Undecimo

Matem´ atica de Und´ecimo Mauricio Ram´ırez Herrera

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Cap´ıtulo 1

Geometr´ıa del c´ırculo y la circunferencia Uno de los dos temas que se incluir´ an este a˜ no en el programa de matem´ atica es la Geometr´ıa, espec´ıficamente la que se relaciona con los c´ırculos y las circunferencias. Es necesario aclarar, que aunque los conceptos y teoremas que se estudiar´ an son nuevos, estos son los menos. A la hora de desarrollar los ejercicios y problemas de esta materia ser´ a necesario aplicar el teorema de pit´ agoras, y los tri´ angulos especiales. A continuaci´ on se presenta una rese˜ na de los conceptos citados anteriormente.

1.1. 1.1.1.

Conocimientos Previos El teorema de Pit´ agoras

Teorema es una declaraci´ on matem´atica que puede ser Este es uno de los teoremas m´ as sencillos y conocidos de la matem´ atica. demostrada como verdadera Los Pitag´ oricos sab´ıan que cualquier tri´ angulo cuyos lados estuviesen a la raz´ on dadas ciertas condiciones y 3: 4: 5 era un tri´ angulo recto. Su deseo por encontrar la armon´ıa matem´ atica en definiciones. todas las cosas los condujo a probar el teorema geom´etrico, hoy nombrado por su maestro: Pit´ agoras. Los primeros Egipcios enunciaron este teorema como una relaci´ on emp´ırica y, hasta donde se sabe hoy, los Pitag´ oricos fueron los primeros en probarlo. 3

4 CAP´ITULO 1. GEOMETR´IA DEL C´IRCULO Y LA CIRCUNFERENCIA El teorema de Pit´ agoras1 establece Hipotenusa el lado mayor el cuadrado de la hipotenusa de un tri´ angulo recto (c) de un tri´ angulo rect´ angulo; es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (a y b), el lado opuesto al ´ angulo recto. simb´ olicamente c2 = a2 +b2 . Los n´ umeros 3, 4 y 5 reciben el nombre de n´ umeros Cateto cada uno de los dos Pitag´ oricos lados del tri´ angulo rect´ angulo que forman el v´ertice del 52 = 32 + 42 , o 25 = 9 + 16 ´angulo recto.

Pr´ actica #1 Resuelva los siguientes ejercicios aplicando el teorema de pit´ agoras. √ ´rea 1. Si la altura de un tri´ angulo equil´ atero mide 4 3 cm entonces su a corresponde a √ a) 32 3 cm2 b) 32 cm2 √ c) 16 3 cm2 √ d) 8 3 cm2 2. Si el semiperimetro de un tri´ angulo equil´ atero es

3 ´rea en cm2 es cm, el a 2

1√ 3 4 1√ b) 6 2 1√ c) 6 4 1√ d) 3 2

a)

´ngulo recto en B, AC = 12 y 3. Si 4ABC es un tri´ angulo rect´ angulo con a BC = 8, entonces la medida de AB equivale a a) 4 √ b) 20 √ c) 80 √ d) 208

1 Tambi´ en

conocido como teorema de la Hipotenusa

1.1. CONOCIMIENTOS PREVIOS

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√ 4. Si uno de los catetos de un tri´ angulo rect´ angulo is´ osceles mide 6 2 cm, entonces la longitud de la hipotenusa, en cm, corresponde a a) 6 b) 12 √ c) 12 6 d) √ 12 5. Dada la figura adjunta donde ABCD es un rect´ angulo, AB = 9, AC = 12, la medida de AD corresponde a a) 6 b) 12 √ c) 12 6 d) √ 12 6. La diagonal de un cuadrado mide 14 cm, entonces cada uno de sus lados mide √ a) 7 2 cm √ b) 14 cm c) 14 cm d) 7 cm ´rea mide 8 cm2 ? 7. ¿Cu´ al es la medida de la diagonal de un cuadrado cuya a √ a) 2 2 cm 2 b) √ cm 2 c) 4 cm d) 2 cm 8. Dada la figura adjunta, si BCDE es un cuadrado de 8cm de lado AD = 14cm, la longitud en cm de AB corresponde a a) 10 b) 14 √ c) 28 √ d) 132

y

6 CAP´ITULO 1. GEOMETR´IA DEL C´IRCULO Y LA CIRCUNFERENCIA ´rea sombreada es un cuadrado inscrito en otro 9. En la figura adjunta, el a ´rea sombreada corresponde a cuadrado de mayor superficie. Por tanto el a a) 25 cm2 b) 24 cm2 c) 13 cm2 d) 12 cm2

´rea 10. La medida del lado de un tri´ angulo equil´ atero es de 4cm, entonces su a en cm2 , corresponde a a) 48 b) 12 √ c) 6 3 √ d) 4 3 11. Dada la figura adjunta, la medida de AD en metros, corresponde a a) 6 √ b) 3 3 √ c) 3 5 √ d) 155 √ ´rea de un tri´ 12. Si el a angulo equil´ atero es 18 3 entonces, el per´ımetro de ese tri´ angulo equivale a a) 18 b) 27 √ c) 6 3 √ d) 18 2 ´ngulos congruentes de un tri´ 13. Si la medida de cada uno de los a angulo is´ osceles es 30 grados y cada uno de los lados congruentes mide 14 cm, ´rea de dicho tri´ entonces el a angulo en cm2 , corresponde a 49 2 b) 147

a)

√ c) 49 3 147 √ d) 3 2

1.1. CONOCIMIENTOS PREVIOS

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Tarea #1 Resuelva los siguientes ejercicios aplicando el teorema de pit´ agoras. 1. De acuerdo con la figura adjunta el valor de “x” corresponde a

a) b) c)

3n 2 5n2 4 n√

5 2 n√ d) 3 2

2. De acuerdo a la figura adjunta, si ABCD es un rect´ angulo, entonces la medida de BC equivale a √ a) x 7 b) 5x c) 3x d) x

3. Si en la figura adjunta BCDE es un cuadrado de 8 cm de lado y BC = 14 cm, la longitud de AB corresponde a

a) 10 cm b) 14 cm √ c) 28 cm √ d) 132 cm

8 CAP´ITULO 1. GEOMETR´IA DEL C´IRCULO Y LA CIRCUNFERENCIA 4. De acuerdo con los datos de la figura adjunta el valor de AB corresponde a a) a − b b) b − a √ c) b − a √ d) a − b

5. Si los lados de un tri´ angulo miden 24 cm, 8 cm y 25 cm, el tri´ angulo se clasifica como a) obtus´ angulo b) acut´ angulo c) rect´ angulo d) is´ osceles 6. El per´ımetro de un rombo es 32 cm y una de sus diagonales mide 12 cm, entonces la otra diagonal mide, en cent´ımetros a) 10 b) 20 √ c) 2 7 √ d) 4 7 7. En un cuadrado la longitud de un lado mide “n”, entonces la longitud de la diagonal corresponde a a) n2 b) 2n √ c) 2n √ d) n 2

1.1. CONOCIMIENTOS PREVIOS

9

8. De acuerdo a los datos de la figura adjunta, en donde ABCD es un cuadril´ atero, la medida de AC corresponde a

a) 13 b) 17 √ c) 119 √ d) 161

9. En un cuadrado la longitud de un lado mide “n”, entonces la longitud de la diagonal corresponde a a) n2 b) 2n √ c) 2n √ d) n 2 ´rea, en metros cuadrados, de un tri´ 10. El a angulo equil´ atero que mide 2 m de lado, corresponde a √ a) 2 3 √ b) 2 2 √ c) 3 d) 1 ´rea de un cuadrado es 900 cm2 , entoncces el per´ımetro del cuadrado, 11. Si el a en cent´ımetros, corresponde a a) 30 b) 120 c) 450 d) 1800

10CAP´ITULO 1. GEOMETR´IA DEL C´IRCULO Y LA CIRCUNFERENCIA 12. En la figura adjunta, el valor de “x” equivale a a) 12 m b) 18 m √ c) 7 m √ d) 144 m 13. La medida de “P” en la figura adjunta corresponde a a) 9 cm b) 18 cm √ c) 2 cm √ d) 9 2 cm 14. De las siguientes tripletas, la que corresponde a una terna pit´ agorica equivale a a) b) c) d)

(3, 2, 4) (4, 2, 5) (7, 4, 3) (12, 5, 13)

√ 15. Si en un tr´ angulo rect´ angulo is´ osceles uno de los catetos mide 6 2 cm, la longitud, en cent´ımetros de la hipotenusa equivale a a) 6 b) 12 √ c) 12 6 d) √ 12 16. De acuerdo con los datos de la figura adjunta, el valor de “x” corresponde a a) 3n √ b) n 3 √ c) n 33 √ d) n 39

1.1. CONOCIMIENTOS PREVIOS

1.1.2.

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Tri´ angulos Especiales

Existen dos tipos de tri´ angulos especiales: los 45o - 45o (tambi´en llamados rect´ anguo lo is´ osceles) y los 30 - 60o (llamados semi–equil´ atero).

Tri´ angulo 45o - 45o

los dos catetos miden igual (a =√b) la medida de la hipotenusa (c) es igual al cateto multiplicado por 2

Tri´ angulo 30o - 60o

´ngulo de 30o el cateto opuesto al a mide la mitad de la medida de la hipotenusa o ´ngulo de 60 el cateto opuesto al a √ mide la mitad de la medida de la hipotenusa multiplicado por 3