Bab 12 Pohon 1.pptx

1



Pohon adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit atau cycle. a

b

a

b

a

b

a

b

c

d

c

d

c

d

c

d

e

pohon

f

e

f

pohon

e

f

e

f

bukan pohon bukan pohon (karena ada cycle) (krn tdk terhubung) 2



  

a dan b merupakan pohon c dan d bukan pohon, c graphnya tidak terhubung, d graphnya memiliki cycle (lintasan tertutup)

3

4



Pada Tahun 1857, Arthur Cayley mempelajari hidrokarbon, ikatan kimia yang terbentuk dari atom hidrogen dan karbon. Dia mengetahui bahwa atom hidrogen terikat (secara kimia) dengan satu atom yang lainnya, dan setiap atom karbon terikat dengan empat atom lainnya.

5

Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Setiap komponen di dalam graf terhubung tersebut adalah pohon.

Hutan yang terdiri dari tiga buah pohon 6



suatu hutan yang terdiri atas 3 pohon

7

8

 Teorema. Misalkan G = (V, E) adalah graf tak-berarah sederhana dan jumlah simpulnya n. Maka, semua pernyataan di bawah ini adalah ekivalen: 1. G adalah pohon. 2. Setiap pasang simpul di dalam G terhubung dengan lintasan tunggal. 3. G terhubung dan memiliki m = n – 1 buah sisi. 4. G tidak mengandung sirkuit dan memiliki m = n – 1 buah sisi. 5. G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi pada graf akan membuat hanya satu sirkuit. 6. G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan.  Teorema di atas dapat dikatakan sebagai definisi lain dari pohon. 9



Bila simpul diwarnai, kira-kira butuh bilangan kromatik berapa ?

10

 Pohon merentang dari graf terhubung adalah upagraf merentang yang berupa pohon.  Pohon merentang diperoleh dengan memutus dalam graf.

G

T1

T2

T3

sirkuit di

T4

11



Misalkan kita mempunyai graph G seperti pada gambar di bawah ini. Terdapat 3 pohon rentang dari graph G, yaitu graph A, B, dan C. Tampak jelas bahwa graph A, B, dan C masing-masing memuat semua simpul dari graph G serta mengandung sisi-sisi dari G demikian sehingga tidak terbentuk sikel.

12



Graph G memuat pohon rentang T1, T2, dan T3.

13

14

15

1. Jumlah ruas jalan seminimum mungkin yang menghubungkan semua kota sehingga setiap kota tetap terhubung satu sama lain. 2. Perutean (routing) pesan pada jaringan komputer.

(a)

(b) Router Subnetwork

(a) Jaringan komputer, (b) Pohon merentang multicast 16

 Graf terhubung-berbobot mungkin mempunyai lebih dari 1 pohon merentang.  Pohon merentang yang berbobot minimum –dinamakan pohon merentang minimum (minimum spanning tree ). a 55

d

25 c

b

a

45 30

h b

40

20

5

40

50 15

g

e 35

d

25 c

h

20

5

15

g

e

10 f

30

10 f

17





Pohon merentang yang dihasilkan tidak selalu unik meskipun bobotnya tetap sama. Hal ini terjadi jika ada beberapa sisi yang akan dipilih berbobot sama.

18

Contoh: a

3

b

4 5

e 5 i

4

2

3

f

4 g

3

5 j

6

c

4

2

d 6

4

h 4

k

l

2

Tiga buah pohon merentang minimumnya: a 4

b

3

2

f

e

c

5

3 i

j

3

g

d

2

4

h 4

k

2

l

b

3

c 2

f

e

4

4

a

d

2 3

a 4

h

3 i

j

4 4

k

2

l

c

4 2

f

e

4

5

b

3

3

g

d

2

h 4

5

3 i

j

4 k

2

l

Bobotnya sama yaitu = 36 19

4. Tentukan dan gambarkan pohon merentang minimum dari graf di bawah ini (tahapan pembentukannya tidak perlu ditulis).

a 2 d

6 g

5 3

b

c

4

5 6 7e 1 8

4

3 h

3 f

4 4 2

i

20

 1.

Algoritma Prim

 2.

Algoritma Kruskal

21

Algoritma Prim Langkah 1: ambil sisi dari graf G yang berbobot minimum, masukkan ke dalam T. Langkah 2: pilih sisi (u, v) yang mempunyai bobot minimum dan bersisian dengan simpul di T, tetapi (u, v) tidak membentuk sirkuit di T. Masukkan (u, v) ke dalam T. Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n – 2 kali.

22

procedure Prim(input G : graf, output T : pohon) { Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubungberbobot G. Masukan: graf-berbobot terhubung G = (V, E), dengan V= n Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E’) } Deklarasi i, p, q, u, v : integer Algoritma Cari sisi (p,q) dari E yang berbobot terkecil T  {(p,q)} for i1 to n-2 do Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil namun bersisian dengan simpul di T T  T  {(u,v)} endfor

23

Contoh: 1

10

30

45

4

2 50 40

35

3

25 55

20

5 15

6

24

Langkah

Sisi

1

(1, 2)

2

(2, 6)

Bobot

Pohon rentang 1

10

2

1

10

2

10

25 25

3

(3, 6)

6

1

15

10 3

25 15 6

4

(4, 6)

1

20

10

2 3

4

25 20

15 6

5

(3, 5)

1

35

10

2

45 4

35

3

25 55

20

5 15

6

25

Pohon merentang minimum yang dihasilkan: 1

10

2

45 4

35

3

25 55

20

5 15

6

Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105

26

Algoritma Kruskal ( Langkah 0: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan bobotnya – dari bobot kecil ke bobot besar) Langkah 1: T masih kosong Langkah 2: pilih sisi (u, v) dengan bobot minimum yang tidak membentuk sirkuit di T. Tambahkan (u, v) ke dalam T. Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n – 1 kali.

27

procedure Kruskal(input G : graf, output T : pohon) { Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubung – berbobot G. Masukan: graf-berbobot terhubung G = (V, E), dengan V= n Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E’) } Deklarasi i, p, q, u, v : integer Algoritma ( Asumsi: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan bobotnya – dari bobot kecil ke bobot besar) T  {} while jumlah sisi T < n-1 do Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil if (u,v) tidak membentuk siklus di T then T  T  {(u,v)} endif endfor

28

Contoh: 1

10

30

45

4

2 50 40

35

3

25 55

20

5 15

6

29

Sisi-sisi diurut menaik: Sisi Bobot

(1,2) 10

Langkah

(3,6) 15

(4,6) 20

Sisi

(2,6) 25

(1,4) 30

(3,5) 35

Bobot

0

1

(1, 2)

10

2

(3, 6)

15

(2,5) 40

(1,5) 45

(2,3) 50

(5,6) 55

Hutan merentang 1

2

1

2

1

2

3

3

4

5

4

5

6

6 3

(4, 6)

20

1

2

3

5

4 6

4

(2, 6)

25

1

2

3

5

4

30

5

(1, 4)

30

6

(3, 5)

35

ditolak

1

2

3

5 4 6

Pohon merentang minimum yang dihasilkan: 1

10

2

45 4 4

3

35 25

(2, 6)

25

55

20

5

1

2

3

5

15 4

6

Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105 31

 Pohon yang satu buah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan sisi-sisinya diberi arah sehingga menjadi graf berarah dinamakan pohon berakar (rooted tree). a

a

b

d

c e

h

f

i

b

e

g

j

(a) Pohon berakar

d

c

h

f

i

g

j

(b) sebagai perjanjian, tanda panah pada sisi dapat dibuang

32



Graph pada Gambar (a) adalah pohon berakar dengan akar A karena (1) bila arah pada sisinya diabaikan, graph hasilnya merupakan pohon, dan (2) A berderajat masuk 0, dan semua titik lainnya berderajat masuk 1.

33

b e

a b

e

f

d g

d

a c

d

f

c h

e

g h

b g

h

f

b sebagai akar

a

c

e sebagai akar

Pohon dan dua buah pohon berakar yang dihasilkan dari pemilihan dua simpul berbeda sebagai akar 34

35

Anak (child atau children) dan Orangtua (parent) b, c, dan d adalah anak-anak simpul a, a adalah orangtua dari anak-anak itu a

b

c

e

h

d

f

i

g k

j

l

m 36

2. Lintasan (path) Lintasan dari a ke j adalah a, b, e, j.

a

Panjang lintasan dari a ke j adalah 3. b

3. Saudara kandung (sibling) f adalah saudara kandung e, tetapi g bukan

c

e

f

saudara kandung e, karena orangtua mereka berbeda.

h

d

i

g k

j

l

m

37

4. Upapohon (subtree) a

b

c

e

h

d

f

i

g k

j

l

m

38

5. Derajat (degree) Derajat sebuah simpul adalah jumlah upapohon (atau jumlah anak) pada simpul tersebut. Derajat a adalah 3, derajat b adalah 2, Derajat d adalah satu dan derajat c adalah 0. Jadi, derajat yang dimaksudkan di sini adalah derajat-keluar. Derajat maksimum dari semua simpul merupakan derajat pohon itu sendiri. Pohon di gambar berderajat 3 a

b

c

e

h

d

f

i

g k

j

l

m

39

40

6. Daun (leaf) Simpul yang berderajat nol (atau tidak mempunyai anak) disebut daun. Simpul h, i, j, f, c, l, dan m adalah daun. 7. Simpul Dalam (internal nodes) Simpul yang mempunyai anak disebut simpul dalam. Simpul b, d, e, g, dan k adalah simpul dalam. a b

c

e

h

d

f

i

g k

j

l

m 41

8. Aras (level) atau Tingkat Aras a

b

c

e

h

0

d

f

i

2

g k

j

l

1

3

m

4

9. Tinggi (height) atau Kedalaman (depth) Aras maksimum dari suatu pohon disebut tinggi atau kedalaman pohon tersebut. Pohon di atas mempunyai tinggi 4.

42

43

Pohon berakar yang urutan anak-anaknya penting disebut pohon terurut (ordered tree). 1

2

5

1

4

3

6

7

8

3

9

8

4

2

9 6

5 7

10

10

(a)

(b)

(a) dan (b) adalah dua pohon terurut yang berbeda

44

 Pohon berakar yang setiap simpul cabangnya mempunyai paling banyak n buah anak disebut pohon n-ary. < Kalimat>

<subyek>

<sambung>

Seorang

<predikat>



<sifat>

anak

muda

memakai



<Sambung>

sepasang





sepatu



ket

Gambar Pohon parsing dari kalimat Seorang anak muda memakai sepatu ket

Pohon n-ary dikatakan teratur atau penuh (full) jika setiap simpul cabangnya mempunyai tepat n anak. 45

46



Gambarkan pohon 3-ary penuh (full) dg tinggi 3 !

47



   

Adalah pohon n-ary dengan n = 2. Pohon yang paling penting karena banyak aplikasinya. Setiap simpul di dalam pohon biner mempunyai paling banyak 2 buah anak. Dibedakan antara anak kiri (left child) dan anak kanan (right child) Karena ada perbedaan urutan anak, maka pohon biner adalah pohon terurut.

48

a

b

d

a

c

b

c

d

Gambar Dua buah pohon biner yang berbeda

49

a

b

d

c

a

b

c

d

Gambar (a) Pohon condong-kiri, dan (b) pohon condong kanan

50

Gambar Pohon biner penuh

51

Pohon Biner Seimbang Pada beberapa aplikasi, diinginkan tinggi upapohon kiri dan tinggi upapohon kanan yang seimbang, yaitu berbeda maksimal 1.

T1

T2

T3

Gambar T1 dan T2 adalah pohon seimbang, sedangkan T3 bukan pohon seimbang. 52

1. Pohon Ekspresi *

+

/

+ a

b

c

d

e

Gambar Pohon ekspresi dari (a + b)*(c/(d + e)) daun  operand simpul dalam  operator

53



Gambarkan pembentukan pohon ekspresi dari ekspresi



1. ((a*f)/c)+(b*(d-(e/g)))



2. b2- 4ac

2. Pohon Keputusan a:b a>b

b>a

a:c a >c

c>a

b:c b>c a>b>c

b:c b>c

c>a>b c>b a>c>b

a >c b>a>c

c>b

a:c

c>b>a c>a b>c>a

Gambar Pohon keputusan untuk mengurutkan 3 buah elemen

55



Pohon keputusan digunakan untuk memodelkan persoalan yg terdiri dari serangkaian keputusan yg mengarah ke solusi.



Simpul menyatakan keputusan.



Daun menyatakan solusi.



Contoh : misalkan akan diurutkan tiga buah bilangan a,b,c.

3. Kode Awalan

0

0

1

1

01 0

1

000

001

0 10

1

11

Gambar Pohon biner dari kode prefiks { 000, 001, 01, 10, 11}

57



Gambarkan pohon biner dari kode prefiks {00,0110,111, 100,101}

58

4. Kode Huffman

Tabel Kode ASCII Simbol A B C D

Kode ASCII 01000001 01000010 01000011 01000100

rangkaian bit untuk string ‘ABACCDA’: 01000001010000010010000010100000110100000110100010001000001 atau 7  8 = 56 bit (7 byte).

59

Tabel Tabel kekerapan (frekuensi) dan kode Huffman untuk string ABACCDA Simbol A B C D

Kekerapan 3 1 2 1

Peluang 3/7 1/7 2/7 1/7

Kode Huffman 0 110 10 111

Dengan kode Hufman, rangkaian bit untuk ’ABACCDA’: 0110010101110 hanya 13 bit!

60

5. Pohon Pencarian Biner R

Kunci(T1) < Kunci(R) Kunci(T2) > Kunci(R) T1

T2

61

Data:

50, 32, 18, 40, 60, 52, 5, 25, 70 50

50

32

18

5

40

52

70

25

62

1. Preorder : R, T1, T2 - kunjungi R - kunjungi T1 secara preorder - kunjungi T2 secara preorder 2. Inorder : T1 , R, T2 - kunjungi T1 secara inorder - kunjungi R - kunjungi T2 secara inorder 3. Postorder : T1, T2 , R - kunjungi T1 secara postorder - kunjungi T2 secara postorder - kunjungi R 63

R

T1 Langkah 2: kunjungiT1 secara preorder

R

Langkah 1: kunjungi R

T1

T2

Langkah 1: kunjungi T1 secara inorder

Langkah 3: kunjungiT2 secara preorder

(a) preorder

Langkah 2: kunjungi R

T2 Langkah 3: kunjungi T2 secara inorder

(b) inorder

Langkah 3: kunjungi R

R

T1 Langkah 1: kunjungi T1 secara postorder

T2 Langkah 2: kunjungi T2 secara postorder

(c) postorder

64

preorder inorder postorder

: *+a/b c-d*ef : a+b/c*d-e*f : abc/+def*-*

(prefix) (infix) (postfix)

*

+

-

a

d

/

b

c

*

e

f

65



Peraturan ujian :



1. buku tertutup, open ringkasan rumus, tidak boleh memakai kalkulator.



2. Ringkasan Rumus dan materi maksimal 1 lembar HVS

bolak-balik. 

3. Ringkasan Rumus Materi harus dikumpulkan bersama jawaban. Jika tidak mengumpulkan Ringkasan rumus maka

nilai UAS dikurangi 50%.

1.

Diketahui 8 buah koin uang logam. Satu dari delapan koin itu ternyata palsu. Koin yang palsu mungkin lebih ringan atau lebih berat daripada koin yang asli. Misalkan tersedia sebuah timbangan neraca yang sangat teliti. Buatlah pohon keputusan untuk mencari uang palsu dengan cara menimbang paling banyak hanya 3 kali saja.

67

68

2. Suatu kompetisi sepak bola melibatkan 16 kesebelasan. Apabila kompetisi tersebut dilakukan dengan cara sistem gugur (kesebelasan yang kalah tidak bertanding lagi), berapa banyak pertandingan untuk menentukan juara pertama?

69

SELESAI

70







Materi Kuliah Matematika Diskret :Renaldi Munir Matematika Diskrit : Samuel Wibisono, Graha Ilmu 2013 Ebook : Dr. Nanang Priatna, M.Pd.

71

72

2. Tentukan hasil kunjungan preorder, inorder, dan postorder pada pohon 4ary berikut ini: a

b

e

n

f

o

c

g

h

d

i

j

l

k

p

m

q

73



   

 

Metode Huffman merupakan salah satu teknik kompresi dengan cara melakukan pengkodean dalam bentuk bit untuk mewakili data karakter. Cara kerja atau algoritma metode ini adalah sebagai berikut : a. Menghitung banyaknya jenis karakter dan jumlah dari masingmasing karakter yang terdapat dalam sebuah file. b. Menyusun setiap jenis karakter dengan urutan jenis karakter yang jumlahnya paling sedikit ke yang jumlahnya paling banyak. c. Membuat pohon biner berdasarkan urutan karakter dari yang jumlahnya terkecil ke yang terbesar, dan memberi kode untuk tiap karakter. d. Mengganti data yang ada dengan kode bit berdasarkan pohon biner. e. Menyimpan jumlah bit untuk kode bit yang terbesar, jenis karakter yang diurutkan dari frekuensi keluarnya terbesar ke terkecil beserta data yang sudah berubah menjadi kode bit sebagai data hasil kompresi. Contoh teknik kompresi dengan menggunakan metode Huffman pada file teks. Misalkan sebuah file teks yang isinya “AAAABBBCCCCCD”. File ini memiliki ukuran 13 byte atau satu karakter sama dengan 1 byte.

74



Berdasarkan pada cara kerja di atas, dapat dilakukan kompresi sebagai berikut : ◦ a. Mencatat karakter yang ada dan jumlah tiap karakter. A = 4, B = 3, C = 12, D = 1 ◦ b. Mengurutkan karakter dari yang jumlahnya paling sedikit ke yang paling banyak yaitu : D, B, A, C ◦ c. Membuat pohon biner berdasarkan urutan karakter yang memiliki frekuensi terkecil hingga yang paling besar.

75



Sumber : https://barafirman.wordpress.com/write-zone/

76







d. Mengganti data yang ada dengan kode bit berdasarkan pohon biner yang dibuat. Penggantian karakter menjadi kode biner, dilihat dari node yang paling atas atau disebut node akar : A = 01, B = 001, C = 1, D = 000. Selanjutnya berdasarkan pada kode biner masing-masing karakter ini, semua karakter dalam file dapat diganti menjadi : 01010101001001001111110001111111 Karena angka 0 dan angka 1 mewakili 1 bit, sehingga data bit di atas terdiri dari 32 bit atau 4 byte (1 byte = 8 bit) e. Menyimpan kode bit dari karakter yang frekuensinya terbesar, jenis karakter yang terdapat di dalam file dan data file teks yang sudah dikodekan. Cara menyimpan data jenis karakter adalah dengan mengurutkan data jenis karakter dari yang frekuensinya paling banyak sampai ke yang paling sedikit, menjadi : [C,A,B,D] File teks di atas, setelah mengalami kompresi, memiliki ukuran sebesar 1 + 4 + 4 = 9 byte. Jumlah ini terdiri dari 1 byte kode karakter yang memiliki frekuensi terendah, 4 jenis karakter = 4 byte dan 4 byte data kode semua karakter.

77

6. Diberikan masukan berupa rangkaian karakter dengan urutan sebagai berikut: P, T, B, F, H, K, N, S, A, U, M, I, D, C, W, O

(a) Gambarkan pohon pencarian (search tree) yang terbentuk. (b) Tentukan hasil penelusuran preorder, inorder, dan postorder, dari pohon jawaban (a) di atas.

78