5. Logaritma-penerapan Ekonomi.pptx

Fungsi Logaritma dan Eksponensial Matematika Terapan II Pembangunan Ekonomi Kewilayahan

Eksponen

Fungsi Eksponensial Suatu fungsi eksponensial dengan basis b and eksponen x

f ( x)  b x Co:

f ( x)  3x x

y

1

1

0 1 2

1 3 9

3

b  0, b  1 y  f ( x)

(0,1) Domain: Real Range : y > 0

Sifat Fungsi Eksponensial f ( x)  b

x

b  0, b  1

1. Domain:

 ,  

2. Range:

(0,¥)

3. Melewati titik

(0, 1).

4. Kontinu di seluruh domain. 5. Jika b > 1, fungsi naik pada

Jika b < 1, fungsi turun pada

 ,  

 ,  

Logaritma Logaritma dari x dengan basis b>0 dan b≠1 didefinisikan sebagai

y = logb x

jika dan hanya jika

Contoh.

log 3 81  4 log 7 1  0 log1/ 3 9  2 log 5 5  1

x=b

y

( x > 0)

x

e & ln x e ln x = x x

ln e = x

( x > 0) (untuk seluruh x real)

Contoh: Selesaikan

1 2 x 1 e  10 3 e2 x1  30 2 x  1  ln(30) ln utk ruas kiri & kanan ln(30)  1 x  1.2 2

Contoh Sederhanakan:

25 x7 y log5 z  log5 25  log5 x7  log5 y  log5 z1/ 2 1  2  7 log 5 x  log5 y  log5 z 2

Fungsi Logaritma dan sifat-sifatnya

f ( x)  logb x 1. Domain: 2. Range:

b  0, b  1

(0,¥)

 ,  

3. Melewati titik

(1, 0).

4. Kontinyu pada

(0,¥)

5. Jika b > 1, fungsi naik pada

(0,¥)

( )

Jika b < 1, fungsi turun pada 0,¥

Grafik Fungsi Logaritmik Ex.

f ( x)  log3 x y3

f ( x)  log1/ 3 x 1 y    3

x

x

(1,0)

y  log3 x

y  log1/ 3 x

Penerapan Ekonomi • Model Bunga Majemuk

𝑖 𝐹𝑛 = 𝑃 1 + 𝑚

𝑚𝑛

𝐹𝑛 : jumlah pinjaman atau tabungan setelah 𝑛 tahun 𝑃 : jumlah pinjaman atau tabungan sekarang (tahun ke-0) 𝑖 : tingkat bunga per tahun 𝑚 : frekuensi pembayaran bunga dalam setahun 𝑛 : jumlah tahun

Penerapan Ekonomi • Model Bunga Majemuk Sinambung 𝐹𝑛 = 𝑃𝑒 𝑖𝑛

𝑒 ≈ 2,72

𝐹𝑛 : jumlah pinjaman atau tabungan setelah 𝑛 tahun 𝑃 : jumlah pinjaman atau tabungan sekarang (tahun ke-0) 𝑖 : tingkat bunga per tahun 𝑛 : jumlah tahun

Latihan Soal • Seorang ibu rumah tangga meminjam uang Rp 5 juta pada seorang rentenir untuk jangka waktu 2 tahun. Bunga setingkat 10% per tahun diperhitungkan secara harian (dalam bisnis: 1 tahun = 360 hari). Hitunglah jumlah yang harus dibayarkan oleh debitor pada saat hutangnya jatuh tempo.

Contoh: Film “Pay It Forward” (th 2000) Ide: Setiap orang menolong 3 orang yang lain. Jika orang yg ditolong merasakan manfaatnya, maka dia juga harus menolong orang lain, dst…

2 months ago you had 3 mice, you now have 18

Assuming the growth continues like that •What is the "k" value? •How many mice 2 Months from now? •How many mice 1 Year from now?

Model Pertumbuhan 𝑁𝑡 = 𝑁1 𝑅𝑡−1 𝑅 =1+𝑟 𝑁: variable yang sedang diamati 𝑟: persentase pertumbuhannya per satuan waktu tertentu 𝑡: indeks waktu

Latihan Soal • Lembaga Penelitian Ekonomi Nasional memulai operasinya dengan 10 orang peneliti. Setiap tahun setiap peneliti merekrut 2 orang peneliti baru. Berapa orang jumlah tenaga peneliti di lembaga tersebut setelah beroperasi 5 tahun?

• Produk Domestik Bruto Indonesia pada tahun 1981 menurut harga konstan tahun 1973 tercatat sebesar Rp 12.055 milyar. Jika dalam periode 1981 – 1990 perekonomia tumbuh dengan rata-rata 5% per tahun, berapa PDB pada tahun 1990?

Model Pertumbuhan Gompertz 𝑁=

𝑡 𝑟 𝑐𝑎

𝑁: melambangkan jumlah variable tertentu yang sedang diamati 𝑟: tingkat pertumbuhan rata-rata (0 < 𝑟 < 1) 𝑎: proporsi pertumbuhan awal 𝑐: proporsi pertumbuhan batas jenuh pertumbuhan 𝑁 𝑡: indeks waktu

Kurva Gompertz Ada variable-variable yang meningkat secara eksponensial selama jangka waktu tertentu, tetapi sesudah itu peningkatannya sangat kecil atau bahkan tidak berarti

Latihan Soal • Sebuah pasar swalayan di Jakarta mempekerjakan 20 orang karyawan pada permulaan operasinya. Karena usahanya berkembang, jumlah karyawan yang dipekerjakan meningkat rata-rata 25% per tahun. Berdasarkan pertimbangan bisnis, sang manajer memutuskan tidak akan mempekerjakan lebih dari 400 orang karyawan. Bentuklah persamaan penggunaan tenaga kerja di pasar swalayan ini dalam hubungannya dengan perkembangan waktu. Berapa jumlah karyawan yang dipekerjakan setelah pasar swalayan tersebut beroperasi 4 tahun?

Latihan Soal • Biaya total (dalam jutaan rupiah) yang dikeluarkan untuk proyek pembangunan sebuah jembatan ditunjukkan oleh persamaan 𝐶 = 800

𝑡 0,40 (0,10)

dengan 𝑡 menunjukkan jumlah tahun sejak proyek dimulai. Berapa pengeluaran awal proyek tersebut? Berapa pengeluaran total maksimum yang diperkenankan? Berapa biaya total yang dikeluarkan setelah proyek berjalan 6 tahun?

Kurva Belajar 𝑃 = 𝑃𝑚 − 𝑃𝑠 𝑒 −𝑟𝑡 𝑃: produksi per satuan waktu setelah 𝑡 satuan waktu 𝑃𝑚 : kapasitas produksi maksimum per satuan waktu 𝑃𝑠 : sisa kapasitas produksi pada permulaan kegiatan produksi (pada 𝑡 = 0) 𝑟: tingkat pertumbuhan produksi

Latihan Soal • Kapasitas produksi maksimum pabrik mentega PT Lezat adalah 4000 kaleng per bulan. Pada permulaan operasinya, pabrik tersebut hanya mampu memanfaatkan 75% dari kapasitas yang tersedia. Namun, manajer produksi yakin bahwa produksi dapat ditingkatkan 5% setiap bulan. Bentuklah persamaan perilaku produksi bulanan pabrik mentega ini. Berapa kaleng mentega yang dihasilkan pada saat produksi perdananya? Berapa kaleng mentega produksinya per bulan setelah pabrik beroperasi selama 10 bulan?

Latihan Soal • Biaya total per tahun (dalam jutaan rupiah) yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan ditunjukkan oleh persamaan 𝐶 = 10 − 4𝑒 0,1𝑡 . Berapa juta rupiah biaya total yang dikeluarkan pada permulaan operasi? Hitunglah biaya per tahun yang dikeluarkan setelah perusahaan beroperasi selama 7 tahun?

Model Efisiensi Wright 𝑡 = 𝑎 𝑞𝑏 log 𝑟 𝑏= 0,3010 𝑎: waktu yang diperlukan untuk memproduksi unit pertama dari produk yang dihasilkan 𝑞: jumlah produksi 𝑟: tingkat efisiensi waktu produksi 𝑡: waktu produksi rata-rata kumulatif

Model Efisiensi Wright 𝑇 = 𝑡 × 𝑞 = 𝑎 𝑞𝑏 × 𝑞 = 𝑎 𝑞1+𝑏 Waktu produksi total dapat dihitung dengan cara mengalikan waktu produksi rata-rata kumulatif (𝑡) dengan jumlah produksinya (𝑞)

Latihan Soal • Sebuah perusahaan menghabiskan waktu 10.000 jam kerja untuk memproduksi 500 unit robot, tetapi hanya membutuhkan 6.000 jam kerja untuk memproduksi 500 unit berikutnya. Hitunglah tingkat efisiensi waktu produksinya (𝑟). Berdasarkan tingkat efisiensi ini, berapa jam kerja total (𝑇) diperlukan untuk memproduksi 2000 unit robot?