Aula 4 - Resistencia Dos Materiais

Resistência de Materiais Gisele Duarte Caboclo, M. C. [email protected]

Aula 4

Problemas estaticamente indeterminados • Em alguns problemas as forças internas não podem ser determinadas apenas com as equações da estática • Considerações geométricas do corpo

Exemplo 2.02 Uma barra de comprimento L e área da secção transversal A1, com módulo de elasticidade E1, foi colocada dentro de um tubo de mesmo comprimento L, mas de área de secção transversal A2 e módulo de elasticidade E2. Qual é a deformação da barra e do tubo, quando uma força P é aplicada por meio de uma placa rígida?

• Da geometria do problema: δ1 =

P1 L A1 E 1

δ2 =

P2 L A2 E 2

• A deformação nas duas barras devem ser iguais P1 P = 2 A1 E 1 A2 E2

P1 =

A1 E1 P A1 E1 + A2 P2

P2 =

A2 E2 P A1 E1 + A2 P2

• A deformação das barras pode ser calculada por qualquer uma das equações

Exemplo 2.03 A barra AB de comprimento L e secção transversal de área constante é presa a suportes indeslocáveis em A e B antes de ser carregada. Quais são os valores das tensões em AC e BC, devido à aplicação da carga P no ponto C?

R A + RB = P

A deformação da barra deve ser nula: δ=

δ = δ1 + δ 2 = 0

P1 L1 PL + 2 2 =0 AE AE

P1 = R A

P2 = − RB

RA L1 − RB L2 = 0

Utilizando a eq. 1 e a última eq.: RA =

PL2 L

RB =

PL1 L

Podemos calcular as tensões nas partes AC e BC dividindo P1=RA e P2=RB, respectivamente, pela área

Método da superposição • Uma estrutura é estaticamente indeterminada quando estiver ligada a mais suportes do que o necessário para manter seu equilíbrio • O número de equações a determinar é maior que o número de equações de equilíbrio • Estrutura superabundante ⇒ Força desconhecida

Exemplo 2.04

A barra de aço é presa a dois apoios fixos A e B. Determinar as reações nestes apoios quando se aplica o carregamento indicado.

• Reação em B ⇒ superabundante (retira-se o apoio e deixa-se o carro livre nesta extremidade). • RB será uma força desconhecida

Pi Li δ =∑ i Ai Ei

A barra é dividida em quatro partes . Da equação temos a deformação δ F P1 = 0

P2 = P3 = 600 x103 N

A1 = A2 = 400 x10 −6 m 2

P4 = 900 x103 N

A3 = A4 = 250 x10 −6 m 2

L1 = L2 = L3 = L4 = 0,150m

 600 x103 N 600 x103 N 900 x103 N  0,150m  = 0 + + + −6 2 −6 2 −6 2  400 x10 m 250 x10 m 250 x10 m  E  1,125 x109 δF = E PL δF = ∑ i i i Ai Ei

Para a determinação de δ R devido à RB, divide-se a barra em duas partes e escreve-se: P1 = P2 = − RB

A1 = 400 x10 −6 m 2

A2 = 250 x10 −6 m 2

L1 = L2 = 0,300m

Para o cálculo da deformação, temos:

P1 L1 P2 L2 1,95 x103 RB δ= + =− AE AE E

Como a deformação da barra deve ser igual a zero: δ = δF +δR = 0 Levando os valores de δ F e δ R, na equação anterior, temos: 1,125 x109 (1,95 x103 ) RB δ= − =0 E E Dessa última expressão calcula-se o valor de Rb 3

Rb = 577 x10 N = 577kN

A reação de RA no apoio superior e é obtida do diagrama de corpo livre da barra. Temse então:

∑F

v

= 0;

RA − 300kN − 600kN + RB = 0

RA = 900kN − RB = 900kN − 577 kN = 323kN

Exemplo 2.05 Calcular as reações em A e B, na barra do exemplo anterior supondo que existe uma distância de 4,5mm entre a barra e o apoio B, quando o carregamento é aplicado. Adotar E=200GPa.

• Considerar como superabundante o apoio em B • Calcular as deformações δ F e δ R • A barra pode ser alongada, logo sua deformação não é nula (δ =4,5mm)

δ = δ F + δ R = 4,5 x10 −3 m Utilizando os valores de δ F e δ R que foram calculados no exercício anterior na equação acima, e lembrando que E=200GPa: 1,125 x109 (1,95 x103 ) RB −3 δ= − = 4,5 x10 9 9 200 x10 200 x10

Essa expressão nos leva ao valor de RB

RB = 115,4 ×103 N = 115,4kN A reação no apoio A é obtida do diagrama de corpo livre da barra:

∑F

v

= 0;

RA − 300kN − 600kN + RB = 0

RA = 900kN − RB = 900kN − 155,4kN = 785kN

Um poste de concreto armado de 1,5m de comprimento tem seis barras de aço de 22mm de diâmetro. Sabendo-se que Es=200GPa e que Ec=20GPa, determinar a tensão normal no concreto quando uma força axial de 900kN é aplicada ao poste.

Pc= Força axial no poste de concreto Ps= Força nas seis varas de aço

δ=

Pc L Ac Ec

Pc =

δ=

Ps L As Es

Ps =

P = Pc + Ps = ( Ec Ac + Es As )

ε=

δ L

δ P = L Ec Ac + Es As

π 2 −3 2 As = 6 d s = 1,5 ⋅ 3,14 ⋅ ( 22 x10 ) = 2279,64 x10 −6 m 2 4 Ac = ( bxh ) c − As

(

)

= 250 x10 −3 ⋅ 250 x10 −3 − 2279 x10 −6 = 0,06m 2

Ec Acδ L Es Asδ L

L = 1,5m − 900 x103 −6 ε= = − 543 , 47 x 10 ( 20 x109 ⋅ 0,06) + ( 200 x109 ⋅ 0,00228)

σ s = Esε = 200 x109 ⋅ ( − 543,47 x10 −6 ) = −108694kPa σ s = Esε = 20 x109 ⋅ ( − 543,47 x10 −6 ) = −1089,4kPa

Uma placa rígida transmite ao bloco composto da figura uma força axial centrada P=385kN. Determinar as tensões normais: a) na placa interna de aço; b) nas placas externas de alumínio. Placa interna de aço Placa rígida Placa de alumínio

200mm

50mm

20mm 30mm 20mm

Pb= Carga axial na placa interna de aço Pa= Carga nas placas de Pb L Eb Abδ alumínio δ= Pb = Ab Eb L Pa L δ= Aa Ea

Ea Aaδ Pa = L

δ P = Pb + Pa = ( Eb Ab + Ea Aa ) L

ε=

δ P = L Eb Ab + Ea Aa

Ab = (30mm) x(50mm) = 1500 x10 −6 m 2 Aa = 2.(20mm).(50mm) = 2000 x10 −6 m 2 − 385 x103 ε= = 0,002 9 −6 9 −6 (105 x10 x1500 x10 + 70 x10 x 200 x10 )

σ b = Ebε = 105 x109 x0,002 = 210 MPa σ a = Eaε = 70 x109 x0,002 = 140MPa