1 Cours Continuite 2 Sm.pdf

‫‪Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/‬‬

‫األستاذ‪ :‬بنموسى محمد ثانوية‪ :‬عمر بن عبد العزيز المستوى‪ 2 :‬علوم رياضية‬ ‫الصفحة‬

‫درس رقم‬

‫درس النهايات و االتصال‬

‫النهايات ( تذكير )‬ ‫نشاط ‪: 1‬‬ ‫‪ )1‬ذكر بتعريف ‪lim f  x   l :‬‬

‫‪x  x0‬‬

‫‪ )2‬ذكر بتعاريف التالية ‪:‬‬

‫ب ‪lim f  x   l -‬‬

‫‪lim f  x   lg‬‬

‫أ‪-‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪x  x0‬‬

‫ج‪lim f  x    -‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪ )3‬ذكر باألشكال الغير المحددة ‪.‬‬ ‫‪ )4‬ذكر ببعض خاصيات النهايات و الترتيب ‪.‬‬ ‫جواب ‪:‬‬ ‫‪ )1‬نذكر بتعريف ‪: lim f  x   l :‬‬ ‫‪x  x0‬‬

‫‪ .1‬تعريف ‪:1‬‬

‫‪ f‬دالة معرفة بجوار ‪x 0‬‬

‫‪ (.‬أي ‪ .) x0  r, x0  r \ x0   Df‬مع ‪. r  0‬‬

‫نقول إن ‪ f  x ‬يؤول إلى العدد الحقيقي ‪ l‬عندما يؤول‬

‫‪x‬‬

‫إلى ‪ a‬لنعني أن ‪ f  x   l :‬يؤول إلى ‪ 0‬عندما يؤول‬

‫‪x‬‬

‫إلى ‪. a‬‬

‫أو أيضا ‪.   0 ,   0 , 0< x  x0    f  x   l   :‬‬ ‫نرمز لذلك ب ‪. lim f  x   l :‬‬ ‫‪x  x0‬‬

‫‪ )2‬نذكر بالتعاريف التالية ‪:‬‬ ‫أ ‪ -‬تعريف ل ‪. lim f  x   lg :‬‬ ‫‪x  x0‬‬

‫‪ .2‬تعريف ‪: 2‬‬

‫‪ f‬دالة عددية معرفة على يسار ‪x 0‬‬

‫‪ (.‬أي ‪ .) x0  r, x0   Df‬مع ‪. r  0‬‬

‫نقول إن ‪ f  x ‬يؤول إلى العدد الحقيقي ‪ lg‬عندما يؤول‬

‫‪x‬‬

‫إلى ‪ a‬على اليسار لنعني أن‬

‫‪.   0 ,   0 , 0<x0 -x    f  x   lg  ‬‬ ‫نرمز لذلك ب ‪ lim f  x   lg :‬أو أيضا ‪. lim f  x   lg‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪x  x0‬‬

‫‪x  x0‬‬

‫ب ‪ -‬تعريف ل ‪:‬‬

‫‪lim f  x  l‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪ .3‬تعريف‪lim f  x   l :3‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪ f‬دالة معرفة بجوار‬

‫‪‬‬

‫‪ (.‬أي ‪.) ,b  Df‬‬

‫نقول إن ‪ f  x ‬يؤول إلى العدد الحقيقي ‪ l‬عندما يؤول ‪ x‬إلى‬

‫‪‬‬

‫لنعني أن ‪  0 , B  0 ,   B  f  x   l   :‬‬

‫نرمز لذلك ب ‪lim f  x   l :‬‬

‫‪x ‬‬

‫ج– تعريف ل ‪lim f  x    :‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪ .4‬تعريف‪lim f  x    :4‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪ f‬دالة معرفة بجوار ‪‬‬

‫‪ (.‬أي ‪.) b,   Df‬‬

‫نقول إن ‪ f  x ‬تؤول إلى ‪‬‬ ‫نرمز لذلك ب ‪lim f  x    :‬‬ ‫‪x ‬‬

‫عندما يؤول‬

‫‪x‬‬

‫إلى‬

‫‪‬‬

‫لنعني أن‪A  0 , B  0 ,   B  f  x   A :‬‬

‫‪Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/‬‬

‫األستاذ‪ :‬بنموسى محمد ثانوية‪ :‬عمر بن عبد العزيز المستوى‪ 2 :‬علوم رياضية‬ ‫الصفحة‬

‫درس رقم‬

‫درس النهايات و االتصال‬

‫‪ )3‬األشكال الغير المحددة هي ‪:‬‬ ‫‪(1‬‬

‫‪0     ( 2‬‬

‫‪       ;       ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪. 1 ( 6 00 (5‬‬

‫‪ )4‬نذكر بعض خاصيات النهايات و الترتيب ‪.‬‬ ‫‪ f‬و ‪ g‬و ‪ h‬دوال عددية حيث ‪:‬‬ ‫‪ ‬إذا كان )‪ f (x)  g(x‬و ‪ limf (x)  ‬فإن ‪. lim g(x)  ‬‬ ‫?‪x ‬‬

‫?‪x ‬‬

‫‪‬‬

‫إذا كان )‪ f (x)  g(x‬و ‪ lim g(x)  ‬فإن ‪. limf (x)  ‬‬

‫‪‬‬

‫إذا كان )‪ f (x)  h(x)  g(x‬و ‪ limf (x)  lim g(x)  l‬فإن ‪. limh(x)  l‬‬

‫?‪x ‬‬

‫?‪x ‬‬

‫?‪x‬‬

‫?‪x‬‬

‫?‪x‬‬

‫نشاط ‪: 2‬‬ ‫‪ .1‬تمرين ‪: 1‬‬ ‫الرسم التالي يمثل منحنى دالة ‪. f‬‬

‫أ‪ -‬حدد مبيانيا ‪Df‬‬

‫مجموعة تعريف الدالة ‪. f‬‬

‫ب‪ -‬استنتج مبيانيا نهايات ‪ f‬عند محدات ‪Df‬‬

‫و كذلك في ‪.1‬‬

‫‪ .2‬تمرين ‪: 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫أحسب النهايات التالية ‪ lim  2x  1  3x  2 :‬و ‪ lim x  x  2‬و‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪4  2x‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ lim‬و ‪. lim 2x  4x  8x‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪ .3‬تمرين ‪: 3‬‬ ‫حدد ‪ a‬علما أن ‪ f‬لها نهاية في ‪ 3‬حيث ‪ f‬معرفة كما يلي‪:‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x) ‬‬ ‫‪; x3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 x1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x)  a‬‬ ‫‪; x3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x1‬‬

‫‪ .4‬تمرين ‪: 4‬‬

‫‪x2  cos x‬‬ ‫‪. lim‬‬ ‫أحسب ‪ lim sin x :‬و‬ ‫‪x  1  x 2‬‬ ‫‪x 1 x  1‬‬ ‫‪ .5‬تمرين ‪: 5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫لتكن ‪ f‬الدالة العددية المعرفة بما يلي ‪:‬‬ ‫‪1 x 1‬‬

‫أ‪ -‬حدد ‪Df‬‬

‫مجموعة تعريف الدالة ‪. f‬‬

‫ب‪ -‬أحسب نهايات ‪ f‬عند محدات ‪. Df‬‬

‫اتصال دالة عددية في نقطة ‪: x 0‬‬

‫‪.11‬‬

‫نشاط ‪: 1‬‬

‫‪. f (x) ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/‬‬

‫األستاذ‪ :‬بنموسى محمد ثانوية‪ :‬عمر بن عبد العزيز المستوى‪ 2 :‬علوم رياضية‬ ‫الصفحة‬

‫درس النهايات و االتصال‬

‫المنحنيات التالية تمثل الدوال ‪ fi‬مع ‪ . i  1, 2, 3,4,5,6,7‬نأخذ النقطة التي أفصولها ‪x0  1‬‬ ‫‪ )1‬نأخذ النقطة التي أفصولها ‪ x0  1‬ماذا تالحظ ؟‬

‫درس رقم‬ ‫‪.‬‬

‫‪ )2‬استنتج مبيانيا )‪ lim fi (x‬مع ‪i  1, 2, 3,4,5,6,7‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫‪ )3‬الرسم ‪ 1‬و ‪ 7‬يمثالن دالتين متصلتين في النقطة ‪x0  1‬‬ ‫‪ )4‬أعط تعريف التصال دالة في نقطة ‪. x 0‬‬

‫و في الحاالت األخرى غير متصلة في النقطة ‪. x0  1‬‬

‫‪.12‬تعريف ‪: 1‬‬

‫‪ f‬دالة عددية يحتوي حيز تعريفها على مجال من نوع ‪  r  0  I X  x0  r, x0  r‬معرفة على مجال مفتوح ‪ I‬و ‪x 0‬‬ ‫‪ f‬متصلة في ‪ x 0‬يكافئ ‪. lim f (x)  f (x0 ) :‬‬ ‫‪0‬‬

‫من ‪. I‬‬

‫‪x  x0‬‬

‫‪.13‬تعريف ‪: 2‬‬

‫‪ f‬دالة عددية معرفة على مجال مفتوح ‪ I‬و ‪x 0‬‬ ‫‪ f‬متصلة في ‪ x 0‬يكافئ ‪  0 ,   0 , x  x0    f  x   f  x0    :‬‬ ‫من ‪. I‬‬

‫االتصال على اليمين واالتصال على اليسار في نقطة ‪x 0‬‬ ‫‪ .11‬تعريف ‪:2 – 1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ f‬دالة عددية معرفة على ‪ Id  x0 , x0  r‬حيث ‪ f . r  0‬متصل على يمين في ‪ x 0‬يكافئ ‪lim f (x)  f (x0 ) :‬‬

‫‪x  x0‬‬ ‫‪x  x0‬‬

‫‪Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/‬‬

‫األستاذ‪ :‬بنموسى محمد ثانوية‪ :‬عمر بن عبد العزيز المستوى‪ 2 :‬علوم رياضية‬ ‫الصفحة‬ ‫‪‬‬

‫درس النهايات و االتصال‬

‫درس رقم‬

‫‪ I g  ‬حيث ‪ f . r  0‬متصل على يسار في ‪ x 0‬يكافئ ‪lim f (x)  f (x0 ) :‬‬ ‫‪x0  r, x0 ‬‬ ‫‪ f‬دالة عددية معرفة على ‪‬‬

‫‪x  x0‬‬ ‫‪x  x0‬‬

‫‪.12‬أمثلة‪:‬‬

‫‪Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/‬‬

‫األستاذ‪ :‬بنموسى محمد ثانوية‪ :‬عمر بن عبد العزيز المستوى‪ 2 :‬علوم رياضية‬ ‫الصفحة‬

‫درس رقم‬

‫درس النهايات و االتصال‬

‫مع ‪. i  1, 2, 3,4,5,6,7‬‬

‫نأخذ النشاط السابق أدرس مبيانيا اتصال بعض من ‪ fi‬على يمين و يسار النقطة ‪x0  1‬‬ ‫‪.13‬خاصية ‪:‬‬

‫دالة ‪ f‬متصلة في ‪x 0‬‬

‫يكافئ ‪ f‬متصل على يسار و على يمين ‪. x 0‬‬

‫التمديد باالتصال في النقطة ‪le prolongement par continuité x 0‬‬ ‫‪ .11‬تذكير ‪:‬‬ ‫‪ E‬و ‪ F‬و ‪ G‬ثالث مجموعات ‪ f‬و ‪ g‬دالتان عدديتان حيث ‪ f : E  G :‬و ‪. g : F  G‬‬ ‫إذا كان ‪ F  E‬و ‪. x  F : f  x   g  x ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ f‬تسمى تمديد باالتصال ( ‪ ) prolongement‬ل ‪. g‬‬

‫‪ g ‬تسمى قصور ( ‪ f ) restriction‬على ‪ . F‬نكتب ‪g  f/ F :‬‬

‫‪.‬‬

‫‪.12‬تعريف و خاصية ‪:‬‬ ‫‪ f‬دالة عددية يحتوي حيز تعريفها على مجال من نوع ‪ I*X0  x0  r, x0  r \ x0 ‬مع ‪ . r  0‬حيث ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ f‬غير معرفة في ‪x 0‬‬ ‫‪. lim f  x   l ‬‬ ‫‪x  x0‬‬

‫‪ g  x   f  x  ; x  Df , x  x0‬‬ ‫‪ ‬هي متصلة في ‪x 0‬‬ ‫الدالة ‪ g‬المعرفة ب ‪:‬‬ ‫‪ g  x0   l‬‬

‫‪.‬‬

‫الدالة ‪ g‬تسمى تمديد باالتصال للدالة ‪ f‬في النقطة ‪x 0‬‬ ‫‪ .13‬مثال‪:‬‬ ‫‪x2  x‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫‪ f  x  ‬لدينا ‪\ 1,1 :‬‬

‫‪lim x  1‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪x  x  1‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫‪. limf  x   lim‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫و بالتالي الدالة ‪ g‬المعرفة ب‪:‬‬

‫كذلك الدالة ‪ h‬المعرفة ب‪:‬‬

‫‪. Df ‬‬

‫‪x 1‬‬

‫‪\ 1,1‬‬

‫‪\ 1,1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪x2  x‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪; x‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪ ‬هي تمديد باالتصال للدالة ‪ f‬في النقطة‬ ‫‪g 1  1‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪x2  x‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪; x‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪ ‬هي تمديد باالتصال للدالة ‪ f‬في النقطة‬ ‫‪ h 1  1‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪. x0  1‬‬

‫‪. x0  1‬‬

‫‪Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/‬‬

‫األستاذ‪ :‬بنموسى محمد ثانوية‪ :‬عمر بن عبد العزيز المستوى‪ 2 :‬علوم رياضية‬ ‫الصفحة‬

‫‪‬‬

‫درس النهايات و االتصال‬ ‫‪\ 1,1‬‬

‫كذلك الدالة ‪ k‬المعرفة ب‪:‬‬

‫درس رقم‬

‫‪‬‬ ‫‪x2  x‬‬ ‫‪; x‬‬ ‫‪k  x  ‬‬ ‫‪ ‬هي تمديد باالتصال للدالة ‪ f‬في النقطة‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪ k 1  k 1  1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪ x0  1‬و في ‪. x0  1‬‬

‫ملحوظة ‪ :‬يمكن كتابة الدالة ‪ k‬خلى الشكل التالي ‪k  x   x :‬‬

‫اتصال دالة على مجال‬ ‫‪ .11‬تعاريف‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ f‬دالة متصلة على مجال مفتوح ‪  I  a;b  I‬يكافئ ‪ f‬متصلة في كل نقطة ‪x 0‬‬

‫من ‪. I‬‬

‫‪ f‬دالة متصلة على مجال ‪ I   a,b‬يكافئ ‪ f :‬متصلة على ‪ a,b‬و متصلة على يمين‬

‫‪ f‬دالة متصلة على مجال ‪ a, ‬يكافئ ‪ f :‬متصلة في كل نقطة ‪x 0‬‬

‫‪a‬‬

‫و متصلة على يسار ‪. b‬‬

‫من ‪ a, ‬و ‪ f‬متصلة على يمين في ‪. a‬‬

‫‪.12‬مثال‪:‬‬ ‫لنعتبر الدالة‪. f (x)  x²  3x :‬‬

‫بين أن ‪ f :‬متصلة على المجال المفتوح ‪. I  1;5‬‬

‫اتصال الدوال االعتيادية‪:‬‬ ‫‪ .11‬خاصية‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪Df ‬‬

‫كل دالة حدودية فهي متصلة على مجموعة تعريفها‬

‫‪ ‬كل دالة جذرية فهي متصلة على مجموعة تعريفها ‪Df‬‬ ‫‪ f(x) = sinx ‬و ‪ f (x)  cos x‬متصلتين على ‪. Df ‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫الدالة‪ f (x)  tan x :‬متصلة على ‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪\   k;k ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ‬الدالة‪ f(x)  x :‬متصلة على مجموعة تعريفها ‪  0, ‬‬

‫‪‬‬

‫‪Df ‬‬

‫‪Df ‬‬

‫دالة الجزء الصحيح ‪:‬‬ ‫‪ .11‬تعريف‪ ( :‬تذكير )‬ ‫الدالة ‪ f‬التي تربط كل عنصر‬ ‫ويرمز لها ب ‪ E‬أو أيضا‬

‫‪x‬‬

‫من‬

‫‪ ‬‬

‫بالعدد الصحيح النسبي الوحيد ‪ p‬الذي يحقق ‪ . p  x  p  1‬تسمى الدالة الجزء الصحيح‬

‫نكتب ‪ f  x  =  x  p‬أو ‪f  x   E(x)  p‬‬

‫‪.12‬نشاط‪:‬‬

‫‪ )1‬أنشئ منحنى الدالة )‪. f  x   E(x‬‬

‫‪ )2‬هل ‪ f‬متصلة على يمين في ‪ 0‬و ‪ 1‬و ‪ 2‬و ‪ 3‬و ‪ -1‬و ‪. - 2‬‬ ‫‪ )3‬هل ‪ f‬متصلة على يسار في ‪ 0‬و ‪ 1‬و ‪ 2‬و ‪ 3‬و ‪ - 1‬و ‪. - 2‬‬ ‫‪ )4‬هل ‪ f‬متصلة في ‪ 0‬و ‪ 1‬و ‪ 2‬و ‪ 3‬و ‪ -1‬و ‪....... -2‬‬ ‫‪ )5‬هل ‪ f‬متصلة على‬ ‫‪ )6‬أعط الخاصية‪.‬‬

‫‪ 0;1‬‬

‫و ‪ 1;2‬و ‪....  2;3‬‬

‫‪Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/‬‬

‫األستاذ‪ :‬بنموسى محمد ثانوية‪ :‬عمر بن عبد العزيز المستوى‪ 2 :‬علوم رياضية‬ ‫الصفحة‬

‫درس رقم‬

‫درس النهايات و االتصال‬

‫‪.13‬خاصية‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫دالة الجزء الصحيح متصلة على اليمين في ‪ p‬وغير متصلة على اليسار في ‪ ( p‬إذن هي غير متصلة في ‪.) p‬‬

‫‪‬‬

‫دالة الجزء الصحيح متصلة على كل المجاالت التي هي على شكل‪ (  p,p 1 :‬مع‬

‫‪) p‬‬

‫صورة مجال بدالة متصلة ‪:‬‬ ‫‪ .11‬نشاط‪:‬‬

‫نأخذ النشاط أول الدرس و الرسم رقم ‪ 1‬الذي يمثل الدالة‪f(x)  x2 :‬‬

‫‪ )1‬استنتج مبيانيا صور جميع األعداد التي تنتمي إلى القطعة ‪ 0, 2‬‬ ‫‪ )2‬استنتج مبيانيا ‪ f   1, 0  :‬و ‪ . f   1, 2 ‬أعط الخاصية‪.‬‬ ‫‪.12‬خاصية‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫صورة قطعة ‪  a,b ‬بدالة متصلة ‪ f‬هي قطعة ( تكون على شكل ‪  m,M ‬مع‬

‫‪m‬‬

‫و ‪ M‬هي القيمة الدنيا والقيمة القصوى على‬

‫التوالي ل ‪ f‬على المجال ‪ ( .)  a,b ‬أو أيضا ‪ m  min f  x  :‬و ‪) M  maxf  x ‬‬ ‫‪a x b‬‬

‫‪‬‬

‫صورة مجال ‪ I‬بدالة متصلة ‪ f‬هي مجال ‪. J  f  I ‬‬

‫‪‬‬

‫مالحظة ‪. f   a,b   m, M  :‬‬

‫‪a x b‬‬

‫مثال ‪ f  x   2x  1 2 :‬لدينا مبيانيا ‪f  1, 2   1, 3 :‬‬

‫‪ .13‬مثال ‪1 :‬‬ ‫نضع ‪ m  min f  x  :‬و ‪. M  maxf  x ‬‬ ‫‪a x b‬‬

‫‪a x b‬‬

‫‪ M  f   ‬و ‪  ,    I 2 / m  f   ‬‬

‫مبرهنة القيم الوسيطية‪théorème des valeurs intermédiaires:‬‬ ‫‪ .11‬نشاط‪:‬‬

‫‪f  1, 2   1, 3‬‬

‫‪Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/‬‬

‫األستاذ‪ :‬بنموسى محمد ثانوية‪ :‬عمر بن عبد العزيز المستوى‪ 2 :‬علوم رياضية‬ ‫الصفحة‬

‫درس رقم‬

‫درس النهايات و االتصال‬

‫نأخذ ‪ a  1‬و ‪ b  2‬في الرسم ‪ 1‬؛ ‪ a  0‬و ‪( b  ‬الرسم‪)2‬‬ ‫‪ )1‬استنتج مبيانيا )‪ f (a‬و )‪( . f (b‬الرسم ‪) 1‬‬ ‫‪ )2‬نأخذ عدد ‪ k‬محصور بين )‪ f (a‬و )‪ f (b‬هل يوجد على األقل‬ ‫عنصر‬

‫‪c‬‬

‫من ‪  a,b   2,1‬حيث ‪( . f (c)  k :‬الرسم ‪) 1‬‬

‫‪ )3‬أعط الخاصية‪:‬‬ ‫‪.12‬خاصية‪:‬‬ ‫‪ f‬دالة متصلة على القطعة ‪.  a,b ‬‬ ‫‪‬‬

‫لكل عدد حقيقي ‪ k‬محصور بين )‪ f (a‬و )‪ f (b‬يوجد على األقل عنصر‬

‫‪c‬‬

‫من ‪  a,b ‬حيث ‪. f (c)  k :‬‬

‫‪.13‬برهان ‪:‬‬

‫نضع ‪ f   a,b   m, M ‬ألن ‪ f‬متصلة على ‪.  a,b ‬‬

‫حالة ‪. f (a)  f (b) : 1‬‬ ‫‪ k  f(a),f(b)  m,M‬إذن ‪. k  m,M  f  a,b ‬‬

‫ومنه ‪c  a,b / k  f(c) :‬‬ ‫إذن ‪ :‬كل عدد ‪ k‬محصور بين )‪ f (a‬و )‪ f (b‬يوجد على األقل عنصر‬

‫‪c‬‬

‫من ‪  a,b ‬حيث ‪. f (c)  k :‬‬

‫‪ .14‬نتائج ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫بما أن ‪ :‬صورة قطعة ‪  a,b ‬بدالة متصلة هي القطعة‪ f   a,b   m, M  :‬إذن ‪. k  f  a,b   m,M ‬‬

‫‪‬‬

‫إذا كان ‪ f (a)  f (b)  0 :‬أي )‪ f (a‬و )‪ ( f (b‬احدهما موجب و اآلخر سالب ) ومنه ‪ k  0  f  a,b   m;M  :‬ومنه يوجد‬

‫‪‬‬

‫عنصر ‪ c‬من ‪a,b‬‬ ‫نتيجة ‪ :  f(a)  f(b)  0 ‬المعادلة ‪ x  a,b / f(x)  0 :‬تقبل على األقل حل على ‪.  a,b ‬‬ ‫إذا كانت ‪ f‬رتيبة قطعا على ‪  a,b ‬فإن ‪ c‬وحيد ‪ .‬ومنه المعادلة ‪ x  a,b / f(x)  0 :‬تقبل حل و حيد على ‪.  a,b ‬‬ ‫حيث ‪f (c)  k  0 :‬‬

‫‪‬‬

‫دالة متصلة و رتيبة قطعا‪:‬‬

‫‪.11‬‬

‫نشاط‪ f :‬دالة متصلة و رتيبة قطعا‪ .‬لدينا صور المجاالت اآلتية‬

‫المجال ‪I‬‬

‫‪ f‬متصلة و تزايدية قطعا‬ ‫نحدد ‪ :‬المجال )‪f (I‬‬

‫‪ f‬متصلة وتناقصية قطعا‬ ‫نحدد‪ :‬المجال )‪f (I‬‬

‫المجال ‪I‬‬

‫‪ f‬متصلة و تزايدية قطعا‬ ‫نحدد ‪ :‬المجال )‪f (I‬‬

‫‪ f‬متصلة وتناقصية قطعا‬ ‫نحدد‪ :‬المجال )‪f (I‬‬

‫‪a,b‬‬

‫‪f (a),f (b)‬‬

‫‪f (b),f (a)‬‬

‫‪a, ‬‬

‫‪ lim f (x), lim f (x) ‬‬ ‫‪ xa‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x ‬‬

‫‪ lim f (x), lim f (x) ‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x a‬‬

‫‪a,b‬‬

‫‪f (a), lim f (x) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x b‬‬

‫‪ lim f (x),f (a)‬‬ ‫‪ xb‬‬ ‫‪‬‬

‫‪,a‬‬

‫‪ lim f (x),f (a)‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪‬‬

‫‪f (a), lim f (x) ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/‬‬

‫األستاذ‪ :‬بنموسى محمد ثانوية‪ :‬عمر بن عبد العزيز المستوى‪ 2 :‬علوم رياضية‬ ‫الصفحة‬

‫درس النهايات و االتصال‬

‫‪a,b‬‬

‫‪ lim f (x),f (b)‬‬ ‫‪ xa‬‬ ‫‪‬‬

‫‪a,b‬‬

‫‪f (b), lim f (x) ‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ lim f (x), lim f (x)   lim f (x), lim f (x) ‬‬ ‫‪ xb‬‬ ‫‪  xa‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x a ‬‬ ‫‪x b ‬‬

‫‪a, ‬‬

‫‪f (a), lim f (x) ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫درس رقم‬

‫‪,a‬‬

‫‪ lim f(x), lim f(x) ‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ lim f (x), lim f (x) ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪ xa‬‬ ‫‪‬‬

‫‪, ‬‬

‫‪ lim f(x), lim f(x) ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ lim f (x), lim f (x) ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ lim f (x),f (a)‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪‬‬

‫‪.12‬نتيجة ‪:‬‬ ‫إذا كانت‬

‫‪ f‬دالة متصلة و رتيبة قطعا على المجال ‪a,b‬‬ ‫‪c‬‬

‫من ‪  a,b ‬حيث‪. f (c)  k :‬‬

‫‪‬‬

‫فإنه لكل عدد محصور بين )‪ f (a‬و )‪ f (b‬يوجد عدد وحيد‬

‫‪‬‬

‫إذا كان ‪ f (a)  f (b)  0‬المعادلة ‪ x  a;b / f(x)  0‬تقبل حل وحيد ‪.‬‬

‫العمليات على الدوال المتصلة‪:‬‬ ‫‪ .11‬خاصية‪ ( :‬تقبل )‬

‫‪‬‬

‫‪ I‬مجال ضمن المجموعة‬ ‫‪‬‬

‫‪. I ‬‬

‫إذا كانت ‪ f‬و ‪ g‬دالتين متصلتين على المجال ‪ I‬فإن الدوال‪ f+g :‬و ‪ f  g‬و‬

‫‪ , f‬‬

‫‪  ‬متصلة على ‪. I‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫و‬ ‫‪ ‬إذا كانت ‪ f‬و ‪ g‬دالتين متصلتين على المجال ‪ I‬و ‪ g‬ال تنعدم على المجال ‪ I‬فإن الدوال‪:‬‬ ‫‪g g‬‬ ‫‪.12‬مثال‪:‬‬ ‫لنعتبر الدوال التالية المعرفة ب‪(1 :‬‬

‫متصلة على ‪. I‬‬

‫‪2x  1‬‬ ‫‪g  x    x2  3x  2   x (2 . f  x  ‬‬ ‫‪ cos  x ‬‬ ‫‪x1‬‬

‫‪ )1‬حدد مجموعة تعريف واتصال كل دالة من الدوال السابقة‪.‬‬ ‫جواب‬ ‫‪ )1‬نحدد مجموعة تعريف‪:‬‬ ‫‪ ‬الدالة ‪ x  cosx‬معرفة و متصلة على ‪.‬‬

‫الدالة ‪ x  2x  1‬معرفة و متصلة على ‪\ 1‬‬

‫‪.‬‬

‫‪x1‬‬ ‫‪2x  1‬‬ ‫‪ x ‬معرفة و متصلة على ‪\ 1‬‬ ‫إذن الدالة ‪ cos x‬‬ ‫‪x1‬‬

‫‪‬‬

‫‪ \ 1 ‬‬

‫الدالة ‪ x  x²  3x  2‬معرفة و متصلة على‬ ‫‪‬‬ ‫‪.  0,  ‬إذن الدالة ‪x‬‬ ‫الدالة ‪ x  x‬معرفة ومتصلة على‬ ‫‪.‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ x   x²  3x  2 ‬معرفة و متصلة على‬

‫‪. Dg ‬‬

‫اتصال مركبة دالتين متصلتين‪:‬‬ ‫‪ .11‬تذكير ‪:‬‬

‫‪f I‬‬ ‫‪ I ‬و‬ ‫‪f‬‬

‫‪g‬‬ ‫‪ J ‬و ‪f  I   J‬‬ ‫‪‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪g f : I ‬‬ ‫‪ f  I   J ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪ f  x  ‬‬ ‫‪ g f  x‬‬

‫‪Df ‬‬

‫‪Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/‬‬

‫األستاذ‪ :‬بنموسى محمد ثانوية‪ :‬عمر بن عبد العزيز المستوى‪ 2 :‬علوم رياضية‬ ‫الصفحة‬

‫درس رقم‬

‫درس النهايات و االتصال‬

‫‪ .11‬خاصية‪:‬‬ ‫لتكن ‪ f‬و ‪ g‬دالتين عدديتين‪.‬‬ ‫إذا كانت ‪ f‬متصلة على مجال ‪ I‬و ‪ g‬متصلة على مجال ‪ J‬حيث‪ f (I)  J :‬فإن الدالة ‪ g f‬متصلة على ‪. I‬‬ ‫‪.12‬مثال‪ :‬أدرس اتصال الدالة )‪. f (x)  sin(2x  1‬‬ ‫الدالة ‪ x  2x  1‬متصلة على ‪.‬‬ ‫و ‪. f   ‬إذن الدالة‪ x  sin  2x  1 :‬متصلة على‬ ‫الدالة ‪ x  sin x‬متصلة على‬

‫‪ ( .‬ال نها مركبة دالتين متصلتين )‬

‫‪.13‬نتائج‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ f  x   sin  ax  b ‬و ‪ g  x   cos  ax  b ‬دالتان متصلتان على‬

‫‪‬‬

‫الدالة ‪ h  x   tan  ax  b ‬متصلة في كل‬

‫‪‬‬

‫‪f‬‬

‫‪x‬‬

‫‪.‬‬

‫تحقق ما يلي ‪. ax  b    k‬‬

‫دالة موجبة و متصلة على المجال ‪ I‬فإن الدالة ‪f  x ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ x‬متصلة على ‪. I‬‬

‫الدالة العكسية لدالة متصلة و رتيبة على قطعا على مجال‪:‬‬ ‫‪ .11‬نشاط‪ f  x   x2 :‬على ‪I   0; ‬‬

‫‪ )1‬مبيانيا هل الدالة ‪ f‬متصلة و رتيبة قطعا على المجال ‪I   0; ‬‬ ‫‪ )2‬استنتج مبيانيا )‪ ( J  f (I‬أي صورة المجال ‪ I‬ب ‪.) f‬‬ ‫‪ )3‬هل لكل ‪ y‬من )‪ J  f (I‬له سابق وحيد ‪ c‬من ‪. I‬‬ ‫‪ )4‬استنتج طبيعة التطبيق ‪. f‬‬ ‫‪ )5‬لنعتبر المعادلة ‪ E : x  I  0,  / f(x)  y :‬‬ ‫استنتج عدد حلول المعادلة ‪.  E ‬‬

‫‪.12‬خاصية ‪‬‬ ‫‪ f‬دالة عددية متصلة و رتيبة قطعا على مجال ‪ I‬و ‪. y  f  I ‬‬ ‫‪‬‬

‫الدالة ‪ f‬هي تقابل من ‪ I‬إلى ‪. f  I ‬‬

‫‪‬‬

‫المعادلة ‪ x  I / f (x)  y :‬تقبل حل وحيد على ‪. I‬‬

‫‪.13‬برهان ‪:‬‬ ‫‪ ‬بما أن صورة مجال ‪ I‬بدالة متصلة ‪ f‬هو المجال ‪ f  I ‬إذن الدالة ‪ f‬شمولية من ‪ I‬نحو ‪. f  I ‬‬ ‫‪‬‬

‫نبين أن ‪ f‬تباينية من ‪ I‬نحو ‪. f  I ‬‬ ‫‪ ‬نفترض أن ‪ f‬تزايدية قطعا على ‪. I‬‬ ‫أي نبين ‪ . x, x'  I : f  x   f  x'  x  x' :‬أو أيضا ‪x, x'  I : x  x'  f  x   f  x' :‬‬

‫ليكن ‪ x‬و '‪ x‬من ‪ I‬حيث '‪ ( x  x‬أي '‪ x  x‬أو '‪f  x   f  x' . ) x  x‬‬ ‫حالة ‪x  x' : 1‬‬ ‫'‪ x  x‬إذن ‪ ( f  x   f  x'‬ألن ‪ f‬تزايدية قطعا على ‪) I‬‬ ‫إذن ‪. f  x   f  x'‬‬

‫حالة ‪x  x' : 2‬‬

‫‪Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/‬‬

‫األستاذ‪ :‬بنموسى محمد ثانوية‪ :‬عمر بن عبد العزيز المستوى‪ 2 :‬علوم رياضية‬ ‫درس النهايات و االتصال‬

‫الصفحة‬

‫درس رقم‬

‫'‪ x  x‬إذن ‪ ( f  x   f  x'‬ألن ‪ f‬تزايدية قطعا على ‪) I‬‬ ‫إذن ‪. f  x   f  x'‬‬ ‫خالصة ‪ x, x'  I : x  x'  f  x   f  x' :‬أي ‪ f f‬تباينية من ‪ I‬نحو ‪ f  I ‬حالة ‪ f‬تزايدية قطعا على ‪. I‬‬ ‫‪ ‬نفترض أن ‪ f‬تناقصية قطعا على ‪ . I‬بنفس الطريقة نبين أن ‪ f :‬تباينية من ‪ I‬نحو ‪. f  I ‬‬ ‫خالصة ‪ :‬الدالة ‪ f‬هي تقابل من ‪ I‬إلى ‪. f  I ‬‬ ‫‪ .14‬تعريف‪:‬‬ ‫‪ f‬تقابل من ‪ I‬إلى ‪ . J‬الدالة ‪ g‬المعرفة بما يلي‪:‬‬

‫‪g:JI‬‬ ‫‪y  g(y)  x‬‬ ‫مع ‪f (x)  y‬‬

‫تسمى الدالة العكسية للدالة ‪ f‬ونرمز لها‪g  f 1 :‬‬

‫‪ .15‬مالحظة‪:‬‬

‫)‪f : I  J=f(I‬‬

‫‪‬‬

‫الدالة ‪ f‬معرفة كما يلي‪:‬‬

‫‪‬‬

‫الدالة ‪ f 1‬معرفة كما يلي‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪f (x)  y ‬‬ ‫‪f 1 (y)  x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪xI ‬‬ ‫‪ yJ‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x  f (x)  y‬‬ ‫‪f 1 :J=f(I)  I‬‬ ‫‪(y)  x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪yf‬‬

‫‪1‬‬

‫‪. y  J : f f (y)  y . x  I : f‬‬

‫‪‬‬

‫‪f(x)  x‬‬

‫‪‬‬

‫ويمكن كتابة ‪ y  J : f f 1 (y)  y‬كذلك على الشكل التالي ‪x  J : f f 1 (x)  x :‬‬

‫‪ .16‬خاصيات الدالة العكسية‪ ( :‬تقبل )‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ f‬دالة عددية متصلة و رتيبة قطعا على مجال ‪ I‬و )‪ f . J  f (I‬الدالة العكسية ل ‪. f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .1‬الدالة ‪ f‬متصلة على المجال )‪ ( . J  f (I‬تقبل )‬ ‫‪1‬‬

‫‪ .2‬الدالة ‪ f‬رتيبة قطعا على المجال ‪ J‬و لها نفس رتابة ‪ f‬على ‪I‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  Cf  .3‬منحنى الدالة ‪ f‬و ‪  Cf ‬منحنى الدالة ‪ f‬متماثالن بالنسبة للمستقيم ‪  D ‬الذي معادلته ‪  D : y  x‬في معلم متعامد‬ ‫‪ 1‬‬

‫ممنظم ( المستقيم ‪  D ‬يسمى المنصف األول )‬

‫‪ .10‬مثال‪ :‬لنعتبر الدالة ‪f‬‬ ‫‪ )1‬أ – مبيانيا هل‬

‫المعرفة ب‪f (x)  x² :‬‬

‫‪ f‬متصلة على ‪‬‬

‫‪. I   0; ‬‬

‫ب ‪ -‬استنتج رتابة ‪ f‬على ‪. I‬‬ ‫ج ‪ -‬حدد ‪. J  f (I) :‬‬ ‫د – هل ‪ f‬تقبل دالة عكسية معرفة على مجال يجب تحديده‪.‬‬

‫‪Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/‬‬

‫األستاذ‪ :‬بنموسى محمد ثانوية‪ :‬عمر بن عبد العزيز المستوى‪ 2 :‬علوم رياضية‬ ‫الصفحة‬ ‫‪ )2‬حدد‪:‬‬

‫درس النهايات و االتصال‬ ‫‪1‬‬

‫‪  Cf  . f‬منحنى الدالة‬

‫‪ .f‬‬

‫‪ 1‬‬

‫‪  C‬منحنى الدالة ‪f 1‬‬ ‫‪f‬‬

‫درس رقم‬

Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/

‫ علوم رياضية‬2 :‫ عمر بن عبد العزيز المستوى‬:‫ بنموسى محمد ثانوية‬:‫األستاذ‬ ‫درس رقم‬

‫درس النهايات و االتصال‬

‫الصفحة‬

: ‫ مفردات‬.10 f 1 

: ‫ أو باختصار‬f 1 

2

:‫ و نرمز لها ب‬. 2 ‫ المحصل عليها تسمى كذلك الجذر من الرتبة‬f

1

‫الدالة العكسية‬

la fonction arctangente : ‫الدالة قوس الظل‬ : ‫ خاصية‬.11    ‫ إلى‬I    ,  ‫ تقابل من‬f  x   tan x ‫الدالة‬  2 2  arctan : ‫ العكسية تسمى الدالة قوس الظل ونرمز لها ب‬f 1 ‫دالتها‬ .J 

. f 1

f 1 :

    I   ,   2 2 : ‫لدينا‬ 1 x f  x   arctan x : ‫برهان‬.12

  

  

f ‫ إذن‬f '  x   1  tan2 x  0 ‫ إلن‬I    ,  ‫ و تزايدية قطعا على‬I    ,  ‫ متصلة على‬f  x   tan x ‫لدينا الدالة‬  2 2  2 2    ‫ إلى‬I    ,  ‫تقابل من‬  2 2

. lim tan x   ‫ و‬lim tan x   ‫ إلن‬f  I   x 

 2



x

 2



: ‫نتائج‬.13

    I   ,   2 2 : ‫لدينا‬ x f  x   arctan x



‫ هي‬f  x   arctan x ‫مجموعة تعريف الدالة‬



  < arctan x  2 2



. .

Df 

f:

. x  .

;-

‫ متصلة و تزايدية على‬f  x   arctanx ‫الدالة‬



. lim arctanx    ‫ و‬lim arctanx  



x 

2

x 

2

tan x  y

 arctany  x        x    ,  y   2 2 



; tan  arctan x   x



x 

 Cf 

   . x    ,  ; arctan  tan x   x  2 2 1 ‫ هو مماثل‬f  x   arctan x ‫ للدالة‬ Cf

 1

 ‫منحنى‬

‫ بالنسبة للمنصف األول في‬f  x   tan x ‫منحنى الدالة‬ . ‫معلم متعامد ممنظم‬

.)  D : y  x ‫ الذي معادلته‬ D  ‫( المنصف األول هو المستقيم‬



‫‪Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/‬‬

‫األستاذ‪ :‬بنموسى محمد ثانوية‪ :‬عمر بن عبد العزيز المستوى‪ 2 :‬علوم رياضية‬ ‫الصفحة‬

‫درس رقم‬

‫درس النهايات و االتصال‬

‫‪ .14‬تمرين تطبيقي ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. f 1‬‬ ‫أحسب ‪ f  0  :‬و ‪ f  2 ‬و ‪ f 1  3‬و ‪‬‬ ‫‪ 9  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪tan ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 4 ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫أحسب ‪ lim f  x  :‬و ‪. lim f  x ‬‬

‫‪ f  x   arctan‬حدد ‪Df‬‬

‫مجموعة تعريف ‪. f‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪x 1‬‬

‫‪x ‬‬

‫دالة الجذر من الرتبة ‪n‬‬ ‫‪ .11‬نشاط‪:‬‬

‫‪ . n ‬لنعتبر الدالة ‪ f(x)  x‬على المجال ‪. I   0; ‬‬ ‫‪n‬‬

‫*‬

‫بين أن الدالة ‪ f‬تقبل دالة عكسية ‪ f 1‬على المجال ‪ J‬حدده ‪.‬‬ ‫‪.12‬مفردات‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫الدالة العكسية ‪ f 1‬تسمى الدالة الجذر من الرتبة‬ ‫الدالة العكسية ‪ f 1‬يرمز لها ب‪. f 1  n :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪.‬‬

‫‪‬‬

‫نكتب‪ . f 1  x   n x :‬أو أيضا ‪x  x‬‬

‫‪‬‬

‫حالة ‪ n  1 :‬لدينا ‪( f 1  x   1 x  x‬حالة غير مهمة )‪.‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ x ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪f‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫حالة ‪ n  2 :‬لدينا ‪ ( . f 1  x   2 x  x 2  x‬الدالة تسمى باختصار الجذر المربع )‬ ‫حالة ‪ n  3 :‬لدينا‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪xx‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ x ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ ( . f‬الدالة تسمى باختصار الجذر المكعب أو الجذر الثالث )‪.‬‬

‫‪ .13‬تعريف وخاصية‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫عدد صحيح طبيعي غير منعدم‪.‬‬

‫‪ ‬الدالة ‪f(x)  x‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫متصلة و تزايدية قطعا على ‪. I   0; ‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ f‬تقابل من ‪ I‬إلى ‪ J  f  I    0, ‬و دالتها العكسية ‪ f‬تسمى الدالة الجذر من الرتبة‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫نكتب ‪. f 1  x   n x :‬أو أيضا‪x  x :‬‬

‫‪ ‬العدد‪a :‬‬

‫‪n‬‬

‫يسمى الجذر من الرتبة‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ x ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪f‬‬

‫للعدد الحقيقي الموجب ‪. a‬‬

‫‪ .14‬خاصية‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪00‬‬

‫‪n‬‬

‫; ‪1 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪.‬‬

‫‪x x‬‬

‫‪n n‬‬

‫و ‪x‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪n‬‬

‫; ‪. x  0‬‬

‫‪x  ‬‬

‫‪n‬‬

‫‪. lim‬‬

‫‪x ‬‬

‫و نرمز لها‪:‬‬

‫‪n‬‬

‫‪f 1 ‬‬

‫‪Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/‬‬

‫األستاذ‪ :‬بنموسى محمد ثانوية‪ :‬عمر بن عبد العزيز المستوى‪ 2 :‬علوم رياضية‬ ‫درس النهايات و االتصال‬

‫الصفحة‬

‫منحنى ‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 1‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪  Cf‬لدالة ‪ f 1  x   n x‬هو مماثل ‪  Cf ‬منحنى الدالة ‪ f  x   x‬بالنسبة للمنصف األول في معلم متعامد ممنظم‬

‫( المنصف األول هو المستقيم ‪  D ‬الذي معادلته ‪.)  D : y  x‬‬ ‫‪ .15‬نتائج‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪a  n b ab‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫‪a  n b ab‬‬

‫‪n‬‬

‫;‬ ‫;‬

‫‪‬‬

‫‪; b ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪; b ‬‬

‫‪. a ‬‬ ‫‪. a ‬‬

‫العمليات على الجذور من الرتبة ‪. n‬‬ ‫‪ .11‬خاصيات‪:‬‬ ‫‪ a0‬و ‪ b0‬و‬

‫‪n‬‬

‫و‬

‫‪‬‬

‫‪a  n b= n a  b‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫‪m‬‬

‫من ‪\ 1‬‬

‫‪.‬‬

‫; ‪  b  0‬و‬

‫‪nm m‬‬

‫‪a na‬‬

‫*‬

‫‪.‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪a  am a‬‬

‫و‬

‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪nm‬‬

‫‪n‬‬

‫;‬

‫‪ b  0‬‬

‫‪.‬‬

‫‪.12‬مثال ‪:‬‬ ‫بسط‪81  15 311 :‬‬

‫‪5 3‬‬

‫‪.‬‬

‫لدينا ‪81  15 311  35 81  15 311 :‬‬

‫‪5 3‬‬

‫‪ 15 34  311‬‬ ‫‪ 15 315  3‬‬ ‫خالصة ‪81  15 311  3 :‬‬

‫‪5 3‬‬

‫بعض خاصيات الدوال التي هي على شكل‪. g(x)  n f(x) :‬‬ ‫‪ .11‬خاصيات ‪ ( ‬تقبل )‬ ‫‪ f‬دالة عددية موجبة على مجال ‪. I‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫من ‪\ 1‬‬

‫*‬

‫‪.‬‬

‫إذا كانت ‪ f  x ‬متصلة على ‪ I‬فإن )‪ g(x)  n f(x‬متصلة على ‪. I‬‬

‫‪ ‬إذا كان ‪ lim f  x   l‬و ‪ l  0‬فإن ‪lim n f  x   n l :‬‬ ‫‪x x‬‬

‫‪x  x0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫درس رقم‬

‫إذا كان ‪ lim f  x   ‬فإن ‪. lim n f  x    :‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪x  x0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪ ‬تبقى الخاصيات صحيحة إذا كان ‪x  x0 ; x  x0 ; x   :‬‬ ‫‪.12‬تمرين تطبيقي ‪:‬‬

‫‪Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/‬‬

‫األستاذ‪ :‬بنموسى محمد ثانوية‪ :‬عمر بن عبد العزيز المستوى‪ 2 :‬علوم رياضية‬ ‫الصفحة‬

‫درس رقم‬

‫درس النهايات و االتصال‬

‫‪4‬‬ ‫لنعتبر الدالة ‪ f‬المعرفة ب‪. f(x)  x  1 :‬‬

‫‪ )1‬حدد ‪Df‬‬

‫مجموعة تعريف ‪. f‬‬

‫‪ )2‬أحسب‪f (1) ; f (15) ; f (0) :‬‬

‫‪ )3‬أحسب‪lim f (x) :‬‬

‫‪x ‬‬

‫القوى الجذرية لعدد حقيقي موجب قطعا‪:‬‬ ‫‪ .11‬نشاط‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ )1‬بين أن ‪   3  5  :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫جواب‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫لدينا ‪ 9 5  5 9 :‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪3 ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 32‬و ‪ 5 3  5 3  5 9‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪   3 5  ‬إذن ‪ 32  5    3 5 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪.12‬كتابة جديدة ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫من خالل ‪  32  5    3  5  :‬سنكتب‪   3  5   3 5 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪3 ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪.13‬خاصية ‪:‬‬ ‫ليكن‬

‫*‪‬‬

‫‪ a‬و‬

‫‪. r‬‬

‫*‬

‫إذا كان ‪ r  m  m' :‬مع‬ ‫'‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫و '‪ n‬من‬

‫‪n‬‬

‫‪ .15‬برهان ‪:‬‬ ‫لدينا ‪:‬‬

‫'‪ n amn‬‬

‫'‪n‬‬

‫و‬

‫*‬

‫فإن '‪am  n' am‬‬

‫و '‪ m‬من‬

‫‪m‬‬

‫‪n‬‬

‫‪.‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ m m' ‬‬ ‫‪ n am'n ;  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n n' ‬‬ ‫'‪ am‬‬ ‫ومنه ‪ am' :‬‬

‫'‪n‬‬

‫‪‬‬

‫خالصة ‪am  n' am' :‬‬

‫‪am‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫إذن ‪ n' am' :‬‬

‫'‪n‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪am‬‬

‫‪n‬‬

‫'‪n‬‬

‫ومنه ‪:‬‬

‫'‪m‬‬

‫‪a  a‬‬ ‫'‪n‬‬

‫‪m‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ .16‬تعريف ‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬

‫*‬

‫‪ ( r ‬مع‬

‫الكتابة ‪xm‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫*‬

‫‪ n‬و‬

‫‪ ) m‬و‬

‫‪m‬‬

‫نرمز لها ب ‪xm  x n :‬‬

‫‪ n xm‬‬

‫‪m‬‬

‫‪ x‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪m‬‬

‫‪n‬‬

‫‪. xr  x n ‬‬

‫*‪‬‬

‫‪. x‬‬

‫أو أيضا ب ‪xm  xr :‬‬

‫‪n‬‬

‫أما ‪ xr‬يسمى القوة الجذرية للعدد‬

‫‪x‬‬

‫ذات األس ‪. r‬‬

‫‪Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/‬‬

‫األستاذ‪ :‬بنموسى محمد ثانوية‪ :‬عمر بن عبد العزيز المستوى‪ 2 :‬علوم رياضية‬ ‫الصفحة‬

‫درس النهايات و االتصال‬

‫‪ .10‬أمثلة ‪:‬‬ ‫‪ )1‬مثال ‪ : 1‬أكتب على شكل ‪ xr‬ما يلي ‪:‬‬

‫‪11‬‬

‫‪ 7‬‬

‫‪8 5‬‬ ‫و ‪ 3‬و‬

‫‪9‬‬

‫‪11‬‬

‫‪ 21 ‬‬ ‫‪9‬‬

‫و ‪215‬‬

‫‪13‬‬

‫و‬

‫‪3‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ )2‬مثال ‪ : 2‬أكتب بطريقة أخرى األعداد التالية‪8; 5 11; 73 ; 4 35 ; 4 35 :‬‬ ‫‪ .10‬مالحظة‪:‬‬ ‫‪ ‬تعريف األس في‬

‫هو تمديد لتعريف األس في‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪ ‬لدينا ‪: a  n a1  n a :‬‬

‫*‬

‫درس رقم‬

‫‪32‬‬

‫‪ 3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪.‬‬

‫‪.‬‬

‫‪. a  0 , n ‬بمأن ‪0  0 :‬‬

‫‪n‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫يمكن أن نصطلح أن ‪. 0  0 :‬‬

‫‪1‬‬

‫الدالة ‪ f  x    x  2  3‬هي معرفة على ‪ Df  2, ‬يمكن تمديد الدالة ‪ f‬في ‪ x0  2‬بالدالة ‪ g‬في حيث‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ g  x   f  x    x  2  3  3 x  2 ; x>2‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪ g  x   0‬‬

‫‪ .10‬خاصيات القوى الجذرية ‪:‬‬ ‫‪x‬‬

‫*‪‬‬

‫و ‪ y‬من‬

‫و '‪ r‬و‬

‫‪r‬‬

‫‪‬‬

‫‪xr  0‬‬

‫‪‬‬

‫'‪x  x  r  r‬‬

‫‪‬‬

‫'‪r‬‬

‫'‪ r‬‬

‫من‬

‫*‬

‫‪ .‬لدينا ‪:‬‬

‫‪r‬‬

‫‪ xr  xr'  xr‬و ‪xr  y r   x  y ‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪r‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  x   x r‬و ‪ x = 1r‬و‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪‬‬

‫‪r‬‬

‫'‪r  r‬‬

‫‪x‬‬

‫'‪r‬‬

‫‪x ‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪xr‬‬ ‫و '‪ xr  r‬‬ ‫'‪r‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪ .11‬مثال‪ :‬بسط ما يلي‪.‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪  13    12   23 ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ 2    4    8  )1‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪)2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪7 7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪‬‬

‫‪3‬‬

‫‪. B‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  13    12   32 ‬‬ ‫‪ 1 2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪A   2    4    8    2   2    2    2   2    2    2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ 74‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪73‬‬

‫‪1‬‬

‫‪74‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪73  73‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪74‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪7  73‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪‬‬

‫‪7‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬