Aula 10: Relatividade 2
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CIÊNCIA APLICADA AO DESIGN Aula 10 — Relatividade 2
Paulo Tribolet Abreu IADE, Licenciatura em Design 2008/9, 1º semestre
RESUMO Todos os referenciais de inércia são equivalentes. (A velocidade da luz é a mesma em todos os referenciais de inércia.)
A velocidade da luz (no vácuo) é a velocidade máxima de qualquer fenómeno.
2
RESUMO Todos os referenciais de inércia são equivalentes. (A velocidade da luz é a mesma em todos os referenciais de inércia.)
A velocidade da luz (no vácuo) é a velocidade máxima de qualquer fenómeno.
S
Transf. de Lorentz
Transf. de Galileu
S’ u v’ x’
v = v’ + u
x
2
v' +u v= v'"u 1+ 2 c (#c) + 0,9c
CONSEQUÊNCIAS
3
CONSEQUÊNCIAS Espaço e tempo não são invariantes quando se muda de referêncial.
3
CONSEQUÊNCIAS Espaço e tempo não são invariantes quando se muda de referêncial.
Dilatação do tempo: (∆t’ é o tempo próprio).
"t =
"t' 1#
!
3
u
2
c2
CONSEQUÊNCIAS Espaço e tempo não são invariantes quando se muda de referêncial.
Dilatação do tempo: (∆t’ é o tempo próprio).
"t =
"t' 1#
u
2
c2
u
!
2
"x = "x' 1# 2 Contracção do espaço: c (∆x’ é o comprimento próprio). 3
DILATAÇÃO DO TEMPO: NA TERRA u
S’
S
u = 0,8 c ∆t’ = 30 anos ∆t = ?
u DILATAÇÃO DO TEMPO: "x = "x' 1# 2 NA TERRA c 2
u
"t =
S’
!
"t' 1#
= S
u = 0,8 c ∆t’ = 30 anos ∆t = ?
1#
u
2 2
c 30 (0,8c)
30
c
2
2
30 = = 1# 0,64 0,6 = 50 anos na Terra
u DILATAÇÃO DO TEMPO: "x = "x' 1# 2 NA TERRA c 2
u
"t =
S’
!
"t' 1#
= S
u = 0,8 c ∆t’ = 30 anos ∆t = ?
1#
u
2 2
c 30 (0,8c)
30
c
2
2
30 = = 1# 0,64 0,6 = 50 anos na Terra
u DILATAÇÃO DO TEMPO: "x = "x' 1# 2 NA TERRA c 2
u
"t =
S’
!
"t' 1#
= S
u = 0,8 c ∆t’ = 30 anos ∆t = ?
1#
u
2 2
c 30 (0,8c)
30
c
2
2
30 = = 1# 0,64 0,6 = 50 anos na Terra
u DILATAÇÃO DO TEMPO: "x = "x' 1# 2 NA TERRA c 2
u
"t =
S’
!
"t' 1#
= S
u = 0,8 c ∆t’ = 30 anos ∆t = ?
1#
u
2 2
c 30 (0,8c)
30
c
2
2
30 = = 1# 0,64 0,6 = 50 anos na Terra
DILATAÇÃO DO TEMPO: NA NAVE u
S’
"t =
"t' 1#
S
u = 0,8 c ∆t = 30 anos ∆t’ = ?
u
2
c
2
"t' 30 = $ 0,6 "t'= 30 % 0,6 = 18 anos na Terra
DILATAÇÃO DO TEMPO: NA NAVE u
S’
"t =
"t' 1#
S
u = 0,8 c ∆t = 30 anos ∆t’ = ?
u
2
c
2
"t' 30 = $ 0,6 "t'= 30 % 0,6 = 18 anos na Terra
O TEMPO É RELATIVO
6
O TEMPO É RELATIVO No referencial Terra, a viagem dura 50 anos e o astronauta envelhece 30.
6
O TEMPO É RELATIVO No referencial Terra, a viagem dura 50 anos e o astronauta envelhece 30. 50
Terra
30
30
6
30
30
Nave
u=0,8c
O TEMPO É RELATIVO No referencial Terra, a viagem dura 50 anos e o astronauta envelhece 30. 50
Terra
30
30
30
30
Nave
u=0,8c
No referencial Nave, a viagem dura 30 anos e a Terra envelhece 18 anos.
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O TEMPO É RELATIVO No referencial Terra, a viagem dura 50 anos e o astronauta envelhece 30. 50
Terra
30
30
30
30
Nave
u=0,8c
No referencial Nave, a viagem dura 30 anos e a Terra envelhece 18 anos. u=-0,8c
18
Terra
18
18
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30
Nave
O TEMPO É RELATIVO No referencial Terra, a viagem dura 50 anos e o astronauta envelhece 30. 50
Terra
30
30
30
30
Nave
u=0,8c
No referencial Nave, a viagem dura 30 anos e a Terra envelhece 18 anos. u=-0,8c
18
Terra
18
18
18
30
Nave
Não há maneira de avaliar simultaneamente as duas idades, porque nada é instantâneo.
6
SE A VIAGEM É DE IDA E VOLTA
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SE A VIAGEM É DE IDA E VOLTA No referencial Terra, a viagem dura 25+25=50 anos e o astronauta envelhece 15+15=30 anos.
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SE A VIAGEM É DE IDA E VOLTA No referencial Terra, a viagem dura 25+25=50 anos e o astronauta envelhece 15+15=30 anos. No referencial Nave, a viagem dura 15+15=30 anos e a Terra envelhece 9+9=18 anos.
7
SE A VIAGEM É DE IDA E VOLTA No referencial Terra, a viagem dura 25+25=50 anos e o astronauta envelhece 15+15=30 anos. No referencial Nave, a viagem dura 15+15=30 anos e a Terra envelhece 9+9=18 anos. Quando os dois se encontram, estão de acordo em relação à idade do astronauta (+30 anos), mas não em relação à idade na Terra: +50 anos vs. +18 anos.
7
SE A VIAGEM É DE IDA E VOLTA No referencial Terra, a viagem dura 25+25=50 anos e o astronauta envelhece 15+15=30 anos. No referencial Nave, a viagem dura 15+15=30 anos e a Terra envelhece 9+9=18 anos. Quando os dois se encontram, estão de acordo em relação à idade do astronauta (+30 anos), mas não em relação à idade na Terra: +50 anos vs. +18 anos. Paradoxo dos gémeos: não é possível ser-se ao mesmo tempo 20 anos mais velho (50-30) e 12 anos mais novo (30-18) que outra pessoa! (Nem mesmo em relatividade com o tempo e espaço relativos.)
7
SOLUÇÃO DO PARADOXO DOS GÉMEOS
u=-0,8c
25
Terra
24
23
22
21
20
12
11
9
15
Nave
Terra
30
Nave
10
50
8
SOLUÇÃO DO PARADOXO DOS GÉMEOS Para que haja encontro e comparação das idades, alguém teve que voltar para trás: a nave.
u=-0,8c
25
Terra
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23
22
21
20
12
11
9
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Nave
Terra
30
Nave
10
50
8
SOLUÇÃO DO PARADOXO DOS GÉMEOS Para que haja encontro e comparação das idades, alguém teve que voltar para trás: a nave. Portanto, o astronauta não esteve sempre no mesmo referencial inércia.
u=-0,8c
25
Terra
24
23
22
21
20
12
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Nave
Terra
30
Nave
10
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8
SOLUÇÃO DO PARADOXO DOS GÉMEOS Para que haja encontro e comparação das idades, alguém teve que voltar para trás: a nave. Portanto, o astronauta não esteve sempre no mesmo referencial inércia. No regresso, o astronauta vai ao encontro das imagens enviadas da Terra. Vai receber muitas mais imagens da Terra com maior frequência, de modo que a versão final vai ser também 30/50, como na Terra: u=-0,8c
25
Terra
24
23
22
21
20
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Nave
Terra
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Nave
10
50
8
1#
u 2
c 30
CONTRACÇÃO = DO ESPAÇO (0,8c) 2 1#
u
S’
c
2
30
S
30 = 2 = u 0,6 1# 0,64 "x = "x' 1# 2 = 50 anosc na Terra = 40 $ 0,6 = 24 anos - luz na nave !
u = 0,8 c ∆x’ = 40 anos-luz! ∆x = ?
"x' 40 u= = = 0,8 "t 50 "x"t' 24 "t == = = 0,8 "t' u 230 1# 2 c
1#
u 2
c 30
CONTRACÇÃO = DO ESPAÇO (0,8c) 2 1#
u
S’
c
2
30
S
30 = 2 = u 0,6 1# 0,64 "x = "x' 1# 2 = 50 anosc na Terra = 40 $ 0,6 = 24 anos - luz na nave !
u = 0,8 c ∆x’ = 40 anos-luz! ∆x = ?
"x' 40 u= = = 0,8 "t 50 "x"t' 24 "t == = = 0,8 "t' u 230 1# 2 c
1#
u 2
c 30
CONTRACÇÃO = DO ESPAÇO (0,8c) 2 1#
u
S’
c
2
30
S
30 = 2 = u 0,6 1# 0,64 "x = "x' 1# 2 = 50 anosc na Terra = 40 $ 0,6 = 24 anos - luz na nave !
u = 0,8 c ∆x’ = 40 anos-luz! ∆x = ?
"x' 40 u= = = 0,8 "t 50 "x"t' 24 "t == = = 0,8 "t' u 230 1# 2 c
O QUE É INVARIANTE?
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O QUE É INVARIANTE? Relatividade Clássica: tempo e distância (Teorema de Pitágoras):
S ∆y
S’ ∆y’ ∆x’ ∆x
10
O QUE É INVARIANTE? Relatividade Clássica: tempo e distância (Teorema de Pitágoras): 2
2
2
2
2
"x + "y + "z = "x' +"y' +"z'
2
S ∆y
S’ ∆y’ ∆x’ ∆x
10
O QUE É INVARIANTE? Relatividade Clássica: tempo e distância (Teorema de Pitágoras): 2
2
2
2
2
"x + "y + "z = "x' +"y' +"z'
2
Relatividade Restrita: c e o Intervalo do Universo:
S ∆y
S’ ∆y’ ∆x’ ∆x
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O QUE É INVARIANTE? Relatividade Clássica: tempo e distância (Teorema de Pitágoras): 2
2
2
2
2
"x + "y + "z = "x' +"y' +"z'
S
2
Relatividade Restrita: c e o Intervalo do Universo: 2
2
2
2
2
2
2
2
2
"s = "x + "y + "z # c"t
= "x' +"y' +"z' #c"t' = "s'
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2
∆y
S’ ∆y’ ∆x’ ∆x
O QUE É INVARIANTE? Relatividade Clássica: tempo e distância (Teorema de Pitágoras): 2
2
2
2
2
"x + "y + "z = "x' +"y' +"z'
S
2
Relatividade Restrita: c e o Intervalo do Universo: 2
2
2
2
2
2
2
2
2
"s = "x + "y + "z # c"t
= "x' +"y' +"z' #c"t' = "s' Logo o Universo tem 4 dimensões: três do espaço e uma do tempo! 10
2
∆y
S’ ∆y’ ∆x’ ∆x
EXEMPLOS DE TRAJECTÓRIAS NO ESPAÇO-TEMPO ct
45º Parado Mov. uniforme
Luz
11
x
PASSADO E FUTURO ct Futuro 45º
x
45º
Passado
12
PASSADO E FUTURO (2D) ct Futuro de A
A x y
Passado de A 13 o evento A no espaço-tempo (x, y, ct). Figura 1.6: Zonas de influência para
A SIMULTANEIDADE É RELATIVA ct
Sol
Terra
x
A SIMULTANEIDADE É RELATIVA ct
8 min
Ver explosão e piscar os olhos
Explosão Sol
Terra
x
A SIMULTANEIDADE É RELATIVA ct Piscar os olhos 16 min
8 min
Ver explosão e piscar os olhos
Explosão Sol
Terra
x
A SIMULTANEIDADE É RELATIVA ct Piscar os olhos 16 min
8 min
Explosão Sol
Terra
x
Paulo Tribolet Abreu IADE, Licenciatura em Design 2008/9, 1º semestre
RESUMO Todos os referenciais de inércia são equivalentes. (A velocidade da luz é a mesma em todos os referenciais de inércia.)
A velocidade da luz (no vácuo) é a velocidade máxima de qualquer fenómeno.
2
RESUMO Todos os referenciais de inércia são equivalentes. (A velocidade da luz é a mesma em todos os referenciais de inércia.)
A velocidade da luz (no vácuo) é a velocidade máxima de qualquer fenómeno.
S
Transf. de Lorentz
Transf. de Galileu
S’ u v’ x’
v = v’ + u
x
2
v' +u v= v'"u 1+ 2 c (#c) + 0,9c
CONSEQUÊNCIAS
3
CONSEQUÊNCIAS Espaço e tempo não são invariantes quando se muda de referêncial.
3
CONSEQUÊNCIAS Espaço e tempo não são invariantes quando se muda de referêncial.
Dilatação do tempo: (∆t’ é o tempo próprio).
"t =
"t' 1#
!
3
u
2
c2
CONSEQUÊNCIAS Espaço e tempo não são invariantes quando se muda de referêncial.
Dilatação do tempo: (∆t’ é o tempo próprio).
"t =
"t' 1#
u
2
c2
u
!
2
"x = "x' 1# 2 Contracção do espaço: c (∆x’ é o comprimento próprio). 3
DILATAÇÃO DO TEMPO: NA TERRA u
S’
S
u = 0,8 c ∆t’ = 30 anos ∆t = ?
u DILATAÇÃO DO TEMPO: "x = "x' 1# 2 NA TERRA c 2
u
"t =
S’
!
"t' 1#
= S
u = 0,8 c ∆t’ = 30 anos ∆t = ?
1#
u
2 2
c 30 (0,8c)
30
c
2
2
30 = = 1# 0,64 0,6 = 50 anos na Terra
u DILATAÇÃO DO TEMPO: "x = "x' 1# 2 NA TERRA c 2
u
"t =
S’
!
"t' 1#
= S
u = 0,8 c ∆t’ = 30 anos ∆t = ?
1#
u
2 2
c 30 (0,8c)
30
c
2
2
30 = = 1# 0,64 0,6 = 50 anos na Terra
u DILATAÇÃO DO TEMPO: "x = "x' 1# 2 NA TERRA c 2
u
"t =
S’
!
"t' 1#
= S
u = 0,8 c ∆t’ = 30 anos ∆t = ?
1#
u
2 2
c 30 (0,8c)
30
c
2
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30 = = 1# 0,64 0,6 = 50 anos na Terra
u DILATAÇÃO DO TEMPO: "x = "x' 1# 2 NA TERRA c 2
u
"t =
S’
!
"t' 1#
= S
u = 0,8 c ∆t’ = 30 anos ∆t = ?
1#
u
2 2
c 30 (0,8c)
30
c
2
2
30 = = 1# 0,64 0,6 = 50 anos na Terra
DILATAÇÃO DO TEMPO: NA NAVE u
S’
"t =
"t' 1#
S
u = 0,8 c ∆t = 30 anos ∆t’ = ?
u
2
c
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"t' 30 = $ 0,6 "t'= 30 % 0,6 = 18 anos na Terra
DILATAÇÃO DO TEMPO: NA NAVE u
S’
"t =
"t' 1#
S
u = 0,8 c ∆t = 30 anos ∆t’ = ?
u
2
c
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"t' 30 = $ 0,6 "t'= 30 % 0,6 = 18 anos na Terra
O TEMPO É RELATIVO
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O TEMPO É RELATIVO No referencial Terra, a viagem dura 50 anos e o astronauta envelhece 30.
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O TEMPO É RELATIVO No referencial Terra, a viagem dura 50 anos e o astronauta envelhece 30. 50
Terra
30
30
6
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30
Nave
u=0,8c
O TEMPO É RELATIVO No referencial Terra, a viagem dura 50 anos e o astronauta envelhece 30. 50
Terra
30
30
30
30
Nave
u=0,8c
No referencial Nave, a viagem dura 30 anos e a Terra envelhece 18 anos.
6
O TEMPO É RELATIVO No referencial Terra, a viagem dura 50 anos e o astronauta envelhece 30. 50
Terra
30
30
30
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Nave
u=0,8c
No referencial Nave, a viagem dura 30 anos e a Terra envelhece 18 anos. u=-0,8c
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Terra
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18
18
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Nave
O TEMPO É RELATIVO No referencial Terra, a viagem dura 50 anos e o astronauta envelhece 30. 50
Terra
30
30
30
30
Nave
u=0,8c
No referencial Nave, a viagem dura 30 anos e a Terra envelhece 18 anos. u=-0,8c
18
Terra
18
18
18
30
Nave
Não há maneira de avaliar simultaneamente as duas idades, porque nada é instantâneo.
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SE A VIAGEM É DE IDA E VOLTA
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SE A VIAGEM É DE IDA E VOLTA No referencial Terra, a viagem dura 25+25=50 anos e o astronauta envelhece 15+15=30 anos.
7
SE A VIAGEM É DE IDA E VOLTA No referencial Terra, a viagem dura 25+25=50 anos e o astronauta envelhece 15+15=30 anos. No referencial Nave, a viagem dura 15+15=30 anos e a Terra envelhece 9+9=18 anos.
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SE A VIAGEM É DE IDA E VOLTA No referencial Terra, a viagem dura 25+25=50 anos e o astronauta envelhece 15+15=30 anos. No referencial Nave, a viagem dura 15+15=30 anos e a Terra envelhece 9+9=18 anos. Quando os dois se encontram, estão de acordo em relação à idade do astronauta (+30 anos), mas não em relação à idade na Terra: +50 anos vs. +18 anos.
7
SE A VIAGEM É DE IDA E VOLTA No referencial Terra, a viagem dura 25+25=50 anos e o astronauta envelhece 15+15=30 anos. No referencial Nave, a viagem dura 15+15=30 anos e a Terra envelhece 9+9=18 anos. Quando os dois se encontram, estão de acordo em relação à idade do astronauta (+30 anos), mas não em relação à idade na Terra: +50 anos vs. +18 anos. Paradoxo dos gémeos: não é possível ser-se ao mesmo tempo 20 anos mais velho (50-30) e 12 anos mais novo (30-18) que outra pessoa! (Nem mesmo em relatividade com o tempo e espaço relativos.)
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SOLUÇÃO DO PARADOXO DOS GÉMEOS
u=-0,8c
25
Terra
24
23
22
21
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12
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Nave
Terra
30
Nave
10
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SOLUÇÃO DO PARADOXO DOS GÉMEOS Para que haja encontro e comparação das idades, alguém teve que voltar para trás: a nave.
u=-0,8c
25
Terra
24
23
22
21
20
12
11
9
15
Nave
Terra
30
Nave
10
50
8
SOLUÇÃO DO PARADOXO DOS GÉMEOS Para que haja encontro e comparação das idades, alguém teve que voltar para trás: a nave. Portanto, o astronauta não esteve sempre no mesmo referencial inércia.
u=-0,8c
25
Terra
24
23
22
21
20
12
11
9
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Nave
Terra
30
Nave
10
50
8
SOLUÇÃO DO PARADOXO DOS GÉMEOS Para que haja encontro e comparação das idades, alguém teve que voltar para trás: a nave. Portanto, o astronauta não esteve sempre no mesmo referencial inércia. No regresso, o astronauta vai ao encontro das imagens enviadas da Terra. Vai receber muitas mais imagens da Terra com maior frequência, de modo que a versão final vai ser também 30/50, como na Terra: u=-0,8c
25
Terra
24
23
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21
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Nave
Terra
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Nave
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1#
u 2
c 30
CONTRACÇÃO = DO ESPAÇO (0,8c) 2 1#
u
S’
c
2
30
S
30 = 2 = u 0,6 1# 0,64 "x = "x' 1# 2 = 50 anosc na Terra = 40 $ 0,6 = 24 anos - luz na nave !
u = 0,8 c ∆x’ = 40 anos-luz! ∆x = ?
"x' 40 u= = = 0,8 "t 50 "x"t' 24 "t == = = 0,8 "t' u 230 1# 2 c
1#
u 2
c 30
CONTRACÇÃO = DO ESPAÇO (0,8c) 2 1#
u
S’
c
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30
S
30 = 2 = u 0,6 1# 0,64 "x = "x' 1# 2 = 50 anosc na Terra = 40 $ 0,6 = 24 anos - luz na nave !
u = 0,8 c ∆x’ = 40 anos-luz! ∆x = ?
"x' 40 u= = = 0,8 "t 50 "x"t' 24 "t == = = 0,8 "t' u 230 1# 2 c
1#
u 2
c 30
CONTRACÇÃO = DO ESPAÇO (0,8c) 2 1#
u
S’
c
2
30
S
30 = 2 = u 0,6 1# 0,64 "x = "x' 1# 2 = 50 anosc na Terra = 40 $ 0,6 = 24 anos - luz na nave !
u = 0,8 c ∆x’ = 40 anos-luz! ∆x = ?
"x' 40 u= = = 0,8 "t 50 "x"t' 24 "t == = = 0,8 "t' u 230 1# 2 c
O QUE É INVARIANTE?
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O QUE É INVARIANTE? Relatividade Clássica: tempo e distância (Teorema de Pitágoras):
S ∆y
S’ ∆y’ ∆x’ ∆x
10
O QUE É INVARIANTE? Relatividade Clássica: tempo e distância (Teorema de Pitágoras): 2
2
2
2
2
"x + "y + "z = "x' +"y' +"z'
2
S ∆y
S’ ∆y’ ∆x’ ∆x
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O QUE É INVARIANTE? Relatividade Clássica: tempo e distância (Teorema de Pitágoras): 2
2
2
2
2
"x + "y + "z = "x' +"y' +"z'
2
Relatividade Restrita: c e o Intervalo do Universo:
S ∆y
S’ ∆y’ ∆x’ ∆x
10
O QUE É INVARIANTE? Relatividade Clássica: tempo e distância (Teorema de Pitágoras): 2
2
2
2
2
"x + "y + "z = "x' +"y' +"z'
S
2
Relatividade Restrita: c e o Intervalo do Universo: 2
2
2
2
2
2
2
2
2
"s = "x + "y + "z # c"t
= "x' +"y' +"z' #c"t' = "s'
10
2
∆y
S’ ∆y’ ∆x’ ∆x
O QUE É INVARIANTE? Relatividade Clássica: tempo e distância (Teorema de Pitágoras): 2
2
2
2
2
"x + "y + "z = "x' +"y' +"z'
S
2
Relatividade Restrita: c e o Intervalo do Universo: 2
2
2
2
2
2
2
2
2
"s = "x + "y + "z # c"t
= "x' +"y' +"z' #c"t' = "s' Logo o Universo tem 4 dimensões: três do espaço e uma do tempo! 10
2
∆y
S’ ∆y’ ∆x’ ∆x
EXEMPLOS DE TRAJECTÓRIAS NO ESPAÇO-TEMPO ct
45º Parado Mov. uniforme
Luz
11
x
PASSADO E FUTURO ct Futuro 45º
x
45º
Passado
12
PASSADO E FUTURO (2D) ct Futuro de A
A x y
Passado de A 13 o evento A no espaço-tempo (x, y, ct). Figura 1.6: Zonas de influência para
A SIMULTANEIDADE É RELATIVA ct
Sol
Terra
x
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