Append Ice

Appendice 1. Esempio di applicazione dell’ equazione di Lagrange ad un sistema libero da vincoli con riferimento al moto di una particella (in coordinate sferiche) soggetta ad un potenziale che dipende soltanto dalla distanza da un punto fisso assunto come origine (Potenziale Centrale). La Lagrangiana del sistema vale: 2

•2 1 •2 • 2 •2 1 •2 1) L = m( x + y + z ) − V ( r ) = m( r + r θ + r 2 sen 2θϕ 2 ) − V ( r ) 2 2 le equazioni di Lagrange sono:

d ∂L ∂L − =0 • 2) dt ∂ qs ∂ qs s = 1,2,...., f dove “s” indica il numero dei gradi di libertà del sistema. Sostituendo la 1) nella 2) si ha: ••

mr = −

• 2 •2 ∂V + mr ( sen 2θ ϕ + θ ) ∂r

• 2 d 2 • 2 m (r θ ) = mr senθ cos θ ϕ dt

3)

m

• d 2 (r sen 2θ ϕ ) = 0 dt

che sono le equazioni di moto scritte in coordinate polari. Il momento della quantità di moto (o momento angolare) rispetto all’ origine della particella vale: −>

4)   • M =x∧ x

pertanto si ha: •

•

•

•

M x = −mr 2 ( senθ cos θ cos ϕ ϕ + θ senϕ ) M y = − mr 2 ( senθ cos θ senϕ ϕ − θ cos ϕ )

5)

•

M z = mr 2 sen 2θ ϕ inoltre si ha:

6)

 M

2

=M

2

x

+M

2

y

+M

2

z

• 2

•2

= m r ( sen θ ϕ + θ ) 2

4

2

Ora la terza equazione della 3) può semplicemente scriversi come: 7)

d (M z ) = 0 dt

Ora la 6) può riscriversi come:

 8) M

2

2

Mz = (mr θ ) + sen 2θ 2

•

2

e si può dimostrare che la seconda equazione della 3) insieme alla 7) implica: 9)

d  M dt

2

=0

che esprime la costanza del nodulo del momento angolare. Se con M indichiamo uno specifico valore numerico di questa quantità, la prima equazione della 3) SI Può RISCRIVERE COME: ••

10) m r = −

∂V M 2 1 d M2 1 + = − ( V + ) ∂r m r3 dr 2m r 2

quest’ ultima equazione è identica alla equazione di moto di una particella sulla retta soggetta al potenziale seguente: 11) Veff ( r ) = V (r ) +

M2 1 2m r 2

M2 1 M2 1 Il significato fisico del termine , o della forza che da esso deriva ( ), appare 2m r 2 m r3 chiaro quando si tenga presente che la equazione 10) descrive, in sostanza, il moto della particella lungo un asse ideale che ruota attorno all’ origine. M2 1 L’ espressione rappresenta, allora, la forza di trascinamento e poiché nel caso di moto m r3 M2 1 circolare essa si riduce alla usuale forza centrifuga mω 2 r , il termine è detto 2m r 2 comunemente Potenziale Centrifugo.