Aula 3 - Resistencia Dos Materiais

Resistência de Materiais Gisele Duarte Caboclo, M. C. [email protected]

Aula  3

Problema resolvido 1.2 Duas forças são aplicadas ao suporte da figura.  (a)  Sabendo‐se  que  a  barra  de  controle  AB  é feita  de  aço  com  tensão  última  de  600MPa,  determinar  o  diâmetro  da  barra  para  que o coeficiente de segurança seja de 3,3.  (b)  O  pino  no  ponto  C  é feito  de  aço  com  tensão  última  a  cisalhamento de 350MPa. Determinar o diâmetro do pino C que  leva a um coeficiente de segurança ao cisalhamento de valor 3,3.

A reação em C está representada por suas componentes  Cx e Cy:

∑M

c

=0

P.0,6 − 50.0,3 − 15.0,6 = 0 P = 40kN

∑F ∑F

x

y

=0

C x = 40kN

= 0 C y = 65kN

C = C x2 + C y2 = 76,3kN

Letra a • Como o coeficiente de segurança é 3,3 a tensão  admissível é:  σ adm =

σU C.S .

=

600 MPa = 181,8MPa 3,3

Para a P=40kN, a área da seção transversal é: Anec =

P

σ adm

Anec = d AB

π

40kN = = 220 x10 −6 m 2 181,8MPa

2 d AB = 220 x10 −6 m 2

4 = 16,74mm

Letra b Cisalhamento no pino C. Para o coeficiente de  segurança de 3,3, temos: τ adm =

τU C.S .

=

350MPa = 106,1MPa 3,3

Como o pino tem corte duplo, temos: Anec = Anec =

C/2

τ adm π 2

(76,3kN ) / 2 = = 360mm 2 106,1MPa

d c = 360mm 2

4 dc = 21,4mm ≈ 22mm

Exe.1 Uma  carga  P  de  6kN  é suportada  por  dois  membros  de  madeira  de  75x125mm  de  seção  transversal  retangular,  que  são unidos  mostrado na figura. Determinar a tensão normal e  de cisalhamento na junção.

Tensão e deformação ‐ cargas axiais

• Estática: Supõe sistemas rígidos  indeformáveis • Tensão ⇒ deformação • Análise das deformações  ⇒ Resolução de problemas  estaticamente indeterminados

Tensão e deformação ‐ cargas axiais

Diagrama força‐deformação

Tensão e deformação ‐ cargas axiais

ε=

δ L

Deformação específica

Diagrama tensão‐ deformação: não depende das  dimensões da barra

Diagrama tensão‐deformação

Exemplo 1 Consideremos,  uma  barra  de  comprimento  L=0,6m  e  secção  transversal uniforme, que se deforma de um valor δ=150x10‐6m.  A deformação específica correspondente é:

δ

150 x10 −6 m = 250 x10 −6 ε= = L 0,6m

Tensão e deformação ‐ cargas axiais • Área da seção variável

ε = lim ∆x→0

∆δ dδ = ∆x dx

Fratura • Materiais dúcteis Escoam a temperaturas normais

Fratura Materiais dúcteis

• A parte inicial do diagrama tensão‐deformação é uma linha reta  com grande coeficiente angular • Quando é atingido um valor crítico de tensão σe, o CP sofre uma  longa deformação, com pouco aumento de carga aplicada • σe é a  tensão  de  escoamento;  σu é a  tensão  última  e  σr é a  tensão de ruptura

Fratura • Quando  o  carregamento  atinge  um  certo  valor  máximo,  o  diâmetro  do  CP  começa  a  diminuir  (estricção),  devido  à perda de resistência local • Após  o  início  da  estricção,  um  carregamento  mais  baixo  é suficiente  para  manter  o  CP  se  deformando até a ruptura

Ruptura nos materiais  dúcteis ocorre por tensões  de cisalhamento

• A  ruptura  se  dá segundo  uma  superfície  em  forma  de  cone,  que  forma  um  ângulo  o aproximado  de  45 com  a  superfície inicial do CP

Fratura  • Materiais frágeis

‐ A fratura ocorre sem nenhuma mudança  sensível no modo de deformação ‐ Não existe diferença entre a tensão última e a tensão de ruptura ‐ A deformação é muito menor que nos materiais dúcteis ‐ Não ocorre estricção ‐ A ruptura se dá em uma superfície perpendicular ao carregamento  ⇒ via tensões normais

Fratura

Fratura frágil em um navio  (Callister, 2005)

Fratura Materiais frágeis

Fratura Material frágil submetido ao ensaio de tração

Fratura Tensão de escoamento 

Fratura Tensão de escoamento 

Determinação da tensão de escoamento • A tensão convencional de  escoamento é obtida tomando‐se  no eixo das abscissas a deformação  específica ε=0,2% (ou ε=0,002) • Por este ponto traça‐se uma reta  paralela ao trecho linear inicial do  diagrama Determinação da tensão de  escoamento convencional

• A tensão σe corresponde ao ponto  de interseção dessa reta com o  diagrama, sendo definida como  tensão convencional a 0,2%

Medidas de ductilidade

L R − L0 Alongamento percentual = 100 L0

Redução percentual da área = 100

AR − A0 A0

Ensaios de compressão

Estricção: não ocorre na compressão

Tensões e deformações específicas verdadeiras

F σ= A0

A área A0 é tomada antes de  qualquer deformação

Área da secção transversal diminui com o aumento da carga  aplicada ⇒ as tensões do diagrama tensão‐deformação não  correspondem aos valores reais!!!

F σV = A

Tensão verdadeira

Tensões e deformações específicas verdadeiras

⎛ ∆L ⎞ ⎟ L ⎠ ⎝

ε V = ∑ ∆ε = ∑ ⎜

dL L = ln L0 L L0

εV = ∫

L

Lei de Hooke – Módulo de elasticidade

σ = Eε E: módulo de elasticidade do material O limite de proporcionalidade vai até a tensão de escoamento do  material

A rigidez do material permanece inalterada a tratamentos  térmicos, ou seja, o valor de E não muda!!!

Comportamento elástico e comportamento  plástico dos materiais

• Comportamento elástico ⇒ As deformações causadas por um  carregamento desaparecem após a retirada do carregamento. • Limite de elasticidade ⇒ O maior valor de tensão para o qual  o material apresenta comportamento elástico.

Comportamento elástico e comportamento  plástico dos materiais

O limite de elasticidade coincide com a tensão de escoamento  em materiais com o limite de escoamento bem definido.

Comportamento elástico e comportamento  plástico dos materiais • Se o material atingir o limite de  escoamento  e  se  deformar,  quando  a  carga  é retirada  as  tensões  e  deformações  decrescem de maneira linear • O fato de ε não voltar ao ponto  zero  indica  que  o  material  sofreu  uma  deformação  plástica ou permanente.

Comportamento elástico e comportamento  plástico dos materiais

• Materiais  sem  limite  de  escoamento  bem  definido  ⇒ adota‐se  o  limite  de  tensão  convencional  de  escoamento  como  o  ponto  onde  a  deformação plástica se inicia

Comportamento elástico e comportamento  plástico dos materiais • Aumento do limite de  proporcionalidade e elasticidade  ⇒ recuperação de resistência

• Ductilidade (medida no ponto D)  ⇒ diminui Curva de carregamento‐ descarregamento

Fadiga • Ocorre quando após inúmeros  ciclos de carregamento o  material fratura, mesmo sobre  tensões bem inferiores a sua  tensão última. • A ruptura é sempre frágil,  mesmo para materiais dúcteis.

Limite de duração: a ruptura não ocorre mesmo para um grande  número de ciclos

Deformação de barras sujeitas  à carregamento axial

σ = εE ε=

δ = εL

σ E

=

P AE

PL δ= AE

Deformação de barras sujeitas  à carregamento axial Se    as  forças  forem  aplicadas  em  outros  pontos,  ou  se  a  barra  consiste  de  várias  partes  com  diferentes  secções  transversais  ou  compostas  de  diferentes  materiais,  devemos  dividi‐la  em  segmentos.  Pi Li δ =∑ i Ai Ei dδ = εdx = L

Pdx AE

Pdx δ =∫ AE 0

Problema resolvido 2.1 Determine a deformação da barra de aço da figura sob a ação  das cargas indicadas (E=200GPa)

L3 = 0,4m

L1 = L2 = 0,3m −6

A1 = A2 = 600 x10 m

A3 = 200 x10 −6 m 2

2

P1 = 400kN = 400 x103 N P2 = −100kN = −100 x103 N P3 = 200kN = 200 x103 N δ =∑ i

Pi Li 1 ⎛ P1 L1 P2 L2 P3 L3 ⎞ ⎟⎟ = = ⎜⎜ + + Ai Ei E ⎝ A1 A2 A3 ⎠

(

)

(

)

(

)

⎡ 400 x103 (0,300 ) − 100 x103 (0,300 ) 200 x103 (0,400) ⎤ 1 = + + ⎥ 9 ⎢ −6 −6 200 x10 ⎣ 600 x10 600 x10 200 x10 −6 ⎦ δ = 2,75 x10 − 3m = 2,75mm

Barras com duas extremidades livres A deformação da barra é medida pelo deslocamento  relativo das suas extremidades

δB/ A = δB − δ A =

PL AE

Problema Resolvido 2.1

A barra rígida BDE é suspensa por duas hastes AB e CD. A haste  AB é de alumínio (E=70GPa) com área da secção transversal de  500mm2; a haste CD é de aço(E=200GPa) com área da secção  transversal de 600mm2. Para a força de 30kN determine: a)  deslocamento de B; b)deslocamento de D; deslocamento de E.

Corpo livre BDE

∑M ∑M

− (30kN )(0,6m ) + FCD (0,2m ) = 0 B

=0

D

=0

FCD = 90kN

Força trativa

− (30kN )(0,4m ) − FAB (0,2m ) = 0 FAB = −60kN

Força compressiva

a) Deslocamento de B

(

)

PL − 60 x103 N (0,3m ) −6 δB = = = − 514 x 10 m 2 9 −6 AE 500 x10 m 70 x10 Pa

(

)(

)

O sinal negativo indica uma contração da barra AB, e em consequência, o deslocamento para cima de B:

δ B = 0,514mm

b) Deslocamento de D

(

)

PL 90 x103 N (0,4m ) −6 δD = = = 300 x 10 m −6 2 9 AE 600 x10 m 200 x10 Pa

(

δ D = 0,300mm

)(

)

c) Deslocamento de E Sejam B’ e D’ as posições de B e d após o deslocamento. Como  a barra BDE é rígida, os pontos B’, D’ e E’ estão em uma linha  reta, e podemos escrever: 0,514 (200 ) − x = x 0,3

δE 0,3 BB' BH = DD' HD

=

400 + 73,7 73,7

EE ' HE = DD' HD

x = 73,7 mm

δ E = 1,928mm