Bab I Pendahuluanc.docx

BAB I PENDAHULUANc 1.1 Latar Belakang Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Kimia, Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro dan sebagainya. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal atau sulit untuk dikerjakan secara analitik untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution). Adapun yang dimaksud dengan metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku atau lazim digunakan. Ada beberapa persoalan matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Akan tetapi metode analitik unggul untuk sejumlah persoalan yang memiliki tafsiran geometri sederhana. Misalnya menentukan akar penyelesaian dari menggunakan rumus abc. Padahal persoalan yang muncul dalam kehidupan sehari-hari tidak selalu dalam bentuk sederhana tetapi sangat kompleks serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas. Bila metode analitik tidak dapat lagi digunakan, maka salah satu solusi yang dapat digunakan adalah dengan metode Numerik. Metode Numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi). Ada beberapa alasan menggunakan metode numerik, yaitu (Susy, 2006) : 1. Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah. 2. Dibutuhkan metode yang menggunakan analisis-analisis pendekatan persoalanpersoalan non linier untuk menghasilkan nilai yang diharapkan. 3. Kesulitan menggunakan metode analitik untuk mencari solusi exact dengan jumlah data yang besar, diperlukan perhitungan komputer, metode numerik digunakan untuk menyelesaikan permasalahan ini. 4. Pemakaian metode analitik terkadang sulit diterjemahkan ke dalam algoritma yang dapat dimengerti oleh komputer. Metode numerik yang memang berangkat dari pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif yang baik dalam menyelesaian persoalan-persoalan perhitungan yang rumit. Prinsip-prinsip metode numerik adalah sebagai berikut : 1. Metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah. 1

2. Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analisis matematis, dengan tambahan grafis dan teknik perhitungan yang mudah. 3. Algoritma pada metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan. 4. Dengan metode pendekatan, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai nilai error (nilai kesalahan). Penyelesaian secara numerik umumnya melibatkan proses iterasi, perhitungan berulang dari data numerik yang ada. Jika proses iterasi tersebut dilakukan secara manual, akan membutuhkan waktu yang relatif lama dan kemungkinan timbulnya nilai kesalahan (error) akibat manusia itu sendiri juga relatif besar. Misalnya untuk menyelesaikan persoalan persamaan non-linear , jika diselesaikan menggunakan cara manual menggunakan Metode Biseksi diperlukan beberapa iterasi. Untuk penyelesaian sampai tujuh angka di belakang koma dapat terjadi iterasi sampai puluhan kali. Ini tentu membutuhkan waktu yang relatif lama. Pada kenyataannya sering terjadi proses iterasi sampai ratusan kali, pada keadaan demikian ini komputer sangat dibutuhkan untuk mengurangi waktu penyelesaian (Munif, 1995). Selain mempercepat perhitungan numerik, dengan komputer dapat dicoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat perubahan beberapa parameter tanpa menyita waktu dan pikiran. Solusi yang diperoleh juga dapat ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubahubah nilai parameter (Susy, 2006). Penyelesaian yang digunakan dalam metode Numerik adalah penyelesaian pendekatan, oleh karena itu biasanya timbul kesalahan (error). Pada penyelesaiannya diusahakan untuk mendapatkan error yang sekecil mungkin. 1.2

Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang tersebut diatas, maka permasalahan dalam makalah ini

adalah bagaimana menyelesaikan persamaan non-linear menggunakan berbagai metode dengan program komputer. 1.3

Tujuan Penulisan Dengan adanya permasalahan yang muncul, maka tujuan dari makalah ini adalah

mengetahui perbedaan kecepatan dan tingkat kemudahan dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari berbagai metode yang digunakan. 2

1.4

Manfaat Penulisan Ada beberapa manfaat yang diharapkan dari makalah ini, diantaranya adalah

memberikan wawasan tambahan mengenai cara-cara menyelesaikan persamaan non linear menggunakan Metode Numerik yang paling efektif dan efisien, karena hanya dengan beberapa langkah saja sudah bisa didapatkan apa yang diinginkan.

BAB II TINJUAN PUSTAKA 2.1

Persamaan Non-Linear Dalam usaha mendapatkan persamaaan matematika yang menjabarkan model dari

suatu persoalan nyata, sering solusi yang dicari berupa suatu nilai variabel x sedemikian rupa, sehingga terpenuhi persamaan f (x) = 0 yang digunakan dalam model. Untuk beberapa kasus, melalui faktorisasi f(x) = 0 dapat diperoleh penyelesaian seperti yang diinginkan, namun bentuk yang lebih rumit telah mampu memberikan solusi melalui analisis matematik. Apa yang dimaksud dengan menentukan x hingga terpenuhi persamaan f(x) = 0 ? secara geometri ini berarti mencari suatu titik hal mana f(x) tepat memotong sumbu x, sehingga f(x) = 0. jika dianggap f(x) sesungguhnya memotong sumbu x, maka dapat dicari suatu interval [a,b], sedemikian rupa sehingga f(a) dan f(b) mempunyai tanda berbeda.

Dengan pembatasan

interval ini,

secara

cermat dapat

dicari x =

Gambar 2.1 Grafik non linier

memberikan nilai f (

yang

) = 0 sebagai berikut :

1.

Bagi dua interval [a,b] dan evaluasi nilai f(x) pada titik tengah interval.

2.

Apabila f(m) = 0 berarti x = m, bila tidak sama dicari posisi nilai m apakah berada pada interval [a,m] atau interval [m,b] ; yaitu dengan memeriksa perbedaan tanda : a.

Jika f (a) dan f(m) berbeda tanda berarti

di [a,m]

3

b.

Jika f(a) dan f(m) mempunyai tanda sama berarti di [n,b] proses pembagian interval dapat diulang sampai ditemukan nilai yang

memberikan f( ) = 0. Pada bab ini dibahas solusi dari persamaan non linear yang banyak dijumpai dalam formulasi kasus-kasus fisika, yaitu pencarian akar persamaan (finding roots). Disajikan beberapa metode yang biasa digunakan, dan inti pembahasan terletak beberapa metode komputasi numerik yang akan dibahas, yaitu metode Successive Substitution, metode Secant, metode Newton Raphson, dan metode Regula Falsi beserta cara menangani berbagai kasus yang disertakan. 2.2

Successive Substitution Metode ini mempunyai strategi yang sama dengan metode iterasi titik tetap dan

metode Gauss-Seidel. Masing-masing persamaan tak linier diselesaikan untuk memperoleh sebuah nilai x yang tak diketahui. Sistem persamaan ini selanjutnya diproses secara iteratif untuk menghitung nilai-nilai x yang baru, yang diharapkan akan konvergen. Suatu persamaan non linier tunggal dalam bentuk f(x) = 0 dapat ditentukan akar-akarnya dengan cara iterasi subtitusi berurut, dengan cara sebagai berikut: 1. Mengubah persamaan menjadi bentuk X = g(x) 2. Dimulai dengan menebak nilai x0awal untuk mengevaluasi nilai g(x0) dan menentukan nilai x1, kemudian lakukan iterasi. X(i+1) = g(xi)

dimana i =1,2,3,…

Sampai hasilnya tidak mengalami perubahan lagi, dimana

|xi+1−xi|≤ϵ Tidak semua fungsi dapat diselesaikan dengan metode successive substitution, karena ada iterasi yang divergen. Syarat agar iterasi dijamin konvergen, adalah:

4

dg

nilai dari

( x ) dx

1

, pada nilai tebakan awal xo.

Gambar 2.2 Grafik Direct Substitution (Convergence) Ketika lereng dg (x)/dx < 1, maka metode tersebut konvergen seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Gambar 2.3 Direct Substitution (Divergence) Ketika lereng dg (x) / dx> 1, maka metode tersebut divergen seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.2. Contoh: 1.Tentukan nilai x dari persamaan berikut: x3+2 x+2=10e−2x 2

Jawab: Ubah persamaan menjadi bentuk X = g(x) x3+2 x+2

5

X = g(x) = Misalkan x0 = -0.5 Penyelesaian iterasi dapat dilihat pada tabel. X

g(x)

1.10365 -0.5 1.10365

7 0.54244

7 0.54244

5 0.75020

5 0.75020

8 0.68403 8 0.70620

9

0.68403

9 0.69890

8

0.70620 8 0.69890

5 0.70132

5 0.70132

5 0.70052

5 0.70052

5 0.70078

5 0.70078

9 0.70070

9 0.70070

2 0.70073

2 0.70073

1 0.70072

1 0.70072

1 0.70072

1 0.70072

4 0.70072

4 0.70072

3 0.70072

3

4 6

2.Temukan penyelesaian dari: f(x)= x (tan x) - 1, Untuk 0 < x < π/2 Jawab: Pilih tebakan awal dalam range yg dipersyaratkan, missal π/8 Cari g(x) X=g(x) X=1/tan x dg(x) Cek konvergensi, ternyata Di coba subtitusi

dx

>1 maka tidak dijamin konvergen.

x0= π/8=0,3927 atau 22,5 derajat sebagai nilai tebakan

awal Maka menghasilkan x1=2,4142 atau 0,7 π, sehingga berada di luar range 0 < x < π/2 atau divergen untuk g(x) yg lain: x=tan-1(1/x) dg(x) dx

Cek konvergensi, ternyata <1 maka dijamin konvergen. Di coba subtitusi x0= π/8=0,3927 atau 22,5 derajat sebagai nilai tebakan awal. Maka menghasilkan table iterasi X g(x) 0.3927 1.196599 1.1965990.696135 0.696135 0.962669 0.962669 0.804416 0.804416 0.893368 0.8933680.841657 0.8416570.871166 0.871166 0.854142 0.854142 0.863902 0.8639020.858286 0.8582860.861511 0.8615110.859657 0.859657 0.860722 0.860722 0.86011 0.86011 0.860462 0.860462 0.86026 0.86026 0.860376 0.860376 0.860309 0.860309 0.860348 7

0.8603480.860326 2.3

Metode Newton Metode ini adalah salah satu metoda penyelesaian sistem persamaan nonlinier,

metoda ini terdiri dari beberapa langkah yaitu : penurunan secara parsial, penyusunan, menghitung nilai

d1

dan

d2

, dan proses pengulangan.

Metode ini mempunyai beberapa kekurangan diantaranya, sulitnya menentukan turunan parsial untuk fungsi tertentu, langkah dan pengerjaan yang panjang. Misalkan ada 2 persamaan non linier dengan 2 variabel, misalkan fungsi u(x,y) dan v(x,y), maka, rumus iterasinya:

∂ vr

∂ur

+ vr ∂y ∂y − 1= r− ∂ ur ∂v r ∂ur ∂v r x − r

xr ∂x dan ∂vr

∂y ∂y

∂ur r

yr

y

∂x − 1= r− ∂ur ∂v r

u

∂x

− vr

∂x ∂ur ∂

u vr −

x

y

y

x

Pembuktian rumus: Perhatikan gradien kemiringan suatu kurva

8

Gambar 2.4 Gradien suatu kurva Dari gambar diatas, kemiringan kurva dapat didekati dengan:

gradien(m)=f ' x =

( r)

f (xxrr)−−fx(rx+1r+1)

Atau dalam bentuk lain ditulis: f xr

=f x −f ' (xr)(xr−xr 1)

f xr

=f x +f '(xr)(xr 1−xr)

( +1) ( r )

( +1) ( r )

atau

+

+

Maka untuk 2 persamaan non linier dengan 2 variabel misal u(x,y) dan v(x,y), maka analog seperti diatas: ∂ur x

∂ur = ur + (x r+ 1− x r ) + ( y r + 1− y r ) ∂ ∂ ur

+1

y

dan ∂vr

∂vr = v r + (x r + 1− x r ) + (y r + 1− y r ) ∂ ∂ vr +1

x

y

Karena persoalan mencari akar, maka ur+1 = 0 dan vr+1 = 0.

9

∂ur

∂u

∂ x xr

∂

x r + 1+

r

∂

y r + 1= − v r + x r

r

∂

+

∂ur

x

y r ∂y

∂v

∂v

∂v

y

x

y r ∂y

y

r x

∂u

∂vr

Dengan sedikit manipulasi aljabar, kedua persamaan terakhir ini menjadi

10

Contoh Soal : Soal 1 : Misalkan diketahui sistem persamaan non linier berikut: f1 ( x)=x21+x22−36=0 f 2( x)=x21+3x2−16=0

x1dan x2

Hitung nilai

.

Penyelesaian a Kita buat turunan parsial dari fungsi pertama f1 ( x )=x21+x22−36=0

Turunan parsial terhadap

x1

adalah

∂f 1 =2x1 ∂x1 Turunan parsial terhadap

x2

adalah

∂f =2x 2 1 2 ∂x b

Kita buat turunan parsial dari fungsi kedua f 2( x)=x21+3x2−16=0

Turunan parsial terhadap

x1

adalah

∂f 2 =2x1 ∂x1

Turunan parsial terhadap

x2

adalah

11

c

.

Kita susun persamaan nonlinier kembali menjadi, ∂f 1

∂f d1 ∂x2 2

1

∂x1

∂f 2

∂f d1 ∂x2 2

2

∂x1 Kita subsitusikan turunan parsial diatas, menjadi

(2 x1)d1+(2 x2)d2=−(x21+x22−36)

(2 x1)d1+(−3) d2=−(x21+3 x2−16) a. Kita masukkan nilai perkiraan, awal misal

x1=1danx2=1

, maka di dapat nilai

d1

dan

d2

, yaitu: d1=13,8

d2=3,2

b. Kemudian kita gunakan nilai

sementara, dan nilai e1dane2

e1dane2

d1

dan

d2

untuk di subtitusikan kedalam nilai

e1dane2

kita masukkan nilai perkiraaan. Setelah itu kita masukkan

sementara ke persamaan

d1

dan

d2

, begitu seterusnya

esementara1 =e1+d1 esementara2 =e2+d2

12

c. Setelah melakukan proses pegulangan diatas, didapat nilai

e1dane2

, yaitu e1=5,06 e2=3,21

Soal 2 : Suatu kondisi reaksi menggambarkan reaksi kompleks untuk fase liquid seperti reaksi berikut: Dimana r1 = k1 CA (gmol/liter sekon) r2=k2C3A/2 r3=k3C2C r4=k4C2B k1=1,0 sec−1 k2=0,2liter1/2/gmol1/2sec k3=0,05liter/gmolsec k4=0,4liter/gmol sec Dimana ri=gmol/liter sec Reaktor tangki berpengaduk digunakan untuk suatu sistem reaksi seperti pada gambar dibawah. Volume reaktor (VR) adalah 100 liter dan laju alir umpan Q sebanyak 50 liter/sec dengan konsentrasi komponen A = 1 mol/liter. Reaktor tangki berpengaduk di atur pada kondisi steady state dan sistem diasumsikan berada pada kondisi isotermal. Neraca massa dari sistem reaksi tersebut yaitu: Keluaran = Masukan + Yang terbentuk - Yang bereaksi (Komponen A) CAQ = CAoQ + VR(rs) - VR(r1 + r2) (Komponen B) CBQ = 0

+ VR(2r1)

- VR(r4)

(Komponen C) CCQ = 0

+ VR(r2 + r4) - VR(r3) (Komponen D) CDQ = 0 - 0 + VR(r4) Tahap selanjutnya susun persamaan nonlinear seperti dibawah ini: F1=−C A+C AO+V R (−k1C A−k2C3A/2+k3C2C )/Q=0 13

F2=−CB+V R(2k1CA−k4C2B)/Q

=0

F3=−Cc +V R(k2CA −k3C2C +k4C2B)/Q=0

F4=−CD+V R(k4C2B)/Q=0 Selanjutnya laju alir masing-masing komponen dapat dicari dengan menggunakan metode Newton. 2.4

Metode Determinan Jacobi

.Jacobi ∂x

=

∂ur ∂v r ∂y ∂y

−

∂ur ∂

vr Det

∂x

Inilah rumus iterasi untuk sistem persamaan non linier 2 persamaan 2 variabel. Sedangkan urutan penyelesaian system persamaan non-linear menggunakan metode Determinan Jacobi adalah sebagai berikut :

14

Start Cari nilai u dan v pada titik-titik tebakan awal Diferensiasi parsialkan semua persamaan untuk setiap variabel Hitung nilai determinan jacobi pada titik tebakan awal

La kukan iterasi untuk menemukan persamaan newton utk sistem persamaan non lini Er

Lanjutkan iterasi hingga diperoleh nilai x dan y

Diperoleh hasil Finish

Contoh Soal : Carilah akar dari sistem persamaan berikut: f1 ( x. y )=u=x2+xy−10=0 f 2( x , y)=v=y+3 xy2−57=0 Dengan tebakan awal x0 = 1,5 dan y0 = 3,5

15

Penyelesaian: Rumus: ∂vr

∂ur r

∂y

+ vr

u ∂y

xr+1=xr−∂ur ∂vr∂ur ∂vr (3.14) − x

y

y

x

Dan ∂vr

∂ur ur ∂x −vr ∂x

yr+1=yr+ ∂ur ∂vr∂ur ∂vr (3.15) − ∂x

∂y ∂y

∂x

Lan gkah 1. Cari nilai u dan v pada titik-titik tebakan awal u0=(1,5)2+1,5 (3,5)−10=−2,5 v0=(3,5)+3 (1,5 ) (3,5)2−57=1,625 Langkah 2. Diferensiasi parsialkan semua persamaan untuk setiap variabel. Lalu cari nilai dari semua komponen determinan jacobi-nya pada titik tebakan awal. ∂u0 =2x+y=2 (1,5)+3,5=6,5 ∂x ∂u0 =x=1,5 ∂y 16

∂v0

2

2

=3 y =3(3,5) =36,75 ∂x ∂v0 =1+6 xy=1+6(1,5)=32,5 ∂y Langkah 3. Hitung nilai determinan jacobi pada titik tebakan awal: ∂u ∂v

∂u ∂v Det .Jacobi

∂x

∂y ∂y

Det. Jacobi

∂x

= (6.5)(32.5) - (1.5)(36.75)

= 156.125 Langkah 4. Lakukan iterasi untuk menemukan persamaan newton utk sistem persamaan non linier

∂vr

∂ur r

∂y

xr+1=xr−∂ur ∂vr

+ vr

u ∂y

∂ur ∂vr (3.14) −

x

y

y

x

Dan ∂vr

∂ur ur ∂x −vr ∂x

yr+1=yr+ ∂ur ∂vr∂ur ∂vr (3.15) 17

− ∂x

∂y ∂y

∂x

Dengan cara yang sama iterasi dilanjutkan, Coba teruskan! diperoleh x=.... dan y=.... 2.5

Metode Secant Masalah potensial dalam implementasi metode Newton adalah evaluasi pada turunan.

Metode Secant diperoleh dari metode Newton dengan cara menggantikan turunan f’(x) dengan beda hingga terbagi. Bila turunan fungsi f’(x) sulit ditemukan, metode newton tidak dapat dipakai. Solusinya, bahwa sebetulnya f’(x) pada hakekatnya merupakan suatu slope atau gradien.

Jika diambil persamaan backward untuk disubstitusikan pada persamaan forward iteratifnya menjadi

Atau bisa dituliskan dalam bentuk

Secara geometri, dalam metode Newton xi+1 merupakan perpotongan sumbu x dengan garis singgung di xi, sedangkan dalam metode Secant xi+1 adalah perpotongan sumbu x dengan talibusur kurva f(x) yang berpadanan terhadap xn+1 dan xn. Metode Secant memerlukan dua tebakan awal, xi–1 dan xi, tetapi tanpa perhitungan turunan. Dapat diperlihatkan metode Secant lebih lambat dibandingkan metode Newton Raphson, tetapi menjadi pilihan bilamana kerja penghitungan suatu nilai f’(x) lebih lama daripada ½ kali kerja penghitungan nilai f(x). Algoritmanya serupa dengan metode Newton. 18

Sebuah peluru bermassa 2 gram ditembakkan vertikal ke udara dan bergerak turun setelah mencapai batas kecepatan. Batas kecepatan ditentukan oleh mg=Ftarik, dimana m=massa dan g = percepatan gravitas i. Persamaan lengkap adalah sebagai berikut:

dimana v adalah kecepatan batas, m/det. Suku pertama pada ruas kanan menyatakangesekan tarik (friction drag), dan suku kedua menyatakan tekanan tarik (pressure drag). Tentukan batas kecepatan dengan metode secant. Nilai coba awal v @ 30 m/det Solusi: Kasus ini didefinisikan sebagai pencarian akar dari

diset vo=30 dan v1=30,1 didasarkan pada nilai coba awal, dimana y0 dan y1 dihitung dengan persamaan (2.12). Iterasi penyelesaian dengan persamaan (2. 11) sebagai berikut:

Jadi batas kecepatannya adalah v=37,7 m/det 2.6

Regula Falsi Sesi metode numerik ini membahas salah satu metode penyelesaian sistem

persamaan non linier, yaitu dengan metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range. Dua titik a dan b pada fungsi f(x) digunakan untuk mengestimasi posisi c dari akar interpolasi linier, dikenal dengan metode False Position atau metode regula falsi.

19

Gambar 2.5 Grafik metode Regula Falsi



  Algoritma Metode Regula Falsi : 1. Defenisikan fungsi f(x) 2. Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b) 3. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n) 4. Hitung Fa = f(a) dan Fb = f(b) 5. Untuk iterasi I = 1 sampai n atau error > e •

20

x=fb.a−fa.b fb−fa • Hitung Fx = f(x) • Hitung error = |Fx| • Jika Fx.Fa <0 maka b = x dan Fb = Fx jika tidak a = x dan Fa = Fx 6. Akar persamaan adalah x Contoh Soal : Terapkan metode Regulasi Falsi untuk menemukan akar persamaan berikut f ( z)=ztan z−1 , jika 0 < z < Penyelesaian: Dengan memasukkan nilai batas x ke dalam persamaan, kita mendapatkan bahwa; f (0 )=−1

f Tetapi x2 =

tidak dapat digunakan karena nilainya tak terhingga. Jadi kita

harus menggunakan nilai yang lebih kecil dari (

π

/2), yaitu 0.7(

π

/2),

sehingga

( )=1.158

f 0.7

Hasil aplikasi dari metode Regulasi Falsi dapat dilihat pada tabel berikut.

21

1.100

0.8601

1.158

1.100

0.8603

1.158

1.100

0.8603

1.158

-6.383 10 -4 -2.196 10 -4 -7.492 10 -5

x x x

0.8603 0.8603 0.8603

-2.196

x

10 -4 -7.492

x

10 -5 -2.556

x

10 -5

22

BAB III PENUTUP 3.1

Kesimpulan 1. Metode Numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa 2. Metode non linear terbagi menjadi beberapa bahasan yaitu metode successive substitution, metode secant, metode wewton, dan metode regula falsi

23

DAFTAR PUSTAKA

Alifis. 2008. bab-ii-solusi-persamaan-non-linear.pdf. Diakses 16 Maret 2016 Anonim. 2010. “Penyelesaian Persamaan Non-Linear”. http://www. Pustaka skripsi.com/penyelesaian-persamaan-non-linear-metode-biseksi-dan metode-regulafalsi-menggunakan-cara-komputasi-skripsi-373.html. Diakses 10 Maret 2016 Chapra, S.C., and Canale, R.P. 1998, “Numerical Methods for Engineers”. McGraw-Hill. Elsaid, Fairus. 2008. “Persamaan Non-Linear”.

http://fairuzelsaid .wordpress.com/.

Diakses 16 Maret 2016 James B. Riggs. 1988. “An Introduction To Numerical Methods For Chemical Engineers”. USA : Texas Tech University Press Kubicek, Milan. et al. 2005. “Numerical Methods And Algorithms”. Praha Riggs, James B. “An introduction to numerical methods for chemical engineer 2nd edition”. USA : Texas Tech University Press

24