U5

RWTH Aachen

Institut f¨ ur Theoretische Physik A

Theoretische Physik I (Mechanik)

SS 09 Blatt 5 (30 Punkte) Abgabe 15. Mai 2009

Prof. Dr. V. Meden Dr. D. Schuricht

1. Coriolis- und Zentrifugalkraft

(4+2 Punkte = 6 Punkte)

In der Vorlesung wurde folgende Formel f¨ ur die Kraft auf einen K¨orper der Masse m auf der als Kugeloberfl¨ache angenommenen Erdoberfl¨ache hergeleitet ~¨ = −mg~er − 2mΩ ~ ×R ~˙ − mΩ ~ × (Ω ~ × R). ~ mR ~ den Ortsvektor des K¨orpers, ~er = R/| ~ R| ~ den radialen EinheitsvekHierbei bezeichnet R ~ der Vektor der Erdrotation, die als zeitlich konstant angenommen wird. Der tor und Ω erste Term ist die Gewichtskraft, der zweite die Corioliskraft F~C und der letzte Term die Zentrifugalkraft F~Z . (a) Der K¨orper sei zun¨achst in Ruhe. Berechnen Sie die Radialkomponente der Zentrifugalkraft FZradial . Auf welchem Breitengrad wird diese minimal bzw. maximal? Wie ¨ groß ist das Verh¨altnis von FZradial zur Gewichtskraft in Aachen und am Aquator? ¨ (b) Der K¨orper bewege sich mit 100 km/h entlang des Aquators. Wie groß ist das radial Verh¨altnis der Radialkomponente der Corioliskraft FC zur Gewichtskraft? Hinweis: Der Erdradius betr¨agt 6.4 × 106 m. Ein Tag hat 86400 s. Aachen liegt auf 50◦ n¨ordliche Breite. 2. Foucaultsches Pendel

(2+2+4+3+5+3+2+3 Punkte = 24 Punkte)

Ein Foucaultsches Pendel besteht aus einer Masse m die an einem Draht der L¨ange L h¨angt, so dass das Pendel in Ost-West und Nord-S¨ ud Richtung schwingen kann. In einem Inertialsystem wirken die Schwerkraft F~G = ~ Im rotierenden −mg~er und die Spannung des Drahtes N. Bezugssystem der Erde gilt

Ω y (Nord) z (oben) O R

θ

~¨ = N ~ − mg~er − 2mΩ ~ ×R ~˙ − mΩ ~ × (Ω ~ × R). ~ mR Wir w¨ahlen das Koordinatensystem so, dass ~ex nach Osten, ~ey nach Norden und ~ez radial nach aussen (“nach ~ zeige entlang oben”) zeige. Der Vektor der Erdrotation Ω der Erdachse nach Norden (siehe Skizze). Ausserdem beschr¨anken wir uns auf kleine Auslenkungen des Pendels, so dass die Bewegung in z-Richtung vernachl¨assigt werden kann, z = const..

L

O

N y (Nord) Nx Ny m

x (Ost)

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(a) Leiten Sie zun¨achst die Beziehung ~ ×R ~˙ = (−yΩ Ω ˙ cos θ + zΩ ˙ sin θ, xΩ ˙ cos θ, −xΩ ˙ sin θ)T ~ und R ~ = x ~ex + y ~ey + z ~ez sei. im xyz-Koordinatensystem her, wobei Ω = |Ω| ~ durch x bzw. y, L (b) Dr¨ ucken Sie die x- und y-Komponente der Fadenspannung N ~ und mg aus, wobei Sie |N| = mg verwenden k¨onnen. (c) Stellen Sie die Bewegunggleichungen f¨ ur x und y auf. Bringen Sie diese in die Form x¨ − 2Ωz y˙ + ω02 x = 0, y¨ + 2Ωz x˙ + ω02 x = 0. Bestimmen Sie ω0 und Ωz . (d) F¨ uhren Sie die komplexe Hilfsfunktion η(t) = x(t) + i y(t) ein. Welche Differentialgleichung muss η(t) erf¨ ullen? (e) L¨osen Sie die Differentialgleichung f¨ ur η(t) durch den Ansatz η(t) = e−i αt . Wie viele linear unanbh¨angige L¨osungen erhalten Sie? Wie h¨angt f¨ ur diese α von ω0 und Ωz ab? Entwickeln Sie α in Ωz /ω0 ≪ 1 (warum gilt diese Annahmen?) bis zur linearen Ordnung. Verwenden Sie immer diese N¨aherung f¨ ur die Exponenten α im Folgenden. (f) Geben Sie die L¨osung η(t) f¨ ur die Anfangsbedingungen x(0) = A, y(0) = x(0) ˙ = y(0) ˙ = 0 an. Entwickeln Sie die Konstanten bis zur f¨ uhrenden nichtverschwindenden Ordnung in Ωz /ω0 ≪ 1. (g) Beschreiben Sie qualitativ die Bewegung f¨ ur kleine Zeiten. Wie liegt die Schwingungsebene im Koordinatensystem? (h) Was geschieht f¨ ur gr¨oßere Zeiten? Wie schnell dreht sich die Schwingungsebene des Foucaultschen Pendels in Abh¨angigkeit der geographischen Breite π/2 − θ? Was ¨ erhalten Sie am Nordpol und am Aquator?

Hinweis zur Exkursionwoche: In der Exkursionswoche vom 1.6. bis 5.6. finden keine Veranstaltungen statt. Die Vorle¨ sungen, die Ubungsgruppen und die Tutorien fallen in dieser Woche aus. Das von Ihnen ¨ ¨ am Freitag den 29.5. abgegebene Ubungsblatt erhalten Sie in den Ubungsgruppen am 9.6. ¨ zur¨ uck. Das am 29.5. ausgegebene Ubungsblatt m¨ ussen Sie in der Vorlesung am 12.6. abgeben.

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