Unidad Razones Y Proporciones

MATEMATICA UNIDAD : RAZONES Y PROPORCIONES

Contenidos:  Razón y proporción.  Calculo del término desconocido de una proporción.  Magnitudes directamente proporcionales.  Magnitudes inversamente proporcionales  Problemas referentes a porcentajes, usando proporciones precio de compra, precio de venta.  Problemas prácticos de interés simple

RAZ ON Es la relación que se establece entre dos cantidades de la misma especie, considerando, al compararlas, qué múltiplo, parte o partes, es una cantidad de la otra.

A:B

La razón de A a B se expresa usualmente como o A B y se lee como A es a B.

Las cantidades A y B se llaman términos de la razón. Al primer termino se le llama antecedente y al segundo consecuente. Para encontrar qué múltiplo o parte es A de B, dividimos A por B; por consiguiente, la razón A : B puede ser medida por la fracción A/B, notación que es más conveniente usar en la mayoría de los casos. Para que dos cantidades se puedan comparar deben estar expresadas en la misma unidad. Así la razón de 2 m a 15 dm, se mide por la fracción 2x10 /15; o sea, 4/3.

PROPORCION Una proporción es una igualdad entre dos razones. Se escribe de la forma:

Partiendo de la regla anterior en el caso de alguno de los términos de la proporción no se tengan, se aplica la regla para obtenerlos. Para comprobar si una proporción es verdadera se aplica producto cruzado

Ejemplo: 3 = 12 3 x 16 = 4 x 12 4 16 48 = 48 La proporción sí es verdadera

PRO POR CIO N DI RECT A  Dos variables x e y son directamente proporcionales si su razón x/y es constante. En este caso se dice que las variables x e y son directamente proporcionales.  Dicho de otra manera si una de las variables aumenta (x), la otra también aumenta (y); y si una de las variables disminuye (x), la otra también disminuye (y).

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Nº MANZANAS (N) PRECIO

P N

=

500 1

=

(P)

1 000 2

=

1 500

1 500 3 P N

2

1 000

=

= k

3

1 500

2 000 4

=

4

2 000

3 000 6

6

3 000

= 500 = k

P= k N

Dos magnitudes son directamente proporcionales, si están ligadas por un cociente constante.

 Regla de tres

simple

directa

Dadas dos magnitudes, se conocen la equivalencia entre un valor de una y el valor de la otra. Entonces para cada nuevo valor que se de a una magnitud calculamos el valor proporcional de la segunda magnitud

 Regla de tres simple directa

EJ EMPL O

Eje mp lo En una receta se incluyen tres huevos por cada 12 personas. ¿Cuántos huevos se necesitarán si se desea preparar la receta para 20 personas? Proporción: 12 = 3 20 X X = 20 x 3 12 X=5

Por lo tanto, una receta para 20 personas necesita 5 huevos huevos

personas

AL GUNO S EJ ER CIC IO S PAR A PR ACTI CAR 

Tres metros de género valen $ 800. ¿Cuánto valen ocho metros del mismo género?



Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. ¿Qué distancia recorre en 52 segundos, si mantiene su rapidez constante?

AL GUNO S EJ ER CIC IO S PAR A PR ACTI CAR 

Seis operarios cavan en 1 día una zanja de 80 metros de longitud. ¿Cuántos metros cavarán, en un día, 42 operarios trabajando las mismas condiciones?



Teresa trabajó 3 horas y ganó $ 8.100. A esa razón, ¿cuánto tiempo le tomará ganar $ 27.000?

PROPORCION INVERSA Dos magnitudes son inversamente proporcionales si:  Al aumentar una de ellas en una cierta cantidad de veces, la otra disminuye en la misma proporción  Al disminuir una de ellas una cierta cantidad de veces, la otra aumenta en la misma proporción. Si dos magnitudes son inversamente proporcionales:  El producto entre las variables es constante, x · y=k  Su gráfico está constituido por puntos de una curva llamada hipérbola. Ésta no intersecta los ejes coordenados, solo se acerca a ellos

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

÷2 VELOCIDAD (V) TIEMPO

(t)

120 1

÷3

÷4

÷6

60 2

40 3

30 4

X3

x4

x2

x6

20 6

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES VELOCIDAD (V) TIEMPO

(t)

120 1

60 2

40 3

30 4

20 6

V · t = (120)(1) = (60)(2) = (40)(3) = (30)(4) = (20)(6) = 120 = k

V·t= k

V

=

k t

Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si están ligadas por un producto constante.

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES 120 1

VELOCIDAD (V) TIEMPO

(t)

60 2

40 3

30 4

20 6

120 100 80 60 40 20

1

2

3

4

5

6



Regla de tres simple inversa

Dadas dos magnitudes, se conocen la equivalencia entre un valor de una y el valor de la otra. Entonces para cada nuevo valor que se de a una magnitud calculamos el valor proporcional inverso de la segunda magnitud

EJEMPLOS Estás invitado a un cumpleaños y como es habitual, hay una torta para compartir con el festejado. A la fiesta asisten 10 amigos. A la hora de repartir la torta (si se hace en partes iguales) le corresponde una (1) parte de diez a cada uno, es decir, una décima parte de la torta o también el 10 % del total. Con estos datos tenemos siguiente tabla: Invitados (personas)

Trozos de torta (%)

1

100,00

2

50,00

3

33,33

4

25,00

5

20,00

6

16,66

7

14,28

8

12,50

9

11,11

10

10,00

11

9,09

12

8,33

Como se aprecia, tenemos dos variables invitados ( personas) y Trozos de torta (%), en una los valores aumentan y en la otra los valores disminuyen. y a cada valor le corresponde un valor y sólo uno en la otra.

El gráfico que describe el comportamiento de las variables es el siguiente:

GRA FICO

Con la tabl a anter ior mul ti plica cada par d e val ores ( x e y ) Invitados (x)

Porción de Torta (y)

Producto x por y = c

Constante de proporcionalidad (c)

1

100,00

1 por 100,00

100

2

50,00

2 por 50,00

100

3

33,33

3 por 33,33

100

4

25,00

4 por 25,00

100

5

20,00

5 por 20,00

100

6

16,66

6 por 16,66

100

7

14,28

7 por 14,28

100

8

12,50

8 por 12,50

100

9

11,11

9 por 11,11

100

10

10,00

10 por 10

100

Eje mp lo Una lancha demora 0,5 horas en atravesar un lago a una rapidez promedio de 40 km/h. ¿Qué rapidez promedio necesita la lancha para regresar en 0,2 horas? Proporción: 0,5 = 40 0,2 X

X = 0,5 x 40 100 0,2

Por lo tanto la rapidez de la lancha deberá ser de 100 Km/h para regresar en 0,2 horas tiempo

X= rapidez

AL GUNO S EJ ER CIC IO S PAR A PR ACTI CAR 

8 albañiles tardan en hacer una obra 15 días y medio, ¿cuánto tardarían 11 albañiles?



Una persona tiene 30 vacas y alimento almacenado para darles de comer durante 16 días. Vende 18 de ellas, ¿Cuántos días puede alimentar a las que sobran con el alimento que tiene?

AL GUN OS EJ ER CI CIO S PAR A PRACTI CAR 

Un ciclista que corre a una velocidad de 16 Km./h tarda 2 horas y 20 minutos en llegar al próximo pueblo. ¿Cuánto tardaría si llevase una velocidad de 22 Km./h?



Se desea repartir una bolsa de 100 caramelos entre 3 hermanos de manera inversamente proporcional a sus edades, que son de 8, 9 y 13 años respectivamente. ¿A cuánto toca cada uno?

PRO POR CIO N COM PUE STA Diremos que un problema es de proporcionalidad compuesta si intervienen tres o más magnitudes. Al intervenir más de dos magnitudes las relaciones proporcionales dos a dos de las magnitudes pueden ser distintas, es decir, si tenemos las magnitudes A, B y C, la relación proporcional entre A y B o entre B y C puede ser:



• • •

Directa. Directa e Inversa. Inversa.

En una mina, una cuadrilla de 4 mineros abren una galería de 70 metros de longitud en 15 días. Si otra cuadrilla tiene 18 mineros. ¿Cuántos metros de galerías abrirán en 34 días?  En una cadena de montaje, 9 obreros trabajando 7 horas diarias han fabricado 1200 piezas. ¿Cuántos obreros son necesarios para fabricar 3200 piezas trabajando 12 horas?  En una cadena de montaje, 9 obreros trabajando 7 horas diarias han fabricado 1200 piezas. ¿Cuántos obreros son necesarios para fabricar 3200 piezas trabajando 12 horas? 

RESOLUCION DE PROBLEMAS Para resolver un problema de proporcionalidad compuesta debes seguir los siguientes pasos: 1º.- Plantea la regla de tres. Expresa las cantidades de la misma magnitud en la misma unidad. 2º.- Compara cada magnitud con la que lleva la x para ver si la proporcionalidad entre ellas es directa o inversa. Escribe D debajo de las directas e I debajo de las inversas. 3º.- Si hay alguna proporcionalidad inversa vuelve a plantear la regla de tres invirtiendo las cantidades en las que sean inversas. 4º.- Escribe una proporción de la siguiente forma: la primera razón con las cantidades de la magnitud donde está la x , la segunda razón con el producto de las cantidades de las demás magnitudes.

Un taller, trabajando 8 horas diarias, ha necesitado 5 días para fabricar 1 000 piezas. ¿Cuántos días tardará en hacer 3 000 piezas trabajando 10 horas diarias? Nº piezas Horas día Días 1000 8 5 3000 10 x I

D

(A doble de piezas, doble de días necesarios) (A doble de horas diarias, mitad de días necesarios) 1000 3000

10 8

5 x

1 = 1000*10 12 X

3000*8

Tardará 12 días

x = 5*3000*8 = 1000*10

REPARTOS PROPORCIONALES En un reparto proporcional hay que repartir una cantidad proporcionalmente a otras, este reparto puede ser directo, si a una cantidad mayor corresponde otra mayor o inverso, si a una cantidad mayor le corresponde una menor. • REPARTO PROPORCIONAL DIRECTO Ejemplo: Tres socios, Antonio, José y Ana pusieron para crear una empresa 5000, 8000 y 10000 euros respectivamente. Tras un tiempo la empresa tiene 2300 euros de beneficios. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno? Es claro que los beneficios se tienen que repartir proporcionalmente a la cantidad que se aporta y a mayor aportación más beneficios, luego el reparto proporcional es directo. Llamemos x, y, z a los beneficios de Antonio, José y Ana. Establecemos la proporción entre el x + y + z =N ; 5000+8000+10000 = 23000 = N beneficio y la aportación APORTE UNIT = APORTE TOTAL / N = 2300/23000 = 1/10

Por tanto Antonio recibirá 500 euros, José recibirá 800 euros y Ana 1000 euros.

REPARTOS PROPORCIONALES REPARTO PROPORCIONAL INVERSO A una mayor cantidad corresponde menor proporción  Ejemplo: Un padre quiere repartir 15000 euros entre sus hijos de 3, 10 y 15 años. Desea entregar a cada hijo una cantidad que sea inversamente proporcional a su edad. ¿Qué cantidad corresponderá a cada hijo? Llamemos x, y, z a las cantidades que lo corresponde a los hijos de 3, 10 y 15 años respectivamente

Por tanto al niño de 3 años le corresponden 10.000 €, al de 10 años 3.000 € y al de 15 2000 €.

PRO BLEM AS DE MEZCLAS 2. Se mezclan 20 kg. de trigo tipo A a 0,6 euros/Kg. con 60 Kg. de trigo tipo B a 0.8 euros/Kg. ¿Qué precio tiene la mezcla? Los 20 Kg. de tipo A cuestan 20·0.6 = 12 euros. Los 60 Kg. de tipo B cuestan 50·0.8 = 48 euros. Al mezclar obtenemos 80 Kg. a un precio de 60 euros. Precio por Kg. 4. Se funden 1000 gr. de oro con una pureza del 90% con oro de pureza 75%. La pureza de la mezcla es del 85%. ¿Qué cantidad de oro de pureza 75% se ha añadido a la mezcla? Si la pureza de la primera cantidad es el 90% entonces hay 900 gr. de oro puro. Llamemos x a la cantidad con que se mezcla, tendrá 0.75x de oro puro. Si mezclamos, tendremos en la mezcla 1000 +x gr. como la pureza es del 85% entonces la mezcla tendrá una cantidad de 0.85(1000+x) de oro puro. Luego 0.85(1000+x)=900 +0.75x ; 850+0.85x=900+0.75x ; 0.1x=50 ; x=500 la cantidad buscada es 500 gr.

PO RCEN TA JES Las fracciones con denominador igual a 100 se llaman tanto por ciento o, simplemente, porcentajes. Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, se expresa el tanto por ciento en forma decimal (dividiéndolo por 100) y se multiplica por la cantidad. Obtención del porcentaje correspondiente a una proporción Para hallar qué tanto por ciento representa una cantidad, , respecto a un total, , se efectúa la siguiente operación:

PO RCEN TA JES

Aumentos y disminuciones porcentuales Un aumento porcentual es añadir un porcentaje a una cierta cantidad y una disminución porcentual es quitar un porcentaje a una cierta cantidad. El número por el que hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la cantidad final se llama índice de variación.

En aumentos porcentuales del n%, el índice de variación es 1 más el aumento porcentual expresado en forma decimal.

En una disminución porcentual del n%, el índice de variación es 1 menos la disminución porcentual puesta en forma decimal.

PO RCEN TA JES

PO RCEN TA JES

PO RCEN TA JES

Determinación del tanto por ciento (%).

Dada una razón (a / b), calcular el tanto por ciento consiste en determinar una razón equivalente a la primera con denominador 100 (a / 100=a%). En una clase de 25 alumnos 6 son rubios ¿Qué porcentaje de alumnos rubios hay en esa clase?                                                               Cálculo del tanto por ciento de una cantidad Dada una cantidad se determina su x % multiplicando dicha cantidad por x y dividiéndola por 100. El 25% de los alumnos de una clase tienen gafas. Si en la clase hay 32 alumnos ¿Cuántos tienen gafas? 25% de 32 es                     alumnos tienen gafas Determinación de una cantidad inicial conocido % y la cantidad que representa ese %. Mónica ha comprado un CD. El dependiente le dice que la descontado el 20% de su valor, siendo ese descuente 3 € .¿Cuánto costaba inicialmente el CD? 20% de x es 3                                  . Luego inicialmente el Cd costaba 15 €. Incremento de un % Un ordenador está valorado en 950 € sin impuestos, si los impuestos son el 15% del precio. ¿Cuánto costará el ordenador? El precio del ordenador es el 100%, que incrementaremos con un 15% de impuestos por tanto habrá que pagar el 115%. Precio final es el 115% de 950               1092'50 €. Disminución de un % La etiqueta de un pántalon marca 40 € y ofrece un descuento del 20% ¿Cuánto cuesta el pantalón? Al 100% del valor del pantalón habrá que descontarle el 20%, tras ese descuento el pantalón nos costará el 80% de su valor inicial. Lo calculamos, el 80% de 40 es                             . Luego tras el descuento el pantalón cuesta 32 €.

INTER ES SI MPL E

En cuanto a la definición de interés simple, se trata de los intereses que produce una inversión en el tiempo gracias al capital inicial. Por lo tanto, el interés simple se calcula en base al capital principal, la tasa de interés y el periodo (el tiempo de la inversión). En otras palabras, el interés es un índice que, a través de un porcentaje, permite expresar la rentabilidad de los ahorros o el costo de un crédito. Lo importante a la hora de considerar al interés simple es que los intereses producidos por el capital en un determinado periodo no se acumulan al mismo para generar los intereses correspondientes al siguiente periodo. Esto quiere decir que el interés simple que genere el capital invertido será igual en todos los periodos de duración Donde: de la inversión, siempre que la tasa y el plazo no varíen. I = Interés Formula de Interés Simple I=C*t*i C = Capital inicial t = periodo de tiempo i = tasa interés simple

Eje los Calcularmp el interés simple comercial de:

b) $2.500 durante 8 meses al 8%. DATOS: C = $2.500 ; t = 8 meses; i= 0,08 (es decir 8%) I = 2.500 * 8 * 0.08 =$133,33 f)

$60.000 durante 63 días al 9%. DATOS: C =$60.000 ; t =63 días; i =0,09 I =60.000 * 63 * 0.09=$ 945

j)

$5.000 durante 3 años 2 meses 20 días al 0,75% mensual. DATOS : C = 5.000 ; i = 0,0075 ; t =116 meses

3años *12 meses =36 meses + 2 meses = 38 meses + (20dias * 1 mes)= 116 meses I =5.000 * 38,67 * 0,0075 =1.450 Nota: Fíjese que en este ejercicio la tasa esta expresa de en meses por lo que debe transformarse el tiempo también a meses