Algebra De Boole

COMPUTACIÓN E INFORMÁTICA

Algebra de boole 1. INTRODUCCIÓN George Boole creó el álgebra que lleva su nombre en el primer cuarto del siglo XIX. Pretendía explicar las leyes fundamentales de aquellas operaciones de la mente humana por las que se rigen los razonamientos. En esa época nadie pudo prever la utilización de este álgebra en el diseño de circuitos digitales. Como veremos las operaciones se realizarán mediante relaciones lógicas, lo que en el álgebra convencional son las sumas y multiplicaciones. Las variables con las que opera son las binarias 1 y 0 (verdadero o falso). Los signos 1 y 0 no expresan cantidades, sino estados de las variables. Podemos decir, que el sistema de numeración binario y el álgebra de Boole constituyen la base matemática para el diseño y construcción de sistemas digitales. Se define Función Lógica a toda variable binaria cuyo valor depende de una expresión formada por otras variables binarias relacionadas mediante los signos + y x. Por ejemplo: S=(a.b)+b.c. Siendo S la función, mientras que a, b y c son las variables. Esta función la leeríamos de la siguiente forma: si a y b o b y c son verdaderas (1) la función lógica S es verdadera (1). Mediante contactos podríamos explicar o aclarar la función lógica.

Tablas de verdad.- A través de las tablas de verdad se puede conocer teóricamente el comportamiento de las funciones lógicas, en función de los niveles que se aplican a la entrada. Más adelante veremos como además nos van a servir para diseñar circuitos digitales. POSTULADOS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE a) Las operaciones del Álgebra de Boole son conmutativas. a+b=b+a a. b = b . a b) Identidad 0+a=a 1. a = a

c) Cada operación es distributiva respecto de la otra: a . (b + c) = a . b + a . c a + b . c = (a + b) . (a + c)

Operaciones [editar] Hemos definido el conjunto A = {0,1} como el conjunto universal sobre el que se aplica el álgebra de Boole, sobre estos elementos se definen varias operaciones, veamos las más fundamentales: Operación suma a b a+b 0 0

0

0 1

1

1 0

1

11 1 La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A: Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo.

Si uno de los valores de a o b es 1, el resultado será 1, es necesario que los dos sumandos sean 0, para que el resultado sea 0.

Operación producto [editar] ab

a b

00 0 01 0 10 0 11 1 La operación producto ( ) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A: Esta operación en lógica de interruptores es un circuito en serie de dos interruptores

solo si los dos valores a y b son 1, el resultado será 1, si uno solo de ellos es 0 el resultado será 0.

Operación negación [editar] a 0 1 1 0 La operación negación presenta el opuesto del valor de a: Un interruptor inverso equivale a esta operación:

Operaciones combinadas [editar] ab 00

1

01

1

10

0

11

1

Partiendo de estas tres operaciones elementales se pueden realizar otras más complejas, que podemos representar como ecuaciones booleanas, por ejemplo: Que representado en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo, siendo el primero de ellos inverso.

La distinta secuencia de valores de a y b da los resultados vistos en la tabla de verdad.

AGUILAR GUTIÉRREZ GABRIELA.