Zalihe Bela Pozadina

ZALIHE Definicija iz knjige prof. Vukićevića: ZALIHE SU SVE KOLIČINE MATERIJALA, ENERGIJE I INFORMACIJA KOJE SU ODREĐENO VREME ISKLJUČENE IZ PROCESA PROIZVODNJE ILI UPOTREBE (POTROŠNJE) A SA CILJEM DA SE U DATOM TRENUTKU UKAZANE POTREBE MOGU KORISTITI U praksi, na primer u fabrici, spektar potencijalnih zaliha je izuzetno širok: - od zaliha u vidu boce sa tečnim deterdžentom za pranje stakla kod čistačice do - kompleksnog miksa zaliha sirovina, poluproizvoda, međufaznih proizvoda, podsklopova ... koji se koriste kao delovi u proizvodnom procesu.

S OBZIROM NA ZNAČAJ, MESTO I EFEKTE KOJI NASTAJU NJIHOVIM FORMIRANJEM, ZALIHE SU IZUZETNA OBLAST INTERESOVANJA A SA CILJEM DA SE ISTRAŽE NJIHOVE ZAKONITOSTI I MOGUĆNOSTI UTICAJA NA NJIH OVO JE TAKOĐE POSLEDICA ČINJENICE DA SU ONE PRAKTIČNO PRISUTNE U SVIM LJUDSKIM DELATNOSTIMA (OD DOMAĆINSTVA, TRGOVINE, USLUGA, PROIZVODNJE U FABRIKAMA, ... ) ČESTO SE U PRAKSI ZABORAVLJA ILI NEDOVOLJNO RESPEKTUJE ČINJENICA DA ZALIHE KOŠTAJU!

Moguća mesta formiranja zaliha u potencijalnom lancu snabdevanja zalihe sirovina

zalihe u proizvodnji

zalihe gotovih proizvoda kod proizvođača zalihe gotovih proizvoda izvan proizvodnog kompleksa

zalihe snabdevača

zalihe potrošača

zalihe maloprodaje

otpad i preuzeti proizvodi

odlaganje otpada

prerada ili prepakivanje proizvoda

kompanijski ili angažovani DC, javna skladišta velikoprodaje, DC maloprodaje ili otprema direktno do maloprodajnog mesta

osnovni logistički tok povratni logistički tok

U PRIRODI SE SREĆU ZALIHE KOJE SU - BEZ UTICAJA ČOVEKA - SA UTICAJEM ČOVEKA

ULAZ

ZALIHE

IZLAZ

- MOŽE DA SE UTIČE

- MOŽE DA SE UTIČE

- NE MOŽE DA SE UTIČE

- NE MOŽE DA SE UTIČE

PODELA ZALIHA Postoji veliki broj podela – klasifikacija zaliha Na primer, po mestu i ulozi (jedna od podela): - kalkulativne zalihe - zaštitne zalihe - anticipativne zalihe - špekulativne zalihe Mogu da se formiraju kao: - zalihe u prometu - zalihe otpadnih materija, otpisanih materija ...

Muller, Max: Essentials of inventory management

tačke duž kanala distribucije gde su potrebne zalihe

Snabdevači

Obezbeđuju vreme da se pripremi narudžbenica, otpremi narudžbenica, kontroliše vreme i vrsta isporuke. Štite od nesigurnog vremena isporuke

Nabavka (kupovina)

Nabavka (kupovina)

Obezbeđuju vreme za planiranje i proizvodnju jedinica dok je nabavka u interakciji sa snabdevačem. Obezbeđuju slučajeve prekida i omogućava kontinualni tok.

Proizvodnja

Proizvodnja

Obezbeđuju službi plasmana prodaju proizvoda dok proizvodnja izrađuje proizvode za buduću prodaju

Marketing (plasman)

Marketing (plasman)

Obezbeđuju da plasirani proizvodi predaju distribuciji. Momentalno zadovoljenje klijenata

Distribucija

Distribucija

Nude isporuku jedinica posrednicima ka potrošaču / krajnjem korisniku

Posrednik (npr UPS, drumski, železnički ... prevoznik)

Posrednik (npr UPS, drumski, železnički ... prevoznik)

Zadovoljenje potrošača / krajnjeg korisnika sa proizvodom dok on čeka na isporuku od posrednika

Potrošač / krajnji korisnik

Imajući prethodno u vidu, jasan je značaj zalilha. Troškovi (ali i druge posledice), koje nastaju postojanjem ili nedostatkom zaliha, generišu zahtev da

zalihe budu na željenom nivou Ovaj cilj je nametnuo istraživanje mogućnosti

optimizacije zaliha Problem optimizacije zaliha su prvo rešavali inženjeri u proizvodnji, a vremenom je rešavanje problema optimizacije zaliha, zbog velike kompleksnosti i značaja, preraslo u posebnu granu operacionih istraživanja

ODREĐIVANJE ŽELJENOG STANJA ZALIHA Optimizacija zaliha zahteva poznavanje funkcionisanja poslovnog sistema u kome se istražuju problemi zaliha i njegove veze sa okruženjem (tokovi materijala i informacija). Na zalihe u proizvodnji i / ili trgovini utiče niz faktora koji mogu biti od značaja za određivanje optimalnog (željenog) stanja zaliha. Ovi faktori se mogu grupisati / klasifikovati na više načina, različiti su po prirodi, a najčešći su: • vrste zaliha i njihova struktura, • fizička i hemijska svojstva zaliha, • sistem snabdevanja i potrošnje (plasmana), • potrošnja (plasman) zaliha, • popunjavanje zaliha (snabdevanje), • funkcija troškova nastalih postojanjem zaliha, • funkcija troškova nastalih odsustvom zaliha, • strategija upravljanja (zalihama), • sistem kontrole, • ograničenja.

STRUKTURA ZALIHA I VRSTE ZALIHA Struktura zaliha definiše sve artikle od kojih se formiraju zalihe kao i veze koje postoje između artikala u okviru zaliha (artikli mogu da budu apsolutno ili relativno izmenljivi, da se isključuju...) Vrste zalihe (prema nameni u toku roba – novac – roba) su tipično: • zalihe reprodukcionog materijala (sirovine, poluproizvodi, ...), • zalihe gotovih proizvoda, • zalihe nedovršene proizvodnje, • zalihe alata i sredstava za rad, • zalihe delova i materijala za tehničko održavanje i tekuće opravke sredstava za rad, • zalihe materijala za održavanje čistoće, zaštitu na radu, protivpožarnu zaštitu, kancelarijske poslove, itd.

FIZIČKE I HEMIJSKE OSOBINE ZALIHA Oblik, specifična težina, spectfična zapremina, mogući izvori opasnosti vezani sa skladištenjem, specijalni zahtevi u odnosu na uslove čuvanja, kao što su temperatura, prisustvo ili odsustvo vazduha, vlažnost vazduha, pritisak, itd, i sve druge, za odredene artikle relevantne osobine, moraju biti poznate projektantima za svaki artikal posebno, da bi se izbegle neželjene posledice. One se u matematičkim modelima koji odreduju željeno stanje sistema zaliha pojavljuju kao limitirajući faktori koji limitiraju različite veličine. Rok trajanja (mogućnost upotrebe), na primer, limitira dužinu izmedu dva susedna popunjavanja zalihe, a time praktično i nivo nabavke, pokvarljivost robe u zavisnosti od temperature određuje način skladištenja, itd.

SISTEM SNABDEVANJA I POTROŠNJE (PLASMANA) Sistem snabdevanja i potrošnje (plasmana) ima takvo mesto da se jednim svojim delom ponaša kao podsistem sistema zaliha u preduzeću, a drugim delom izlazi iz preduzeća u okruženje. Da bi se sopstveni sistem na najbolji mogući način uklopio u okruženje, moraju se sagledati sva mesta, sa svim svojim važnijim karakteristikama, koja mogu biti isporučioci ili potrošači za svaki artikal posebno, a takođe i ostvarene i moguće veze između njih. U odnosu na broj punktova gde je moguće prisustvo jednog artikla i na veze između njih, postoji niz različitih oblika povezanosti, od kojih se, ilustracije radi, mogu kao karakteristični uočiti sledeći:

a - artikal se proizvodi na više mesta, odakle, preko velikog broja punktova, ide u krajnju potrošnju. Ovaj oblik povezanosti ne isključuje i mogućnost postojanja veza izmedu ovih punktova, a time i toka artikala iz jednog u drugi pre krajnje potrošnje

Skladište gotovih proizvoda kod proizvođaća Skladište trgovinskog preduzeća Krajnja potrošnja

..........

Slobodan izbor višeg nivoa snabdevanja

b - artikal se proizvodi na jednom mestu, odakle, preko velikog broja punktova, ide u krajnju potrošnju. Ovaj oblik povezanosti može isključivati mogućnost postojanja veze izmedu punktova pre krajnje potrošnje, a takode može uslovljavati svakom krajnjem potrošaču mesto snabdevanja Skladište gotovih proizvoda kod proizvođaća Skladište trgovinskog preduzeća Krajnja potrošnja

Određen viši nivo snabdevanja

c - artikal se proizvodi na jednom mestu, odakle se može kretati samo od punkta višeg nivoa u pravcu punkta nižeg nivoa, sve do krajnje potrošnje, kojom prilikom se samo krajnjem potrošaču ne uslovljava mesto snabdevanja

Skladište gotovih proizvoda kod proizvođaća Skladište trgovinskog preduzeća Krajnja potrošnja

Određen viši nivo snabdevanja do trećeg nivoa, dalje slobodan izbor snabdevanja

POTROŠNJA (PLASMAN) ZALIHA Više je nego očigledno od kakvog je značaja potrošnja kao tehnoekonomska karakteristika zaliha za željeno stanje zaliha. U različitim preduzećima, za različite artikle i različite uslove, potrošnja može imati različita obeležja. Ona može biti: • kontinualna ili diskontinualna, • konstantna ili promenljiva, • deterministička ili stohastička, • stacionarna ili nestacionarna, • sa ograničenjem ili bez ograničenja, • zavisna ili nezavisna u odnosu na potrošnju drugih artikala, njihov broj u upotrebi, godišnje doba, dan u nedelji, itd. Kao stohastička, potrošnja može biti: • sa poznatim zakonom raspodele verovatnoće, • sa nepoznatim zakonom raspodele verovatnoće.

POPUNJAVANJE ZALIHA (SNABDEVANJE) U principu, za popunjavanje zaliha, u odnosu na različit karakter koji može imati, važi sve što je rečeno i za potrošnju. Ovo se može prihvatiti samo uz napomenu da je kod popunjavanja zaliha u odnosu na potrošnju najčešće potencirana: • diskontinualnost u odnosu na kontinualnost (kakav je najčešće slučaj sa trgovinom), • determinističnost u odnosu na stohastičnost, • prisutnost ograničenja, • mogućnost odlučujućeg uticaja samog preduzeća. U većini slučajeva moguće je ostvariti odlučujući uticaj na popunjavanje zaliha u preduzeću, te popunjavanje kao karakteristika zaliha najčešće predstavlja, bar što se tiče kvantitativnih obeležja, izlaznu veličinu iz matematičkog modela kojim se optimizira upravljanje zalihama.

z(t) – nivo zaliha

popunjavanje zaliha potrošnja zaliha

t

Jedan dijagram promene stanja (nivoa) zaliha jednog artikla u funkciji njihovog popunjavanja i potrošnje u vremenu

FUNKCIJA TROŠKOVA NASTALIH POSTOJANJEM ZALIHA Izdvajanje i skladištenje ovih materijalnih dobara košta preko različitih vrsta troškova, kao što su troškovi: • vezivanja odgovarajućih novčanih sredstava, • skladištenja, • osiguranja, • nabavke, • plasmana, • kontrole, • kvara, loma, otuđenja • pojave nekurentne robe, itd. Za ocenu opravdanosti formiranja zaliha i kasnijeg celishodnog upravljanja njima, potrebno je poznavanje svakog od troškova koji se javljaju postojanjem zaliha, a u zavisnosti od promenljivih od kojih isti zavisi.

FUNKCIJA TROŠKOVA NASTALIH ODSUSTVOM ZALIHA Ovi troškovi mogu biti iskazani kao: - marginalni troškovi za dodatnu proizvodnju, ili specijalnu hitnu nabavku u špicu zahteva, - troškovi stajanja linija proizvodnih procesa, - izgubljena razlika u ceni i gubitak ugleda kod kllijenata pri čemu su to samo neki od uobičajenih troškova nastalih odsustvom zaliha. Ovi troškovi se javljaju u širem spektru vrsta, oblika, načina nastajanja i kvantiteta, pa se može desiti da se i pored izuzetne pažnje pri definisanju funkcije troškova njihovim nepogodnim izborom ostvari loše upravljanje zalihama.

STRATEGIJE UPRAVLJANJA ZALIHAMA Strategija upravljanja zalihama je jedna od tehnoekonomskih karakteristika zaliha, što uslovljava potrebu za stalnim prisustvom povratne sprege između izabrane strategije upravljanja i samog upravljanja zalihama. U praksi, moguće je da u različitim sredinama sa praktično istim problemima vezanim za zalihe, postoje izrazito različite strategije upravljanja zalihama, bilo iz subjektivnih i/ili objektivnih razloga. Vrlo važan deo strategije upravljanja predstavlja izbor veličina preko kojih će se upravljati zalihama, a to su najčešće:

• (q*, r*n ) -

količina koja se nabavlja i nivo zaliha pri kome se naručuje,

• (q*, W*) -

količina koja se nabavlja i vreme između dve susedne nabavke,

• (M*, r*n ) -

maksimalno dozvoljena količina zaliha i nivo zaliha pri kome se naručuje,

• (M*, W*) -

maksimalno dozvoljena količina zalihe i vreme između dve susedne nabavke,

• (q*, Y) -

količina koja se nabavlja uz poznat rok isporuke (Y) za statičke modele,

• (q*, R*n ,W*p), (M*,R*n ,W*p ) - gde veličina (Wp) predstavlja vreme izmedu dve susedne provere stanja zaliha (sistem sa periodičnom proverom). • ....

STRATEGIJA (q*, r*n) Ova strategija upravljanja zalihama javlja se kod onih preduzeća koja robu naručuju uz poznat rok isporuke. Činjenica da se zalihama upravlja i preko (rn) čini ovu strategiju vrlo pogodnom za upravljanje zalihama u uslovima stohastičke potrošnje, jer je zaštitna zaliha uvek nivo količine pri kojoj se artikal naručuje. U ovoj strategiji preduzeće upravlja zalihama preko dva parametra: q - količina koja se nabavlja u jednoj isporuci, i rn - nivo zalihe pri kome se naručuje, a koji sa određenom verovatnoćom treba da obezbedi prisustvo zaliha i zadovoljenje potrošnje do pristizanja naručene količine.

Strategija (q, rn) je prihvatljiva kako za isporučioca, tako i za kupca robe. Isporučilac ima zahtev - da isporuči ugovorenu količinu u roku koji je sam ponudio, a kupac ima zahev - da nivoom zaliha pri naručivanju, koji je sam optimizirao, obezbeđuje snabdevenost tokom roka isporuke. popunjavanje zaliha potrošnja zaliha

z(t) – nivo zaliha M = q*+ r*n

M = max. nivo zaliha

q* q* q*

q*

r*n Početno stanje

t vreme isporuke

vreme isporuke

vreme isporuke

U ovoje strategiji je neizvesna (slučajna) potrošnja nakon naručivanja, odnosno tokom zadatog vremena isporuke. Hipotetička su različita stanja intenziteta potrošnje posle naručivanja, a dva ekstremna slučaja iz spektra mogućih stanja su prikazana na narednom dijagramu popunjavanje zaliha z(t) – nivo zaliha

potrošnja zaliha M = q*+ r*n M = max. nivo zaliha

q*

q*

*

q

q* r*n Početno stanje

t vreme isporuke

vreme isporuke

vreme isporuke

STRATEGIJA (q*,W*) U strategiji (q, W) preduzeće upravlja zalihama preko dva fiksna parametra: q - količine koja se nabavlja, i W - intervala između dve susedne nabavke. Strategija (q, W) se najčešće sreće kod velikih proizvođača kada su oni u stanju da je nametnu svojim kupcima (krajnjoj potrošnji i veletrgovini). Ova strategija za proizvođača znači da mu je plan proizvodnje i plan otpreme praktično poznat (deterministički) za celu godinu. Zna se tačno, unapred, kada će svaki kupac doći po robu, koju robu i koliko robe će preuzeti, uz obavezu plaćanja.

Strategija (q, W) za kupca može biti prihvatljiva samo ukoliko i on sam ima determinističku potrošnju potpuno sinhronizovanu sa planom nabavke koji je usaglašen sa isporučiocem. Svako prisustvo stohastike potrošnje čini ovu strategiju za kupca vrlo opasnom i u uslovima stohastičke potrošnje ova strategija ne sme da se prihvati.

M = max. nivo zaliha

popunjavanje zaliha potrošnja zaliha

M = nepoznato

z q* q*

q*

*

q

q*

W

W

W

W

t

STRATEGIJA (M, r*n) U strategiji (M, rn) preduzeće upravlja zalihama preko dva parametra: M - maksimalno dozvoljena količina zaliha i rn- nivo zaliha pri kome se naručuje. Strategija (M, rn) se najčešće sreće u situaciji kada - kupac nabavlja robu uz definisan rok isporuke, a - ima stohastičku potrošnju i strogo određen kapacitet skladišta, pri čemu je važno da mu prispela roba uvek napuni skladište.

U strategiji (M, rn) osnovna teškoća je što kupac zna količinu robe koju može prihvatiti tek u trenutku kada je rok isporuke prošao, odnosno, kada se roba isporučuje. Jasno je da se u ovom slučaju u trenutku ugovaranja isporuke ugovara samo orijentaciona količina, što predstavlja određenu teškoću za prodavca i njegovo planiranje

popunjavanje zaliha potrošnja zaliha

z – nivo zaliha M = maksimalni nivo zaliha

M

r*n Početno stanje

t vreme isporuke

vreme isporuke

vreme isporuke

vreme isporuke

STRATEGIJA (M*,W*) U strategiji (M, W) preduzeće upravlja zalihama preko dva parametra: M - maksimalno dozvoljena količina zalihe, i W - vreme između dve susedne nabavke. Strategija (M,W) je uobičajena u situacijama kada želi da se obezbedi determinističnost (red vožnje) transportnih procesa, pri čemu jedinica spoljnog transporta izvršava veći broj narudžbina na određenoj ruti kretanja. U ovoj strategiji kupcu se može desiti da kod intenzivne potrošnje ostane jedan period (do proteka vremena W) bez potrebnih zaliha, a prodavcu se može desiti da doveze robu do kupca a da mu pri tome isporuči izrazito malu količinu robe.

Strategija (M, W) se često koristi prilikom punjenja rezervoara sa tečnim gorivom više kupaca koje realizuje ista jedinica spoljnog transporta (isporuka količine goriva brodskim sastavom za više rezervoara na raznim lokacijama u jednoj ruti, punjenje cisterni za gorivo za grejanje zgrada takođe u jednoj ruti).

popunjavanje zaliha potrošnja zaliha Z - nivo zaliha M = maksimalni nivo zaliha M

W

W

W

W

t

SISTEM KONTROLE Sistem kontrole je svojim najvećim delom obuhvaćen strategijom upravljanja zalihama, a izdvojen je u posebnu tehnoekonomsku karakteristiku iz razloga što predstavlja jasno izraženu celinu sa posebnom ulogom koju obavlja. To je posledica da on u svakom sistemu zaliha mora biti apsolutno definisan, bilo kao veličina koja ulazi u postupak optimizacije, bilo kao veličina koja izlazi iz njega. Inače, sistem kontrole definiše šta se sve kontroliše, na koji način i kada. U odnosu na to kada se kontrola obavlja, sistem kontrole može biti: • sa operativnom (stalnom) informacijom, koji u svakom trenutku omogućava korišćenje potrebnih informacija, • sa periodičnom proverom koji omogućava korišćenje potrebnih informacija samo u određenim trenucima vremena.

MATEMATIČKI MODELI KOJIMA SE ODREĐUJE ŽELJENO STANJE ZALIHA

U svetskoj literaturi, kada se vrši osnovna klasifikacija matematičkog modeliranja problema zaliha, ne sreće se podela prema onome što se optimizira, već najčešće prema karakteru popunjavanja kao tehnoekonomske karakteristike zaliha. Shodno ovome, neki autori radova iz oblasti zaliha, matematičke modele za upravljanje zalihama dele na statičke i dinamičke.

STATIČKI MODELI ZALIHA Statički modeli za optimizaciju zaliha se primenjuju u slučajevima kada se rešavaju problemi zaliha koje se mogu trošiti u konačnom vremenskom intervalu uz samo jedno jedino popunjavanje, kojom se prilikom zaliha i formira. Za sve vrste zaliha sa determinističkim karakteristikama ovi modeli su jednostavni, te se naučno i ne istražuju. Oni postaju dosta interesantniji kada je neka od tehnoekonomskih karakteristika slučajno promenljiva, a najčešće je to potrošnja. To rezultira da se u literaturi obično sreću statički modeli upravljanja zalihama sa stohastičkom potrošnjom.

STATIČKI MODELI ZALIHA Svakodnevno, pred zadatkom koji se može rešavati preko ove vrste matematičkih modela, nalaze se odgovorni u: ► novinsko - izdavačkom preduzeću, kada odlučuju koliki tiraž da se odredi sledećem izdanju novina, ► u trgovinskom preduzeću, kada se odlučuju za nabavku robe koja je u modi, ili pak robe za određenu sezonu, ► u pekari, kada odlučuju koliko hleba da se ispeče, itd.

STATIČKI MODELI ZALIHA

OPŠTI MODEL UPRAVLJANJA ZALIHAMA U JEDNOM PERIODU SA KONSTANTNIM TROŠKOVIMA PO JEDINICI ZALIHE Prvi problem koji je obrađen statičkim modelom sa stohastičnom potrošnjom poznat je pod nazivom "problem novogodišnje jelke". (Ranije je već pomenut i tretira optimizaciju zaliha koje imaju stohastičku potrošnju u konačnom vremenskom intervalu sa jednim popunjavanjem, a uz konstantne i poznate jedinične troškove koji nastaju postojanjem i odsustvom zaliha).

"Zadatak novogodišnje jelke" se može formulisati na sledeći način: Prodavac može dobiti naručenu količinu novogodišnjih jelki određeno vreme pred Novu godinu, posle čega je svaka isporuka od strane dobavljača isključena. Pri tome su: Cn [din/jed] - nabavna cena jelke, Cp [din/jed] - prodajna cena jelke, J [din/jed] - vrednost neprodate jelke posle novogodišnjih praznika. Prethodnih godina nije uočena pojava trenda, a statističkim putem konstatovana je raspodela verovatnoća broja prodatih jelki - P(x)

"Zadatak novogodišnje jelke"

p(x)

x xm

Raspodela relativnih frekvencija broja prodatih jelki F(x) 1 F(xm)

x xm

Funkcija raspodele (kumulanta)

Postavlja se pitanje koliko prodavac treba da nabavi novogodišnjih jelki (xm), jer ako nabavi manje nego što bi mogao da proda, ostvaruje manju razliku u ceni; ako, pak, nabavi više nego što može da proda, stvara dodatne troškove pokrivanjem dela nabavne vrednosti neprodatih jelki. Rešenje se traži preko funkcije zarade i njenog maksimuma. Neka je prodavac odlučio da nabavi (xm) jelki.

"Zadatak novogodišnje jelke" Uočava se da se prodavac jelki može naći u dve situacije: 1. da je naručio više jelki nego što će moći da proda (xm > x) 2. da je naručio manje ili jednako jelki u odnosu na količinu koju je mogao da proda (xm ≤ x) U prvoj situaciji (xm > x) prodavac može očekivati sledeći prihod (V1): xm

xm

o

o

V 1 = C p ⋅ ∫ x ⋅ f ( x) dx + J ⋅ ∫ ( x m − x) ⋅ f ( x) dx, U drugoj situaciji (xm ≤ x) prodavac može očekivati prihod (V2): ∞

V 2 = C p ⋅ xm ⋅

∫ f ( x)dx

xm

ali će pri tome imati i izgubljenu zaradu koju je mogao ostvariti da je kupio više jelki. Neostvarena zarada uvek ima karakter troška i iznosi (T1): ∞

T1 = ( C p − C n ) ⋅ ∫ ( x − x m ) ⋅ f ( x)dx, xm

Za obe ove situacije prodavac ima trošak (T2) za nabavku (xm) jelki koji iznosi: T2 = Cn ⋅ xm

"Zadatak novogodišnje jelke"

Iz izloženog se može zaključiti da prodavac koji se odlučio za nabavku (xm) jelki može očekivati zaradu: V = V1 + V2 - T1 - T2 xm

V( x m ) = Cp ⋅

xm

∫ x ⋅ f ( x)dx + J ⋅ ∫ ( x 0

∞

m

− x ) ⋅ f ( x )dx +Cp ⋅ x m ⋅

∫ f ( x)dx −

xm

0

∞

∫

− (Cp − Cn ) ( x − x m )f ( x )dx − Cn ⋅ x m xm

Nakon uređivanja V (xm), diferenciranja po xm i izjednačavanja izvoda sa nulom dobija se relacija: 2 ⋅ (Cp - Cn ) F(x ∗m ) = 2Cp - Cn - J

dakle, ne eksplicitna vrednost x*m već vrednost verovatnoće sa kojom iz raspodele verovatnoća treba odrediti traženo xm

F(x) 1 F(xm)

x xm

DINAMIČKI MODELI ZALIHA Dinamički modeli upravljanja zalihama primenjuju se kod rešavanja problema zaliha koje se obnavljaju u vremenu. U zavisnosti od karaktera osnovnih karakteristika zaliha kojima želi da se upravlja, ovi modeli mogu biti veoma raznovrsni. Međutim, bez obzira na ovu raznovrsnost, obično im je zajednička osobina da se kroz njih, a u svrhu iznalaženja željenog stanja zaliha, traže optimalna rešenja za: maksimalni nivo zaliha do koga ih treba popunjavati

M [jed.]

vreme između dva uzastopna popunjavanja zalihe

W [dan]

nivo zalihe pri kome se naručuje

rn [jed.]

veličinu jedne narudžbine

q [jed]

q

q=M

rn W

t

OSNOVNI MODEL ZALIHA KOJE SE OBNAVLJAJU U VREMENU, A IMAJU KONSTANTNU POTROŠNJU Postavlja se pitanje kolika je najpovoljnija veličina nabavke, koliko često tokom posmatranog perioda. Teoretski, moguće je beskonačno mnogo rešenja: z

t

OSNOVNI MODEL ZALIHA KOJE SE OBNAVLJAJU U VREMENU, A IMAJU KONSTANTNU POTROŠNJU Postavljanje ovog modela, a u svrhu iznalaženja optimalnog nivoa zalihe koja se obnavlja u vremenu, izvršio je 1915. godine Ford Haris, uz sledeće pretpostavke: S [jed.] - potrošnja koja je konstantna za jedan širi period (obično je to godina dana), q [jed.] - proizvoljna veličina jedne nabavke, N [din] - troškovi jedne nabavke, C [din/jed.] - cena jedinice zalihe, P [bez dim.] - koeficijent proporcionalnosti troškova sa vrednošću zaliha, mogućnosti izvora snabdevanja su neograničene u odnosu na naručenu količinu i izvršenje isporuke te količine je neposredno nakon narudžbine, ne postoje nikakva ograničenja u samom sistemu zaliha.

Nabavkom veće količine određenog artikla smanjuje se broj nabavki u vremenskom periodu koji se posmatra, a time se smanjuju i ukupni troškovi nabavke (telefonski razgovori, administracija, itd.). Međutim, nabavkom većih količina povećava se i srednji nivo zalihe, što ima za posledicu porast troškova skladištenja, vezanih sredstava, itd. da bi se našla optimalna veličina jedne nabavke (q), bilo je potrebno postaviti funkciju ukupnih troškova za zadati period u zavisnosti od veličine q:

dT S⋅ N C ⋅ P =− 2 + =0 2 dq q

q∗ =

z

t

T=

S C⋅q ⋅N + ⋅ P [din] q 2

T

2 ⋅ S⋅ N C⋅P

Ovaj izlazni rezultat iz razmatranog matematičkog modela poznat je u literaturi kao "Wilsonova formula".

T=

q*

C⋅q S ⋅N + ⋅P q 2

q

OGRANIČENJA Često se dešava da se izlazni rezultati i iz najbolje postavljenih matematičkih modela praktično ne mogu koristiti, jer su van realnih mogućnosti preduzeća za koje se rešavaju problemi zaliha. Ukoliko se pak ovako dobijeni izlazni rezultati ograniče stvarnim mogućnostima po završenom proračunu, vrlo verovatno će se desiti da oni više ne budu optimalni u odnosu na ta ograničenja. Zato je neophodno sva ograničenja uočiti i definisati pre matematičkog modeliranja konkretnog problema vezanog za optimizaciju zaliha, da bi ona, ako je to potrebno, mogla biti na adekvatan način obuhvaćena matematičkim modelom. U različitim uslovima optimizacije zaliha ograničenja mogu imati različit karakter, kao na primer, ograničenje: • po mogućem angažovanju novčanih sredstava u zalihama, • po raspoloživom skladišnom prostoru (m2 ili m3), • po maksimalnoj težini, • po maksimalnom vremenu trajanja, • po maksimalnom broju narudžbina u određenom vremenskom periodu, • po maksimalno dozvoljenoj verovatnoći odsustva zalihe, itd. Svaka narudžbina takođe može biti ograničena novčanim sredstvima, mogućnostima isporučioca, težinom, zapreminom, rokom ispomke, itd. Značaj ograničenja je toliko veliki da nije redak slučaj da njihovo uvođenje menja i suštinu postavljenog zadatka pri određivanju željenog stanja zaliha (kriterijuma optimizacije).