Decimo 3 Al 14 De Marzo

´ CAP´ITULO 1. ALGEBRA

22

1.2. P ○

Ecuaciones Cuadr´ aticas

Objetivo. Resolver ecuaciones cuadr´ aticas con una inc´ ognita. En octavo a˜ no se estudiaron por primera vez las ecuaciones, en ese momento nos interesaron las ecuaciones lineales. Ejemplos de estas ecuaciones son: 2x − 5 = 7 3x = 10 2x =5 x−3 Este a˜ no nos interesar´ a estudiar las ecuaciones cuadr´ aticas. A continuacion veremos la definici´ on de las mismas. Se define una ecuaci´ on cuadr´ atica, como una ecuaci´ on de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a = 0 y a, b y c ∈ R Antes de considerar los m´etodos de resoluci´ on de ecuaciones cuadr´ aticas es necesario introducir el concepto de discriminante.

1.2.1.

An´ alisis del Discriminante

En toda ecuaci´ on cuadr´ atica es posible identificar tres coeficientes: a, b y c. El coeficiente a es el que se encuentra frente a x2 , el coeficiente b esta frente a la x y el coeficiente c es el que no tiene factor literal. Utilizando dichos coeficientes se calcula el coeficiente, mediante la siguiente f´ ormula: Δ = b2 − 4ac Veamos algunos ejemplos. Calculemos el discriminante de la ecuaci´ on 6x2 + x − 12 = 0. Primero es necesario identificar los coeficientes a = 6, b = 1 y c = −12. Ahora aplicamos la f´ ormula: Δ = b2 − 4ac

´ 1.2. ECUACIONES CUADRATICAS

23

Δ = 12 − 4 · 6 · −12 Δ = 1 − −288 Δ = 1 + 288 Δ = 289 Entonces el discriminante de la ecuaci´ on 6x2 + x − 12 = 0 es Δ = 289. Otro ejemplo. Calculando el discriminante de la ecuaci´ on x2 − 6x + 9 = 0, identificamos los coeficientes a = 1, b = −6 y c = 9. Usando la f´ ormula del discriminante tenemos: Δ = b2 − 4ac Δ = (−6)2 − 4 · 1 · 9 Δ = 36 − 36 Δ=0 Entonces el discriminante de la ecuaci´ on x2 − 6x + 9 = 0 es Δ = 0. ´ ltimo ejemplo. Calculando el discriminante de la ecuaci´ Analicemos un u on x2 + x + 2 = 0, identificamos los coeficientes a = 1, b = 1 y c = 2. Usando la f´ ormula del discriminante tenemos: Δ = b2 − 4ac Δ = 12 − 4 · 1 · 2 Δ=1−8 Δ = −7 Entonces el discriminante de la ecuaci´ on x2 + x + 2 = 0 es Δ = −7. Si bien es cierto, el c´ alculo del discriminante es muy sencillo, su utilidad y aplicaci´ on a lo largo no solo de este tema sino de todo el curso lectivo ser´ a fundamental. Como notamos en cada uno de los ejemplos anteriores, el discriminante puede tomar tres valores: positivo, negativo o cero. ¿Pero qu´e significado tiene para nosotros esto? A continuaci´ on se explica. Primero, el discriminante nos permite saber de antemano y sin resolver la ecuaci´ on cuantas soluciones o ra´ıces tiene una ecuaci´ on. Segundo, nos permite de-

´ CAP´ITULO 1. ALGEBRA

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terminar la naturaleza de las ra´ıces, es decir si las soluciones son reales o imaginarias. Lo anterior se logra mediante el siguiente criterio: Valor del Δ Positivo (Δ > 0) Negativo (Δ < 0) Cero (Δ = 0)

Cantidad de Ra´ıces 2 ra´ıces 0 ra´ıces 1 ra´ıces

Naturaleza de las Ra´ıces Reales Imaginarias Real

Pr´ actica # 8

Determine cuantas ra´ıces tiene cada ecuaci´ on que se presenta a continuaci´ on. Adem´ as indique si son reales o imaginarias. 1. 15x2 − 12 = −8x

7. 7 − 3x − x2 = 0

2. 4x2 + x − 14 = 0

8. 6x2 − 7x − 3 = 0

3. 15x2 − 14 = 29x

9. −x2 + x − 1 = 0

4. 8x2 + 30x − 27 = 0

10. 2x − 4x2 + 6 = 0

5. x2 − 7x + 9 = 0

11. 6 + x2 − x = 0

6. 5x2 − x + 1 = 0

12. 12 − 15x − x2 = 0

Tarea # 8

Determine cuantas ra´ıces tiene cada ecuaci´ on que se presenta a continuaci´ on. Adem´ as indique si son reales o imaginarias. 1. 6x2 − 7x − 3 = 0

6. x2 − 4x − 5 = 0

2. 5x2 + 3x − 1 = 0

7. 3x2 − x − 2 = 0

3. x2 − x + 1 = 0

8. 10x2 − 3x − 15 = 0

4. −x2 + 2x − 3 = 0

9. 25x2 − 10x + 1 = 0

5. −x2 + 6x − 9 = 0

1.2.2.

10. −x2 + 3x + 2 = 0

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Cuadr´ aticas

Vamos a estudiar algunos m´etodos de resoluci´ on de ecuaciones cuadr´ aticas. Al final es el estudiante quien decide cu´ al m´etodo utiliza. No obstante vamos a tomar el tiempo para explicarlos todos por igual.

´ 1.2. ECUACIONES CUADRATICAS

25

F´ ormula General La f´ ormula general es un m´etodo que puede ser usado en todas las ecuaciones cuadr´ aticas, adem´ as de tener la ventaja de que nos dar´ a la respuesta en forma exacta siempre. Como su nombre lo indica existe una f´ ormula para obtener las soluciones a la ecuaci´ on cuadr´ atica, a saber √ −b + Δ , para la primera soluci´ on x1 = 2·a √ −b − Δ x2 = , para la segunda soluci´ on 2·a Veamos un ejemplo del empleo del m´etodo. Se nos pide que resolvamos la ecuaci´ on x2 + 3x − 4 = 0. Primero, calculamos el discriminante: Δ = 32 − 4 · 1 · −4 Δ = 9 − −16 Δ = 9 + 16 Δ = 25 de este resultado podemos concluir que la ecuaci´ on que vamos a resolver tiene dos ra´ıces o soluciones, y que estas son reales. Ahora vamos a encontrar esas soluciones, usamos la f´ ormula para la primera ra´ız: √ −b + Δ 2a √ −3 + 25 x1 = 2·1 x1 =

x1 =

−3 + 5 2

x1 =

2 2

x1 = 1 Luego para la segunda ra´ız, usamos la segunda f´ ormula:

´ CAP´ITULO 1. ALGEBRA

26 √ −b − Δ x1 = 2a √ −3 − 25 x1 = 2·1 x1 =

−3 − 5 2

x1 =

−8 2

x1 = −4 teniendo las dos soluciones escribimos el conjunto soluci´ on S = {−4, 1}7 Ahora resolvamos otro ejemplo, esta vez la ecuaci´ on x2 − 4x + 4 = 0. Calculemos primero el discriminante: Δ = (−4)2 − 4 · 1 · 4 Δ = 16 − 16 Δ=0 de este resultado podemos concluir que la ecuaci´ on que vamos a resolver tiene ´ nica ra´ız o soluci´ una u on, y que estas son reales. Ahora vamos a encontrarla, usamos la f´ ormula para la primera ra´ız8 : √ −b + Δ x1 = 2a √ −−4+ 0 x1 = 2·1 x1 =

4+0 2

x1 =

4 2

x1 = 2 7 Se

8 Da

deben poner en orden, primero el n´ umero menor y luego el mayor. lo mismo si se utiliza esta f´ ormula o la de la segunda ra´ız

´ 1.2. ECUACIONES CUADRATICAS

27

teniendo este resultado escribimos el conjunto soluci´ on

S = {2}

´ ltimo resolvemos la ecuaci´ Por u on x2 +x+2. Como ya vimos calculamos primero el discriminante:

Δ = 12 − 4 · 1 · 2 Δ=1−8 Δ = −7

de este resultado podemos concluir que la ecuaci´ on que vamos a resolver no tiene soluciones reales, estas son imaginarias. Teniendo este resultado escribimos el conjunto soluci´ on

S = {}9

Antes de pasar a la pr´ actica es importante analizar dos casos muy interesantes que no se han considerado hasta el momento, las ecuaciones 3x2 + 4x = 0 y x2 − 7 = 0. Veamos las soluciones.

9 Otra

forma de denotar el conjunto vac´ıo es S = Ø, jamas se denota S = {Ø}.

´ CAP´ITULO 1. ALGEBRA

28 Para la ecuaci´ on 3x2 + 4x = 0 2

Δ=4 −4·3·0 Δ = 16 − 0 Δ = 16 tendremos dos soluciones, reales. La primera soluci´ on es √ −4 + 16 x1 = 2·3 −4 + 4 x1 = 6 x1 = 0 La segunda soluci´ on es √ −4 − 16 x1 = 2·3 −4 − 4 x1 = 6 −8 x1 = 6 −4 x1 = 3 j ff −4 Las soluciones son S = ,0 3

Para la ecuaci´ on x2 − 7 = 0 Δ = 02 − 4 · 1 · −7 Δ = 0 − −28 Δ = 0 + 28 Δ = 28 tendremos dos soluciones, reales. La primera soluci´ on es √ −0 + 28 x1 = 2 · 1√ 0+2 7 x1 = 2 √ 2 7 x1 = √2 x1 = 7 La segunda soluci´ on es √ −0 − 28 x1 = 2 · 1√ 0−2 7 x1 = 2√ −2 7 x1 = 2 √ x1 = − 7

√ √ Las soluciones son S = {− 7, 7}

Pr´ actica # 9

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadr´ aticas utilizando el m´etodo de la f´ ormula general. 1. 15x2 − 12 = −8x

7. 7 − 3x − x2 = 0

2. 4x2 + x − 14 = 0

8. 6x2 − 7x − 3 = 0

3. 15x2 − 14 = 29x

9. −x2 + x − 1 = 0

4. 8x2 + 30x − 27 = 0

10. 2x − 4x2 + 6 = 0

5. x2 − 7x + 9 = 0

11. 6 + x2 − x = 0

6. 5x2 − x + 1 = 0

12. 12 − 15x − x2 = 0

´ 1.2. ECUACIONES CUADRATICAS

29

Tarea # 9

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadr´ aticas utilizando el m´etodo de la f´ ormula general. 1. 6x2 − 7x − 3 = 0

6. x2 − 4x − 5 = 0

2. 5x2 + 3x − 1 = 0

7. 3x2 − x − 2 = 0

3. x2 − x + 1 = 0

8. 10x2 − 3x − 15 = 0

4. −x2 + 2x − 3 = 0

9. 25x2 − 10x + 1 = 0

5. −x2 + 6x − 9 = 0

10. −x2 + 3x + 2 = 0

El m´ etodo del despeje ´ nicamente cuando la ecuaci´ El m´etodo del despeje se aplica u on cuadr´ atica no est´ a completa y tiene la forma ax2 + c = 0. Debemos recordar que la operaci´ on contraria a la potencia es el radical de ´ındice √ √ igual al exponente. Por ejemplo, la inversa de x2 es x; la inversa de x5 es 5 x. En el concepto anterior se basa el m´etodo que vamos a estudiar. Veamos un ejemplo a continuaci´ on, resolvamos la ecuaci´ on x2 = 9 x2 = 9 se aplica ra´ız cuadrada a ambos lados √

x2 =

√ √

9

x=± 9 x = ±3 Las dos soluciones son entonces S = {−3, 3} Veamos un segundo ejemplo, la ecuaci´ on 4x2 − 100 = 0. Despejamos dejando el 2 olo del lado izquierdo x s´ 4x2 − 100 = 0 4x2 = 100 x2 =

100 4

x2 = 25

´ CAP´ITULO 1. ALGEBRA

30 se aplica ra´ız cuadrada a ambos lados √

x2 =

√ √

25

x = ± 25 x = ±5 la soluci´ on entonces es S = {−5, 5} ´ ltimo un ejemplo donde la soluci´ Por u on es conjunto vac´ıo, la ecuaci´ on olo del lado izquierdo x2 + 13 = 0. Despejamos dejando el x2 s´ x2 + 13 = 0 x2 = −13 se aplica ra´ız cuadrada a ambos lados √

x2 =

√

−13

entonces, no existe soluci´ on pues como recordamos cuando el ´ındice es par el subradical debe ser siempre positivo y en este caso es negativo. De esta forma S = {}.

Pr´ actica # 10

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadr´ aticas utilizando el m´etodo del despeje. 1. x2 = 16

5. 25x2 = 9

2. x2 = 25

6. 16x2 = 49

3. x2 − 169 = 0

7. (x − 3)2 = 17

4. x2 − 361 = 0

8. (x + 4)2 = 31

Tarea # 10

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadr´ aticas utilizando el m´etodo de la f´ ormula general. 1. 6x2 − 3 = 0

5. −x2 − 9 = 0

2. 5x2 − 1 = 0

6. x2 − 5 = 0

3. x2 + 1 = 0

7. 3x2 − 2 = 0

4. −x2 + 3 = 0

8. 10x2 − 15 = 0

1.3. PROBLEMAS

1.3.

31

Problemas

Objetivo. Resolver problemas que involucran, en su soluci´ on, ecuaciones cuadr´ atiP ○ cas con una inc´ ognita. Una vez que hemos estudiado las ecuaciones cuadr´ aticas, podemos aplicarlas en la resoluci´ on de problemas de aplicaci´ on. Veamos algunos ejemplos: A es dos a˜ nos mayor que B y la suma de los cuadrados de ambas edades es 130 a˜ nos. Hallar ambas edades. Para resolver el problema anterior primero definimos el planteo. Aqu´ı definimos las variables y consignamos los datos del problema. Planteo Edad de A: x+2 Edad de B: x Suma cuadrados edades: x2 + (x + 2)2 = 130

Operaci´ on x2 + (x + 2)2 = 130 x2 + x2 + 4x + 4 = 130 2x2 + 4x − 126 = 0 x1 = 7 ∧ x2 = −9 ninguna edad puede ser nagativa entonces usamos x = 7

Respuesta La edad de B es 7 a˜ nos. La edad de A es 7+2 = 9 a˜ nos Respuesta: Las edades son 7 y 9 a˜ nos.

Pr´ actica # 11

Resuelva los siguientes problemas. 1. La suma de dos n´ umeros es 9 y la suma de sus cuadrados es 53. Hallar los n´ umeros. Respuesta: 7 y 2. 2. Encuentre dos n´ umeros tales que su suma sea 21 y su producto 104. Respuesta: 13 y 8. 3. Encuentre dos n´ umeros consecutivos positivos enteros pares cuyo producto es 168. Respuesta: 12 y 14. 10 Encuentre el n´ umero. 4. La suma de un n´ umero y su rec´ıproco es 3 Respuesta: 3. 5. Un n´ umero positivo es los n´ umeros. Respuesta: 60 y 36.

3 de otro y su producto es 2160. Hallar los 5

6. A tiene 3 a˜ nos m´ as que B y el cuadrado de la edad de A aumentado en el cuadrado de la edad de B equivale a 317 a˜ nos. Hallar ambas edades. Respuesta: 14 y 11.

´ CAP´ITULO 1. ALGEBRA

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7. Un n´ umero es el triplo de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800. Hallar los n´ umeros. Respuesta: 45 y 15. 8. El cuadrado de un n´ umero disminuido en 9 equivale a 8 veces, el n´ umero menos 2. Hallar el n´ umero. Respuesta: 7 y 1. 9. Hallar dos n´ umeros consecutivos tales que el cuadrado del mayor excede en 57 al triplo del menor. ´ -7 y -6. Respuesta: 8 y 9 o 10. La diferencia de dos n´ umeros es 7 y su suma multiplicada por el n´ umero menor equivale a 184. Hallar los n´ umeros. Respuesta: 15 y 8.

Tarea # 11

Resuelva los siguientes problemas. 1. La suma de las edades de A y B es 23 a˜ nos y su producto 102. Hallar ambas edades. Respuesta: 17 y 6. 2. Hallar tres n´ umeros consecutivos tales que el cociente del mayor entre el 3 del n´ umero intermedio. menor equivale a los 10 Respuesta: 4, 5 y 6. 3. El producto de dos n´ umeros es 180 y su cociente es 1,25. Hallar los n´ umeros. Respuesta: 12 y 15. 4. El producto de dos n´ umeros es 352, y si el mayor se divide por el menor el cociente es 2 y el residuo es 10. Hallar los n´ umeros. Respuesta:11 y 32. 5. La edad de A hace 6 a˜ nos era la ra´ız cuadrada de la edad que tendr´ a dentro de 6 a˜ nos. Hallar la edad. Respuesta: 10.

Pr´ actica Adicional

Resuelva los siguientes problemas. 1. Un comerciante compr´ o cierto n´ umero de sacos de az´ ucar por $1000. Si hubiera comprado 10 sacos m´ as por el mismo dinero, cada saco le habr´ıa costado $5 menos. ¿Cu´ antos sacos compr´ o y cu´ antos le costo cada uno? Respuesta: 40 y 25.

1.3. PROBLEMAS

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2. Un caballo cost´ o 4 veces lo que su arreos y la suma de los cuadrados del precio del caballo y el precio de los arreos es 860625 colones. ¿Cu´ anto cost´ o el caballo y cu´ anto los arreos? Respuesta: 225 y 900. 3. Una persona compr´ o cierto n´ umero de libros por $180. Si hubiera comprado 6 libros menos por el mismo dinero, cada libro le habr´ıa costado $1 m´ as. ¿Cu´ antos libros compr´ o y cu´ anto le costo cada uno? Respuesta: 36 y 5. 4. Una compa˜ nia de 180 soldados est´ a formada en filas. El n´ umero de soldados de cada fila es 8 m´ as que el n´ umero de filas que hay. ¿Cu´ antas filas y cu´ antos soldados en cada una? Respuesta: 10 y 18. 5. Entre cierto n´ umero de personas compran un auto que vale $1200. El dinero que paga cada persona excede en 194 al n´ umero de personas. ¿Cu´ antas personas compraron el auto? Respuesta: 6. 6. Compr´e cierto n´ umero de relojes por $192. Si el precio de cada reloj es 3 umero de relojes, ¿cu´ antos relojes compr´e y cu´ anto pagu´e por los del n´ 4 cada uno? Respuesta: 16 y 12. 7. Se ha comprado cierto n´ umero de libros por $150. Si cada libro hubiera costado $1 m´ as, se habr´ıan comprado 5 libros menos con los $150. ¿Cu´ antos libros se compraron y cu´ anto costo cada uno? Respuesta: 30 y 5. 8. Por $200 compr´e cierto n´ umeros de libros. Si cada libro me hubiera costado $10 menos, el precio de cada libro hubiera sido igual al n´ umero de libros que compr´e. ¿Cu´ antos libros compr´e? Respuesta: 10. 9. Compre cierto n´ umero de lapiceros por $24. Si cada lapicero me hubiera costado $1 menos, podr´ıa haber comprado 4 lapiceros m´ as por el mismo dinero. ¿Cu´ antos lapiceros compr´e y a qu´e precio? Respuesta: 8 y 3. 10. Los gastos de una excursi´ on son $90. Si desisten de ir 3 personas, cada una de las restantes tendrııa que pagar $1 m´ as. ¿Cu´ antas personas van en la excursi´ on y cu´ anto paga cada una? Respuesta: 18 y 5. 11. Un tren emplea cierto tiempo en recorrer 240km. Si la velocidad hubiera sido 20km por hora m´ as que la que llevaba hubiera tardado 2 horas menos en recorrer dicha distancia. ¿En que tiempo recorri´ o los 240km? Respuesta: 6.

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´ CAP´ITULO 1. ALGEBRA

12. Un tren ha recorrido 200km en cierto tiempo. Para haber recorrido esa distancia en 1 hora menos, la velocidad deb´ıa haber sido 10km por hora m´ as. Hallar el tiempo empleado y la velocidad del tren. Respuesta: 5 y 40.