Unidad 1 Sucesiones Y Sumatorias

UNIDAD 1

Sucesiones y Sumatorias

BIOMATEMATICAS I LICENCIATURA EN BIOTECNOLOGIA OBJETIVO : Aplicar propiedades en el cálculo de una sumatoria finita. INTRODUCCIÓN :Si en una suma se conocen los sumandos, esta se puede abreviar. Se tiene así una Sumatoria, para ello se usa una letra mayúscula del alfabeto griego , SIGMA :

Σ

DESARROLLO Definición: Si a cada número natural, le asignamos un único real por medio de una “ley de formación”, se tiene una sucesión. El real asignado lo denotaremos por an, que indica el lugar que ocupa el término en la sucesión. Ejemplo 1: Encuentre a1 , a3 , a100 , a1000 , an-1, en la siguiente sucesión :

1  an =  1 +   n

n

Solución : 1

 1 a1 =  1 +  = 2  1 3

 1 a3 =  1 +  ≈ 2,3703  3 1   a100 =  1 +   100 

100

≈ 2,7048

1   a1000 =  1 +   1000  1   an-1 =  1 +   n − 1

1000

≈ 2,7169

n −1

Observación: A medida que n “crece”, an se “acerca” a un número que no supera a 2.72 denominado e debido a la inicial del apellido de quien lo descubrió, y constituye la base de los logaritmos naturales y que se designan por ln x , es decir : 2,718281828. Ejemplo 2:

an =

1 (n − 1)!

encuentre a3, a5, an+1 donde n! se llama

Número Factorial y se define del siguiente modo : Observación :

0! = 1 1! = 1 2!=2 3!=6 4 ! = 24 1 1 1 1 = = = a3 = (3 − 1)! 2 ! 1 ⋅ 2 2 1 1 1 = = a5 = (5 − 1)! 4 ! 24

Log e x =ln x

n! = 1⋅ 2⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ... n

,

donde :

e

≈

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an+1 =

1 1 = ( n + 1 − 1)! n !

Definición: La suma de los n primeros términos de una sucesión, se denomina sumatoria. n

∑a = a + a + a +.............+a

Si an es una sucesión :

k =1

k

1

2

3

n

Note que k varía de 1 a n Ejemplo 2: an =

1 ( n − 1)!

1 1 1 1 = + + k =1 ( k − 1)! (1 − 1)! ( 2 − 1)! ( 3 − 1)! 1 1 1 1 = + + = 1+1+ = 2,5 0! 1! 2! 2 3

∑

1 1 1 1 1 1 = 1 +1 + + + + + k =1 ( k − 1)! 2 6 24 120 720 = 2,71805 7

∑

Como se estudiará en cursos superiores, esta suma también se acerca al número que mayor es el número de sumandos.

e, a

medida

Ejemplo 3 : ∞

∑ (−1) k =1

k +1

⋅

4 4 4 4 4 4 = 4 - + - + - + ... = π 2k − 1 3 5 7 9 9

Sumatorias especiales n

1°) Suma de los n primeros naturales : 1 + 2 + 3 + 4 +...+ n = ∑ k k =1

Veamos el argumento que permitió encontrar una fórmula para esto, por ejemplo, la suma de los primeros mil números naturales : S = 1 + 2 + 3 + 4 +...+ 997 + 998 + 999 + 1.000 S = 1.000 + 999 + 998 + 997+...+ 4 +3 +2 +1 2S=1.001+1.001+1.001+1.001+...+1.001+1.001+1.001+1.001 2 S = 1.000 veces 1.001 = 1.000 •1.001 S=

1000 . ⋅1001 . o sea 2

1000

∑k = k =1

1.000 ⋅1.001 = 500.500 2

Se tiene que: n

∑k = k =1

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n ⋅ (n + 1) 2

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Suma de los cuadrados de los n primeros naturales: n

∑k

2°)

2

= 12 + 2 2 + 3 2 +... + n 2 =

k =1

n ⋅(n +1) ⋅(2n +1) 6

Suma de los cubos de los n primeros naturales: n

∑k

3°)

k =1

 n ⋅(n +1)  = 13 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3 =   2  

2

3

Propiedades de las sumatorias : n

P1) ∑ 1 = 1 + 1 +1+ ... +1 = n , o sea : k =1 n veces

n

∑1 = n k =1

P2) Sea c un número fijo y an una sucesión

∑c⋅a

= c ⋅ a1 + c ⋅ a 2 + c ⋅ a 3 +...+c ⋅ a n = c ⋅ (a1 + a 2 + a 3 +...+ a n ) k

⇒

= c ⋅ ∑ an

∑c⋅a P3)

∑ (a

= c ⋅ ∑ an

n

+ bk ) = (a1 + b1 ) + (a 2 + b2 ) + (a 3 + b3 ) +...+ (a n + bn ) = (a1 + a 2 + a 3 +...+ a n ) + (b1 + b2 + b3 +...+bn ) k

= ∑ a k + ∑ bk

∑(a

⇒

k

+bk ) =∑ ak +∑ bk

Ejemplo : 20

20

k =1

k =1

∑ (k − 3)2 = ∑ (k 2 − 6k + 9) =

20

20

20

k =1

k =1

k =1

∑ k 2 − 6 ∑ k + 9∑ 1

= (20·21·41):6 - 3·( 20·21) + 9·20 = 2.870 – 420 + 180 = 2.680 n

P4)

∑ (a k =1

k +1

− a k ) = (a 2 − a1 ) + (a 3 − a 2 ) + ... + (a n+1 − a n )

= a n +1 − a1 luego :

n

∑ (a k =1

k +1

− a k ) = an+1

- a1

Esta propiedad es conocida con el nombre de TELESCOPICA. Ejemplo 1: 5

 1

1  1

  1 1  1 1  1 1  1 1

∑  k + 1 − k  =  2 − 1 +  3 − 2  +  4 − 3  +  5 − 4  +  6 − 5  k=1

1  =  −1 = 6 

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−5 6

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Ejemplo 2: n

∑(

n − n − 1) =

500 − 0 = 500

k =1

EJERCICIOS RESUELTOS Verifique las sumas siguientes: 600

1) 2)

∑ t = 135.450

k = 300 n

∑ 4k(k

2

− 1) = n ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2) ⋅ (n − 1)

k = 300

Solución : 1)

600

600

299

k = 300

k =1

k =1

∑t = ∑t − ∑t

(esto es necesario porque las formulas son válidas a partir de 1).

600 ⋅ 601 299 ⋅ 300 − 2 2 = 135.154 =

2)

n

n

k =1

k =1

∑4k(k 2 − 1) = ∑( 4k 3 − 4k ) n n  = 4 ∑ k 3 − ∑ k  k =1   k =1

 n(n + 1)  2 n(n + 1)   −  = 4 ⋅  2   2   n(n + 1)  n(n + 1)  = 4⋅ ⋅ − 1 2  2   n2 + n − 2  = 2 ⋅ n(n + 1) ⋅   2  

= n(n + 1) ⋅ (n + 2) ⋅ (n − 1)

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EJERCICIOS PROPUESTOS I. Calcula, usando propiedades de sumatoria 1) La suma de los naturales comprendidos entre 1.000 y 2.000, ambos incluidos. 2) La suma de los 80 primeros naturales pares. 3) El número de los primeros impares positivos que se deben sumar para obtener 9.409 4) La suma de los números positivos múltiplos de 5, menores a 300. II.- Pruebe las siguientes identidades : n

1)

∑ ( k − 1)

2

=

k =1

100

2)

∑ ( t − 1)

3)

∑ (k

4)

∑ (2

2

)

k

)

− 2k −1 = 2n − 1

1

1000

∑ (−1)

k +1

t =1 25

⋅ k = −500

 5

5 

− 95

∑  k + 3 − k + 2  = 252 k =7 2n

7)

1 n(n − 1)(n 2 + 3n + 4) 4

−1 =

3

k =1 n

6)

= 328.350 (usando lo anterior)

t =1

n

5)

n(n − 1)(2n − 1) 6

∑k

=

3 2

n(n + 1)

n n

8)

∑ 4i(i

2

− 1) = n(n - 1)(n+)(n + 2)

i =1

 n III. - Se define el número combinatorio   que se lee “n sobre k”, del siguiente modo :  k n n!   =  k  (n − k )! k! Calcule las siguientes sumas :

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1)

6

∑ k ⋅ k!

2)

1

6

3)

∑ (−1) 1

k

5

∑  k 

  4  k  4  4) ∑    1  1  k  1

6

⋅ k ⋅   k 

8

IV.- Si en la sucesión finita

{an } n=1,2,...,8 , se tiene que ∑ (a i ) 2 = 25

y

i =1

8

de manera que

8

∑a

i

= 12 , determine k

i=1

∑ (4a − 2 k ) = 400 i =1

2

i

SOLUCION EJERCICIOS PROPUESTOS I. 1) 1.501.500 4) 8.850

2) 6.480

3) 138

II. (Prueba tú mismo las identidades dadas) III. 1) 5.039

2) 32

3) 25

4) 32

IV. k = 0 o k = 6

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