Apunte_leapunov

Taller 2 • 1 de febrero de 2019 • Técnicas de Control

TALLER 2 Control Robusto de Modo Deslizante: Motor DC de Imán Permanente Ernesto Cortés, Kevin Díaz, Felipe Galindo, Robinson Sanchez, [email protected] [email protected] [email protected] [email protected]

7 de febrero de 2019 Resumen En este documento se evidencia el uso de técnicas de control mediante el modo deslizante (SM) para un motor DC de imán permanente acoplado a un sistema barra-masa. Todo esto será implementado en la herramienta Simulink de MATLAB.

I.

Requerimientos

Seguimiento de referencias (Set-Point Tracking) en un rango de φ [-30, 30] grados.[F. Leonid, 2013] Señal de control lo más pequeña posible. Dinámica de lazo cerrado lo más rápido posible.

I. Consideraciones El modelo del Motor D.C. se asume nominal y no lineal. La inductancia es despreciable, con fines de obtener un modelo de segundo orden con integrador La carga puntual a mover es menor a 300 gramos y está ubicada a 5 centímetros del eje. Parámetros iguales al taller anterior.

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II.

MODELO

M

Mg

φ

Figura 1: Esquemático Motor DC, Barra-Masa

Dada la naturaleza electromecánica del motor DC[Alvarado, 2012] y la sumatoria de momentos se tiene que[Alvarado and Gallegos, 2014]: vi = ε + Ri · Ii (t) = Li ·

di(t) dt

(1)

τe (t) − τL (t) − θ˙ (t) = J · θ¨

(2)

τe = kp · Ii (t)

(3)

ε = kb · θ˙ (t)

(4)

τL = M gL cos θ

(5)

Teniendo en cuenta las consideraciones (Li <<), y reemplazando (3), (4) y (5) en (1) y luego en (2), se llega a la representación en variables de estado del motor y su función de transferencia: Vi Kp BRi + Kb Kp ˙ M gLRi ]·θ−[ ] · cos θ + θ¨ = −[ Ri J Ri J Ri J

III.

(6)

Control por Modo Deslizante (SM)

Definiendo las variables de estado x1 y x2 y el error de posición como: x1 = θ, x2 = θ˙

(7)

xe = x1 − xr

(8)

Donde xr es una constante dado el modo deslizante (Set-Point tracking). Ésta se escoge de acuerdo al punto de equilibrio del sistema, en este caso xr = 0. Las variaciones de las variables de estado y el error son: x˙1 = x2 BRi + Kb Kp Kp M gL x˙2 = −[ ] · x2 − [ ] · cos x1 + ·u Ri J J Ri J x˙e = x˙1 = x2

(9) (10) (11)

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Siendo u = Vi la entrada al sistema. Asumiendo que se tiene acceso a los estados del sistema, se define S como la superficie de deslizamiento dada por: S = axe + x2 = ax1 + x2

(12)

Dado que se quiere que el error de posición sea cero. Se asume que las variables de estado están acotadas: k x1 k≤ π, k x2 k≤ π/2 (13) x˙2 está previamente definida como x˙2 = h(x) + g (x)u, dondeh(x) y g(x) se observan en la ecuación (10): h(x) = −[

BRi + Kb Kp M gL ] · x2 − [ ] · cos x1 Ri J J Kp g (x) = Ri J

(14) (15)

La variable S cumple la relación: S˙ = ax˙1 + x˙2 = ax2 + h(x) + g (x)u Para garantizar la estabilidad se requiere que S˙ = 0: 0 = ax2 + h(x) + g (x)u Despejando u se busca una señal que cumpla u = −βsgn(S ). Esto es: ax2 + h(x) =u g (x) ax2 + h(x) | |<β g (x)

−

(16) (17)

Reemplazando (14) y (15) se obtiene que : | |

i Jm ax2 R ax2 + h(x) Ri J m − [ |=| g (x)

BRi +Kb Kp ] · x2 Ri Jm Kp Ri J m

i − [ MRgLR ] · cos x1 i Jm

|

|aRi Jm | + |BRi | + |kb kp | ax2 + h(x) |M gLRi ||cos(x1 )| |< |x2 | + g (x) kp kp |cos(x1 )| ≤ 1 |

|aRi Jm | + |BRi | + |kb kp | ax2 + h(x) |M gLRi | |< |x2 | + g (x) kp kp

Usando los valores del Taller anterior: Ri =[90 110]100Ω J=[0.09 0.11]kg/m2 +M L2 (Siendo J La inercia Eléctrica del motor + la mecánica del acople) kb = [0.9 1.1] V ∗ s kp = [0.9 1.1] N ∗ m/A B= [0.0009 0.0011]N ∗ m/s

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Además del problema actual: a está sujeta a variaciones de diseño M ∈ [240, 360] g L ∈ [0.04, 0.06] m x1 =π x2 =π/2 Tomando los valores máximos de M y L se procede a iterar a para obtener diferentes valores de β Iteración 1 2 3 4

a 0.5 1 1.5 2

β mínimo 7.17 15.93 24.66 33.40

β escogido 7.2 16 25 34

Tabla 1: Tabla de iteraciones

IV.

SMC Simulink y Análisis

Posteriormente se realiza la simulación en diagrama de bloques mediante simulink. Probando las tres últimas combinaciones de valores de a y β se obtienen las respuestas mostradas en la figura 2, para una referencia de entrada de 25 grados o 0.44 radianes.

0.45 a=1.5 a=1 a=2

0.4

0.35

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Figura 2: Respuesta del sistema para los valores de a y β de la tabla 1

Se decide por lo tanto tomar los valores de a=1.5 y β=25, correspondientes a la linea de color azul, ya que proporcionan un tiempo de respuesta reducido en lazo cerrado sin aumentar mucho el esfuerzo de control.

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V.

Modo Equivalente

Si los parámetros reales no son iguales a los nominales, se requiere una señal que elimine los efectos de la incertidumbre. Demostrar S˙ = δ (x) + g (x) · usm δ (x) = a(1 −

donde,

g (x) g (x) ˆ ) x2 + h ( x ) − · h(x) gˆ (x) gˆ (x)

Es posible garantizar estabilidad si existe un β tal que: δ (x) |<β g (x)

∀ x

(18)

x˙ 1 = x2

(19)

x˙ 2 = h(x) + g (x)u

(20)

S = axe + x2 S˙ = ax˙ e + x˙ 2

(21) (22)

xe = x1 − xr

(23)

x˙ e = x˙ 1

(24)

S˙ = ax˙ 1 + x˙ 2

(25)

S˙ = ax˙ 1 + h(x) + g (x)u

(26)

u = ueq + usm ax2 + hˆ (x) =− gˆ (x)

(27)

| Se sabe que

Además

Entonces Reemplazando (20) en (25)

ueq

(28)

Reemplazando (27) y (28)en (26): g (x) g (x) ˆ S˙ = ax˙ 1 + h(x) − ax2 − · h(x) + g (x) · usm gˆ (x) gˆ (x)

(29)

Recordando que x˙ 1 = x2 : g (x) g (x) ˆ S˙ = a(1 − ) x2 + h ( x ) − · h(x) +g (x) · usm gˆ (x) gˆ (x) | {z } δ (x)

Se concluye que: S˙ = δ (x) + g (x)usm

(30)

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Para garantizar estabilidad se requiere que S = 0, es decir, que la superficie sea atrayente. 0 = δ (x) + g (x)usm δ (x) = usm g (x) δ (x) entonces <β g (x) −

Luego la nueva condición es: a(1 − |

g (x) )x gˆ (x) 2

+ h(x) −

g (x) gˆ (x)

· hˆ (x)

g (x)

|

1 1 h(x) hˆ (x) − ) x2 + − | g (x) gˆ (x) g (x) gˆ (x) 1 h(x) hˆ (x) 1 − ) x2 | + | − | < |a( g (x) gˆ (x) g (x) gˆ (x) 1 1 h(x) hˆ (x) = a| − ||x2 | + | − | g (x) gˆ (x) g (x) gˆ (x) 1 1 h(x) hˆ (x) ≤ a| | + a| ||x2 | + | |+| |≤β g (x) gˆ (x) g (x) gˆ (x)

= |a(

Siendo h(x) = −[ g (x) =

BRi + Kb Kp M gL ] · x2 − [ ] · cos x1 Ri J J

Kp Ri J

Para el valor nominal hˆ (x) y gˆ (x) Las constantes toman el valor intermedio del intervalo. Para el valor real h(x) y g(x) Las constantes toman el valor extremo superior. Obteniendo así: h(x) = 1,716 hˆ (x) = 1,288 g (x) = 0,0988 gˆ (x) = 0,0993 Iterando diversos valores de a para el valor de β: Iteración 1 2 3 4 5

a 1 4 7 10 13

β mínimo 56.27 134.11 211.94 289.77 367.60

β escogido 57 135 212 290 368

Tabla 2: Tabla de iteraciones

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El controlador de modo deslizante se define de la siguiente manera:

ueq = −

ax2 + hˆ (x) gˆ (x)

El valor de a es el mismo que se encontró en el controlador modo deslizante. ueq = −

ax2 −

BRi +kp ke mgLcos(x1 ) − Ri J J kp Ri J

ueq = −ax2 · 0,100675 − 0,1434

VI.

Modo Equivalente Simulink y Análisis

Al realizar la simulación en simulink del control en modo equivalente se obtiene la señal de control Ueq mostrada en la figura 3.

15

Tensión (v)

10

5

0 0

10

20

30

40

50

60

Tiempo (s)

Figura 3: Señal de control Ueq

Como se puede ver en la imagen la señal de control comienza teniendo un valor positivo mayor a 10v y al cabo de aproximadamente 50 segundos ya ha tomado valores cercanos a cero. Esto se debe a que dicha señal de control depende directamente de la velocidad del sistema, la cual tienda a ser cero a medida que se alcanza la posición deseada. La dinámica tan lenta de esta señal puede deberse al hecho de que no se le está aplicando la señal de control Usm al sistema. En cuanto a la posición del sistema, ésta se puede observar en la figura 4 obtenida en la simulación.

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0

-0.2

-0.4

Posición (rad)

-0.6

-0.8

-1

-1.2

-1.4

-1.6 0

10

20

30

40

50

60

Tiempo (s)

Figura 4: Posición del sistema cuando se aplica únicamente la señal de control Ueq

Como se puede ver. El modo equivalente no es suficiente para realizar un control adecuado de la posición del sistema, puesto que no cuenta con la señal Usm.

VII.

SMC + Equivalente Simulink

3.5 a=1 a=4 a=7 a=10

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Figura 5: Respuesta de posición del sistema para los valores de a y β de la tabla 1

4

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3 a=1

2.5

2

1.5

1

0.5

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

tiempo (segundos)

Figura 6: Respuesta de la posición del sistema para los valores de a y β de la tabla 1

60

40

20

0

-20

-40

-60 0

0.5

1

1.5

2

2.5

tiempo (segundos)

Figura 7: Señal de control SMC

3

3.5

4

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80 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

tiempo(segundos) Figura 8: Señal de control SMC con control equivalente

VIII.

Conclusiones

El control en modo deslizante resulta ser una herramienta de control bastante robusta ante incertidumbres de los parámetros del sistema que se desea controlar. Esto resulta especialmente útil en los sistemas en donde no se puede realizar una medición o estimación exacta de sus parámetros y solo se cuenta con una aproximación. El control en modo deslizante permite diseñar el controlador teniendo en cuenta los límites físicos de la señal de control, de tal forma que es menos difícil cometer errores de diseño por no tener en cuenta la saturación real de dicha señal. Al unir el modo deslizante y equivalente en una sola señal de control, estableciendo nuevos valores para beta, se toma en cuenta que el valor real no siempre es igual para el valor nominal. Esto debido a la incertidumbre de los parámetros del motor y el acople mecánico (Masa y ubicación de esta). El efecto de esto se refleja en un incremento de β en comparación al modo deslizante solo. δ (x) |, se asegura que los estados además de dirigirse a la g (x) superficie S también se mantienen sobre ésta. Lo que garantiza optimización en el control. Cuando se demuestra que β > |

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Referencias [Alvarado, 2012] Alvarado, M. S. A. (2012). Modelo matemático de un motor de corriente continua separadamente excitado: Control de velocidad por corriente de armadura. Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol, 6(1):155. [Alvarado and Gallegos, 2014] Alvarado, M. S. A. and Gallegos, C. D. R. (2014). Mathematical model of a separately excited dc motor powered by a solar array using external starter resistances. Latin-American Journal of Physics Education, 8(4):5. [F. Leonid, 2013] F. Leonid (2013). Introducción al control con modos deslizantes — universidad nacional autónoma de méxico. http://verona.fi-p.unam.mx/~lfridman/modos.php. [Online; accessed 3-February-2019].