Continuidad Y Aplicaciones De Derivada

Universidad Nacional de Ingeniería – Facultad de Ingeniería Económica y Ciencias Sociales (FIECS) A B C + + − 1 / A, B y C > 0 y a > b > c > 0. 2 2 x+ a x+ b x+ c2 Demostrar que F(x) = 0 tiene 3 raíces exactamente x1, x2 y x3 que satisfacen: -a2 < x1 < -b2 < x2 < -c2 < x3” “Sea F(x) =

SOLUCION Calculando las asíndotas: Asíndotas verticales: +

F (− a 2 ) = lim2 + F ( x) = +∞ : Asíndota vertical superior derecha x →− a

2−

F (− a ) = lim2 − F ( x) = −∞ : Asíndota vertical inferior izquierda x →− a

2+

F (−b ) = lim2 + F ( x) = +∞ : Asíndota vertical superior derecha x →−b

2−

F (−b ) = lim2 − F ( x) = −∞ : Asíndota vertical inferior izquierda x →−b

2+

F (−c ) = lim2 + F ( x) = +∞ : Asíndota vertical superior derecha x→ − c

2−

F (−c ) = lim − F ( x) = −∞ : Asíndota vertical inferior izquierda x →− c 2

Asíndotas horizontales lim F ( x) = −1 : Asindota horizontal derecha

x → +∞

lim F ( x) = −1 : Asindota horizontal izquierda

x → −∞

Calculando puntos críticos, puntos de inflexión y sacando las conclusiones para F A B C − − 2 2 2 2 (x + a ) (x + b ) (x + c 2 )2 2A 2B 2C F ' ' ( x) = + + 2 3 2 3 (x + a ) (x + b ) (x + c 2 )3 F ' ( x) = −

Puntos críticos: x = -a2, x = -b2, x = -c2 … ( α ) Posibles puntos de inflexión: x = -a2, x = -b2, x = -c2 … ( β ) Considerando todos los puntos de ( α ) y ( β ) se analizan los signos de F’(x) y F’’(x) en los siguientes intervalos: < −∞,− a 2 >, < − a 2 ,−b 2 >, < −b 2 ,−c 2 >, < −c 2 ,+∞ > x < −∞,− a 2 >

F’(x) <0

F’’(x) CONCLUSIONES PARA F <0 Decreciente y cóncava hacia abajo

Matemática I – Cálculo Diferencial

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Universidad Nacional de Ingeniería – Facultad de Ingeniería Económica y Ciencias Sociales (FIECS) < − a 2 , −b 2 >

<0

<0

Decreciente y cóncava hacia abajo

< −b 2 ,−c 2 >

<0

<0

Decreciente y cóncava hacia abajo

< −c 2 ,+∞ >

<0

>0

Decreciente y cóncava hacia arriba

Del análisis de las asíndotas verticales para el intervalo < −a 2 ,−b 2 > , se +

−

2 2 tenía lo siguiente: F (− a ) = lim2 + F ( x) = +∞ , y F (−b ) = lim2 − F ( x) = −∞ . x →− a

x →−b

Como F es continua en este intervalo y tanto F(-a2+) como F(-b2-) tienen signos opuestos, aplicamos en este intervalo el teorema del cero: Si k1 ∈ < −a 2 ,−b 2 > entonces f(k1) = 0, siendo k1 = x1 De aquí se deduce que: Como x1 ∈ < −a 2 ,−b 2 > , se cumple que: − a 2 < x1 < −b 2 … (1) Análogamente para el otro intervalo: Del análisis de las asíndotas verticales para el intervalo < −b 2 ,−c 2 > , se +

−

2 2 tenía lo siguiente: F (−b ) = lim2 + F ( x) = +∞ , y F (−c ) = lim2 − F ( x) = −∞ . x →−b

x →− c

Como F es continua en este intervalo y tanto F(-b2+) como F(-c2-) tienen signos opuestos, aplicamos en este intervalo el teorema del cero: Si k2 ∈ < −b 2 ,−c 2 > entonces f(k2) = 0, siendo k2 = x2 De aquí se deduce que: Como x2 ∈ < −b 2 ,−c 2 > , se cumple: − b 2 < x 2 < −c 2 … (2) +

Por último, del análisis de las asíndotas verticales para F (−c 2 ) y de las asíndotas horizontales para lim F ( x) , se tenía lo siguiente: x → +∞

2+

F ( x) = −1 . F (−c ) = lim2 + F ( x) = +∞ , y xlim → +∞ x→ − c

F ( x) tienen Como F es continua en este intervalo y tanto F(-c2+) como xlim → +∞ signos opuestos, aplicamos en este intervalo el teorema del cero: Si k3 ∈ < −c 2 ,+∞ > entonces f(k3) = 0, siendo k3 = x3 De aquí se deduce que: Matemática I – Cálculo Diferencial

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Universidad Nacional de Ingeniería – Facultad de Ingeniería Económica y Ciencias Sociales (FIECS) 2 Como x3 ∈ < −c 2 ,+∞ > , se cumple: − c < x3 < +∞ … (3)

Por lo tanto, de (1), (2) y (3) se concluye que: − a 2 < x1 < −b 2 < x 2 < −c 2 < x3 … l.q.q.d. Y si nos hubieran pedido esbozar la gráfica, pues con el análisis de concavidad más los interceptos con los ejes, simetrías, paridad, periodicidad y asíndotas oblicuas (entre otras), para algun valor A B C + + −1 predeterminado de x1 , x2 y x3, la gráfica de F(x) = 2 2 x+ a x+ b x+ c2 quedaría de la siguiente manera. y 7

6

5

4

3

2

1 x −11

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

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