Aplicaciones De La Derivada (jaime Polo).docx

PORTADA

ESQUEMA 1.- Extremos Relativos o Locales. 2.- Criterio de la Primera Derivada. 3.- Valores Extremos. 4.- Teorema de Valor Extremo. 5.- Concavidad y Punto de Inflexión. 6.- Criterio de la Segunda Derivada. 7.- Puntos Críticos. 8.- Trazado de Curvas. 9.- Aplicaciones de las Curvas de Ingresos y Utilidad.

DESARROLLO

UNIDAD II. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

1.- EXTREMOS RELATIVOS O LOCALES.  Una función 𝑓 alcanza un máximo relativo en un punto 𝑐 de un intervalo abierto (𝑎, 𝑏), si para todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑐).  Una función 𝑓 alcanza un mínimo relativo en un punto 𝑐 de un intervalo abierto (𝑎, 𝑏), si para todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑐). Ejemplo: La gráfica de la figura 1 representa las ventas de cierto producto alimenticio en los nueve primeros meses del año. Determinar los valores máximos y mínimos en los siguientes periodos: a) 1 a 3 meses; b) 3 a 6 meses.

Figura 2 (página 287)

Solución: a) 1 a 3 meses ⟶ máximo relativo en 𝑡 = 2; mínimo relativo en 𝑡 = 1 y en 𝑡 = 3. b) 3 a 6 meses ⟶ máximo relativo en 𝑡 = 4; mínimo relativo en 𝑡 = 3 y en 𝑡 = 5,5.

2.- CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA. Una vez determinados los intervalos donde la función 𝑓 es creciente o decreciente, se pueden localizar sus extremos relativos aplicando el siguiente criterio, llamado “Criterio de la Primera Derivada”. Si 𝑐 es un número crítico de una función 𝑓 continua en un intervalo (𝑎, 𝑏) que contiene a 𝑐, entonces:  Si 𝑓′(𝑥) > 0 para 𝑎 < 𝑥 < 𝑐 y 𝑓′(𝑥) < 0 para 𝑐 < 𝑥 < 𝑏; es decir, si 𝑓 es creciente para 𝑎 < 𝑥 < 𝑐 y 𝑓 es decreciente para 𝑐 < 𝑥 < 𝑏, entonces 𝑓 tiene un máximo relativo en 𝑐.  Si 𝑓′(𝑥) < 0 para 𝑎 < 𝑥 < 𝑐 y 𝑓′(𝑥) > 0 para 𝑐 < 𝑥 < 𝑏; es decir, si 𝑓 es decreciente para 𝑎 < 𝑥 < 𝑐 y 𝑓 es creciente para 𝑐 < 𝑥 < 𝑏, entonces 𝑓 tiene un mínimo relativo en 𝑐.

Ejemplo: Aplicar el Criterio de la Primera Derivada para hallar los extremos relativos de la función 𝑟(𝑥) = 2𝑥 3 − 6𝑥 2 + 4. Luego trazar su gráfica.

Solución: 𝑟(𝑥) = 2𝑥 3 − 6𝑥 2 + 4

Función dada

𝑟′(𝑥) = 6𝑥 2 − 12𝑥

Derivando

𝑟 ′ (𝑥) = 6𝑥 2 − 12𝑥 = 0

Igualando a cero

𝑟 ′ (𝑥) = 6𝑥(𝑥 − 2) = 0

Factorizando

𝑥1 = 0 , 𝑥2 = 2

Solucionando

Así, los números críticos son 𝑥1 = 0 y 𝑥2 = 2. Luego para analizar el comportamiento de 𝑟 ′ (𝑥) se plantean los intervalos (−∞, 0), (0,2) y (2, ∞) en una tabla de crecimiento y decrecimiento. Intervalo Valor de prueba Signo de 𝑟 ′ (𝑥) Conclusión

(−∞, 0) −2 ′ (−2) 𝑟 = 48 > 0 Creciente

(0,2) 1 ′ (1) 𝑟 = −6 < 0 Decreciente

(2, ∞) 3 ′ (3) 𝑟 = 18 > 0 Creciente

Finalmente se reemplazan los valores 𝑥1 = 0 y 𝑥2 = 2 en 𝑟(𝑥) para determinar los extremos relativos. Así: 𝑟(0) = 2(0)3 − 6(0)2 + 4 = 0 − 0 + 4 = 4, luego (0,4) es un máximo relativo. 𝑟(2) = 2(2)3 − 6(2)2 + 4 = 16 − 24 + 4 = −4, luego (2, −4) es un mínimo relativo. La gráfica de la función 𝑟(𝑥) = 2𝑥 3 − 6𝑥 2 + 4 se muestra en la figura 2.

Figura 12 (página 292)

3.- VALORES EXTREMOS. Una función 𝑓 tiene un máximo absoluto (o máximo global) en 𝑐 si 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 en 𝐷, donde 𝐷 es el dominio de 𝑓. El número 𝑓(𝑐) se llama valor máximo de 𝑓 en 𝐷. De manera análoga, 𝑓 tiene un mínimo absoluto en 𝑐 si 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 en 𝐷; El número 𝑓(𝑐) se denomina valor mínimo de 𝑓 en 𝐷. Los valores máximo y mínimo de 𝑓 se conocen como valores extremos de 𝑓.

4.- TEOREMA DE VALOR EXTREMO. Si 𝑓 es continua sobre un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], entonces 𝑓 alcanza un valor máximo absoluto 𝑓(𝑐) y un valor mínimo absoluto 𝑓(𝑑) en algunos números 𝑐 y 𝑑 en [𝑎, 𝑏].

5.- CONCAVIDAD Y PUNTO DE INFLEXIÓN. La primera derivada de una función es útil para trazar su gráfica. Sin embargo, la segunda derivada proporciona información adicional que permite hacer un mejor trazo de ella. El siguiente concepto permite obtener información para el propósito: Si una función 𝑓 es derivable en un intervalo abierto (𝑎, 𝑏) que contiene a 𝑐, entonces,  La gráfica tiene concavidad hacia arriba, si 𝑓′′(𝑐) > 0.  La gráfica tiene concavidad hacia abajo, si 𝑓′′(𝑐) < 0.

Por ejemplo, las gráficas que se plantean a continuación muestran dos funciones crecientes en el mismo intervalo pero diferentes en su inclinación.

Esta curva se encuentra arriba de las

Esta curva se encuentra debajo de las

tangentes. En tal caso se dice que 𝑓 es

tangentes. En tal caso se dice que 𝑓 es

cóncava hacia arriba en [𝑥1 , 𝑥2 ].

cóncava hacia abajo en [𝑥1 , 𝑥2 ].

Determinar la concavidad permite esbozar de manera muy acertada la gráfica de una función. Los puntos en los cuales cambia la concavidad de una gráfica son llamados Puntos de Inflexión. Un punto 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)) sobre la gráfica de una función 𝑓(𝑥) es un punto de inflexión si se cumple alguna de las siguientes afirmaciones:  𝑓′′(𝑥) > 0 si 𝑎 < 𝑥 < 𝑐 y 𝑓′′(𝑥) < 0 si 𝑐 < 𝑥 < 𝑏.  𝑓′′(𝑥) < 0 si 𝑎 < 𝑥 < 𝑐 y 𝑓′′(𝑥) > 0 si 𝑐 < 𝑥 < 𝑏. Para todo 𝑐 que pertenece a un intervalo abierto (𝑎, 𝑏), y la tangente en dichos puntos atraviesa la curva. En la gráfica de la figura 3 se observa que la función tiene puntos de 3 3

inflexión en: (− 2 , 2) y (0,0); pues, la función cambia de concavidad en dichos puntos. El punto (0,0) representa un pico de la función. Los puntos (−1,3) y (−2, −1) no son puntos de inflexión porque la función mantiene el sentido de la concavidad. Figura 14 (página 295) Ejemplo: Hallar los puntos de inflexión de la función ℎ(𝑥) = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 .

Solución: Calculando la segunda derivada de la función e igualando a cero se tiene que: ℎ(𝑥) = 2𝑥 3 − 3𝑥 2

Función dada

ℎ′(𝑥) = 6𝑥 2 − 6𝑥

Primera derivada

ℎ′′(𝑥) = 12𝑥 − 6

Segunda derivada

ℎ′′(𝑥) = 12𝑥 − 6 = 0

Igualando a cero

6

1

𝑥1 = 12 = 2

Solucionando

Para determinar los puntos de inflexión, se evalúa la función en 𝑥1 . 1 1 3 1 2 1 1 1 3 1 ℎ( ) = 2( ) − 3( ) = 2( ) − 3( ) = − = − 2 2 2 8 4 4 4 2 1 1 3 2 Luego, la función ℎ(𝑥) = 2𝑥 − 3𝑥 (figura 4) tiene un punto de inflexión en (2 , − 2).

Figura 15 (página 296)

6.- CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA. Conocer la concavidad también puede ser útil para probar si un punto crítico es un máximo relativo o un mínimo relativo. Supóngase que 𝑓 es una función derivable, 𝑓 es continua en un intervalo abierto que contiene a 𝑐 y 𝑐 es un punto crítico de 𝑓, es decir 𝑓′(𝑐) = 0. Entonces,  Si 𝑓′′(𝑐) > 0, entonces 𝑓 tiene un mínimo relativo en 𝑐.  Si 𝑓′′(𝑐) < 0, entonces 𝑓 tiene un máximo relativo en 𝑐.  Si 𝑓′′(𝑐) = 0, entonces el criterio no decide. La gráfica de la función 𝑓(𝑥) muestra que en 𝑓(𝑐) hay un mínimo relativo, pues como 𝑓′(𝑐) = 0, la recta tangente a la gráfica es horizontal en dicho punto; además, 𝑓′′(𝑐) > 0. Luego, la gráfica es cóncava hacia arriba. La gráfica de la función 𝑔(𝑥) muestra que en 𝑔(𝑐) hay un máximo relativo, pues como 𝑔′(𝑐) = 0, la recta tangente a la gráfica es horizontal en dicho punto; además, 𝑔′′(𝑐) < 0. Luego, la gráfica es cóncava hacia abajo.

Cóncava hacia arriba

Cóncava hacia abajo

7.- PUNTOS CRÍTICOS. Se dice que (𝑐, 𝑓(𝑐)) es un punto crítico de 𝑓, si 𝑓′(𝑐) = 0 y en (𝑐, 𝑓(𝑐)) la función cambia su comportamiento. En un punto crítico 𝑐 en donde 𝑓′(𝑐) = 0, la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑐 es horizontal (figura 5). Los puntos en donde 𝑓′(𝑐) = 0 dividen el dominio de 𝑓 en intervalos en los que el signo de la derivada permanece igual, ya sea positivo o negativo. Por lo tanto, entre dos puntos críticos sucesivos la gráfica de una función crece o decrece. Además, 𝑓 puede tener infinitos puntos críticos o ninguno.

Figura 7 (página 289) Por ejemplo, la función sin 𝑥 tiene infinitos puntos críticos, mientras que 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 + 1 (figura 6) no posee ninguno.

Figura 8 (página 289)

8.- TRAZADO DE CURVAS. En este informe hemos examinado el significado geométrico de la primera y la segunda derivada, pues a partir de estos criterios se determina de una manera más o menos acertada la gráfica de una función. A continuación se plantea un resumen de los conceptos estudiados y su utilidad en el trazado de gráficas. 1. Dominio: Determinar el conjunto de valores para los cuales 𝑥 está definida sirve para hallar la extensión horizontal de la gráfica. 2. Intersecciones: Determinar 𝑓(0) y los valores de 𝑥 para los cuales 𝑓(𝑥) = 0 sirve para hallar los puntos donde la gráfica corta a los ejes 𝑥 e 𝑦. 3. Simetría: Determinar si 𝑓 es una función par o impar se traduce en lo siguiente: Si 𝑓 es una función par, su gráfica es simétrica con respecto al eje 𝑦. Si 𝑓 es impar, es simétrica con respecto a la recta 𝑦 = 𝑥. 4. Asíntotas: Hallar asíntotas horizontales, verticales u oblicuas a la gráfica facilita su trazado.  Verticales: se examina el denominador de la función.  Horizontales: Se examinan lim 𝑓(𝑥) y lim 𝑓(𝑥). 𝑥→∞

 Oblicuas: Se examina lim

𝑥→−∞

𝑓(𝑥)

𝑥→∞ 𝑥

.

5. Puntos críticos y picos: Determinar los valores de 𝑥 para los cuales 𝑓′(𝑥) = 0 o 𝑓′(𝑥) no está definida y calcular las márgenes de los números críticos permite hallar los puntos donde la recta tangente a la gráfica es horizontal, vertical (picos) o no existe. 6. Crecimiento y decrecimiento: Determinar el conjunto de valores de 𝑥 para los cuales 𝑓′(𝑥) es positiva o negativa, permite encontrar los intervalos donde 𝑓 es creciente (𝑓′(𝑥) > 0) y los intervalos donde 𝑓 es decreciente (𝑓′(𝑥) < 0) 7. Puntos de inflexión: Determinar los valores de 𝑥 para los cuales 𝑓′′(𝑥) = 0 permite hallar los puntos donde la función cambia de concavidad. 8. Concavidad: Determinar el conjunto de valores de 𝑥 para los cuales 𝑓′′(𝑥) es positiva o negativa permite encontrar los intervalos donde 𝑓 es cóncava hacia abajo (𝑓′′(𝑥) < 0) o cóncava hacia arriba (𝑓′′(𝑥) > 0). 9. Trazo de la gráfica de la función: Emplear la información obtenida en los pasos anteriores.

9.- APLICACIONES DE LAS CURVAS DE INGRESOS Y UTILIDAD. Un consumidor se encuentra en equilibrio cuando, dado su ingreso y las restricciones de los precios, maximiza la utilidad o la satisfacción total que obtiene de sus gastos. Es decir, que un consumidor

está en equilibrio cuando, dada la línea de restricción de su presupuesto, alcanza la curva de indiferencia más alta.

En la figura se observan las curvas de indiferencia I, II y III y la línea de restricción presupuestal para un bien dado. Lo ideal para el consumidor sería alcanzar la curva III, pero al no poderlo hacer por las restricciones de su presupuesto, lo ideal es que realice su consumo en el punto B, que corresponde a la curva de indiferencia II . También puede efectuar su consumo en los puntos A o C, pero no estaría maximizando su utilidad. En un mercado de dos individuos A y B, y dos artículos X y Y, se puede lograr un intercambio mutuamente provechoso siempre que la TMS XY del individuo A difiera de la TMS XY para el individuo B. Al aumentar el intercambio, los valores de la TMS XY se acercan hasta igualarse. Cuando ello ocurre, ya no hay fundamento para el intercambio mutuamente provechoso y el comercio terminará. CURVA INGRESO-CONSUMO Y CURVA DE ENGEL Al variar el ingreso del consumidor I, manteniendo constantes sus gastos y los precios de los bienes X y Y, se pueden trazar las siguientes curvas: • Curva ingreso-consumo: Es la curva que resulta de unir los puntos de equilibrio del consumidor que se obtienen cuando se varía solamente su ingreso. • Curva de Engel: Indica la cantidad de un bien o artículo que un consumidor compra en un determinado período de tiempo variando el ingreso total.

CONCLUSIONES Uno de los grupos temáticos de la Matemática Superior que más se aplica a la Economía es, sin duda, la derivada. Es utilizada para determinar el producto marginal, elasticidad e importantes funciones económicas, y para desarrollar los procesos de optimización. Tanto el óptimo microeconómico del consumidor como del productor, representan un problema de optimización modelado mediante un proceso en derivadas parciales. La derivada tiene muchas aplicaciones en la vida diaria, con la derivada se puede calcular: con la derivada implica se calcula la “razón de cambio” o en palabras más simples, velocidad. También nos ayuda a encontrar valores máximos y mínimos para problemas físicos reales (bajo el mismo principio de razón de cambio). También es empleada en la construcción de un edificio…con una función que relacione los costos del edificio con el tamaño del mismo. Muchas son las aplicaciones de la derivada en profesiones como la ingeniería, la economía, la administración etc. Las derivadas sirven para solucionar problemas de física y todas las materias que se basan en ella como estática, cinemática, calor, mecánica, ondas, corriente eléctrica, magnetismo, etc. Aplicable también en la economía para hallar valores mínimos y máximos los cuales son importantes para proyectar en economía. Sirven para explicar el comportamiento de la curva de una función trigonométrica. Es decir tiene un número sin fin de aplicaciones en las cuales toma un papel importante