2013 Uem Mat Pdp Wilma Licce

Versão On-line

ISBN 978-85-8015-075-9 Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE Produções Didático-Pedagógicas

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

WILMA LICCE

MATERIAL DOURADO E SITUAÇÕES-PROBLEMA: MECANISMOS PARA O ENSINO E A APRENDIZAGEM DOS PROCESSOS DA ADIÇÃO E DA SUBTRAÇÃO

MARINGÁ 2013

WILMA LICCE

PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

MATERIAL DOURADO E SITUAÇÕES-PROBLEMA: MECANISMOS PARA O ENSINO E A APRENDIZAGEM DOS PROCESSOS DA ADIÇÃO E DA SUBTRAÇÃO

Produção Didático-Pedagógica apresentada à Coordenação do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE – da Secretaria de Estado da Educação do Paraná, em convênio com a Universidade Estadual de Maringá, como requisito para o desenvolvimento das atividades propostas para o período de 2013/2014 sob a orientação da Professora Drª. Clara Matiko Ueda.

MARINGÁ 2013

1 FICHA DE IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA TÍTULO: MATERIAL DOURADO E SITUAÇÕES-PROBLEMA: MECANISMOS PARA O ENSINO E A APRENDIZAGEM DOS PROCESSOS DA ADIÇÃO E DA SUBTRAÇÃO Autor

Wilma Licce

Disciplina/Área

Matemática

Escola de implementação Escola Estadual Cecília Meireles – EF Projeto e sua localização Rua Londrina, 989 Município da escola Santa Fé Núcleo Regional de Educação

Maringá

Professor Orientador

Clara Matiko Ueda

Instituição de Ensino Superior

UEM

Relação Interdisciplinar

Nenhuma

Resumo

Com a presente Unidade Didática propõe-se atividades para trabalhar o ensino e a aprendizagem da adição e da subtração com os alunos da Sala de Apoio do 6º ano do Ensino Fundamental, que apresentam dificuldades nestas operações. Nos anos iniciais do Ensino Fundamental, a adição e a subtração são frequentemente apresentadas de forma tradicional, descontextualizada e abstrata, situação que compromete significativamente o aprendizado dos discentes. Na busca de superar a dificuldade apresentada por muitos alunos, almeja-se sugerir o Material Dourado, articulado a situações-problema enquanto mecanismos pedagógicos voltados à aprendizagem dos processos aditivo e subtrativo, assim como, o desenvolvimento do pensamento lógicomatemático e capacidades cognitivas superiores.

Palavras-chave

Material Dourado; Adição Ensino-Aprendizagem.

Formato do Material Didático

Unidade Didática

Público Alvo

Alunos da Sala de Apoio do 6º ano do ensino fundamental

e

Subtração;

2 APRESENTAÇÃO

Nesta Unidade Didático Pedagógica procuramos evidenciar a eficiência do material concreto e, mais especificamente, do Material Dourado, no ensino da adição e subtração, a partir de situações-problema dirigidas aos alunos da Sala de Apoio de Matemática do 6º ano. Aliado a isso, se busca socializar estratégias didáticas bem sucedidas para o ensino da adição e subtração, destinadas aos professores de matemática da escola, mediante a utilização do Material Dourado. A escolha do tema foi influenciada pela constatação de que uma parcela significativa dos alunos que adentram ao 6º ano não obtém êxito na matemática, situação essa decorrente de diversos fatores entre os quais, a maneira tradicional que estas operações são apresentadas, quase sempre através de aulas expositivas, tendo como recursos apenas giz, quadro e parcos exemplos concretos. Para dar conta de nosso intento, nos pautamos na teoria construtivista que tem em Piaget (1896-1980) seu maior expoente. Recorremos também aos ensinamentos de Montessori (1870-1952), que defende a liberdade da criança para interagir e manipular o material concreto, enquanto parte essencial da aprendizagem ativa. O Material Dourado, portanto, representa possibilidade inquestionável para o ensino de diversos conteúdos matemáticos, entre os quais, a adição e subtração, que aliado a situações-problema constituem a base para a verdadeira alfabetização matemática, prosseguimento nos estudos e desenvolvimentos das capacidades cognitivas superiores.

2.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

É comum no ambiente escolar ouvir estudantes afirmarem que não gostam da matemática. Também não é segredo que uma porcentagem significativa do desempenho insuficiente, evasão e repetência escolar associam-se diretamente a esta disciplina que se tornou o grande “nó” da educação escolarizada. Por outro lado, os conteúdos matemáticos continuam sendo ensinados, com raras exceções,

de forma mecânica, dissociados de conceitos e significados. A função inerente da instituição escolar consiste em transmitir os conhecimentos científicos acumulados no decorrer da história da humanidade. Preceito este que envolve todas as disciplinas, inclusive a matemática. Ainda no tocante ao compromisso da escola com o desenvolvimento do sujeito, são sábias as considerações de Libâneo:

Devemos inferir, portanto, que a educação de qualidade é aquela mediante a qual a escola promove para todos o domínio dos conhecimentos e o desenvolvimento de capacidades cognitivas e afetivas indispensáveis ao atendimento de necessidades individuais e sociais dos alunos (LIBÂNEO, 2005, p. 117).

Ao direcionar os apontamentos de Libâneo para a esfera de atuação da escola pública, percebe-se que esta instituição tem um compromisso com a veiculação dos conhecimentos para todos seus usuários e desconsiderar tal fato, ou fazer de qualquer jeito, significa negar ao alunado a oportunidade de apropriar-se do saber sistematizado, pois isso os impede de desenvolver plenamente suas capacidades afetivas e cognitivas superiores, que são requisitos para o crescimento pessoal, cultural e humano. Nesse sentido, são oportunas as colocações de Rodrigues, ao afirmar que:

A função precípua da escola é criar condições para que o aluno, por meio da assimilação do conhecimento sistematizado, disponha de instrumental necessário para o exercício pleno da cidadania e o alcance da auto-realização humana. Assim, desconsiderar o papel do currículo escolar constitui desrespeito a esse direito (RODRIGUES, 1985, p. 103).

O referido autor chama a atenção para o fato de que a escola tem um compromisso com o conhecimento acumulado ao longo das gerações e secundarizar este papel consiste em negar talvez a única oportunidade para seu alunado desenvolver-se plenamente, no sentido de ter condições para usufruir o direito ao exercício consciente da cidadania. Diante do exposto, enfatizamos que para democratizar o acesso ao conhecimento é necessário em primeira instância que todos os alunos, sem exceção, tenham a oportunidade de aprender os conteúdos ensinados das diversas disciplinas, inclusive, da matemática, que são condições inegáveis para o desenvolvimento humano nos aspectos social, cultural, cognitivo, afetivo e humano. Para dar conta da problemática enfatizada neste projeto, que consiste em buscar

estratégias pedagógicas para promover um ensino mais eficaz da adição e da subtração, recorre-se aos pressupostos da teoria construtivista que tem Piaget como um de seus grandes expoentes. Em linhas bem gerais, o construtivismo propõe que o desenvolvimento da inteligência provém das ações mútuas do indivíduo com o meio. E, neste sentido, é oportuno destacar que:

O Construtivismo, fiel ao princípio interacionista, procura demonstrar, ao contrário das demais tendências, o papel central do sujeito na produção do saber. O Construtivismo tem como pressuposto fundamental que o indivíduo é o centro do seu próprio percurso em direção ao conhecimento (ROSA, 1998, p. 47).

De acordo com os fundamentos da teoria construtivista, o desenvolvimento cognitivo consiste num processo contínuo resultante da interação mútua do sujeito com o objeto do conhecimento. Piaget recorreu aos pressupostos da teoria construtivista para explicar a construção do conhecimento e do desenvolvimento humano. Rejeitou a visão inatista, segundo a qual o conhecimento é inerente, ou melhor, inato ao sujeito, tampouco, acreditava na vertente empirista, que propõe que o conhecimento provém de experiências. Para ele, o conhecimento resulta da interação ativa do sujeito com o meio ou, mais especificamente, com o objeto do conhecimento. Piaget, em sua teoria psicogenética, buscou estudar a origem do pensamento humano e mostra que a criança não nasce inteligente, mas que no decorrer de sua existência passa por etapas de desenvolvimento e que o conhecimento acontece por meio da acomodação e da assimilação, que embora sejam distintas, são processos complementares. Ainda de acordo com essa teoria, o desenvolvimento do sujeito passa por diversos estágios, os quais se caracterizam pelas diferentes formas de organização das estruturas cognitivas. As estruturas são responsáveis diretamente pela forma do sujeito entender, agir e interagir com o meio ambiente ou, mais especificamente, com o objeto do conhecimento. Piaget apresenta quatro estágios do desenvolvimento humano, a seguir explicitados. Estágio Sensório-motor: esse estágio se estende desde o nascimento até os dois anos, período em que a criança opera mediante a percepção e ação, que implica no movimento do próprio corpo.

Nesta etapa, a criança também está

incorporando a linguagem, mas não consegue operar mentalmente o objeto e as ações. Estágio Pré-operatório: compreende o período dos dois aos sete anos de idade e a maior conquista deste período consiste no desenvolvimento da linguagem simbólica e do pensamento pré-lógico; no entanto, o conhecimento da criança referente à realidade é um tanto desiquilibrado. Estágio Operatório Concreto: compreende o período dos sete aos onze anos de idade, etapa em que a criança é capaz de aceitar o ponto de vista do outro, considerando mais de uma possibilidade, integrando-as de modo lógico e coerente; é capaz de lidar com transformações e situações estáticas; têm desenvolvidas as capacidades de classificação, agrupamento e reversibilidade em situações concretas; inicia a realização das

operações mentais, independentes de ações

físicas, mas isso apenas, em relação a objetos ou situações passíveis de serem manipuladas ou imaginadas de forma concreta; desenvolve os conceitos de números, relações e processos, estando aptas a operar mentalmente, mas sempre em relação a objetos ou situações reais, nunca em nível unicamente abstrato. Estágio Operatório Formal: se estende a partir dos doze anos, fase em que o indivíduo tem condições de pensar em conceitos de forma abstrata, ou seja, na esfera do pensamento. Também consegue operar sobre hipóteses, a partir da lógica formal, construindo seu próprio pensamento. Ao discutir a ação da criança sobre o objeto do conhecimento, Piaget menciona que:

Conhecer o objeto é agir sobre ele e transformá-lo, aprendendo os mecanismos dessa transformação vinculada com as ações transformadoras. Conhecer é, pois, assimilar o real às estruturas de transformação, e são as estruturas elaboradas pela inteligência enquanto prolongamento direto da ação (PIAGET, 1976, p.37).

Ao transpor as afirmações de Piaget para o universo da matemática, compreende-se que toda e qualquer criança pode aprender os conteúdos desta ciência, desde que seja motivada a interagir, criar e expor seus pensamentos e conclusões a partir da manipulação com o objeto do conhecimento. Nesse sentido, cabe ao professor fazer da sala de aula um ambiente propício à manipulação, construção de hipóteses, favorável à aprendizagem e elaboração de conceitos.

Em conformidade com a teoria piagetiana, percebe-se que a criança do 6º ano do Ensino Fundamental (aproximadamente 10/11 anos de idade) encontra-se em condições de operar com as questões e conceitos matemáticos, mas sempre partindo de situações palpáveis ou pensadas de maneira concreta. O aprendizado da adição e da subtração, em consonância com esses postulados e de tantos outros estudiosos renomados, será mais atraente e eficaz se for introduzido com o uso do material manipulável. Para Montessori, o material manipulável não necessita ser sofisticado, mas deve propiciar à criança a liberdade de manipulá-lo, uma vez que atribui à operação sensorial o cerne do aprendizado. Nessa vertente, a própria autora acrescenta:

Quando a criança se encontra ante o material, empenha-se num trabalho concentrado, sério, que parece extraído do melhor de sua consciência. Dir-se-ia na verdade que as crianças se colocam em condições de atingir a mais elevada conquista de que seu espírito é capaz (MONTESSORI, 1965, p. 170).

Essa autora enfatiza que o material concreto, quando eficaz, provoca a concentração da criança e, ainda, possibilita novas conquistas e aprendizagens. Portanto, o concreto sensibiliza a atividade intensa das capacidades cognitivas superiores da criança, no sentido de impulsionar seu desenvolvimento. Para tornar o aprendizado dos processos aditivo e subtrativo mais dinâmico e eficaz, propõe-se um trabalho baseado em situações-problema com o uso do Material Dourado.

2.1.1 Material Dourado

O Material Dourado é uma das diversas invenções da médica e educadora Italiana, Maria Montessori (1870-1952) que se dedicou à área da educação, ao perceber as fragilidades e insuficiência do ensino meramente abstrato e conceitual. Essa educadora criou o método Montessoriano de Alfabetização, que na essência é ativo e pauta-se em atividades motoras e sensoriais. Os jogos e materiais pedagógicos por ela idealizados são, ainda hoje, vastamente utilizados, dentre os quais se destaca o Material Dourado.

O nome Material Dourado vem do original “material de contas douradas”. Hoje, esse material é geralmente confeccionado em madeira, tendo como base o Sistema de Numeração Decimal (SND). Este material é constituído por cubinhos, barras, placas e cubo, conforme foto a seguir:

Figura 1- Material Dourado (fonte própria)

Nesse material, cada cubinho representa 1 unidade; cada barra, formada por 10 cubinhos, representa 1 dezena, ou 10 unidades; cada placa, constituída por 10 barras, representa 1 centena, ou 10 dezenas, ou, ainda, 100 unidades; o cubo, formado por 10 placas, representa um milhar, ou 10 centenas, ou 100 dezenas, ou, ainda, 1000 unidades.

Figura 2 - Componentes do Material Dourado (fonte própria)

O Material Dourado é um excelente recurso didático, pois facilita a compreensão do Sistema de Numeração Decimal e dos métodos para efetuar as operações fundamentais, ou seja, os algoritmos das operações. Dessa forma, estabelece a relação entre o concreto e o abstrato para a construção de conceitos matemáticos, favorecendo o ensino e a aprendizagem.

3 MATERIAL DIDÁTICO

A produção didático-pedagógica a ser desenvolvida durante as aulas de Matemática no Ensino Fundamental da Escola Cecília Meireles, na cidade de Santa Fé–PR, trata- se de uma Unidade Didática destinada a alunos da Sala de Apoio do 6º ano do Ensino Fundamental e tem por objetivo sugerir práticas pedagógicas com a utilização do Material Dourado para que esses alunos aprendam a adição e a subtração, com o intuito de promover a aprendizagem e o desenvolvimento acadêmico. Dessa forma, algumas atividades serão enfatizadas:

 pesquisa e análise dos pressupostos da teoria construtivista, especialmente as contribuições de Piaget e Montessori para a aprendizagem e o desenvolvimento humano;  estudo das etapas do desenvolvimento humano na visão piagetiana, particularmente o período denominado Operatório Concreto;  investigação sobre o impacto do material manipulável na aprendizagem dos processos aditivo e subtrativo;  estudo sobre o Material Dourado e a busca de estratégias didáticas para utilizá-lo no ensino da adição e da subtração;  utilização do Material Dourado para apresentar e explorar os processos aditivos e subtrativos ;  socialização, com os professores de Matemática da Educação Básica, das práticas pedagógicas propostas nesta unidade didática.

Para atingir tais objetivos, a Unidade Didática será implementada no 1º semestre do ano letivo de 2014, totalizando 32 horas-aula. O planejamento das aulas é flexível, podendo ser alterado e modificado de acordo com as dificuldades, necessidades e domínio da turma. As atividades serão desenvolvidas em etapas como segue:

1ª Etapa: APRESENTAÇÃO

Objetivos: apresentar o Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola para a direção, professores, equipe pedagógica e alunos. Carga horária: 1 hora-aula. Recursos utilizados: cartaz, data show. Procedimentos avaliativos: debate oral verificando a importância, a pertinência, a aceitação do projeto e as sugestões sobre o mesmo. Procedimentos metodológicos: explicação oral dos objetivos e dos passos do desenvolvimento do Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola.

2ª Etapa: ATIVIDADES

Atividade 1: APRESENTANDO E EXPLORANDO AS RELAÇÕES EXISTENTES NO MATERIAL DOURADO

Objetivos: explorar o Material Dourado de forma lúdica e perceber as relações entre suas peças. Carga horária: 2 horas-aula. Recursos utilizados: Material Dourado. Procedimentos

avaliativos:

participação

e

envolvimento

nas

atividades,

interpretação dos resultados. Procedimentos metodológicos: nesta atividade, o professor oferecerá o Material Dourado aos alunos. O primeiro contato com o material deve ocorrer de forma lúdica, manipulando as peças do material livremente, conhecendo-as, relacionandoas e dando nomes para elas (cubinho, barra, placa e cubo). Depois de um tempo, o professor poderá perguntar se eles descobriram algumas relações entre as peças do material, tais como:  Barra é formada por 10 cubinhos;  Placa, constituída por 100 cubinhos ou por 10 barras;  Cubo, formado 1000 cubinhos ou por 100 barras ou por 10 placas. Se algumas dessas relações não forem observadas pelos alunos, o professor poderá explorar essas relações, a partir de questionamentos sobre sua estrutura, incentivando-os com perguntas, tais como: a) Quantos cubinhos são necessários para formar uma barra? b) Com quantas barras se forma uma placa? c) Quantas placas são necessárias para se formar um cubo? d) Com sete cubinhos é possível formar uma barra? Por quê? e) Com treze cubinhos é possível formar uma barra? Por quê? Haverá sobras de cubinhos ou não? Quantos cubinhos sobrarão? Quantos cubinhos faltarão para que você possa formar mais uma barra? Por quê? f) Se juntarmos quatro cubinhos e seis cubinhos é possível formar 1 barra? Por quê? Haverá sobras de cubinhos ou não? Quantos cubinhos sobrarão? Quantos cubinhos faltarão para que você possa formar mais uma barra? Por quê? g) Se juntarmos seis cubinhos e nove cubinhos é possível formar 1 barra? Por quê? Haverá sobras de cubinhos ou não? Quantos cubinhos sobrarão?

Quantos cubinhos faltarão para que você possa formar mais uma barra? Por quê? h) Quantos grupos de 10 há em 85 cubinhos? Por quê? É possível formar barras? Quantas barras? É possível formar placas? Por quê? i) Quantos grupos de 100 há em 348 cubinhos? Por quê? É possível formar placas? Quantas placas? É possível formar barras? Quantas barras?

Após essas perguntas, os alunos responderão individualmente as questões a seguir.

1 - Observando o Material Dourado e considerando que o cubinho representa uma unidade, responda: a) quantos cubinhos constituem uma barra? b) quantos cubinhos constituem uma placa? c) quantos cubinhos constituem um cubo? d) quantas barras constituem uma placa? e) quantas barras constituem um cubo? f) quantas placas constituem um cubo?

Atividade 2: REPRESENTANDO E REGISTRANDO AS QUANTIDADES

Objetivos: representar e registrar os números. Carga horária: 2 horas-aula. Recursos utilizados: Material Dourado. Procedimentos

avaliativos:

participação

e

envolvimento

nas

atividades,

interpretação dos resultados. Procedimentos metodológicos: o professor pede para os alunos representarem e registrarem as quantidades utilizando a menor quantidade possível de peças do Material Dourado, como por exemplo: dezessete, vinte e cinco, trezentos e sete, quatrocentos e trinta e seis, um mil e cinquenta e dois e um mil e duzentos e setenta.

Observação: Após as representações, o professor pergunta aos alunos se as mesmas quantidades poderão ser registradas de outra forma, devendo explicitá-las, caso a resposta seja afirmativa. Para a representação escrita, utilizando o Material Dourado, substituem-se as ordens pelos desenhos das peças. Por exemplo, para representar graficamente 17 e 25, o procedimento é o que segue:

1

7

10 + 7

2

5

20 + 5

Solicitar aos alunos que resolvam os seguintes exercícios:

1) Enumere a 2ª coluna de acordo com a 1ª.

( A ) 1 unidade

(

)

( B ) 10 unidades

(

)

( C ) 100 unidades

(

)

( D ) 1000 unidades

(

)

2) Escreva o número correspondente à quantidade mostrada pelas peças do Material Dourado.

a)

= -----------

b)

c)

d)

e)

= ------------

= ------------

= ------------

= ------------

f)

= ------------

Observação: Note que a disposição das peças não obedece à hierarquia, uma vez que no Material Dourado as peças apresentam o seu valor independentemente da posição em que ocupam. 3) Represente os números abaixo, utilizando o Material Dourado. a) 35 = -------------------b) 105 = -----------------c) 74 = ------------------d) 1 009 = -----------------

Observação: O professor poderá estabelecer os nomes das ordens, no momento em que achar conveniente. Poderá associar cada cubinho do Material Dourado a

uma unidade; cada barra a uma dezena; cada placa a uma centena e o cubo maior à unidade de milhar.

4) Observando o Material Dourado, complete com valores numéricos. a) Uma barra é composta de ___________ unidade(s). b) Uma barra é composta de ___________ dezena(s). c) Uma placa é composta de ___________ unidade(s). d) Uma placa é composta de ___________ dezena(s). e) Uma placa é composta de ___________ centena(s). f) Um cubo é composto de _____________unidade(s). g) Um cubo é composto de ____________ dezena(s). h) Um cubo é composto de ____________ centena(s). i) Um cubo é composto de _____________ unidade(s) de milhar.

Atividade 3: AGRUPAMENTOS E TROCAS NA BASE 10

Objetivos: compreender o Sistema de Numeração Decimal (SND) e utilizar o valor posicional dos algarismos para representar a ação de agrupar e trocar. Carga horária: 4 horas-aula. Recursos utilizados: Material Dourado, caderno para anotações e quadro valor de lugar (QVL). Procedimentos avaliativos: participação e desenvolvimento nas atividades em grupos. Procedimentos metodológicos: essa atividade será realizada em grupos, compostos de 4 alunos, onde cada grupo receberá as peças do Material Dourado e deverá fazer com elas todas as trocas de peças que forem possíveis, para ficar com a menor quantidade de peças. Os alunos devem registrar no seu caderno, usando o QVL e fazer a leitura do número obtido, com, por exemplo: a) 11 cubinhos. b) 33 cubinhos. c) 31 cubinhos e 2 barras. d) 1 placa, 9 barras e 40 cubinhos.

A seguir, propor exercícios como segue: a) Represente 2 barras e 9 cubinhos no QVL. Se acrescentarmos mais 1 cubinho, qual o número representado no QVL? UM 0

C

D

U

0

2

9 +1

0

0

3

0

b) Represente 2 barras e 1 cubinho no QVL. Se retirarmos 1 cubinho, qual o número representado no QVL?

UM

C

D

U

0

0

2

1

0

0

2

0

-1

Em seguida, o professor pede para os alunos que retirem mais 1 cubinho. É provável que os alunos apresentem certa dificuldade na realização dessa tarefa, uma vez que, visualmente, não há cubinhos na posição das unidades. Nesse caso, o professor deve instigá-los até que percebam que é possível trocar 1 barra por 10 cubinhos, o que resolve o problema.

UM

C

D

U

0

0

2

0 -1

0

0

1

9

Outras situações semelhantes poderão ser solicitadas aos alunos, de acordo com as necessidades observadas pelo professor, tais como: O que acontecerá se precisarmos retirar 1 cubinho quando tivermos, por exemplo: a) 3 placas e 5 barras b) 1 placa c) um cubo

É importante fazer o registro de cada operação, pois todas essas ideias serão usadas no algoritmo das operações (adição e subtração). Também é necessário oferecer um tempo maior na familiarização com o SND antes de iniciar o estudo dos algoritmos das operações fundamentais com os números naturais.

3ª Etapa: JOGOS

O jogo é um recurso divertido e atraente de ensinar e aprender Matemática. É uma ótima estratégia para introduzir os conceitos matemáticos, possibilitando de forma lúdica uma ação concreta, visando envolver o aluno nas atividades em grupo, dando ênfase àquilo que pode ser visto e manipulado na busca de uma melhor qualidade na aprendizagem. Além de prazeroso, divertido e desafiante, se bem aplicado, pode contribuir para uma melhor compreensão e autonomia do aluno frente à resolução de problemas matemáticos.

JOGO DO NUNCA DEZ COM MATERIAL DOURADO Objetivos: possibilitar a compreensão do SND, organizar agrupamentos de 10 em 10 e construir o pensamento lógico-matemático. Carga horária: 2 horas-aula. Participantes: 4 alunos por equipe. Recursos utilizados: Material Dourado, 3 dados convencionais, caderno para anotações, lápis e borracha. Procedimentos avaliativos: participação e desenvolvimento nas atividades em grupos. Procedimentos metodológicos: antes de iniciar o jogo, o professor define o número de rodadas. O grupo decide quem inicia o jogo e a ordem de jogada de cada jogador. Cada aluno, na sua vez, lança os dados e retira a quantidade de cubinhos conforme a registrada na face superior do dado. Quando o jogador conseguir dez cubinhos, deve trocá-los por uma barra; quando conseguir dez barras, deve trocá-las por uma placa. Quando um jogador estiver fazendo trocas, os outros devem esperar para jogar.

Será vencedor o primeiro jogador que conseguir dez placas ou o número de placas previamente estabelecido. Variações: pode-se combinar que o vencedor é aquele que obtiver o maior número de barras e cubinhos ou aquele que chegar a construir a centena. É importante fazer o registro de cada operação, pois todas essas ideias serão usadas no algoritmo das operações.

4ª Etapa: JOGOS VIRTUAIS NO PROCESSO ENSINO-APRENDIZAGEM

As tecnologias disponíveis poderão ser usadas durante o ensino e a aprendizagem da Matemática. O uso do Laboratório de Informática da escola oferece aos alunos uma boa opção de aulas menos expositivas, mais interativas e investigativas, onde o educando torna-se um agente ativo, podendo verificar e aprofundar a construção do conhecimento. A seguir, indicamos alguns acessos virtuais onde essa aprendizagem dinâmica e interativa poderá ocorrer:

1- JOGO VIRTUAL : NUNCA 10 Fonte: http://www.educacaodinamica.com.br/ed/views/game_educativo.php?id=1&jogo=Nu nca10, acesso em 11 de setembro de 2013. Objetivos: auxiliar a compreensão do SND e a ideia do valor posicional. Carga horária: 2 horas-aula. Recursos utilizados: Laboratório de Informática da escola. Procedimentos avaliativos: participação e desempenho nas atividades em grupo. Procedimentos metodológicos: os educandos serão encaminhados ao Laboratório de Informática da escola, sentarão em duplas ou individualmente e receberão, por escrito,

as

seguintes

instruções:

1)

acessar

o

endereço:

http://www.educacaodinamica.com.br/ed/views/game_educativo.php?id=1&jogo=Nu nca10, 2) iniciar pelo nível Fácil e prosseguir gradativamente pelos demais níveis; 3) clicar em iniciar. Escolhe-se um número de um a seis e faz-se a adição desse número com o número zero. O próximo passo é arrastar as peças do Material Dourado correspondentes ao resultado obtido. Escolhe-se novamente outro número de um a

seis e faz-se a adição desse número com o resultado da última adição e arrasta-se o total de cubinhos obtidos. Quando atingir mais de dez cubinhos faz-se as trocas. O aluno nunca pode usar dez peças iguais, por isso deve trocar dez cubinhos por uma barra (dez unidades por uma dezena), dez barras por uma placa (dez dezenas por uma centena), e, assim por diante. Será vencedor o primeiro jogador que concluir o jogo. A atenção e a concentração nas jogadas serão primordiais para se ganhar o jogo.

2- MATERIAL DOURADO VIRTUAL Fonte: http://www.educacaodinamica.com.br/ed/views/game_educativo.php?id=13&jogo=M aterial%20Dourado%20Virtual , acesso em 22 de setembro de 2013. Objetivos: compor e decompor números com Material Dourado. Carga horária: 2 horas-aula. Recursos utilizados: Laboratório de Informática da escola. Procedimentos avaliativos: participação e desempenho nas atividades em grupos. Procedimentos metodológicos: os educandos serão encaminhados ao Laboratório de Informática da escola, sentarão em duplas ou individualmente e receberão, por escrito,

o

endereço:

http://www.educacaodinamica.com.br/ed/views/game_educativo.php?id=13&jogo=M aterial%20Dourado%20Virtual. Ao iniciar o jogo, o professor pede para que o aluno veja o número que o computador solicita no canto superior direito da tela, e, então, arraste as centenas, dezenas e unidades para o retângulo da direita para formar o número pedido e passar para próxima fase. Ao todo há vinte e uma fases. Será vencedor o jogador que concluir o jogo primeiro. A atenção e a concentração nas jogadas serão primordiais para se ganhar o jogo.

3 - JOGO - BLOCOS ESPACIAIS Fonte: http://www.escolagames.com.br/jogos/blocosEspaciais/, acesso em 22 de setembro de 2013. Objetivos: rever as dezenas e unidades. Carga horária: 2 horas-aula. Recursos utilizados: Laboratório de Informática da escola.

Procedimentos avaliativos: participação e desempenho nas atividades em grupo. Procedimentos metodológicos: os educandos serão encaminhados ao Laboratório de Informática da escola, sentarão em duplas ou individualmente e receberão, por escrito, o endereço: http://www.escolagames.com.br/jogos/blocosEspaciais/.

Ao iniciar o jogo, os jogadores terão que acertar os testes, para obter as vidas, que serão três chances para pilotar a nave e pegar os blocos espalhados no espaço usando o laser da nave para eliminar os obstáculos que estão no caminho. O jogador tem que passar em todas as barreiras para completar sua missão. Ganha o jogo quem capturar mais blocos de dezenas e unidades.

5ª Etapa: OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Objetivos: associar a adição de números naturais às ideias de “juntar” e “acrescentar”; associar a subtração às ideias de “tirar”, “comparar” e “completar” e resolver corretamente problemas envolvendo a adição e a subtração. Carga horária: 5 horas-aula. Recursos utilizados: Material Dourado, caderno, lápis, quadro negro. Procedimentos avaliativos: participação e envolvimento nas atividades e os respectivos registros por eles efetuados. Procedimentos metodológicos: o professor irá introduzir a adição e a subtração, por meio de situações-problema.  ADIÇÃO A adição é a operação que está presente nas experiências das crianças desde muito cedo, através das brincadeiras, que envolvem situações de “juntar” e “acrescentar”, que são afetivamente prazerosas (quem não gosta de juntar, ganhar ou colecionar coisas?). Segundo Andrade (2005, p 79), “Para se efetuar uma adição, é possível proceder de várias maneiras, mas se a criança não aprendeu o SND, particularmente uma boa compreensão do valor posicional dos algarismos, nenhuma metodologia será significativa para ela”.

O professor poderá iniciar o algoritmo da adição, quando tiver certeza que os alunos já dominam o processo de agrupamentos e trocas e a representação simbólica dos números no SND, pois a falta de compreensão dessas noções torna difícil entender como funcionam os algoritmos das operações que utilizamos comumente. Os termos da adição são chamados de parcelas e soma (ou total). 23

parcela

+17

parcela

40

soma ou total

Vejamos como proceder para encontrar a solução das seguintes situaçõesproblema com uso do Material Dourado. a) Aldo e Carlos são amigos. Aldo tem 24 bolinhas de gude e Carlos tem 35. Quantas bolinhas os dois têm juntos? (ideia de juntar) Utilizando o Material Dourado, a quantidade de bolinhas de gude que Aldo possui pode ser representada por

Da mesma forma, a quantidade de bolinhas que Carlos possui pode ser representada por

Portanto, a representação da quantidade de bolinhas de gude que os dois têm juntos é dada por

É muito importante que, paralelamente à representação com o Material Dourado, deverá ser feita a seguinte representação.

+

D

U

2

4

3

5

5

9

b) Hugo tinha 16 figurinhas e ganhou mais 19 do seu irmão. Com quantas ficou? (ideia de acrescentar) Hugo tinha

Hugo ganhou

Juntando as peças do material teremos:

Isto é, 2 dezenas mais 15 unidades, e fazendo as trocas e obteremos:

ou seja, 3 dezenas mais 5 unidades. O resultado da adição é 35 = 30 + 5. Vejamos como fica o registro escrito do processo utilizando o Material Dourado:

+

16

10 + 6

19

10 + 9

35

20 + 15 (20 + 10) + 5 30 + 5 = 35

A representação simbólica ficará assim: D

U

1

+

1

6

1

9

3

5

O professor poderá trabalhar simultaneamente as adições “com reserva” (o conhecido “vai um”) e as adições “sem reserva”, desde que, os alunos tenham realizado trabalho prévio com agrupamentos e trocas. Segundo Andrade (2005, p 83), a técnica do “vai um” se apoia na ideia de agrupamento (10 unidades valem 1 dezena, 10 dezenas valem uma centena etc.), de valor posicional e utiliza os princípios aditivo e multiplicativo, daí a importância da compreensão do SND. Compreendendo o processo, fica claro porque é necessário escrever unidade debaixo de unidade, dezena embaixo de dezena etc.

Observação: Quando os alunos tiverem o domínio da adição com duas parcelas, terão facilidade para resolver situações-problema que envolva a adição com mais de duas parcelas.  SUBTRAÇÃO A subtração, embora presente desde muito cedo no cotidiano das crianças, tem um aspecto afetivo relacionado com situações de perda. As pesquisas de Piaget comprovam que os aspectos negativos, como inverso e recíproco, são construídos mais tarde do que os aspectos positivos.

Essa operação pode estar associada a três ideias diferentes: tirar, comparar ou completar. O trabalho com as diferentes ideias associadas à subtração com números pequenos facilita a manipulação do material concreto. A seguir, apresentamos situações-problema para cada uma das ideias associadas à subtração.

Ideia de tirar Paula tem 45 reais e vai comprar uma blusa que custa 24 reais. Com quantos ela ainda vai ficar? Para resolver esse problema Paula precisa tirar 24 de 45, ou seja, precisa efetuar a subtração 45 – 24. Essa operação pode ser realizada com o Material Dourado, como segue:

Logo, Paula vai ficar com 21 reais.

Ideia de comparar Qual é a diferença de idade entre Maria, de 53 anos, e sua irmã Lúcia, de 41 anos? Os alunos representam os dois números e fazem a correspondência um a um para chegar ao resultado.

Observe que restou uma dezena e duas unidades, ou seja, a diferença entre as idades de Maria e Lúcia é 12 anos.

Ideia de completar Na sala de aula tem 35 carteiras e 23 delas estão ocupadas com alunos. Quantos alunos faltam para que todas as carteiras fiquem ocupadas? São poucos os alunos que trabalham com a ideia de ir completando o 23 até chegar ao 35 (“quanto falta para 3 chegar a 5 e quanto falta para 20 para chegar a 30?)

Portanto, faltam 12 alunos para que todas as carteiras sejam ocupadas.

Após a compreensão dessas ideias, por meio de situações-problema, ao aluno é apresentado o algoritmo da subtração. Muitas vezes é preciso que se dê nome aos termos da subtração, que são o minuendo, o subtraendo e o resto (ou a diferença). -

45

minuendo

24

subtraendo

21

resto

Inicialmente, os problemas apresentados devem ser aqueles em que não há necessidade de efetuar trocas, ou seja, subtração sem reservas, conforme visto nas situações-problema apresentadas acima.

Apresentamos, a seguir, a resolução de cada situação-problema por meio do algoritmo da subtração.

Situação-problema 1:

-

D

U

4

5

2

4

2

1

Situação-problema 2:

-

D

U

5

3

4

1

1

2

D

U

3

5

2

3

1

2

Situações-problema 3:

-

Há duas técnicas comumente apresentadas nos livros didáticos: “empresta uma” (subtração com reserva); “escorrega” (subtração com compensação). Na técnica do “empresta uma”, tem-se

-

D

U

5 6

11 1

1

9

4

2

D

U

6

12 2

Na técnica do “escorrega”, tem-se

-

34

9

2

3

Note que a técnica do “escorrega” trata-se de uma compensação, pois como não se pode tirar 9 unidades de 1 unidade, acrescenta-se dez unidades às 2 unidades do minuendo, mas por compensação é preciso acrescentar, também, uma dezena às 3 dezenas do subtraendo.

Para consolidação dessas técnicas, é conveniente apresentar situaçõesproblema para que o aluno seja motivado a aprendê-las, como por exemplo: “Em um canil havia 56 cachorrinhos. No final de semana foram vendidos 28 cachorrinhos. Quantos cachorrinhos restaram no canil?”.

6ª Etapa: SITUAÇÕES–PROBLEMA ENVOLVENDO A ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS NATURAIS

Nas atividades do cotidiano, as crianças realizam operações com quantidades de objetos, tais como: comparam suas coleções de carrinhos, elas juntam seus carrinhos aos de seus colegas etc. Como as crianças no 6º ano do Ensino Fundamental encontram-se no estágio Operatório-concreto elas realizam operações de adição e subtração com mais facilidade quando utilizam objetos em situações nas quais estejam envolvidas. É importante o professor, incentivar o aluno a, por exemplo: resolver situações simples do cotidiano; verbalizar e discutir suas ações com os colegas; fazer cálculos mentais; verificar as diferentes estratégias utilizadas pelos outros alunos diante da mesma situação. O professor deverá acompanhar as discussões, fazendo perguntas que

direcionem

os

alunos

no

sentido

de

perceber

possíveis

erros

no

encaminhamento do raciocínio. Objetivos: utilizar estratégias para que o aluno identifique as diferentes formas de operações e aplicar corretamente as operações com números naturais na resolução de problemas. Carga horária: 10 horas-aula. Recursos utilizados: Material Dourado, caderno, lápis, quadro negro. Procedimentos avaliativos: participação e envolvimento nas atividades e os respectivos registros por eles efetuados.

Procedimentos metodológicos: essa atividade poderá ser em grupo ou individual. O professor distribuirá o Material Dourado e também deverá criar um ambiente tranquilo, para que os alunos não sintam medo de errar, oportunidade em que irão estabelecer e testar hipóteses, mostrando possíveis estratégias de resoluções para os problemas. Segundo Dante (2009, p. 68) diante de um problema é importante seguir um roteiro para que facilite a resolução e nos auxilie a encontrar a resposta procurada. Para isso é preciso: compreender o problema; planejar a solução; executar o que planejou; verificar se resolveu corretamente o problema e responder à pergunta do problema. Essas etapas serão desenvolvidas através de indagações, de um diálogo entre professor e aluno tais como: Que informação posso usar? A quais perguntas preciso responder? Qual estratégia vou usar? Como posso verificar se minha resposta está correta? Após, é preciso que se dê um tempo para que o grupo discuta e resolva a situação-problema e, finalmente, discutam com os colegas a solução encontrada. A seguir, apresentamos algumas situações-problema que podem ser resolvidas por meio da adição, da subtração e também envolvendo as duas operações. Inicialmente, os alunos utilizarão o Material Dourado, e, aos poucos devem se libertar desse material, para resolverem os problemas, utilizando as técnicas operatórias.

Situações-problema: 1) Em uma escola estadual foi realizado um campeonato de basquete. Veja no quadro abaixo o número de alunos inscritos em cada categoria.

Categoria

Número de alunos inscritos

Masculina

44

Feminina

35

Quantos alunos se inscreveram nesse campeonato?

Para responder à pergunta, podemos com o auxílio do Material Dourado representar o número 44, como segue:

Da mesma forma, o número 35 pode ser representado por

Para efetuar a soma, juntamos as peças e obtemos:

Logo, o resultado da adição é 79 = 70 + 9, ou seja, 7 dezenas e 9 unidades. O aluno deverá fazer a representação simbólica:

+

D

U

4

4

3 7

40

4

5

+ 30

5

9

70

9

2) No campeonato de basquete da escola, o time feminino fez 17 pontos. Se quiser obter uma vaga na próxima fase do campeonato, precisa atingir 35 pontos. Quantos pontos ainda faltam para esse time obter a vaga?

Para descobrir quantos pontos faltam para o time conseguir a vaga, basta fazer a subtração 35 – 17. Utilizando o Material Dourado, a quantidade 35 pode ser representada por

Como não é possível retirar 7 unidades de 5 unidades, então, trocamos uma barra por dez unidades, ficando como segue:

Agora, podemos retirar as 7 unidades das 15 unidades existentes e retirar uma dezena das duas existentes, ficando com a seguinte representação:

Portanto, o resultado da subtração 35 – 17 é 18. É importante o aluno fazer o registro de cada operação realizada, pois todas essas ideias serão usadas no algoritmo escrito. Nesse exemplo, podemos registrar da seguinte forma:

D 2

-

U 1

20

10

30

5

32

5

1

7

- 10

7

1

8

10

8

3) Uma hora antes de começar o campeonato de basquete da escola, havia 225 torcedores na escola. Se até o início da competição entraram outros 97 torcedores, quantos torcedores assistiram ao início do campeonato de basquete? 4) Em um torneio, Ana Luíza perdeu 8 pontos e terminou a competição com 18 pontos. Quantos pontos Ana Luíza tinha antes de perder os 8 pontos? 5) No campeonato de futebol da escola, o time masculino fez 58 gols e sofreu 20 gols. Qual foi o saldo de gols? 6) Heitor comprou um pote de sorvete a 12 reais, 2 pacotes de bolacha a 3 reais cada um e 3 bandejas de iogurte a 4 reais cada uma. Se ele pagou com uma nota de 50 reais, quanto recebeu de troco? 7) José Fernando recebe 1800 reais de salário. Gasta todo mês 500 reais com o supermercado e 680 reais com o aluguel de sua casa. Ele quer comprar uma motocicleta cuja prestação mensal é de 450 reais. Com esses gastos, José Fernando conseguirá pagar a prestação da motocicleta, utilizando apenas o seu salário? 8) Uma sorveteria recebeu de seu fornecedor 340 picolés sabor uva, 285 picolés sabor abacaxi e 165 picolés sabor limão, ficando com 1495 picolés em seu estoque. Quantos picolés havia no estoque antes do recebimento dos novos picolés? 9) Carlos tinha uma quantia no banco. Na segunda-feira retirou 225 reais e na terçafeira fez um depósito de 100 reais, ficando com saldo de 500 reais. Quantos reais Carlos tinha antes da segunda-feira? 10) Laura tem 64 anos e sua neta 18 anos. Quantos anos Laura tem a mais que sua neta?

11) Luísa tinha 246 reais e ganhou de seu pai uma nota de 100 reais. Com quantos reais ela ficou? 12) Uma mulher nasceu em 1920 e se casou aos 25 anos. Quatro anos depois nasceu seu primeiro filho. Quando essa mulher morreu, esse filho tinha 36 anos. Em que ano morreu essa mulher? 13) José leu um livro da seguinte maneira: primeiro dia, 25 páginas; segundo dia, 6 páginas a mais que no primeiro dia; terceiro dia, 6 páginas a mais que no segundo dia e assim por diante. Quantas páginas José leu em uma semana? 14) Uma joaninha está passeando pelas arestas de um bloco retangular. Ela passeia do ponto A até o ponto B pelo caminho mais longo possível, sem passar duas vezes pelo mesmo lugar. Por enquanto, ela já andou 86 cm e está no ponto C. Quantos centímetros ainda faltam para completar o trajeto? 8 cm A 12 cm C  B

25 cm

15) José Antônio tinha 6400 reais. Com esse dinheiro pagou uma dívida de 3735 reais. A seguir, recebeu 1938 reais de gratificação. Que quantia ele tem agora? 16) Fabrício tem 15 anos. Quando ele nasceu, sua mãe tinha 25 anos. Qual é a idade da mãe de Fabrício hoje? 17) Uma lesma caiu no fundo de um buraco de 30 metros de profundidade. Cada dia ela sobe 6m e escorrega 4m. Quantos dias ela levará para sair do buraco? 18) De cinco irmãs, a mais nova tem 20 anos. Por ordem de idade, cada irmã é três anos mais velha que a anterior. Qual a soma das idades dessas cinco irmãs? 19) Ana Laura tem 20 anos a mais que Rafaela. Rafaela tem 5 anos a menos que Valentina. Quantos anos Ana Laura é mais velha que Valentina?

20) Maria encontra-se no degrau do meio de uma escada. Ela sobe 6 degraus e desce 8. Em seguida, volta a subir 5 e descer 10 para chegar ao último degrau. Quantos degraus tem a escada?

4 ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS O projeto de intervenção pedagógica “Material Dourado e situaçõesproblema: mecanismos para o ensino e a aprendizagem dos processos da adição e da subtração” procura refletir sobre a eficiência do material manipulável e, mais especificamente, do Material Dourado no ensino da adição e da subtração aos alunos da Sala de Apoio do 6º ano do Ensino Fundamental, ao mesmo tempo em que estará socializando, com os professores de matemática da Educação Básica, práticas pedagógicas diferenciadas referentes ao ensino e à aprendizagem da adição e da subtração. A implementação será realizada em etapas, perfazendo um total 32 horasaula.  PRIMEIRA ETAPA: Apresentação do Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola para a direção, equipe pedagógica e professores da Escola Estadual Cecília Meireles durante a Semana Pedagógica e no início do ano letivo (fevereiro/2014), para os alunos da Sala de Apoio do 6º ano, onde será feita a apresentação dos objetivos e as etapas do mesmo. 

SEGUNDA ETAPA: Serão desenvolvidas atividades, com os alunos da Sala de Apoio do 6º ano, mediante utilização do Material Dourado, sendo algumas individuais e outras em grupo. No primeiro momento, os alunos irão manipular as peças livremente, conhecendo-as e relacionando-as. O segundo momento é o jogo com regras, em que se propõem aos alunos atividades planejadas envolvendo equivalência, agrupamentos e trocas na base 10, representação, sucessão de um número com ênfase na passagem de unidade para dezena, dezenas para centenas, e assim sucessivamente.

 TERCEIRA ETAPA: Será desenvolvido o JOGO DO NUNCA DEZ COM MATERIAL DOURADO, seguido de comentários e complementações feitas pela professora PDE.  QUARTA ETAPA: Serão sugeridos alguns jogos virtuais, acessando os seguintes sites: http://www.educacaodinamica.com.br/ed/views/game_educativo.php?id=1&jog o=Nunca10; http://www.educacaodinamica.com.br/ed/views/game_educativo.php?id=13&jo go=Material%20Dourado%20Virtual; http://www.escolagames.com.br/jogos/blocosEspaciais/.  QUINTA ETAPA: As operações da adição e da subtração de números naturais serão desenvolvidas por meio de situações-problema com o auxílio do Material Dourado, associando a adição de números naturais às ideias de “juntar” e “acrescentar” e a subtração às ideias de “tirar”, “comparar” e “completar”.  SEXTA ETAPA: Nesta etapa serão desenvolvidas situações-problema envolvendo a adição e a subtração contemplando as várias ideias associadas a cada tipo de operação, onde o professor deve, sempre que possível, estimular o treino do cálculo mental.

REFERÊNCIAS

ANDRADE, D.; NOGUEIRA, C. M. I. Educação matemática e as operações fundamentais. Maringá: EDUEM, 2005. BIGODE, Antonio José Lopes. Projeto Velear: matemática. 1. ed. São Paulo: Scipione, 2012. DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. 3. ed. São Paulo: Ática, 2009.

GIOVANNI, J.R.; PARENTE, E. Aprendendo matemática: novo. 1. ed. São Paulo: FTD, 2002. GIOVANNI JÚNIOR, J.R; CASTRUCCI, B. A conquista da Matemática. 1. ed. São Paulo: FTD, 2009. LEONARDO, Fabio Martins de (E.). Projeto Araribá: matemática. 3. ed. São Paulo: Moderna, 2010. LIBÂNEO, José Carlos. Educação Escolar: políticas, estrutura e organização. 2. ed. São Paulo: Cortez, 2005 (Coleção Docência em Formação) MONTESSORI, Maria. A criança. Tradução de Luiz Horácio da Mata, Nórdica: Rio de Janeiro. (256 p.) Ano 1987. MONTESSORI, Maria. Pedagogia Científica. Tradução de Aury Azélio Brunetti. São Paulo: Flamboyant, 1965. (310 p.). PIAGET, Jean. Biologia e Conhecimento: ensaio sobre as relações entre as regulações orgânicas e os processos cognoscitivos. Petrópolis: Vozes, 1996. ____________ Psicologia e Pedagogia. Tradução Editora Forense Universitária. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 1976. ____________ Seis Estudos de Psicologia. Rio de Janeiro: Forense, 1964. RODRIGUES, Neidson. Colegiado: Instrumento de Democratização. In Revista Brasileira de Administração Escolar. Porto Alegre, V. 3, nº, jan./ jul. 1985. ROSA, S. S. Construtivismo e Mudança. 6. ed. São Paulo: Cortez, 1998. TOLEDO, M. B. A; TOLEDO, M; A. Teoria e prática de matemática: como dois e dois. 1. ed. São Paulo: FTD, 2009

REFERÊNCIAS DOS JOGOS VIRTUAIS

Educação Dinâmica - Nunca10 - Jogo Educacional. Disponível: Acesso em 11 de setembro de 2013. Educação Dinâmica - Material Dourado Virtual - Jogos Educacionais. Disponível: Acesso em 22 de setembro de 2013. BLOCOS ESPACIAIS - Escola Games - Jogos Educativos. Disponível: Acesso em 22 de setembro de 2013.