Undecimo Del 3 Al 14 De Marzo

12CAP´ITULO 1. GEOMETR´IA DEL C´IRCULO Y LA CIRCUNFERENCIA

1.2.

Segmentos y rectas en la circunferencia

Objetivo. Aplicar las relaciones entre los elementos b´ asicos del c´ırculo y la circunferencia, en la soluci´ on de ejercicios y problemas. En la circunferencia en posible determinar los siguientes segmentos y rectas: ´ METRO, C UERDA, R ECTA S ECANTE y R ECTA TANGENTE. R ADIO, D I A El R ADIO es el segmento de recta que va del origen de la circunferencia hasta el extremo de la misma.




´ METRO es el segmento de recta que va de un extremo a otro de la circunEl D I A ferencia, pasando por el origen. Es la cuerda de mayor longitud en la circunferencia.




La C UERDA es el segmento de recta que va de un extremo a otro de la circunferencia, sin pasar por el origen.

1.2. SEGMENTOS Y RECTAS EN LA CIRCUNFERENCIA

13




La R ECTA S ECANTE es la recta exterior a la circunferencia, que interseca a esta en dos puntos diferentes. Por tanto ingresa y sale de la circunferencia en puntos diferentes.

La R ECTA TANGENTE es la recta exterior a la circunferencia, que interseca a esta ´ nico punto. en un u

14CAP´ITULO 1. GEOMETR´IA DEL C´IRCULO Y LA CIRCUNFERENCIA

1.3.

Posiciones del C´ırculo y de la circunferencia

Objetivo. Aplicar las relaciones que se establecen entre circunferencias conc´entricas, circunferencias tangentes y circunferencias secantes, en la soluci´ on de ejercicios y problemas del entorno. Para dos circunferencias distintas, la distancia entre sus or´ıgenes permite determinar la clasificaci´ on para ellas. Exteriores 







Dos circunferencias son EXTERIORES si la distancia entre sus or´ıgenes es mayor a la suma de sus radios. Simb´ olicamente, dO1 O2 > r1 + r2 .

Tangentes Exteriormente  





Dos circunferencias son TANGENTES E XTERIORMENTE si la distancia entre sus or´ıgenes es igual a la suma de sus radios. Simb´ olicamente, dO1 O2 = r1 + r2 .

1.3. POSICIONES DEL C´IRCULO Y DE LA CIRCUNFERENCIA

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Tangentes Interiormente







Dos circunferencias son TANGENTES E XTERIORMENTE si la distancia entre sus or´ıgenes es igual a la resta del radio mayor menos el radio menor. Simb´ olicamente, dO1 O2 = r1 − r2 .

Secantes


 




Dos circunferencias son S ECANTES si la distancia entre sus or´ıgenes es menor a la suma de sus radios. Simb´ olicamente, dO1 O2 < r1 + r2 .

Conc´ entricas 









Dos circunferencias son C ONC ´E NTRICAS si la distancia entre sus or´ıgenes es exactamente igual a cero. Simb´ olicamente, dO1 O2 = 0.

Pr´ actica #2 Resuelva los siguientes ejercicios aplicando el teorema de pit´ agoras. 1. De acuerdo a los datos dados determine si las circunferencias son secantes, tangentes interiormente, tangentes exteriormente, conc´entricas, exteriores. a) dO1 O2 = 11cm, r1 = 6 cm, r2 = 8 cm b) dO1 O2 = 6cm, r1 = 2 cm, r2 = 4 cm c) dO1 O2 = 5, 4cm, r1 = 2 cm, r2 = 4 cm d) dO1 O2 = 12cm, r1 = 16 cm, r2 = 28 cm e) dO1 O2 = 9cm, r1 = 5 cm, r2 = 6 cm f ) dO1 O2 = 12cm, r1 = 6 cm, r2 = 6 cm

16CAP´ITULO 1. GEOMETR´IA DEL C´IRCULO Y LA CIRCUNFERENCIA g) h) i) j)

1.4.

dO1 O2 dO1 O2 dO1 O2 dO1 O2

= 15cm, r1 = 3 cm, r2 = 4 cm = 9cm, r1 = 8 cm, r2 = 18 cm = 0cm, r1 = 5 cm, r2 = 7 cm = 9cm, r1 = 3 cm, r2 = 7 cm

Teoremas concernientes a los segmentos y rectas en la circunferencia

Objetivo. Aplicaci´ on de teoremas relacionados con la congruencia de cuerdas y con la perpendicularidad de la recta tangente en la soluci´ on de ejercicios y problemas. Teorema #1. Una recta perpendicular a un radio en su punto extremo, es tangente a la circunferencia. En el otro sentido tambi´ en es cierto: Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio por el punto de tangencia.







Teorema #2. Un radio perpendicular a una cuerda, biseca a dicha cuerda. En el otro sentido tambi´ en es cierto: Si un radio biseca a una cuerda de la circunferencia, entonces el radio y la cuerda son perpendiculares.







1.4. TEOREMAS CONCERNIENTES A LOS SEGMENTOS Y RECTAS EN LA CIRCUNFERENCIA17 Teorema #3. Las tangentes trazadas desde un mismo punto exterior a una circunferencia son congruentes. Adem´ as, la recta que une el centro de la circunfe´ngulo que forman las tangentes rencia con un punto exterior, es bisectriz del a trazadas por ese punto a la circunferencia.




Teorema #4. En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, cuerdas congruentes equidistan del origen. En el otro sentido tambi´ en es cierto: En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, cuerdas equidistantes del centro son congruentes.

Pr´ actica #3 Resuelva los siguientes problemas aplicando los teoremas estudiados. 1. En una circunferencia de 5 cm de di´ ametro una cuerda sobre el di´ ametro determina dos segmentos, si uno de ellos mide 1 cm, determine la longitud de la cuerda. 2. En una circunferencia de 36 cm de di´ ametro una cuerda es perpendicular al di´ ametro de modo que el punto de intersecci´ on esta a 4 cm del extremo del di´ ametro, ¿Cuanto mide la cuerda? 3. Desde un punto de la circunferencia se traza una cuerda sobre el di´ ametro. Calcular las medidas de los segmentos que ella determina sobre el di´ ametro, si la cuerda mide 6 cm y el di´ ametro 13 cm.

18CAP´ITULO 1. GEOMETR´IA DEL C´IRCULO Y LA CIRCUNFERENCIA 4. En una circunferencia se traza una cuerda sobre el di´ ametro, el cual queda dividido en dos segmentos tales que uno es el doble del otro. Si la cuerda √ mide 7 2 cm, calcular la medida de los dos segmentos. 5. Si desde un punto de una circunferencia se traza una cuerda sobre el di´ ametro lo divide en segmentos que miden 4 cm y 9 cm, calcular la longitud de la cuerda. 6. Si desde un punto de una circunferencia se traza una cuerda sobre el di´ ametro de 8 cm y determina sobre este un segmento que mide 16 cm, calcular la medida del radio. 7. Desde un punto de una circunferencia de 5 cm de radio se traza una perpendicular de 4 cm sobre el diametro, calcular la medida de los segmentos que determina sobre este. 8. Desde un punto de una circunferencia se traza una perpendicular que mide 6 cm sobre el di´ ametro, si uno de los segmentos que determina sobre el excede en 5 cm al otro, hallar la longitud del di´ ametro. 9. Una perpendicular trazada de la circunferencia al di´ ametro mide 12 cm y determina segmentos sobre el di´ ametro que est´ an en la relaci´ on 4: 9, hallar la longitud del di´ ametro. 10. Se traza una cuerda de 8 cm perpendicular al diametro, si un segmento mide 12 cm mas que el otro, calcular la medida del diametro. 11. Dos cuerdas paralelas que pasan a uno y otro lado del centro tienen respectivamente 6 m y 10 m, y la distancia entre ellas es 8 m. Hallar la medida del radio del circulo. 12. Un di´ ametro y una cuerda tienen un extremo com´ un. Si el di´ ametro mide 40 cm y la cuerda 24 cm, ¿a qu´e distancia est´ a la cuerda del centro de la circunferencia? 13. En una circunferencia de 30 cm de di´ ametro se traza una cuerda perpendicular a ´el. La distancia de la intersecci´ on de la cuerda y el radio al extremo del radio es 3 cm. Calcular la longitud de la cuerda. 14. En una circunferencia de centro P, una cuerda AB es paralela a una tangente y corta al radio que pasa por el punto de tangencia en su punto medio. Si AB = 12, calcular el radio. 15. En una circunferencia de 10 cm de radio, una cuerda dista 6 cm del centro, ¿Qu´e longitud tiene la cuerda? 16. Una cuerda de 16 cm est´ a a 15 cm del centro de una circunferencia, ¿Cu´ anto mide su radio?

1.4. TEOREMAS CONCERNIENTES A LOS SEGMENTOS Y RECTAS EN LA CIRCUNFERENCIA19 17. En una circunferencia de 12 cm de radio, una cuerda es paralela a una tangente y biseca el radio trazado en el punto de tangencia, calcular la longitud de la cuerda. 18. El radio de una circunferencia mide 15 cm, la distancia de una cuerda al centro es 9 cm, ¿Cu´ al es la longitud de la cuerda? 19. Una cuerda de una circunferencia mide 12 cm y dista 6 cm del centro. Calcular la medida del radio. 20. Los di´ ametros de dos circunferencia conc´entricas miden 10 cm y 26 cm, calcular la longitud de la cuerda a la circunferencia mayor que es tangente a la circunferencia menor. 21. Los radios de dos circunferencias conc´entricas miden 6 cm y 3 cm. Calcular la longitud de la cuerda de la circunferencia mayor que es tangente a la circunferencia menor.

Tarea #3 Resuelva los siguientes problemas aplicando los teoremas estudiados. 1. Desde un punto distante 13 cm del centro de una circunferencia de 5 cm de radio, se traza una tangente a la circunferencia. Calcular la longitud del segmento tangente. 2. Dos segmentos tangentes a una circunferencia desde un punto del exte´ngulo de 60, si el di´ rior determinan un a ametro mide 10 cm, calcular la medida de los segmentos tangentes. 3. Desde un punto exterior a 8 cm del centro de una circunferencia, se trazan ´ngulo de 90o , calcular la longitud de dos tangentes de ella, si forman un a los segmentos tangentes. 4. Desde un punto exterior a 41 cm del centro de una circunferencia el segmento tangente en el extremo del radio mide 40 cm, hallar la longitud del radio de la circunferencia. 5. Desde un punto exterior a una circunferencia de 8 cm de radio, el segmento tangente en el extremo de ´este mide 15 cm. Calcular la distancia de centro al extremo de la tangente. 6. Desde un punto exterior a una circunferencia de 8 cm de radio, se trazan a ´esta dos segmentos tangentes de 12 cm, hallar la distancia del centro de la circunferencia al extremo com´ un de las tangentes. 7. Desde un punto a 15 cm del centro de una circunferencia del centro de una circunferencia, en el exterior se trazan a ´esta dos tangentes, calcular el radio de la circunferencia.

20CAP´ITULO 1. GEOMETR´IA DEL C´IRCULO Y LA CIRCUNFERENCIA 8. Desde un punto en el exterior a 15 cm del centro de una circunferencia, se trazan a ´esta dos tangente, calcular la cuerda que une los punto de tangencia si el radio de mide 9 cm. 9. Desde un punto exterior a una circunferencia se trazan a ´esta dos tangentes que miden 10 cm, si la cuerda que une los puntos de contacto mide 12 cm, calcular el radio de la circunferencia. 10. Si desde un punto exterior a una circunferencia de 8 cm de radio se trazan a ´esta dos tangentes que miden 15 cm, calcular la longitud de la cuerda que une los puntos de contacto.