Anreal Midi.03

TEOREMA 3.3.4 Jika barisan konvergen ke L

konvergen ke L maka setiap barisan bagian dari

juga

1. Misal:

Karena

adalah barisan bagian dari x yang konvergen ke 1, maka y

juga konvergan ke 1 2. Misal:

Karena

adalah barisan bagian dari x yang konvergen ke 0, maka y

juga konvergan ke 0 3. Misal:

Karena

adalah barisan bagian dari x yang konvergen ke 3, maka y

juga konvergan ke 3 4. Misal:

Karena

adalah barisan bagian dari x yang konvergen ke 0, maka y

juga konvergan ke 0 5. Misal:

Karena

adalah barisan bagian dari x yang konvergen ke 1, maka y

juga konvergan ke 1

TEOREMA 3.4.4 Jika barisab bilangan real 1.

konvergen ke

konvergen, maka maka,

terbatas

Bukti: Batas bawah Batas atas 2.

konvergen ke 0 maka,

terbatas

Bukti: Batas bawah 0 Batas atas 3.

konvergen ke 3 maka,

terbatas

Bukti: Batas bawah Batas atas 2 4.

konvergen ke Bukti:

maka,

erbatas

terbatas.

Batas bawah Batas atas 5.

konvergen ke

maka,

terbatas

Bukti: Batas bawah Batas atas TEOREMA 3.4.7 Misalkan

adalah barisan bilangan real. Jika

terbatas diatas, maka

barisan tak turun dan

konvergen.

1. Misalkan

merupakan barisan

tak turun dan terbatas diatas, maka

.

Bukti:

batasnya Konvergen ke 2. Misalkan turun dan terbatas diatas, maka Bukti:

merupakan barisan tak .

batasnya 2 Konvergen ke 2

3. Misalkan

merupakan barisan tak

turun dan terbatas diatas, maka

.

Bukti:

batasnya 3 Konvergen ke 3

4. Misalkan

merupakan barisan

tak turun dan terbatas diatas, maka Bukti:

batasnya Konvergen ke

.

5. Misalkan

merupakan barisan

tak turun dan terbatas diatas, maka

.

Bukti:

batasnya Konvergen ke

TEOREMA 3.4.8 Misalkan

adalah barisan bilangan real. Jika

terbatas diatas, maka 1. Misalkan

barisan tak turun dan tak

divergen ke + adalah barisan bilangan real,jika

naik dan tak terbatas di atas,maka

tak

divergen ke +

Bukti : barisan tak turun dan tak terbatas di atas,maka divergen + 2. Misalkan

adalah barisan bilangan real,jika

naik dan tak terbatas di atas,maka

tak

divergen ke +

Bukti : barisan tak turun dan tak terbatas di atas,maka divergen + 3. Misalkan

adalah barisan bilangan real,jika

dan tak terbatas di atas,maka

divergen ke +

tak naik

Bukti : barisan tak turun dan tak terbatas di atas,maka divergen + 4. Misalkan

adalah barisan bilangan real,jika

naik dan tak terbatas di atas,maka

tak

divergen ke +

Bukti : barisan tak turun dan tak terbatas di atas,maka divergen + 5.

Misalkan

adalah barisan bilangan real,jika

naik dan tak terbatas di atas,maka

tak

divergen ke +

Bukti : barisan tak turun dan tak terbatas di atas,maka divergen +

TEOREMA 3.4.9 Misalkan

adalah barisan bilangan real. Jika

terbatas dibawah,maka 1.

konvergen. Barisan bilangan real tak naik

batasnya Konvergen ke 2.

Barisan bilangan real tak naik

barisan tak naik dan

batasnya Konvergen ke 3.

Barisan bilangan real tak naik

batasnya Konvergen ke 4.

Barisan bilangan real tak naik Konvergen ke 0

5.

Barisan bilangan real tak naik Konvergen ke 0

TEOREMA 3.4.10 Misalkan

adalah barisan bilangan real. Jika

terbatas dibawah, maka 1.

barisab tak naik dan

divergen ke Barisan bilangan real tak naik dan tak

terbatas di bawah, Akan dibuktikan bahwa

divergen ke 2.

Barisan bilangan real tak naik dan tak terbatas

di bawah, Akan dibuktikan bahwa

divergen ke 3.

Barisan bilangan real tak naik dan tak terbatas

di bawah, Akan dibuktikan bahwa

divergen ke 4.

Barisan bilangan real tak naik dan tak terbatas

di bawah, Akan dibuktikan bahwa

divergen ke

5.

Barisan bilangan real tak naik dan tak terbatas

di bawah, Akan dibuktikan bahwa

divergen ke

TEOREMA 3.4.11 Misalkan adalah barisan bilangan real. Maka bagian yang monoton. 1.

adalah barisan bagian yang tak naik dari

2.

mempunyai barisan

adalah barisan bagian yang tak naik dari 3.

adalah barisan bagian yang tak naik dari

4.

adalah barisan bagian yang tak naik dari

5.

adalah barisan bagian yang tak naik dari