4 Integrales Stl

Mathématiques Bac STL

Calcul intégral Avec la dérivation, l’intégration est l’outil le plus universel des mathématiques. La quasi-totalité des problèmes physiques reviennent à effectuer une intégration. L’approche qui est faite ici est géométrique. A partir des notions d’aire, les résultats « se voient », et les calculs sont souvent simples pour peu qu’on maîtrise la notation.

1 – Définition et propriété a) Définition Soit f une fonction et F sa primitive telle que F’ = f . F est définie à une constante c près, car (F+c)’ = F’ = f , donc F + c est également une primitive. En revanche, en faisant la différence de la valeur entre deux points a et b, cette constante disparaît : F(b)-F(a) est unique quelle que soit la constante de la primitive. 𝑏 On définit donc l’intégrale de la fonction f sur un segment [a,b] par 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) On peut montrer que cette valeur est égale à « l’aire sous la courbe » définie par l’aire de l’espace délimité par la courbe f(x) et l’axe des abscisse, entre les points a et b. b) Propriétés Relation de Chasles : pour trois réels a b c, on a On a alors Linéarité : pour 𝛼 et 𝛽 deux réels, on a

𝑏 𝑎

𝑏 𝑓 𝑎 𝑎 𝑓 𝑏

𝑐 𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =

𝑥 𝑑𝑥 = −

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑥 𝑑𝑥 +

𝛼𝑓 𝑥 + 𝛽𝑔 𝑥

Positivité : Si f(x) est positif pour tout x∈ [𝑎, 𝑏] alors

𝑏 𝑎

𝑏 𝑎

𝑑𝑥 = 𝛼

𝑏 𝑎

𝑐 𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝛽

𝑏 𝑎

𝑔 𝑥 𝑑𝑥

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 0

2 – Calcul de primitive Le tableau suivant donne les expressions (à une constante près) des primitives de f, u étant une fonction. f u’(ax+b) exp(u).u’

F 1/a u(ax+b) exp(u)

f un.u’ u’/u

F 1 /n . un+1 ln(u)

3 – Equation différentielle a) Définition Une équation différentielle est une équation reliant une fonction y à ses dérivées. Elle est définie pour tous les x d’un intervalle. La solution d’une équation différentielle est donc une fonction. Selon le type d’équation différentielle, pour obtenir une solution unique, on a besoin d’une ou de plusieurs conditions initiales telle que y(x=0), y’(x=0)… b) y’ = a y Soit y une fonction de x. La solution de l’équation différentielle y’ = a y ayant pour condition initiale : y(x=0) = y0 est y 𝑥 = y0 . 𝑒 𝑎𝑥 c) y’’ + ω² y =0 La solution de l’équation différentielle y’’ + ω² y =0 ayant pour conditions initiales : y(x=0) = y0 et y’(x=0) = y’0 est : 𝑦′ 𝑦 𝑥 = 𝑦0 . cos 𝜔 𝑥 + 0 sin 𝜔 𝑥 𝜔