Ajdukiewicz Kazimierz - Pomiar

Ajdukiewicz Kazimierz - Pomiar tytuł: "POMIAR" autor: Kazimierz Ajdukiewicz "Studia Logica" 1961, t. XI. str. 223-231. 1. Mierząc jakiś przedmiot, możemy go mierzyć pod różnymi względami. Mierząc dany pręt możemy go mierzyć pod względem jego długości lub pod względem jego objętości, pod względem jego ciężaru itd. Niezbędnym założeniem każdego pomiaru jest więc ustalenie tego, pod jakim względem pomiar ma być przeprowadzony. Czym jest ów "wzgląd", pod którym pomiar przeprowadzamy, a więc np. długość, objętość, ciężar? Jest to zawsze pewien rodzaj, a więc pewna klasa cech między sobą rozłącznych, to znaczy takich, z których dwie różne nie przysługują nigdy temu samemu przedmiotowi. Np. długość jest to rodzaj, czyli klasa cech, do której należą różne długości, np. długość 1 m, długość 2 m itd., które są, oczywiście, między sobą rozłączne. Każdy rodzaj, czyli klasa cech rozłącznych, wyznacza pewien stosunek, którego polem jest zbiór wszystkich przedmiotów posiadających jakąś spośród cech tego rodzaju. Jest to mianowicie stosunek, który zachodzi między dwoma takimi przedmiotami zawsze i tylko wtedy, gdy mają tę samą cechę danego rodzaju. Np. długość wyznacza stosunek zachodzący pomiędzy dwoma przedmiotami zawsze i tylko wtedy, gdy oba mają tę samą długość. Stosunek polegający na posiadaniu tej samej cechy spośród rozłącznych cech rodzaju P jest oczywiście stosunkiem zwrotnym i symetrycznym w zbiorze przedmiotów posiadających którąś z cech rodzaju P. Każdy bowiem przedmiot posiadający jakąś z cech rodzaju P zgadza się sam ze sobą co do tej cechy. Jeżeli przedmiot a zgadza się z przedmiotem b co do posiadanej cechy rodzaju P, to przedmiot b zgadza się też z przedmiotem a co do tego. Jest on też stosunkiem przechodnim, bo gdyby przedmioty a i b miały tę samą cechę rodzaju P, i przedmiot b oraz c miały tę samą cechę rodzaju P, zaś przedmioty a i c nie miały tej samej cechy rodzaju P, to cecha rodzaju P wspólna przedmiotom a i b oraz cecha rodzaju P wspólna przedmiotom b i c nie mogłaby być tą samą cechą, gdyż wtedy przedmiot a i przedmiot c miałyby jakąś wspólną cechę rodzaju P. Jeśli jednak inna cecha rodzaju P byłaby wspólna przedmiotom a i b i inna cecha tego rodzaju była wspólna przedmiotom b i c, to wtedy przedmiot b posiadałby dwie różne cechy rodzaju P. To jednak jest niemożliwe, jeżeli cechy rodzaju P są rozłączne. Stosunek polegający na posiadaniu tej samej cechy spośród rozłącznych cech rodzaju P jest zatem stosunkiem zwrotnym, symetrycznym i przechodnim, a więc pewnego rodzaju równością. Nazywamy go równością pod względem P. Stwierdziliśmy na wstępie, że niezbędnym założeniem każdego pomiaru jest ustalenie tego, pod jakim względem pomiar ów ma być przeprowadzony. Zobaczyliśmy jednak, że z chwilą, gdy ów "wzgląd" jest ustalony, ustalone jest także, kiedy dwa przedmioty są pod tym względem równe. Wynika z tego, że dopóki, nie jest ustalone, kiedy dwa przedmioty są pod danym względem równe, dopóty też nie jest ustalone, pod jakim względem pomiar przeprowadzamy. Możemy więc powiedzieć, że niezbędnym założeniem każdego pomiaru jest ustalenie pewnej równości, mianowicie: równości przedmiotów, pod tym względem, pod którym chcemy je mierzyć. Z drugiej strony wiadomo z teorii stosunków, że każdy stosunek równościowy wyznacza w sposób jednoznaczny pewien podział logiczny swego pola, a więc wyznacza pewną rodzinę rozłącznych jego podklas, których suma z polem tym się pokrywa. Jest to - jak wiadomo rodzina klas abstrakcji ze względu na ten stosunek, tzn. rodzina klas złożonych ze wszystkich i tylko tych przedmiotów, które do jakiegoś przedmiotu w tym stosunku pozostają. Każdej z tych podklas odpowiada cecha dla niej charakterystyczna, a ich rodzinie odpowiada rodzaj tych cech, czyli tzw. "wzgląd", pod którym cechy te przedmiotom przysługują. Jak z tego widać, ustalenie "względu", pod którym przedmioty mają być mierzone, jest równoważne z ustaleniem odpowiedniego stosunku równościowego tzn. z ustaleniem, kiedy dwa przedmioty mierzone będą uważane przy tym pomiarze za równe. Idzie tu oczywiście o równość pod pewnym względem, a nie o identyczność. A więc np. ustalenie tego, co to jest długość, jest równoważne z ustaleniem tego, kiedy dwa przedmioty są równie długie; ustalenie tego, co to jest ciężar, jest równoważne z ustaleniem tego, kiedy dwa ciała są równie ciężkie itd. Twierdzenie to jest oczywistą konsekwencją znanej z teorii stosunków zasady dzięki tej równoważności tzw. "wzgląd", pod którym zamierzamy przedmioty mierzyć, może zostać ustalony przez określenie, kiedy dwa przedmioty uważać będziemy za równe przy pomiarach danego rodzaju. W praktyce mierzenia rozpoczynamy też zazwyczaj wykład definicji stanowiących podstawowe założenia danego pomiaru od odpowiedniej definicji równości. Jest rzeczą jasną, że wraz ze zmianą definicji równości otrzymywać będziemy inne wyniki pomiaru. W szczególności, przy pomiarach przestrzennych przy pewnej definicji stosunku Strona 1

Ajdukiewicz Kazimierz - Pomiar równej długości możemy otrzymać wyniki pomiarów, które potwierdzą geometrię euklidesową, przy innej jednak definicji stosunku równej długości możemy otrzymać wyniki pomiarów, które nie będą się zgadzały z geometrią euklidesową, ale potwierdzą jakąś inną geometrię. Ten stan rzeczy mógłby zostać wypowiedziany w tych słowach, że to, za jaką geometrią opowie się pomiar, a więc doświadczenie, zależy od przyjętych definicji pomiarowych. Stąd można by snuć wnioski, że wobec tego, iż definicje pomiarowe są arbitralne, od naszych arbitralnych konwencji definicyjnych zależy też to, czy przestrzeń rzeczywista jest, czy też nie jest euklidesowa. Sformułowanie to brzmi bardzo sensacyjnie; nie jest też pozbawione pewnej intelektualnej pikanterii i mogłoby być uważane za otwarcie drogi do idealizmu ontologicznego. Jeżeli jednak będziemy sobie zdawali sprawę z tego, że zmieniając definicję równej długości, zmieniamy sens słowa "długość", że pomiary oparte na jednej definicji równej długości są pomiarami tychże przedmiotów pod innym względem niż pomiary oparte na innej definicji równej długości, to posmak sensacji odpadnie. Nie ma przecież nic sensacyjnego w tym, że mierząc przedmioty pod jednym względem, otrzymamy wyniki doprowadzające do jednej teorii, a mierząc je pod innym względem, otrzymamy wyniki doprowadzające do innej teorii, całkowicie różnej od pierwszej. Arbitralność definicji pomiarowych, a w szczególności arbitralność definicji równości i wszystkie płynące z niej konsekwencje są tylko prostą konsekwencją tego, że od naszej swobodnej decyzji zależy to całkowicie, pod jakim względem chcemy przedmioty poddawać pomiarowi. 2. Wszelki pomiar polega na przyporządkowaniu przedmiotom mierzonym czy też ich cechom przysługującym im pod tym względem, pod którym je mierzymy, pewnych liczb jako ich miary. Cechom przedmiotów mierzonych (ich długościom, ciężarom lub tp.) przyporządkujemy ich liczbowe miary w sposób wzajemnie jednoznaczny, przedmiotom zaś w sposób wielo-jednoznaczny: tę samą miarę liczbową przyporządkujemy wszystkim przedmiotom, które są równe pod danym względem. Przyporządkowanie przez pomiar przedmiotom mierzonym czy też ich cechom pewnych liczb jako ich miar dokonywane jest jednak w sposób osobliwy. Nie jest to mianowicie przyporządkowanie zupełnie dowolne i nic nie mówiące, jak np. to, którego dokonywamy przeprowadzając zwykłą numerację przedmiotów. Przyporządkowanie dokonywane przez pomiar jest takie, że pozwala ze stosunków pomiędzy przyporządkowanymi przedmiotom liczbami wnioskować o zachodzeniu odpowiednich stosunków pomiędzy tymi przedmiotami. Jeśli np. ważąc trzy przedmioty, znajdę jako ich miary liczbowe pod względem ciężaru odpowiednio liczby 5, 3 i 2, to z tego, że 5=3+2, będę mógł wnosić, że waga obciążona na jednej szalce ciałem o mierze 5, a na drugiej ciałami o mierze 3 i 2 będzie się znajdowała w równowadze. Jeśli jakaś relacja R odwzorowuje pole stosunku S na polu stosunku T w sposób wzajemnie jednoznaczny i tak, że ilekroć między przedmiotami x i y zachodzi stosunek T, tylekroć między przyporządkowanymi tym przedmiotom przez relację R przedmiotami x' i y' zachodzi stosunek S, i na odwrót, wówczas mówimy, że relacja R odwzorowuje relację S na relacji T w sposób "izomorficzny". Jeśli zaś relacja R odwzorowuje pole relacji S na polu relacji T w sposób wielo-jednoznaczny i to tak, że ilekroć między dwoma przedmiotami x i y zachodzi relacja T, tylekroć między dowolnymi dwoma przedmiotami, którym relacja R przyporządkowuje przedmioty x i y, zachodzi relacja S -wówczas mówimy, że relacja R odwzorowuje relację S na relacji T w sposób "homomorficzny". Korzystając z tej terminologii, będziemy mogli ów osobliwy sposób, w jaki przez pomiar zostają mierzonym przedmiotom czy też przysługującym im pod danym względem cechom, przyporządkowane pewne liczby jako ich miary, scharakteryzować w następujących słowach. Pomiar przyporządkowuje mierzonym przedmiotom w sposób wielojednoznaczny pewne liczby jako ich miary, wedle takiej zasady (relacji), która pewne stosunki pomiędzy liczbami odwzorowuje w sposób homomorficzny na pewnych stosunkach pomiędzy odpowiednimi przedmiotami. Równocześnie pomiar przyporządkowuje cechom, przysługującym mierzonym przedmiotom pod pewnym względem, w sposób wzajemnie jednoznaczny pewne liczby jako ich miary, wedle takiej zasady (relacji), która pewne stosunki między liczbami odwzorowuje na pewnych stosunkach pomiędzy odpowiednimi cechami w sposób izomorficzny. 3. Zobaczymy teraz, jak wygląda owa zasada czy też relacja, wedle której mierząc przedmioty, przyporządkowujemy im w sposób wielo-jednoznaczny pewne liczby jako ich miary i która odwzorowuje pewne stosunki pomiędzy liczbami w sposób homomorficzny na pewnych stosunkach pomiędzy odpowiednimi przedmiotami. Najpierw jednak zobaczymy, jak wygląda owa zasada, wedle której mierząc przedmioty pod danym względem, przyporządkowujemy ich cechom w sposób wzajemnie jednoznaczny pewne liczby i która odwzorowuje pewne stosunki pomiędzy liczbami w sposób izomorficzny na pewnych stosunkach pomiędzy odpowiednimi cechami. Zasada tego przyporządkowania jest następująca. Po pierwsze, obieramy sobie Strona 2

Ajdukiewicz Kazimierz - Pomiar dowolny przedmiot, który w pewnych określonych warunkach pod danym względem się nie zmienia, i przedmiotowi temu, pozostającemu w tych warunkach (ściślej fazom czasowym tego przedmiotu, w których znajduje się on w tych warunkach) przyporządkowujemy miarę 1. Przedmiot ten (ściślej - odpowiednie fazy czasowe tego przedmiotu) nazywamy "wzorcem jednostki mierniczej". Miarę 1 przyporządkowujemy równocześnie wszystkim przedmiotom, które są obranemu wzorcowi pod danym względem równe. Jak z tego widać, to pierwsze przyporządkowanie przedmiotom mierzonym ich liczbowych miar jest wielojednoznaczne. Klasę przedmiotów równych pod danym względem wzorcowi jednostki mierniczej czy też cechę charakterystyczną tej klasy nazywamy "jednostką mierniczą" danego rodzaju cech i jej również przyporządkowujemy liczbę 1 jako miarę tej cechy. Jednostkę mierniczą oznaczać będziemy symbolem J. To przyporządkowanie jednostce mierniczej liczby 1 jest wzajemnie jednoznaczne. W praktyce nie zawsze wskazany jest pewien określony przedmiot jako wzorzec jednostki mierniczej, ale niekiedy zostaje wskazana pewna klasa przedmiotów między sobą pod danym względem równych i dowolny z elementów tej klasy może służyć jako wzorzec jednostki mierniczej. Tak było np. przy pierwotnym ustalaniu wzorca jednostki masy, kiedy za ten wzorzec przyjęto dowolną porcję wody w temperaturze 4°C o objętości 1 cm3. Tak też jest przy astronomicznej definicji wzorca jednostki czasu, wedle której wzorcem tym jest dowolny obrót Ziemi o pewien określony kąt. Czy obranie wzorca jednostki mierniczej jest sprawą zupełnie dowolną? Abstrahujemy tu od względów praktycznej stosowalności wzorca, które nakładają na niego pewne warunki. Idzie o to, czy wybór ten jest ze względów czysto logicznych dowolny. Otóż w wypadku, gdy jako wzorzec obiera się którykolwiek z przedmiotów w pewien sposób scharakteryzowanych (np. 1 cm3 wody w temperaturze 4°C), wybór ten nie jest dowolny, lecz podlega temu warunkowi, że wszystkie owe przedmioty, którym przyporządkowujemy miarę 1, muszą być między sobą równe. Analogiczny warunek odnosi się do wypadku, gdy jako wzorzec obiera się pewien określony przedmiot w określonych warunkach (np. metr paryski w temperaturze 15°C). Obranie takiego przedmiotu jako wzorca jednostki jest dopuszczalne tylko wtedy, gdy wiadomo z góry, że przedmiot ten w owych warunkach nie zmienia się pod danym względem. Postulat ten jest dyktowany przez to, że gdybyśmy jako wzorzec obrali którykolwiek z przedmiotów lub faz tego samego przedmiotu między sobą różnych, to definicja jednostki mierniczej jako klasy abstrakcji od któregokolwiek ze wzorców nie spełniłaby obowiązującego każdą definicję warunku istnienia, taka klasa abstrakcji bowiem nie istnieje. Jak z powyższego widać, wybór wzorca jednostki mierniczej nie jest sprawą całkowicie dowolny, lecz musi być poprzedzony przez zbadanie empiryczne, czy przedmioty, czy też czasowe fazy przedmiotu, które jako wzorzec obieramy, są między sobą równe. Zbadanie tego nie wymaga jeszcze pomiaru ani wszystkich leżących u jego podstaw definicji pomiarowych, lecz wystarcza tu już sama definicja równości, która jak widzieliśmy - wszelki pomiar poprzedza. 4. Następny krok przedsiębrany dla uzyskania przyporządkowania pomiędzy mierzonymi przedmiotami czy też ich cechami a liczbami jest następujący: obieramy pewną trójczłonową operację na cechach mierzonych przedmiotów (np. na ich ciężarach), tzn. pewną funkcję o dwu argumentach, która dowolnym dwom cechom danego rodzaju (np. dwom ciężarom) w sposób jednoznaczny przyporządkowuje jakąś cechę (np. jakiś ciężar) jako swą wartość. Operację tę nazywać będziemy dodawaniem fizycznym, a odpowiadającą jej funkcję - sumą fizyczną. Jako sumę fizyczną ciężaru b i ciężaru c obieramy ciężar a dowolnego ciała, które się zrównoważy na wadze, gdy na przeciwnej szalce położymy dowolne dwa ciała o ciężarach b oraz c. Jako sumę dwóch długości b i c obieramy długość a dowolnego odcinka, który daje się bez reszty pokryć przez dowolne dwa nie zachodzące na siebie odcinki, z których jeden ma długość b, a drugi c. Jak z przykładów tych widać, przy cechach przedmiotów mierzonych pod różnymi względami w różny sposób obieramy operację ich fizycznego dodawania. Fizyczna operacja dodawania ciężarów, to inna operacja niż operacja dodawania odcinków, a suma fizyczna ciężarów, to inna funkcja niż suma fizyczna dwóch odcinków. Operacje te obierane są jednak nie w sposób dowolny, ale tak, aby były izomorficzne z operacją dodawania liczb rzeczywistych. Tylko takie operacje na cechach można nazwać dodawaniem fizycznym. Każdy zbiór cech zamknięty dla jakiejś operacji izomorficznej z operacją dodawania arytmetycznego liczb rzeczywistych nazywa się zbiorem wielkości addytywnych, a elementy tego zbioru - wielkościami addytywnymi. Mówiąc prościej, zbiór wielkości addytywnych jest to zbiór, w którym jest wykonalna pewna operacja posiadająca formalne własności dodawania liczb rzeczywistych. Zbiór liczb rzeczywistych jest oczywiście zbiorem wielkości addytywnych. Zbiorem wielkości addytywnych jest też zbiór ciężarów, zbiór długości itd., gdyż są to zbiory, w których wykonalna jest pewna operacja Strona 3

Ajdukiewicz Kazimierz - Pomiar izomorficzna z dodawaniem arytmetycznym. Nie dla każdego rodzaju cech jest to jednak możliwe, tzn. nie w każdym rodzaju cech jest wykonalna pewna operacja izomorficzna z dodawaniem liczb. Operacja taka jest wykonalna w zbiorze długości, ciężarów itd., ale nie ma operacji spełniającej ten warunek, która by była wykonalna w zbiorze barw, kształtów, temperatur itd. Innymi słowy, nie każdego rodzaju cechy są wielkościami addytywnymi. Dlatego nie wszystkie rodzaje cech są dostępne pomiarowi. Jeżeli dany rodzaj cech jest zbiorem wielkości addytywnych, a więc jeżeli daje się dla niego zdefiniować jakaś operacja dodawania fizycznego, która w nim jest wykonalna, wówczas posługujemy się tą operacją dla dalszego przyporządkowania wielkościom tego rodzaju ich miar liczbowych. Przyporządkowujemy mianowicie stale sumie fizycznej dwóch wielkości jako jej liczbową miarę arytmetyczną sumę ich miar Przyjmijmy następujące oznaczenia: jeżeli a jest pewną wielkością, to symbolem M(a) będziemy oznaczali jej miarę. Sumę fizyczną dwóch wielkości a, b oznaczać będziemy jako S(a,b). Sumę arytmetyczną dwóch liczb A, B oznaczać będziemy przez E(A,B). Przy tych oznaczeniach możemy sformułowaną przed chwilą zasadę przyporządkowania wielkościom ich miar liczbowych zapisać w postaci wzoru: M[S(a,b)] = E[M(a),M(b)]. Stosując tę zasadę otrzymamy. M[S(J,J)] = E[M(J),M(J)] = E(1,1) = 2 . (przypominamy, że symbolem J oznaczamy wielkość będącą jednostką mierniczą, której przyporządkowana została już miara 1). Ogólnie, jeżeli M(a) = A, to M[S(a,J)] = E[M(a),M(J)] = A+1 . W ten sposób przyporządkowana zostanie każdej wielkości, która jest fizyczną wielokrotnością jednostki mierniczej, pewna liczba całkowita jako jej miara. Wielkościom a, które niekoniecznie są wielokrotnością jednostki, ale które są z jednostką współmierne, tzn. dla których można wskazać taką wielkość b, że: a = Axb, J = Bxb (A i B są to liczby całkowite, [zaś symbolem x posługujemy się celem oznaczenia iloczynu <M.C.>]) przyporządkowujemy jako ich miarę ułamek A/B . Wielkości te wraz z poprzednimi nazywamy wymiernymi. Na koniec wielkościom a, które nie są współmierne z jednostką, przyporządkowujemy jako ich miarę liczbę rzeczywistą, która jest większa od wszystkich ułamków będących miarami wielkości wymiernych mniejszych od a i jest mniejsza od wszystkich ułamków będących miarami wielkości wymiernych większych od a. Można wykazać, że naszkicowana zasada przyporządkowania wielkościom ich liczbowych miar dokonuje tego przyporządkowania w sposób wzajemnie jednoznaczny. Dowód tego twierdzenia daje się jednak przeprowadzić tylko dla wielkości, tzn. na podstawie założenia, że operacja dodawania fizycznego interweniująca przy tym przyporządkowaniu posiada formalne własności dodawania arytmetycznego. Gdyby bowiem np. operacja dodawania fizycznego tych własności nie miała, np. gdyby nie była przemienna, tak że mogłoby się zdarzyć, że S(a, b) =/ S(b, a), [symbol "=/" został wprowadzony na oznaczenie stosunku nierówności <M.C.>] to nasze przyporządkowanie nie byłoby wzajemnie jednoznaczne. Mielibyśmy bowiem : M[S(a, b)] = E[M(a), M(b)], M[S(b, a)] = E[M(b), M(a)]. Ponieważ zaś dodawanie arytmetyczne jest przemienne, czyli E[M(a), M(b)] = E[M(b), M(a)], Strona 4

Ajdukiewicz Kazimierz - Pomiar Zatem M[S(a, b)] = M[S(b, a)], mimo że S(a, b) =/ S(b, a). Różnym wielkościom byłaby więc przyporządkowana, wedle naszej zasady, ta sama miara, a więc przyporządkowanie nie byłoby wzajemnie jednoznaczne. Można też wykazać, że ilekroć między miarami pewnych wielkości, a więc między liczbami rzeczywistymi, zachodzi pewien stosunek dający się wywieść z aksjomatów arytmetyki liczb rzeczywistych, tylekroć między odpowiadającymi tym liczbom wielkościami zachodzi stosunek analogiczny, tj. stosunek zdefiniowany tak samo, z tą tylko różnicą, że w definicji tej znak dodawania arytmetycznego zastąpiony jest przez znak dodawania fizycznego. 5. Wyłożony wyżej sposób przyporządkowania wielkościom ich miar liczbowych jest więc, po pierwsze, przyporządkowaniem wzajemnie jednoznacznym, a po drugie, takim, że ilekroć między liczbami rzeczywistymi zachodzi pewien stosunek arytmetyczny, tylekroć między przyporządkowanymi tym liczbom wielkościami zachodzi analogiczny stosunek fizyczny. Możemy więc powiedzieć, że wyłożony wyżej sposób przyporządkowania ,wielkościom fizycznym ich miar liczbowych odwzorowuje w sposób izomorficzny stosunki arytmetyczne między liczbami rzeczywistymi na odpowiednich stosunkach fizycznych między wielkościami, których te liczby są miarami. Przeprowadzona wyżej analiza pozwoli nam podać definicję pomiaru. Brzmi ona w sposób następujący : zmierzyć jakąś wielkość rodzaju P, to znaczy przyporządkować jej jako jej miarę pewną liczbę rzeczywistą, wedle takiej zasady, która stosunki arytmetyczne między liczbami rzeczywistymi odwzorowuje w sposób izomorficzny na odpowiednich stosunkach fizycznych między wielkościami rodzaju P. Pewien stosunek fizyczny nazywamy zaś stosunkiem odpowiadającym pewnemu stosunkowi arytmetycznemu, gdy definicja owego stosunku fizycznego powstaje z definicji stosunku arytmetycznego przez zastąpienie występującego w niej znaku dodawania arytmetycznego przez właściwy dla danego rodzaju wielkości znak dodawania fizycznego. Łatwo też teraz powiedzieć, co to znaczy zmierzyć pewien przedmiot pod pewnym względem. Znaczy to mianowicie : zmierzyć przysługującą temu przedmiotowi pod tym względem cechę. Przeprowadzona wyżej analiza i wyprowadzona z niej definicja pomiaru pozwala zrozumieć, na czym polega wartość pomiaru. Przez ustalenie zasad pomiaru dla cech pewnego rodzaju zdobywamy, przede wszystkim, dla tych cech systematyczną nomenklaturę. Zamiast mówić, "tak długi, jak stopa naszego króla", "tak długi, jak jego przedramię", "tak długi, jak bok piramidy Cheopsa" itp., jedną tylko długość określamy w podobny sposób, mianowicie długość obranego wzorca, a wszystkie inne długości otrzymują swe nazwy w postaci tzw. liczb mianowanych, złożonych z pewnej liczby będącej ich miarą i z nazwy wzorca długości (np. 5 metrów, 0,4 metra itp.). Dzięki takiej nomenklaturze związki, czyli stosunki pomiędzy cechami pewnego rodzaju (lub różnych rodzajów) dają się często wyrazić w postaci pewnej zależności arytmetycznej pomiędzy ich miarami liczbowymi, co z kolei umożliwia w wielu wypadkach sformułowanie zależności pomiędzy pewnymi rodzajami cech w postaci związku funkcjonalnego (np. ciśnienie x objętość = 12). Te dwa efekty moglibyśmy jednak otrzymać przez jakiekolwiek przyporządkowanie liczb cechom przedmiotów, a nie tylko przez takie, które jest pomiarem. Pomiar bowiem tym się odznacza, że przyporządkowuje cechom przedmiotów pewne liczby jako ich miary w sposób izomorficzny. Izomorfizm ten pozwala nam z tego, że między liczbami przyporządkowanymi danym cechom jako ich miary zachodzi stosunek arytmetyczny Ra, wnosić, że pomiędzy tymi cechami zachodzi odpowiedni stosunek Rf, i na odwrót. Jaka z tego korzyść? Przypuśćmy, że na drodze obserwacji stwierdziliśmy, że między fizycznymi cechami przedmiotów zachodzą związki fizyczne S'f S''f...S(n)f. Na mocy izomorfizmu wynika z tego, że między miarami tych cech zachodzą odpowiednie związki arytmetyczne S'a S''a...S(n)a. Otóż potężne narzędzie matematyki pozwala nam często ze stosunków arytmetycznych S'a S''a...S(n)a, wyprowadzić w drodze dedukcji matematycznej nowe związki arytmetyczne R'a R''a...R(k)a. Dzięki izomorfizmowi między stosunkami fizycznymi zachodzącymi między cechami przedmiotów a stosunkami arytmetycznymi, które zachodzą między liczbami stanowiącymi ich miary, z zachodzenia związków arytmetycznych R'a R''a...R(k)a, możemy wnosić 0 zachodzeniu odpowiednich stosunków fizycznych R'f R''f...R(k)f. Stosunki fizyczne S'f S''f...S(n)f stwierdzone na wstępie na podstawie obserwacji są zazwyczaj proste, tymczasem związki R'f R''f...R(k)f, Strona 5

Ajdukiewicz Kazimierz - Pomiar wydedukowane za pomocą matematyki i izomorfizmu zagwarantowanego przez pomiar mogą być bardzo skomplikowane i nawet niedostępne bezpośredniej obserwacji. Widzimy z tych ogólnych rozważań, że dzięki takiemu przyporządkowaniu liczb cechom fizycznym przedmiotów, którego dokonujemy przez pomiar, możemy korzystać z aparatu matematyki dla wyprowadzania z twierdzeń zdobytych na drodze obserwacji odległych ich konsekwencji, które mogą nawet wykraczać poza granicę możliwego doświadczenia. Jeśli poza te granice nie wychodzą, mogą one służyć do przewidywania przyszłych obserwacji, a tym samym, służyć do sprawdzania prawidłowości i hipotez, z których je wyprowadziliśmy. Jak z tego widać, mogą nauki stosujące pomiar więcej przewidywać i lepiej sprawdzać swoje hipotezy, a nawet wykraczać poza granice doświadczenia. Wszystko to podnosi ich wartość poznawczą i praktyczną. <*> Tekst referatu wygłoszonego w roku 1957 na konferencji wykładowców logiki w Osiecznej, zorganizowanej przez MSW w związku z nowym programem logiki dla przyrodników.

Strona 6