (4z - 1)2 = 0 2

1 2

(x; y; z) = ( ;

1 1 ; ) 3 4

GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

20

Trêng THCS

Híng dÉn: (1) - 5y + 7) + (y - 3)2 + 1 = 0 Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. ⇔ (x

2

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 + y2 + z2 + t2 - xy - yz - zt + = 0 (1) Híng dÉn: (1) ⇔ (x - ) + (y - z) + (z - t)2 + (t - )2 = 0 S = {(0,2; 0,4; 0,6; 0,8)} 2

2

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 + 4y2 + z2 - 2x - 6z + 8y + 15 = 0 (1) Híng dÉn: (1) ⇔ (x - 1) + 4 (y + 1) + (z - 3)2 + 1 = 0 Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. x2 + + y2 + = 4 *Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 + + y2 + = 4 (1) Híng dÉn: 2 2 (1) ⇔ (x - ) + (y - ) = 0 S = {( ± 1; ± 1)} 2

2

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 + y2 = xy(1) Híng dÉn: (1) ⇔ 2 (x + y ) - 2xy = 0 ⇔ (x - y)2 + x2 + y2 = 0 ⇔ x = y = 0 2

2

Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x2 + 2x + 4) (y2 - 2y + 3) = 2 + 4z z2 (1) Híng dÉn: VT = [(x + 1) + 3] [(y - 1)2 + 2] ≥ 6 víi mäi x; y VP= 6 - (z - 2)2 ≤ 6 víi mäi z 2

GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

21

Trêng THCS

NghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ trêng hîp x¶y ra dÊu b»ng cña hai B§T trªn (x; y; z) = ( - 1; 1; 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x2 + x)2 + 4x2 + 4x = 12 (1) Híng dÉn: §Æt x + x = y ta cã (1) ⇔ y2 + 4y - 12 = 0 ⇔ y = - 6 hoÆc y = 2 (1) ⇔ x = 1; - 2 2

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x2 + 1)2 + 3x (x2 + 1) + 2x2 = 0 (1) Híng dÉn: §Æt x + 1 = y ta cã (1) y2 + 3xy + 2x2 = 0 ⇔ (x + y) (2x + y) = 0 S = {1} ⇔

2

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x2 - x + 1)4 - 10x2(x2 - x + 1)2 + 9x4 = 0 (1) §Æt(x - x + 1) = y(y ≥ ⇔ (y - x2) (y - 9x)2 = 0 ⇔ y = x2 hoÆc y = 9x2 S = { ± 1} 2

2

Híng dÉn: 0) ta cã y2 - 10x2y2 + 9x4 =0

Gi¶i ph¬ng tr×nh: x (x - 1) (x + 1) (x + 2) = 24 (1) Híng dÉn: (1) ⇔ (x + x) (x + x - 2) = 24 ⇔ (y - 1) (y + 1) = 24 (V¬Ý y = x2 + x - 1) ⇔ y = ± 5 S = {2; - 3} 2

2

GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

22

Trêng THCS

Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x + 2) (x - 2) (x2 - 10) = 72 (1) Híng dÉn: (1) ⇔ (x - 4) (x - 10) = 72 §Æt x2 - 7 = y ta cã (1) ⇔ y = ± 9 §¸p sè: x = ± 4 2

2

Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x - 1) (x - 3) (x + 5) (x + 7) = 0 (1) Híng dÉn: (1) ⇔ (x + 4x - 21) (x + 4x - 5) = 297 §Æt x2 - 4x - 13 = y S = {-8; 4} 2

2

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: (6x + 7)2 (3x + 4) (x + 1) = 6 (1) Híng dÉn: (1) (6x + 7) (3x + 4) (x + 1) = 6.12 §Æt 6x + 7 = y ta ®îc y = ± 3 S = {- 2/3; - 5/3} ⇔ 12.

2

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: (2x + 1) (x + 1)2 (2x + 3) = 18 (1) Híng dÉn: (1) ⇔ (2x + 1) (2x + 2) (2x + 3) = 72 §Æt 2x + 2 = y S = {- ; } 2

* Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x2 - 1) (x2 + 4x + 3) = 192 (1) Híng dÉn: (1) ⇔ (x - 1) (x + 1) (x + 1) (x + 3) = 192 §Æt x + 1 = y ta ®îc y2 (y2 - 4) = 192 GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

23

Trêng THCS

S = {- 5; 3} *Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272 (1) Híng dÉn: §Æt x + 5 = y ta cã (1) ⇔ y = ± 1 S = {- 4; - 6} *Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x + 3)4+ (x + 5)4= 2 (1) §Æt x + 4= y ta cã (1) S = {- 4}

⇔

Híng dÉn: y=0

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 4 + (x -1)4 = 97 (1) Híng dÉn: §Æt x ⇔ ⇔ ⇔

1 2

= y ta ®îc (y +

1 4 ) 2

+ (y -

1 4 ) 2

= 97

16y4 + 24y2 - 775 = 0 (4y2 + 3)2 = 282 y = ± 2,5 S = {- 2; 3} *Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x + 1)4+ (x -3)4 = 82 (1) Híng dÉn: §Æt x -1= y ta cã S = {0; 2} *Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x - 7)4 + (x - 8)4 = (15 - 2x)4 (1) Híng dÉn:

§Æt x - 7 = a; x - 8 = b (1) ⇔ a4 + b4 - (a + b)4 = 0 ⇔ 4ab (a2 + 1,5ab + b2) = 0 S = {7; 8} GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

24

Trêng THCS

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 (1) Híng dÉn: §Æt x + 4 = y (1) ⇔ (y - 2)2 + (y - 1)3 + y4 = 2 ⇔ (y2 - 1) (y2 + y - 1) = 0 ⇔ y = ± 1 S = {- 3; - 5} Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 + 3x3 + 4x2 + 3x + 1 = 0 (1) Híng dÉn: (1) ⇔ (x + ) + 3 (x + ) + 4 = 0 (Do 0 §Æt x + = y ®îc y2 + 3y + 4 = 0 ⇔ y = - 1 hoÆc y = - 2 S = {- 1} 2

∉

S)

Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 - 3x3 + 4x2 - 3x + 1 = 0 (1) Híng dÉn: (1) ⇔ (x + ) - 3 (x + ) + 4 = 0 (Do 0 §Æt x + = y ®îc y2 - 3y + 2 = 0 ⇔ y = 1 hoÆc y = 2 S = { 1} 2

Gi¶i ph¬ng tr×nh: x5 -

∉

S)

x4 + 3x3 + 3x2 - x + 1 = 0 (1)

Híng dÉn: (1)

⇔

(x + 1) (x4 - 2x3 + 5x2 - 2x + 1) = 0

 x = −1 ⇔  4 3 2  x − 2 x + 5x − 2 x + 1 = 0

S = {-1}

GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

25

Trêng THCS

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: 6x5 - 29 x4 + 27x3 + 27x2 - 29x + 6 = 0 (1) Híng dÉn: (1)

⇔

(x + 1) (6x4 - 35x3 + 62x2 - 35x + 6) = 0

 x = −1 ⇔  4 3 2 6 x − 35 x + 62 x − 35 x + 6 = 0

S = {-1; 2; ; 3; }

* Gi¶i ph¬ng tr×nh: 6x4 + 7x3 - 36 x2 - 7x + 6 = 0 (1) Chia hai vÕ cho x S = {- 3; - ; ; 2}

2 ≠

Híng dÉn: 0, ®Æt x - = y

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 - 5 x3 + 10 x2 - 10 x + 4 = 0 (1) Híng dÉn: C¸ch 1: Chia hai vÕ cho x 0. §Æt x + = y 2 (1) ⇔ y - 5y + 6 = 0 ⇔ y = 2 hoÆc y = 3 S = {1; 2} C¸ch 2: Nh©n hai vÕ víi x ®îc (x - 1)5 - (x - 1) = 0 ⇔ (x - 1) [(x - 1)2 - 1] [(x - 1)2 + 1] = 0 2 ≠

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: 9x4 -15 x3 +28 x2 - 20 x + 16= 0 (1) Híng dÉn: C¸ch 1: Chia hai vÕ cho x2 (1) ⇔ y2 - 5y + 4 = 0 S= ∅ GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

⇔

≠

0. §Æt3x +

4 = x

y

y = 1 hoÆc y = 4 26

Trêng THCS

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: 8x6 - 16x5 + 2x4 + 12 x3 + 3x2 - 36x + 27 = 0 (1)

Chia hai vÕ cho x 60 = 0 ⇔ y = 3; - 4; 5 S = {1; 1,5}

3 ≠

Híng dÉn: 0. §Æt 2x + = y th× (1)

⇔ y3

- 4y2 - 17y +

*Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 + 3ax2 + 3 (a2 - bc)x + a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 (1) Híng dÉn: (1) ⇔ (a + x)3 - 3bc (a + x) + b3 + c3 = 0 §Æt a + x = y ®îc y3 + b3 + c3 - 3bcy = 0 y +b +c = 0  x = −a − b − c ⇔ ⇔  y = b = c x = b − a

ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu A. KiÕn thøc cÇn nhí:

1. Chó ý khi gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu: §KX§ 2. §KX§ cña ph¬ng tr×nh lµ gÝa trÞ cña Èn ®Ó tÊt c¶ c¸c mÉu trong ph¬ng tr×nh ®ªu kh¸c 0. 3. C¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu: Bø¬c 1: T×m §KX§ cña ph¬ng tr×nh. Bíc 2: Qui ®ång mÉu hai vÕ cña ph¬ng tr×nh råi khö mÉu Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh võa nhËn ®îc. Bíc 4: KÕt luËn: Trong c¸c gÝa trÞ cña Èn t×m ®îc ë bíc 3, c¸c gÝa trÞ tho¶ m·n §KX§ chÝnh lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho. GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

27

Trêng THCS

B. bµi tËp Gi¶i ph¬ng tr×nh: + = (1) Híng dÉn: §KX§: x ≠ 1/5; x ≠ 3/5 Qui ®ång, khö mÉu ta ®îc 3 (3 - 5x) + 2 (5x - 1) = 4 ⇔ x = 3/5 (Kh«ng tho¶ m·n §KX§) S = ∅ Gi¶i ph¬ng tr×nh:

+=

(1)

Híng dÉn: §KX§: x ≠ 1; x (1) ⇔ - = 0

≠

2; x

1 ) x − 4x + 3

≠

3

⇔

(x + 4) (-

⇔

x = 4 (Tho¶ m·n §KX§) (Do -

2

S = {- 4}

=0 1 ≠ x − 4x + 3 2

0 víi x tm §KX§)

Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x - 1) : (+ ) = 0

(1)

Híng dÉn: §KX§: x ≠ 2; x ≠ 3; x ≠ 2,5 Qui ®ång, khö mÉu ta ®îc = 0 x = 1 ⇔  x = 2  x = 3

x = 1 (Tho¶ m·n §KX§) x = 2; 3 (Kh«ng tho¶ m·n §KX§) S = {1} GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

28

Trêng THCS

Gi¶i ph¬ng tr×nh: + + =

(1)

Híng dÉn: §KX§: x ≠ 1; x ≠ 2; x ≠ 3; x ≠ - 6 Qui ®ång, khö mÉu ta ®îc (1) ⇔ + = ⇔ = 5 x − 12 = 0 ⇔  2 2  x + 5x − 6 = x − 5x + 6 ⇔ x = 2,4 hoÆc x =

1,2 (Tho¶ m·n §KX§)

S = {2,4; 1,2} *

Gi¶i ph¬ng tr×nh: +++=+++

(1)

Híng dÉn: §KX§: x ∉ {0; - 1; - 2; - 3; - 4; - 5; - 6} Qui ®ång, khö mÉu ta ®îc +=+ ⇔ x = - 3,5 (Tho¶ m·n §KX§) S = {- 3,5} Gi¶i ph¬ng tr×nh: + + + … + = 3

(1)

Híng dÉn: §KX§: x ≠ 0 (1) ⇔ [(x - 1) + (x - 2) + … + 1] = 3 ⇔ 0,5 (x - 1) = 3 ⇔ x = 7 (Tho¶ m·n §KX§) S = {7} Gi¶i ph¬ng tr×nh: +=+

GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

29

(1)

Trêng THCS

Híng dÉn: §KX§: x ≠ - 1; x ≠ - 2; x ≠ - 3; x ≠ - 4 (1) ⇔ x + 1 + + x + 4 + = x + 2 + + x + 3 + ⇔ + =+ Qui ®ång, khö mÉu ta ®îc 2x (2x - 5) = 0 m·n §KX§) S = {0; - 2,5} *

x = 0 ⇔   x = −2,5

Gi¶i ph¬ng tr×nh: + = +

(Tho¶

(1)

Híng dÉn: §KX§: x ∈ R MTC: x4 + 4 = (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2) (1) ⇔ 2 + = 2 + Qui ®ång, khö mÉu ta ®îc x4 = ⇔ x = ± 0,5 (Tho¶ m·n §KX§) S = { ± 0,5} Gi¶i ph¬ng tr×nh: - = + (1) Híng dÉn: §KX§: x ∈ R (1) ⇔ 3 + - = + ⇔ (1 - ) + (1 - ) + (1 - ) + = 0 ⇔ (x2 - 2) (+ + + ) = 0 ⇔ x = ± (Tho¶ m·n §KX§) S = {± } * GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

Gi¶i ph¬ng tr×nh: - = (1) 30

Trêng THCS

Híng dÉn: §KX§: x ∈ R MTC: x (x2 + x + 1) (x2 + - x + 1) = (x4 + x2 + 1) x x = 1,5 (Tho¶ m·n §KX§) S = {1,5} Gi¶i ph¬ng tr×nh: + + =

(1)

Híng dÉn: §KX§: x ≠ - 1; x ≠ - 2; x ≠ - 3; x ≠ - 4; x ≠ - 5 (1) ⇔ + + = ⇔ - + -+ -= ⇔ - = Qui ®ång, khö mÉu ta ®îc (x + 2) (x + 5) = 40 ⇔ x2 + 7x - 30 =0 ⇔ (x - 3) (x + 10) = 0 x = 3 hoÆc x = -10 (Tho¶ m·n §KX§) S = {3; - 1 *

Gi¶i ph¬ng tr×nh: + = (1)

§KX§: x ∈ R (1) ⇔ 1 - + 1 - = ⇔ ⇔

(-

1 ) 2

+(-

1 3

Híng dÉn:

)=0

(x2 + 2x) (+) = 0 Qui ®ång, khö mÉu ta ®îc x = 0 hoÆc x = - 2 (Tho¶ m·n §KX§) S = {0; - 2} C¸ch 2: §Æt x2 + 2x + 2 = y (y > 0) Ta cã (1) ⇔ + = ⇔ y = 2 GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

31

Trêng THCS

*

Gi¶i ph¬ng tr×nh: =

(1)

Híng dÉn: C¸ch 1: §Æt 2006 - x = y ta cã: = Qui ®ång, khö mÉu ta ®îc 4y2 - 4y - 15 = 0 ⇔ y = - 2,5 hoÆc y = 1,5 x = 2004,5 hoÆc x = 2008,5 (Tho¶ m·n §KX§) S = {2004,5; 2008,5 } C¸ch 2: §Æt 2006 - x = a; x - 2007 = b C¸ch 3: (1) ⇔ 1 + = *

Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh: = (1) Híng dÉn: 2 §Æt x + 7x + a = y ta cã = ⇔ x = y Khi ®ã x - y = 0 Kh«ng tho¶ m·n §KX§ VËy, ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm víi mäi a. Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh: = (1) Híng dÉn:

§KX§: x ; x ¸p ®ông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã: = §K: b ≠ - 3c; c ≠ - 3b; c ≠ 0 th× x = ab/c c = 0; a ≠ 0 th× ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm. NÕu a = c = 0 th× S = R. ≠

*

≠

Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh: + = 2 (1)

GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

32

Trêng THCS

Híng dÉn:

§KX§: x ≠ 3; x ≠ a Qui ®ång, khö mÉu ta ®îc 2 (a + 3) x = (a + 3)2 NÕu a = - 3 th× (2) ⇔ 0 x = 0 Ph¬ng tr×nh (2) nghiÖm ®óng víi mäi x Ph¬ng tr×nh (1) nghiÖm ®óng víi mäi x ≠ ± 3 NÕu a ≠ - 3 th× (2) ⇔ x = gÝa trÞ nµy lµ nghiÖm cña (1) khi vµ chØ khi

(2)

a + 3  2 ≠ a ⇔  a + 3 ≠ 3  2

a

≠

3

VËy, nÕu a = - 3 th× ph¬ng tr×nh (1) nghiÖm ®óng víi mäi x ≠ ± 3 NÕu a = 3 th× ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm. NÕu a ≠ ± 3 th× ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm x = *

Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh: = -

(1)

Híng dÉn: §KX§: x ≠ 4m; x ≠ m; x ≠ 4 Qui ®ång, khö mÉu ta ®îc (11m + 4) x = 4m (16 - m) (2) NÕu m = th× ph¬ng tr×nh (2) v« nghiÖm, tõ ®ã ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm. NÕu m ≠ th× (2) ⇔ x =

gÝa trÞ nµy lµ nghiÖm cña (1) khi vµ chØ khi

⇔

 4m(16 − m)  11m + 4 ≠ 4m   4m(16 − m) ≠m   11m + 4  4m(16 − m)  11m + 4 ≠ 4 

m ∉ {0; 1; 4} VËy, nÕu m ∈ {0; 1; 4; - } th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. NÕu m ∉ {0; 1; 4; - } th× ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm lµ x= * Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh: GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

33

Trêng THCS

- =

(1) Híng dÉn:

§KX§: x ≠ - a; x ≠ -10 (1) ⇔ = 0 NÕu a = 0 th× ph¬ng tr×nh (1) nghiÖm ®óng víi mäi x (Trõ x = 0; x = - 10) NÕu a ≠ 0 th× ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm. *T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh =

(1) cã nghiÖm duy nhÊt.

Híng dÉn:

§KX§: x ≠ 1; x ≠ 1/m Qui ®ång, khö mÉu ta ®îc (m - 1) (m + 1) x = m - 1 Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n §KX§.   m ≠ ±1   1 ⇔  ≠1 m + 1  1  1  m + 1 ≠ m

 m ≠ ±1 ⇔ m ≠ 0

* T×m a nguyªn ®Ó ph¬ng tr×nh = a + (1) cã nghiÖm nguyªn duy nhÊt. Híng dÉn: §KX§ : x ≠ 2 Qui ®ång, khö mÉu ta ®îc 2ax = 3a + 2 §Ó ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm nguyªn duy nhÊt th× a vµ x = ∈ Z Mµ = 1 + ⇔

1 2

+

1 a

nªn

∈

Z

⇔

1 2

+

1 ∈ a

Z

⇔

a= ± 2 Víi a = 2 th× x = 2 (Kh«ng tho¶ m·n §KX§) Víi a = - 2 th× x = 1 (Tho¶ m·n §KX§) VËy, a = -2.

1 a

=

±

≠

0

1 2

ph¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu gÝa trÞ tuyÖt ®èi

GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

34

Trêng THCS

A. kiÕn thøc cÇn nhí 1. §Þnh nghÜa:

= A nÕu A ≥ 0 = - A nÕu A < 0

A A

2. §Þnh lÝ vÒ dÊu cña nhÞ thøc bËc nhÊt: NhÞ thøc bËc nhÊt ax + b (a NhÞ thøc bËc nhÊt ax + b (a

≠ ≠

0) cïng dÊu víi a khi x > - b/a. 0) kh¸c dÊu víi a khi x < - b/a.

3. TÝnh chÊt gÝa trÞ tuyÖt ®èi: A + B ≤ A + B . DÊu "=" x¶y ra khi AB ≥ 0. A − B ≤ A − B . DÊu "=" x¶y ra khi AB ≥ 0. AB = A B A A = B B A ≥ 0 víi mäi A. DÊu "=" x¶y ra khi A = 0. A ≥ A víi mäi A. DÊu "=" x¶y ra khi A ≥ 0. A ≥ - A víi mäi A. DÊu "=" x¶y ra khi A ≤ 0.

4.C¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh chøa dÊu gÝa trÞ tuyÖt ®èi: . C¸ch 1: XÐt kho¶ng. . C¸ch 2: BiÕn ®æi t¬ng ®¬ng. f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = ± g ( x)  g ( x) ≥ 0 f ( x) = g ( x ) ⇔   f ( x ) = ± g ( x)

. C¸ch 3: nhËn xÐt gÝa trÞ hai vÕ. b bµi tËp Gi¶i ph¬ng tr×nh: x − 3 + x + 2 = 7

(1)

Híng dÉn:

XÐt ba kho¶ng: x < - 2; - 2 ≤ x < 3; x ≥ 3 S = {- 3; 4}.

Gi¶i ph¬ng tr×nh: x − 2 + x − 8 = 6

(1)

Híng dÉn:

C¸ch 1: XÐt kho¶ng. C¸ch 2: Sö dông tÝnh chÊt gÝa trÞ tuyÖt ®èi. S = {x\ 2 ≤ x ≤ 8}. GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

35

Trêng THCS

2 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh: x − x + 1 + x − x − 2 = 3

(1)

Híng dÉn:

C¸ch 1: XÐt kho¶ng. C¸ch 2: Sö dông tÝnh chÊt gÝa trÞ tuyÖt ®èi. S = {x\ - 1 ≤ x ≤ 2}. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 5 x + 2 + 5 x − 4 = 4

(1)

Híng dÉn:

C¸ch 1: XÐt kho¶ng. C¸ch 2: Sö dông tÝnh chÊt gÝa trÞ tuyÖt ®èi. S = ∅. Gi¶i ph¬ng tr×nh: x − 3 − x = 7 C¸ch 1: XÐt kho¶ng. C¸ch 2: (1) ⇔ x − 3 = x + 7 ⇔

(1)

Híng dÉn:

x − 3 = x + 7 x − 3 = −x − 7 

S = {-2}.

2 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh: x − 5 x + 5 = −2 x + 10 x − 1

Gi¶i t¬ng tù bµi trªn. S = {2; 3}.

(1)

Híng dÉn:

3 2 3 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh: x − x − x − 2 = 2 x + 2 x + x − 2

(1)

Híng dÉn:

XÐt kho¶ng, lu ý x − x − x − 2 = (x - 2) (x2 + x + 1) S = {1}. 3

2

Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + 3 = 5 − x

(1)

Híng dÉn:

C¸ch 1: XÐt kho¶ng. C¸ch 2: B×nh ph¬ng hai vÕ. C¸ch 3: BiÕn ®æi t¬ng ®¬ng S = {1}. GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

36

Trêng THCS

Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1 − 2 y = y + 1

(1)

Híng dÉn:

C¸ch 1: XÐt kho¶ng. C¸ch 2: B×nh ph¬ng hai vÕ. C¸ch 3: biÕn ®æi t¬ng ®¬ng S = {0; 2}.

Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + 1 − x = x + x − 3

(1)

Híng dÉn:

XÐt c¸c kho¶ng: x < 0; 0 ≤ x < 1; 1 ≤ x < 3; x ≥ 3. S = {-1; 2}. Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + 1 − x + 3 x − 1 − 2 x − 2 = x + 2

(1)

Híng dÉn:

XÐt c¸c kho¶ng: x < - 1; - 1 ≤ x < 0; 0 ≤ x < 1; 1 ≤ x < 2; x ≥ 2. S = {-2; x ≥ 2}. Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + 2 − 3 = 1

(1)

Híng dÉn:  x + 2 −3 =1

C¸ch 1: (1) ⇔ 

 x + 2 − 3 = −1

C¸ch 2: XÐt kho¶ng S = {- 6; - 4; 0; 2} Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + 1 − 2 = 3 Gi¶i t¬ng tù bµi trªn. S = {- 6; 4}.

Híng dÉn:

Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + 1 = x( x + 1) (1) ⇔ x + 1 ( x − 1) = 0

(1)

(1)

Híng dÉn:

 x = −1 ⇔  x = 1 S = { ± 1}.

Gi¶i ph¬ng tr×nh: y ( y − 1) = y GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

37

(1) Trêng THCS

Híng dÉn:

Gi¶i t¬ng tù bµi trªn. S = {0; 2}.

2 Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + 2 x + 2 + x − 1 = 0

(1)

Híng dÉn:

VT > 0 víi mäi x. S = ∅.

2 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh: x − 8 x + 16 x = 0

(1)

Híng dÉn:

Hai sè h¹ng ë vËn tèc ®Òu kh«ng ©m víi mäi x. S = {0}. Gi¶i ph¬ng tr×nh: x = m

(1)

Híng dÉn:

C¸ch 1: XÐt kho¶ng. C¸ch 2: Ph¬ng ph¸p ®å thÞ. C¸ch 3: BiÕn ®æi t¬ng ®¬ng.

* Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + a 2 − x − 2a = 3a

(1)

Híng dÉn: + NÕu a = 0 th× (1) ⇔ 2 x − x = 0 ⇔ x = 0 + NÕu a < 0 th× - a > 2a. XÐt c¸c kho¶ng: x < 2a; 2a ≤ x < -a; x ≥ - a Ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm lµ x = - a. + NÕu a > 0 th× - a < 2a. XÐt c¸c kho¶ng: x < - a; - a ≤ x < 2a; x ≥ 2a. Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ x = - 7a; a. * Gi¶i ph¬ng tr×nh: x +

2a a + x x

=

a2 x

(1)

Híng dÉn:

§KX§: x 0. Qui ®ång, khö mÉu ta ®îc(1) ⇔ ≠

{x

2

+ 2 a + x = a2

 x 2 + 2a ( x + a ) − a 2 = 0

 + Víi x ≥ - a th× (1) ⇔ 

 x ≠ 0

GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

38

Trêng THCS

⇔ x = - a (a ≠ 0)

 x = −a ( Loai )  x 2 − 2a ( x + a ) − a 2 = 0 ⇔ ⇔ + Víi x < - a th× (1)   x ≠ 0  x = 3a ( Voia < 0 )

Tãm l¹i: - NÕu a = 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. - NÕu a > 0 th× x = - a. - NÕu a < 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = - a; x = 3a. * Gi¶i ph¬ng tr×nh:

( a+b ) ba − x + x − 2

2

= x−

a 2 + b2 2

(1)

Híng dÉn: a +b 2 2 2 2 a +b  a+b  ≥ Mµ  ≥ ab nªn víi ®iÒu kiÖn trªn ta cã 2  2 

§K: x

≥

2

2

2

a+b a 2 + b2 (1) ⇔ x - ab + x -  = x  2  2  2

a+b a 2 + b2 ⇔ x =  +ab  2  2  2

a 2 + b2 a 2 + b2  a+b ⇔ ≥ gÝa trÞ nµy tho¶ m·n §K trªn   +ab 2 2  2  ⇔ a = b.

VËy, Víi a ≠ b th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. Víi a = b th× S = {ab = a2 = b2}. 16 19 * Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn: x − 3 + x − 4 = 1

(1)

Híng dÉn:

* C¸ch 1: + NÕu x = 3 (Tho¶ m·n ph¬ng tr×nh ). + NÕu x = 4 (Tho¶ m·n ph¬ng tr×nh ). + NÕu x < 3 th× x − 4 = 4 - x > 1 (Lo¹i). + NÕu x > 4 th× x − 3 = x - 3 > 1 (Lo¹i). S = {3; 4}. * C¸ch 2: Do x ∈ Z nªn c¶ hai sè h¹ng ë vËn tèc cña ph¬ng tr×nh ®· cho ®Òu lµ c¸c sè tù nhiªn, ⇒ mét trong hai sè h¹ng b»ng 0, cßn sè h¹ng kia b»ng 1.

GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

39

Trêng THCS

5

6

* Gi¶i ph¬ng tr×nh: x − 8 + x − 9 = 1 Gi¶i t¬ng tù bµi trªn. S = {8; 9}.

(1)

Híng dÉn:

gi¶I bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh A. kiÕn thøc cÇn nhí C¸c bíc gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh. Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh. Chän Èn vµ ®Æt ®iÒu kiÖn thÝch hîp cho Èn BiÓu diÔn c¸c ®¹i lîng cha biÕt qua Èn vµ c¸c ®¹i lîng ®· biÕt. LËp ph¬ng tr×nh biÓu thÞ mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng. Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh. Bíc 3: Tr¶ lêi: KiÓm tra xem trong c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh, nghiÖm nµo tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña Èn, nghiÖm nµo kh«ng, råi kªt luËn. Chó ý: * Chän Èn lµ kh©u mÊu chèt trong bíc lËp ph¬ng tr×nh, bíc nµy cã nhiÒu khã kh¨n, cÇn thùc hiÖn nh sau: - §äc ®Ò, tãm t¾t ®Ò, nh÷ng sè liÖu nµo ®· biÕt, nh÷ng sè liÖu nµo cha biÕt. - Cã thÓ chän bÊt k× sè liÖu cha biÕt nµo lµm Èn còng ®îc, th«ng thêng c¨n cø vµo ®iÒu ®ßi hái cña bµi to¸n ®Ó chän Èn, chó ý chän Èn ®Ó ®îc c¸ch gi¶i ®¬n gi¶n nhÊt. - Chó ý x¸c ®Þnh ®¬n vÞ, ®iÒu kiÖn cho Èn. * C¸c sè liÖu biÓu thÞ theo Èn ph¶i cã ®¬n vÞ * §Ó biÓu thÞ c¸c sè liÖu cha biÕt qua Èn vµ lËp ph¬ng tr×nh cÇn n¾m ®îc c¸c c«ng thøc - Trong chuyÓn ®éng: S = vt - To¸n vÒ nhiÖt lîng: m kgníc gi¶m t0 c to¶ ra nhiÖt lîng Q = mt kcal Q to¶ = Q thu - To¸n vÒ nång ®é: mg chÊt tan trong M g dung dÞch th× nång ®é phÇn tr¨m lµ 100m/M - To¸n vÒ ®æi míi kÕ ho¹ch: S¶n lîng = n¨ng suÊt . thêi gian - To¸n qui vÒ ®¬n vÞ * §Ó gi¶i bµi to¸n bËc nhÊt, ph¶i phiªn dÞch tõ ng«n ng÷ th«ng th¬ng sang ng«n ng÷ d¹i sè, tøc lµ ph¶i biÓu thÞ c¸c ®¹i lîng trong bµi to¸n theo Èn vµ c¸c ®¹i lîng ®· biÕt råi lËp ph¬ng tr×nh biÓu thÞ sù t¬ng quan gi÷a c¸c ®¹i lîng. GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

40

Trêng THCS

b bµi tËp . Cho sè tù nhiªn cã 5 ch÷ sè, nÕu viÕt thªm ch÷ sè 1 vµo sau sè ®ã ta ®îc sè A cã 6 ch÷ sè. NÕu viÕt thªm ch÷ sè 1 vµo tríc sè ®ã ta ®îc sè B cã 6 ch÷ sè. BiÕt A = 3B. T×m sè ®· cho. Híng dÉn: Gäi sè ph¶i` t×m lµ x = abcde Theo bµi ra ta cã: abcde1 = 3 . 1abcde ⇔ 10x + 1 = 3. (100000 + x) ⇔ x = 42 857 . T×m 5 sè nguyªn liªn tiÕp biÕt tæng c¸c b×nh ph¬ng cña 3 sè nhá b»ng tæng c¸c b×nh ph¬ng cña 2 sè lín. Híng dÉn: Gäi 5 sè nguyªn ph¶i t×m lµ x - 2; x - 1; x; x + 1; x + 2 Ph¬ng tr×nh: (x - 2)2 + (x - 1)2 + x2 = (x + 1)2 + (x + 2)2 ⇔ x = 0 hoÆc x = 12 VËy 5 sè ph¶i t×m lµ (- 2; - 1; 0; 1; 2) hoÆc (10; 11; 12; 13; 14) . Tæng 4 sè b»ng 45. NÕu lÊy sè thø nhÊt céng víi 2; sè thø hai trõ ®i 2; sè thø ba nh©n víi 2; sè thø ba chia cho 2 th× ®îc 4 kÕt qu¶ bµng nhau. T×m 4 sè ban ®Çu. Híng dÉn: Gäi kÕt qu¶ cña 4 phÐp tÝnh lµ x Ph¬ng tr×nh: (x - 2) + (x + 2) + 2x + = 45 ⇔x = 6 Tr¶ lêi: Bèn sè ban ®Çu lµ 8; 12; 5; 20 *. T×m mét sè biÕt r»ng nÕu bá ®i ch÷ sè ®Çu tiªn th× sè ®ã gi¶m 58 lÇn. Híng dÉn: n-1 GØa sö A = a . 10 + B vµ A = 58 B ⇒

57B = a . 10n - 1 V« lÝ v× VT: 19; VP kh«ng chia hÕt cho 19.

Tr¶ lêi: Kh«ng tån t¹i sè tho¶ m·n bµi to¸n. *. T×m sè cã hai ch÷ sè nÕu chia sè ®ã cho tæng c¸c ch÷ sè cña nã th× ®îc th¬ng b¨ng nöa tæng c¸c ch÷ sè cña nã. Híng dÉn: GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

41

Trêng THCS

Gäi sè ph¶i t×m lµ xy Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: (10x + y) : (x + y) = (x + y) : 3 ⇒ 3 (10x + y) = (x + y)2 ( x + y ) 2 = 26  ⇒ (x + y ): 3 ⇒ ( x + y ) 2 = 81 ( x + y ) 2 = 144 

Tr¶ lêi: Sè ph¶i t×m lµ 27; 48. *. T×m sè cã hai ch÷ sè biÕt sè ®ã lµ béi cña tÝch c¸c ch÷ sè cña nã. Híng dÉn: Gäi sè cÇn t×m lµ xy Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: xy = kxy ⇔ 10x = y (kx - 1) ⇒ y = 10x : (kx - 1) Mµ (x; kx - 1) = 1 nªn 10 M(kx - 1) ⇒ kx - 1 ∈ {1; 2; 5; 10} ⇒ xy ∈ {15; 12; 24; 36; 11} . Mét ngêi ®i bé tõ nhµ ®Õn ga. Trong 12 phót ®Çu, ngêi ®ã ®i ®îc 700 mvµ thÊy nÕu nh vËy sÏ ®Õn ga chËm 40 phót. V× thÕ, trªn qu·ng ®êng cßn l¹i, ngêi ®ã ®· ®i víi vËn tèc 5 km/h. Do ®ã ®Õn ga sím 5 phót. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ nhµ ®Õn ga. Híng dÉn: Gäi qu·ng ®êng cßn l¹i lµ x km §K: x > 0 VËn tèc ngêi ®ã ®i trªn 700 m = 0,7 km ®o¹n ®êng ®Çu trong thêi gian 12 phót = 0,2 giê lµ 0,7 : 0,2 = 3,5 (km/h) Do ®æi vËn tèc, thêi gian ®i hÕt Ýt h¬n thêi gian dù ®Þnh lµ 40 + 5 = 45 phót = h. Ph¬ng tr×nh:

x -= 3,5

⇔ x = 8,75 (Tho¶ m·n §K cña Èn)

Tr¶ lêi: Kho¶ng c¸ch tõ nhµ ®Õn ga lµ 8,75 + 0,7 = 9,45(km) . Mét « t« ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 60 km/h vµ trë vÒ tõ B ®Õn A víi vËn tèc 40 km/h. TÝnh vËn tèc trung b×nh cña « t«. Híng dÉn: Gäi vËn tèc trung b×nh trªn ®o¹n ®êng AC lµ x km/h, qu·ng ®êng AB lµ S km (§K: 24 < x < 27) Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: = + ⇔ x = 48 (Tho¶ m·n §K cña Èn) Tr¶ lêi: VËn tèc trung b×nh cña « t« lµ 48 km/h. GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

42

Trêng THCS

. Mét chuyÓn ®éng tõ A, qua B, ®Õn C biÕt vËn tèc chuyÓn ®éng trªn ®o¹n ®êng AB lµ 24 km/h, vËn tèc chuyÓn ®éng trªn ®o¹n ®êng BC lµ 32 km/h, vËn tèc chuyÓn ®éng trung b×nh trªn ®o¹n AC lµ 27 km/h, hiÖu ®é dµi hai ®o¹n ®êng AB vµ BC lµ 6 km. TÝnh qu·ng ®êng AB. Híng dÉn: Gäi lµ qu·ng ®êng AB lµ x km (§K: > 6) Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: + = ⇔ x = 30 (Tho¶ m·n §K cña Èn) Tr¶ lêi: Qu·ng ®êng AB lµ 30 km. . Mét ngêi ®i tõ A ®Õn B mÊt 2 giê, khi trë vÒ mÊt 3 giê. Ngµy h«m sau ngêi ®ã l¹i ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc b»ng vËn tèc trung b×nh cña h«m ®Çu, sau khi ®i ®îc 2 giê cßn c¸ch B 4 km. TÝnh qu·ng ®êng AB. Híng dÉn: Gäi qu·ng ®êng AB lµ x km(§K: x > 4). Ta cã vËn tèc trung b×nh cña h«m ®Çu lµ km/h. Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: 2. + 4 = x ⇔ x = 20 (Tho¶ m·n §K cña Èn) Tr¶ lêi: Qu·ng ®êng AB lµ 20 km. . Mét ngêi ®i xe m¸y tõ A ®Õn B víi vËn tèc 40 km/h. §i ®îc 15 phót ngêi ®ã gÆp mét « t« ®i tõ B ®Õn víi vËn tèc 50 km/h. ¤ t« ®Õn A nghØ 15 phót råi trë vÒ B vµ gÆp ngêi ®i xe m¸y c¸ch B 20 km. TÝnh qu·ng ®êng AB. Híng dÉn: Gäi C; D lÇn lît n¬i hai xe gÆp nhau lÇn 1 vµ lÇn 2. Gäi qu·ng ®êng CD lµ x km (§K: x > 0) Qu·ng ®êng AC dµi 40 . 15/60 = 10 km Thêi gian xe m¸y ®i tõ C ®Õn D lµ x/ 40 km/h A C D B Trong thêi gian nµy, « t« ®I c¸c qu·ng ®êng CA, AD vµ nghØ 15 phót. Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: = + ⇔ x = 130 (Tho¶ m·n §K cña Èn) Tr¶ lêi: Qu·ng ®êng AB dµi 10 + 130 + 20 = 160 km. . Mét xe ®¹p, mét xe m¸y, mét « t« khëi hµnh lÇn lît tõ 6h, 7h, 8h víi vËn tèc lÇn lît lµ 10 km/h, 30 km/h, 40 km/h. Hái ®Õn mÊy giê th× « t« c¸ch ®Òu xe ®¹p vµ xe m¸y. Híng dÉn: GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

43

Trêng THCS

C¸ch 1: Gäi thêi gian kÓ tõ lóc 8 h ®Õn lóc « t« c¸ch ®Òu xe ®¹p vµ xe m¸y lµ x h (§K: x > 0) Khi ®ã xe ®¹p ®· ®i ®îc 20 + 10x (km) xe m¸y ®· ®i ®îc 30 + 30x (km) « t« ®· ®i ®îc 40 x (km) Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: 40 x = (10x + 20 + 30x + 30) ⇔ x = 1,25 (Tho¶ m·n §K cña Èn) Tr¶ lêi: Thêi ®iÓm mµ « t« c¸ch ®Òu xe ®¹p vµ xe m¸y lµ 8 + 1,25 = 9,25h = 9h15'. C¸ch 2: Gäi thêi ®iÓm cÇn t×m lµ x. . A vµ B dù ®Þnh ®Õn nhµ nhau ch¬i, A ®i lóc 3h kÐm 15'víi vËn tèc 4 km/h, B ®I lóc 3 h víi vËn tèc 3 km/h, hai ngêi gÆp nhau vµ cïng ®Õn nhµ B. Khi trë vÒ nhµ, A thÊy qu·ng ®êng m×nh ®i gÊp 4 lÇn qu·ng ®êng B ®i. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai nhµ. Híng dÉn: Gäi qu·ng ®êng AB lµ x km (§K: x > 0) ⇒ A ®I ®îc 2x km, B ®i ®îc km. §Õn lóc gÆp nhau, A ®i ®îc km, B ®i ®îc km trong thêi gian lÇn lît lµ h, h Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: - = ⇔ x = 2,4 (Tho¶ m·n §K cña Èn) Tr¶ lêi: Kho¶ng c¸ch gi÷a hai nhµ lµ 2,4 km. . Mét chiÕc m« t« vµ mét chiÕc « t« ®i tõ A ®Õn B, m« t« ®i víi vËn tèc 62 km/h, « t« ®i víi vËn tèc 55 km/h. §Ó hai xe cïng ®Õn ®Ých mét lóc, ngêi ta ®· tÝnh to¸n cho « t« ch¹y tríc mét thêi gian, nhng v× lÝ do ®Æc biÖt, khi ch¹y ®îc 2/3 qu·ng ®êng AB xe « t« buéc ph¶i ch¹y víi vËn tèc 27,5 km/h. V× vËy khi cßn c¸ch B 124 km th× m« t« ®· ®uæi kÞp « t«. TÝnh qu·ng ®êng AB. Híng dÉn: Gäi qu·ng ®êng AB lµ x km lµ x (§K: x > 124) Thêi gian m« t« dù ®Þnh ®i lµ h, thêi gian « t« dù ®Þnh ®I lµ h. Thêi gian « t« dù ®Þnh ®i tríc lµ - (h) Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: + - = + ⇔ x = 514 (Tho¶ m·n §K cña Èn) Tr¶ lêi: Qu·ng ®êng AB lµ 514 km. . Mét « t« dù ®Þnh ®i qu·ng ®êng AB dµi 60 km trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh. ¤ t« ®i nöa qu·ng ®êng víi vËn tèc GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

44

Trêng THCS

h¬n vËn tèc dù ®Þnh 10 km/h vµ ®I nöa qu·ng ®êng sau víi vËn tèc kÐm vËn tèc dù ®Þnh 6 km/h. BiÕt « t« ®Õn ®óng thêi gian ®· ®Þnh. TÝnh thêi gian « t« dù ®Þnh ®i. Híng dÉn: Gäi vËn tèc o t« dù ®Þnh ®i lµ x km/h (§K: x > 6) Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: + = ⇔ x = 30 (Tho¶ m·n §K cña Èn) Thêi gian « t« dù ®Þnh ®i lµ 60 : 30 = 2 (h) Tr¶ lêi: Thêi gian « t« dù ®Þnh ®i lµ 2 (h) C¸ch 2: Gäi thêi gian « t« dù ®Þnh ®i lµ x (h) 30 30 + =x ⇔x = 2 60 60 Ta cã ph¬ng tr×nh: + 10 −6 x x

. Hai tay ®ua ch¹y víi vËn tèc kh«ng ®æi trªn vßng trßn cña mét ®êng ®ua. Khi hä ch¹y ngîc chiÒu nhau th× cø sau 10 gi©y hä l¹i gÆp nhau mét lÇn, khi hä ch¹y cïng chiÒu th× cø sau 170 gi©y hä l¹i gÆp nhau mét lÇn. TÝnh vËn tèc cña mçi ngêi biÕt chiÒu dµi ®êng ch¹y lµ 170m. Híng dÉn: Gäi vËn tèc ngêi ch¹y chËm lµ x (m/s) (§K: x > 0) Trong 10 gi©y, ngêi ch¹y chËm ch¹y ®îc 10x (m), ngêi ch¹y nhanh ch¹y ®îc 170 - 10x (m). V× nÕu ch¹y cïng chiÒu th× cø sau 10 gi©y hä l¹i gÆp nhau mµ 170 : 10 = 17 nªn theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: 17. (170 - 10x - 10x) = 170 ⇔ x = 8 (Tho¶ m·n §K cña Èn) Tr¶ lêi: vËn tèc cña ngêi ch¹y chËm vµ vËn tèc cña ngêi ch¹y nhanh lÇn lît lµ 8m/s, 9m/s. . Mét chiÕc thuyÒn xu«i mét ®o¹n s«ng hÕt 5 giê vµ ngîc dßng trªn ®o¹n s«ng Êy hÕt 7 giê. Hái mét c¸nh bÌo tr«i trªn ®o¹n s«ng Êy mÊt bao l©u. Híng dÉn: Gäi thêi gian c¸nh bÌo tr«i trªn ®o¹n s«ng Êy lµ x h (§K: x > 5) vËn tèc dßng níc hay vËn tèc c¸nh bÌo tr«i lµ x /3 (km/h) Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: = ( - ): 2 ⇔ x = 35 (Tho¶ m·n §K cña Èn) Tr¶ lêi: C¸nh bÌo tr«i trªn ®o¹n s«ng Êy mÊt 35 giê. GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

45

Trêng THCS

*. Mét ngêi ®i tõ A ®Õn B råi quay vÒ A mÊt 3h 41'. §o¹n dêng AB gåm mét ®o¹n lªn dèc, mét ®o¹n ®êng b»ng vµ mét ®o¹n xuèng dèc. BiÕt AB = 9km, vËn tèc lªn dèc lµ 4km/h, vËn tèc xuèng dèc lµ 6km/h vµ vËn tèc trªn do¹n ®êng b»ng lµ 5km/h. Hái ®o¹n ®êng b»ng dµi bao nhiªu? Híng dÉn: Gäi chiÒu dµi ®o¹n ®êng b»ng lµ x km (§K: 0 < x < 9) Ngêi ®ã ph¶i ®i hai lÇn ®o¹n ®êng 9 - x k m víi vËn tèc 5 km/h Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: ++ = 3 ⇔ x = 4 (Tho¶ m·n §K cña Èn) Tr¶ lêi: §o¹n ®êng AB dµi 4km. *. Lóc ®i däc ®êng ray tµu ®iÖn, mét ngêi ®Ó ý thÊy cø 12 phót th× cã mét chuyÕn tµu vît qua vµ cø trong 4 phót l¹i cã mét chuyÕn tµu gÆp ngêi ®ã theo chiÒu ngîc l¹i. Hái c¸c chuyÕn tµu rêi tr¹m ®Çu mèi c¸ch nhau bao l©u. Híng dÉn: GØa sö c¸c chuyÕn tµu rêi tr¹m ®Çu mèi c¸ch nhau x phót (§K: 4 < x < 12) ⇒ chuyÕn tµu ®Õn lóc vît qua A ®· ch¹y trong 12 - x phót trªn qu·ng ®êng A ®i trong 12 phót ⇒ tµu ®i trong (12 - x) : 12 phót qu·ng ®êng A ®i trong 1 phót. ChiÒu ngîc l¹i, trong x - 4 phót, tµu ch¹y qu·ng ®êng A ®i trong 4 phót ⇒ qu·ng ®êng A ®i trong 1 phót tµu sÏ ®i trong (x - 4) : 4 phót Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: (12 - x) : 12 = (x - 4) : 4 ⇔ x = 6 (Tho¶ m·n §K cña Èn) Tr¶ lêi: C¸c chuyÕn tµu rêi tr¹m ®Çu mèi c¸ch nhau 6 phót. *. Trªn qu·ng ®êng AB cña mét thµnh phè, cø 6 phót l¹i cã mét xe buýt ®i theo chiÒu tõ A ®Õn B vµ còng cø 6 phót l¹i cã mét xe buýt ®i theo chiÒu ngîc l¹i, c¸c xe nµy chuyÓn ®«ng víi vËn tèc nh nhau vµ kh«ng ®æi trong thêi gian chuyÓn ®éng. GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

46

Trêng THCS

Mét du kh¸ch ®i tõ A ®Õn B nhËn thÊy cø l¹i cã mét xe buýt ®i tõ B vÒ phÝa m×nh, Hái cø bao nhiªu phót l¹i cã mét xe buýt ®i tõ A vît qua ngêi ®ã. Híng dÉn: Gäi thêi gian ph¶i t×m lµ x phót, thêi gian ngêi ®ã ®I bé tõ A ®Õn B lµ a phót (§K: x > 6) Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: = + ⇔ x = 7,5 (Tho¶ m·n §K cña Èn) Tr¶ lêi: Cø bao nhiªu phót l¹i cã mét xe buýt ®i tõ A vît qua ngêi ®ã. *. Cã bao nhiªu vÞ trÝ trªn mÆt ®ång hå ch¹y ®óng mµ kim giê vµ kim phót trïng nhau? Híng dÉn: Gäi sè giê kÓ tõ 0 h ®Õn lóc hai kim gÆp nhau lµ x (§K: x > 0) Trong thêi gian ®ã, kim giê quay ®îc x v¹ch chia giê, kim phót quay ®îc 12x v¹ch chia giê, kim phót ch¹y nhiÒu h¬n kim giê 12 v¹ch chia. Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: 12x - x = 12 ⇔ x = 12/11(Tho¶ m·n §K cña Èn) Tr¶ lêi: Sè vÞ trÝ trªn mÆt ®ång hå ch¹y ®óng mµ kim giê vµ kim phót trïng nhau lµ 12 : = 11 vÞ trÝ. . Mét c«ng trêng giao cho c¸c ®éi c«ng nh©n söa mét ®o¹n ®êng nh sau: §éi 1 nhËn 10 m vµ 1/10 phÇn cßn l¹i. §éi 2 nhËn 20 m vµ 1/10 phÇn cßn l¹i. §éi 3 nhËn 30 m vµ 1/10 phÇn cßn l¹i… Cø chia nh vËy cho ®Õn ®éi cuèi cïng th× hÕt vµ phÇn ®êng mçi ®éi ph¶i söa dµi b»ng nhau. TÝnh sè ®éi tham gia söa ®êng vµ tæng chiÒu dµi ®o¹n ®êng ph¶i söa. Híng dÉn: C¸ch 1: Gäi chiÒu dµi ®o¹n ®êng ph¶i söa lµ x (m) (§K: x > 45) §éi 1 nhËn 10 + 0,1 (x - 10) m §éi 2 nhËn 20 + 0,1 (0,9x - 9 - 20) m Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: 0,1x + 9 = 0,09x + 17,1 ⇔ x = 810 (Tho¶ m·n §K cña Èn) VËy, mçi ®éi ph¶i söa 0,1. 810 + 9 = 90m Tr¶ lêi: Cã 810 : 90 = 9 ®éi tham gia söa ®êng. C¸ch 2: Gäi sè ®éi lµ x. Do ®o¹n ®êng ®îc chia hÕt nªn ®éi cuèi nhËn 10x (m), chiÒu dµi ®o¹n ®êng ph¶i söa lµ 10x2 (m) GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

47

Trêng THCS

§éi 1 nhËn 10 + 0,1 (10x2 - 10) = x2 + 9 Ta cã ph¬ng tr×nh x2 + 9 = 10x ⇔ x = 9 . Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét bÓ sÏ ®Çy sau 3h20'. Ngêi ta cho vßi 1 ch¶y trong 3h, vßi 2 ch¶y trong 2h th× ®îc 4/5 bÓ. TÝnh thêi gian ®Ó mçi vßi ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ. Híng dÉn: Gäi thêi gian ®Ó vßi 1 ch¶y ®Çy bÓ lµ x (h) (§K: x > 3) Trong 1 giê, vßi 1 ch¶y ®îc 1/x bÓ, c¶ 2 vßi ch¶y ®îc 1 : = 3/10 bÓ , vßi 2 ch¶y ®îc - = bÓ Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: + 2. = ⇔ x = 5 (Tho¶ m·n §K cña Èn) Tr¶ lêi: Thêi gian ®Ó vßi 1, vßi 2 ch¶y ®Çy bÓ lÇn lît lµ 5h, 10h. . Ngêi ta ®Æt mét vßi níc ch¶y vµo mét bÓ vµ mét vßi níc ch¶y ra ë lng chõng bÓ. Khi bÓ c¹n, nÕu më c¶ 2 vßi th× sau 2h 42' bÓ sÏ ®Çy níc. Cßn nÕu ®ãng vßi ch¶y ra, më vßi ch¶y vµo th× sau 1h 30' bÓ sÏ ®Çy. BiÕt vßi ch¶y vµo ch¶y m¹nh gÊp ®«I vßi ch¶y ra. a, TÝnh thêi gian níc ch¶y vµo bÓ tõ lóc bÓ c¹n ®Õn lóc níc ngang chç ®Æt vßi ch¶y ra. b, NÕu bÓ cao 2m th× kho¶ng c¸ch tõ chç ®Æt vßi ch¶y ra dÕn ®¸y bÓ lµ bao nhiªu? Híng dÉn: a, Gäi thêi gian cÇn t×m lµ x h (§K: x < 1,5) Trong 1h, vßi ch¶y vµo ch¶y ®îc 1: 1,5 = 2/3 bÓ, vßi ch¶y ra ch¶y ®îc 1/3 bÓ. Trong x giê ®Çu, vßi 1 ch¶y ®îc 2x/3 bÓ Trong 2h 40' - x = 2,7 - x giê cßn l¹i, 2 vßi ch¶y ®îc 1/3 (2,7 - x) bÓ. Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: 2x/3 + 1/3 (2,7 - x) = 1 ⇔ x = 0,3 (Tho¶ m·n §K cña Èn) b, Vßi ch¶y vµo ch¶y trong 1,5 giê th× mùc níc cao 2m nªn riªng vßi ch¶y ch¶y trong 0,3 giê th× mùc níc sÏ cao 2. 0,3 : 1,5 = 0,4 m. GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

48

Trêng THCS

Tr¶ lêi: a, Thêi gian níc ch¶y vµo bÓ tõ lóc bÓ c¹n ®Õn lóc níc ngang chç ®Æt vßi ch¶y ra lµ 0,3 giê. b, Kho¶ng c¸ch tõ chç ®Æt vßi ch¶y ra dÕn ®¸y bÓ lµ 0,4 m.

. §Ó chë mét sè hµng cã thÓ dïng mét « t« chë 12 chuyÕn hoÆc mét « t« nhá chë 15 chuyÕn. ¤ t« lín chë mét sè chuyÕn råi chuyÓn sang lµm viÖc kh¸c, « t« nhá chë tiÕp cho xong. Hái mçi xe chë mÊy chuyÕn biÕt r»ng tæng céng hai xe chë 14 chuyÕn. Híng dÉn: Gäi sè chuyÕn « t« lín chë lµ x (§K: 0 < x < 14) th× « t« nhá chë 14 - x chuyÕn. Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: + = 1 ⇔ x = 4 (Tho¶ m·n §K cña Èn) Tr¶ lêi: Xe lín chë 4 chuyÕn, xe nhá chë 10 chuyÕn.

*. Cã ba c¸nh ®ång cá nh nhau, mäc ®Òu nh nhau ¶tªn toµn bé ba c¸nh ®ång. BiÕt r»ng 9 con bß ¨n hÕt sè cá cã s½n vµ sè cá mäc thªm trªn c¸nh ®ång 1 trong 2 tuÇn, 6 con bß ¨n hÕt sè cá cã s½n vµ sè cá mäc thªm cña c¸nh ®ång 2 trong 4 tuÇn. a, TÝnh xem trªn mçi c¸nh ®ång, sè cá mäc thªm trong mét tuÇn b»ng mÊy phÇn sè cá mäc s½n lóc ®Çu. b, Bao nhiªu con bß ¨n hÕt sè cá cã s½n vµ sè cá mäc thªm trªn c¸nh ®ång 3 trong 6 tuÇn? Híng dÉn: a, Gi¶ sö mçi tuÇn cá mäc thªm x lÇn sè cá cã s½n ⇒ 9 con bß ¨n trong 2 tuÇn hÕt 1 + 2x sè cá cã s½n ⇒ 1 con bß ¨n trong 1 tuÇn hÕt (1 + 2x) : (2.9) sè cá cã s½n.(1) 6 con bß ¨n trong 4 tuÇn hÕt 1 + 4x sè cá cã s½n ⇒ 1 con bß ¨n trong 1 tuÇn hÕt (1 + 4x) : (4.6) sè cá cã s½n (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã ph¬ng tr×nh: = GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

49

Trêng THCS

⇔ x = 1/4 (Tho¶ m·n §K cña Èn) b, Gäi sè bß lµ x (con) (§K: x ∈ N; x < 6)

Ta cã ph¬ng tr×nh: = ⇔ x = 5 ( Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña x) Tr¶ lêi: a, Trªn mçi c¸nh ®ång, sè cá mäc thªm trong mét tuÇn b»ng 1/4 sè cá mäc s½n lóc ®Çu. b, 5 con bß ¨n hÕt sè cá cã s½n vµ sè cá mäc thªm trªn c¸nh ®ång 3 trong 6 tuÇn.

môc lôc Ph¬ng tr×nh ax + b = 0 Ph¬ng tr×nh bËc cao Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu 26 Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh. 34

GV: Lª ThÞ HuyÒn Lª Th¸nh T«ng

50

2 11

Trêng THCS